第一章直角三角形的边角关系单元练习 2025-2026学年北师大版九年级下册数学

北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元练 习 学校： 姓名 班级： 考号： 一、单选题 1.下列各数中的无理数是() A.cos30° B.（-π) c.3 D.(5 2.2tan45°=() A.2 B.V② C.1 D.2W2 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=u,AC=m,那么边AB的长为() m A.sina B.m.cosa C.m…sinc D. m·cotc 4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1,BC=2,则sinB的值为() 5 2W5 5 A.5 B.5 C.2 D.3 5.在R△ABC ∠C=90°，∠B=a,AC=m ， 用含“与m的式子表示B .下列四种表 示方法中，正确的是() A.4B=m.tand B.4B=m.sina C.AB=m tan D.AB=m sina 6.如图，在△ABC中，∠A=90°.若AB=12,AC=5,则c0sC的值为() 5 A.13 号 c. 5 2 D.5 7.计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是() A.2 B.3 D 试卷第1页，共3页 8.如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将该纸片折叠，EF为折痕，点A、D 分别落在A'、D处.若A'D经过点B,且DF⊥CD,则DF的长为() D A A.252 B.4-25 C.3⑤ 2 D.5 9.如图，有等间距的四条平行线且相邻两条平行线间的距离是3，含30°角的直角三角板 三个顶点A、B、C,分别在平行线上，则an∠BAD=() C D 25 A.4 B. c.7 D.5 10.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，E,F为BD所在直线上的两点，若AE= 5 ∠EAF=135°，则下列结论正确的是() E V10 A.DE=1 B.tan∠AFO=3 C.AF=2 D.四边形AFCE的面 积为4 试卷第2页，共3页 二、填空题 11.计算：an60°+3= 12.在RtA4BC中，/C=90,an1J 4,BC=4那么AB长为 13.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，则sin∠ABC的值为 14. 三、解答题 15.计算： 027-3s0+(-6-3 a红-314+'+b-v因-4os45 16.AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其 中点P从点A出发沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移动到点A 为止 P → )写出4P的长”和10的长卢关于时间1的函数： 试卷第3页，共3页 (2)经过多少时间后， △APO与△ABC相似？ △APO (3)在整个过程中，是否存在使 的面积恰好为△MBC 面积一半的情况，若存在，请问 此时点Q运动了多少时间？若不存在，请说明理由. 17,如图1是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心1C的4座和8座，是贵州省第 高楼，也是全国已建成的最高双子塔.在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同 学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图2，小星在小区门口点C处测得其 中一个塔AB的顶部B的仰角为45°，然后在自家阳台上的点D处测得顶部B的仰角为35°， 若小星家的阳台D到地面E的距离为56m,点E到点C的水平距离EC为94m,且A、C、 E三点共线，求AB的高度.（结果精确到1m.参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82， tan35°≈0.70) B 图1 图2 18.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD,斜坡AB的坡比 为i=1:5 :12,且AB=26米.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该士坡进行改造， 经地质人员勘测，当坡角不超过53时，可确保山体不滑坡，为了消除安全隐患，学校计划 将斜坡AB改造成AF(如图所示)，那么BF至少是多少米？（结果精确到1米，参考数 据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33) C F 口 口 口 D E 19.如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度 试卷第4页，共3页 进行测量.先测得居民楼AB与CD之间的距离BC为55m,后站在M点处测得居民楼CD 的顶端D的仰角为40°，居民楼AB的顶端A的仰角为55°，已知居民楼CD的高度为21m, 求居民楼AB的高度.（精确到lm) (参考数据：sin40°≈0.46，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57， tan55°≈1.43) D 55入人40° B M 20.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8.点D、E分别在边AB、BC上，连接 ED,将线段ED绕点E按顺时针方向旋转9O°得到线段EF. 图1 图2 图3 (I)如图1，当点E与点C重合，ED⊥AB时，AF与ED相交于点O,求AO:OF的值： (2)如图2，如果AB=5BD,当点A、E、F在一条直线上时，求BE长： (3)如图3，当DA=DB,CE=2时，连接AF,求∠AFE的正切值. 21.综合与实践 问题情境 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片ABCD,其中AB=4, BC=3. 实践探究 (1)如图2，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到纸片△ABC与△ADC'.将△ADC 纸片沿AC方向平移，连接BD(BD与AC交于点O),AD,BC',得到图3所示的图形. 若BD L AC,解答下列问题： ①请你猜想四边形ABCD的形状，并证明. 试卷第5页，共3页 ②请求出平移的距离AA'. 拓展延伸 (2)如图4，先将△ADC'纸片沿AC方向进行平移，然后将△A'DC'纸片绕点A顺时针旋 转，使得A'C∥AB,CD恰好经过点C,求平移的距离AA'. A(A) D D B B B 图1 图2 图3 图3 试卷第6页，共3页 《北师大版九年级下册数学第一章直角三角形的边角关系单元练习》参考答案 题号 1 3 6 7 9 10 答案 A A A D A D D 4v5 11.3 310 13.10 14.60° 15.1)解：原式=35-3×2+-2-2-. =35-3-2-2+V5, 2 =4V3- Γ2 (2)解：原式1+(-2到+3-2W5-4x2 ， =1-2+3-22-22 =2-42」 16.(1)解：12÷2=6s,16÷1=16s, :.片=240≤1≤6).5=16-t(0sts16) (2)解：当0≤16时，①若0rI8C,则有 △AQP∽△ABC 40Ap AB AC .4B=16cm AC=12cm AP=21 40=16-1 .16-t2t .1612’ 答案第1页，共2页 解得：t=48 11· ②：∠A=4,若10P=C,则有 △AQP∽△ACB AQ AP ACAB· .16-t_21 1216 解得：t=6.4.(不符合题意，舍去) 当6≤t≤16时，点P与C重合. ∠A=∠A,只有当 AQC=∠ACB D时， △AQC∽△ACB 有 AO AC AC AB .16-1_12 .1216’ 解得：t=7. 综上所述： 在0556中，当t-48时，△40pn△BC 在6≤1≤16中，当=7时， △AQC∽△ACB (3)解：当0≤1≤6时，过点P、C分别作AB的垂线，垂足为D、E. D B .PD=APsin∠A,CE=ACsin∠A, 如果△MP的面积恰好为△BC面积一半， 答案第2页，共2页 SMPO AQ.PD 那么SMABC AB.CE, ÷880 t2-16t+48=0 得： 解得：t=4或者t=12(舍去). SMOcA0 当6≤t≤16时，点P与C重合.即S4BcAB, 如果△AQC的面积恰好为△ABC面积一半， 16-4_1 那么162’ 解得：t=8. 综上所述： 在0≤1≤6中，当=4时 4时，△AP 的面积恰好为△ABC 面积一半. 6≤t≤16 在 中，当=8 △AQC △ABC 时， 的面积恰好为 面积一半. 17.解：过点D作DF⊥AB,垂足为F, y 由题意得：DE=AF=56m,DF=AE, 设AC=m, EC=94m, ∴.DF=AE=CE+AC=x+94m 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴.AB=AC.tan45°=xm) 在Rt△BDF中，∠BDF=35°， 答案第3页，共2页 ∴.BF=DF.tan35°≈0.7(x+94)m .BF+AF AB, .0.7x+94+56=x 解得：x=406, .AB=406m, :AB的高度约为406m。 18.解：过点F作FHLAD于H, C F B ▣ h DH E 则四边形FHEB为矩形， ..FH=BE,BF=HE, ·斜坡AB的坡比为i=1: 12 .BE:AE=12:5, 设BE=12x米，则AE=5x米， 在Rt△ABE中，AB=AE+BE,即262=(12x)2+(5x)2, 解得：x1=2,x2=-2（舍去)， 则AE=10米，BE=FH=24米， FH 在R△FAH中，1an∠FAH=AH, FH 24 ∴.AH= tan∠FAH≈1.33 ≈18（米）， ∴.BF=HE=AH-AE=18-10=8(米)， 答：BF至少是8米 19.解：由题意可得AB⊥BC,DC⊥BC, ∴.∠ABM=∠DCM=90°、 “在R△CDM中，tan∠DMC=DC CM'CD=21m' 答案第4页，共2页