第一章 直角三角形的三边关系单元练习-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第一章-直角三角形的三边关系 单元练习 一、单选题 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 3．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 6．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C．3 D． 7．已知为锐角，则的值为（） A． B． C． D． 8．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某 数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点,测得潮汐塔底端的俯角为(点，，，在同一平面内)，则潮汐塔的高度为(    )(结果精确到，参考数据：,,) A． B． C． D． 二、填空题 9．小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米． 10．在中，，若，，则的长是______． 11．如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的长为______． 12．在中，，则________． 13．已知某河堤的横截面为梯形，上底长为4m，堤高为6m，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，则河堤横截面的下底长为______． 三、解答题 14．在中，，，，求和的长． 15．如图，在中，，若，． (1)求的长． (2)若是斜边上的中线，求的值． 16．已知：如图，等腰△ABC中，AB=BC，AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，若CE=2，cos∠AEF= ，求BE的长． 17．如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念． (1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？ (2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据进行计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 2．D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正弦的定义可得，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查了求角的正弦值，由图可得，，得出的度数，再利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：由图可得，，， ∴， ∴． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，解直角三角形的相关计算，求角的正切值，已知正切值求边长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据在中，，，可求得，由此可判断A； 根据，代入已知数据，可求得，由此可判断B； 根据勾股定理求得，由此可判断C； 根据正切的定义式求得，由此可判断D． 【详解】解：在中，，， ∴，故A正确，不符合题意； 在中，， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故B错误，符合题意； ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意． 故选：B． 5．A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 6．C 【分析】本题考查了解直角三角形，过点A作于点，由可求出，由勾股定理求出，由可求出，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：过点A作于点，如图， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据，得，求出，即得解． 【详解】解：∵，且， ∴． ∴． ∴． 故选：C． 8．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点，根据等腰直角三角形的性质可知，根据的长度即可求出，利用的正切求出的长度，利用即可求出潮汐塔的高度． 【详解】解：延长交于点， 则有， 无人机在距水平地面， ， ， 是等腰直角三角形， ， 无人机从点沿水平方向飞行到达点， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：C． 9．50 【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值． 【详解】解：如图所示： ∵坡比为1：2.4， ∴BC：AC=1：2.4， 设BC=x，AC=2.4x， 则AB= = =2.6x， ∵AB=130米， ∴x=50， 则BC=x=50（米）． 故答案为50． 【点睛】此题主要考查了坡度的定义和勾股定理，根据勾股定理把AB用x表示出来并求出是解题的关键． 10．80 【分析】本题考查解直角三角形．根据，代入数据求得，再利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．3 【分析】在中，由正弦定义解得，再由勾股定理解得DE的长，根据同角的余角相等，得到，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题． 【详解】解：在中， 在矩形中， 故答案为：3． 【点睛】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 12． 【分析】根据，得，结合解答即可． 本题考查了勾股定理，三角函数，熟练掌握勾股定理，正确计算三角函数是解题的关键． 【详解】解：根据，得， 故． 故答案为：． 13．/28米 【分析】本题考查了坡度和坡角的应用，利用梯形性质，作梯形的高和，则，，则通过坡度和坡角分别计算长度即可． 【详解】解：作梯形的高和，垂足分别为E、F， 则，， ∵斜坡坡度，即垂直高度与水平距离之比为， ∴， ∵斜坡坡角， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 14．， 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由解三角形求出，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，为斜边，， ∴． 根据勾股定理． 15．(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键． （1）由，，得出，再结合勾股定理及即可求解； （2）过点作于点，利用中线得，设，则，利用，列式求解，再求，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵是斜边上的中线， ∴， 设，则， ∵， 即， 解得：， ∴， ∴． 16．8 【分析】根据题意，通过变化可得∠B=∠AEF，CE=2，cos∠AEF=，从而可以得到BE、AB的关系，从而可以解答本题 【详解】解：∵AE⊥BC于E，EF⊥AB于F，  ∴∠AEB=∠AFE=90°． ∴∠B+∠BAE=∠BAE+∠AEF=90°． ∴∠B=∠AEF． ∵cos∠AEF= ， ∴cos∠B= ． ∵cos∠B= ，AB=BC，CE=2， ∴设BE=4a，则AB=5a，CE=a． ∴a=2． ∴BE=8 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，锐角三角函数的应用，熟练掌握性质是解题的关键 17．(1)距离山脚水平面的高度是400米 (2)大约需要4.4分钟 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定与性质． （1）过点作于H，根据直角三角形的边角关系求出即可； （2）利用直角三角形的边角关系，结合矩形的性质，求出的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于H，则， 由题意，，米， ∴（米）， 答：距离山脚水平面的高度是米； （2）解：过C作于F，过B作于E， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，，，（米）， ∴（米）， ∴（分钟）， 答：大约需要4.4分钟． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $