2 因数和倍数(无答案)-【课堂笔记划重点】2025-2026学年五年级下册数学教材笔记（人教版）

2 因数和倍数 因数和倍数的认识 在前面的学习中，我们知道两个整数相除，结果有下面两种情况。 按照 没有余数 有余数 标 定准式进究程 把分行的 第 12÷2=6 20÷10=2 第 类研过 8÷3=2…2 9÷5=1…4 30÷6=5 21÷21=1 种 19÷7=2…5 63÷9=7 26÷8=3…2 类 思 想 在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0）， 我们就说除数是被除数的 因数（也称约数），被除数是除数的倍数 例如，12÷2=6，我们就说2是12的因数， 12是2的倍数。 因为12÷6=2， 2×6=12,2和 所以也可以说 6是12的因数， 6是12的因数， 12是2和6的 12÷2=6 12是6的倍数。 12÷6=2 倍数。 2×6=12 说一说：上面第一种情况的每个算式中， 谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 如果a÷b=c(a、b、c均是大于0的自然数)，则b和c是a的因数，a是b和c的倍数 如12÷2=6，不能单独说2是因数，12是倍数，只 因数和倍数是相互依存的。 能说12是2和6的倍数，2和6是12的因数。 因数和倍数不能单独存在 注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所指的数是自然数（一般不包括0）。 做一做三 下面的4组数中，谁是谁的因数？谁是谁的倍数？ 提示用每组数中的大数除以小数， 如果商是整数且没有余数，那么小数 是大数的因数，大数是小数的倍数。 4和24 26和13 75和25 81和9 ⑨课堂笔记划重点数学五年级下册人教 218的因数有哪些？ 方法二：列乘法算式。方法一：列除法算式 想18除以几 1×18=18 没有余数… 18÷1=18 无论用哪种方法找一个 2×9=18 18÷2=9 3×6=18 数的因数，从1和它本 身开始，一对一对地找， 避免重复和遗漏。 18的因数有1,2,3一，6一，9,18一⊙4写完要加“。 说一说：你是怎样找到18的因数的？ 18的因数 一个数的因数也可以像右图这样表示。 1,2,3 30的因数有哪些？36呢？ 6,9, 18 30的因数：1,2,3,5， 注意相同的因数只写一个， 6,10,15,30。 写完不加“。 如6×6=36，只写一个6。 36的因数：1,2,3,4， 6,9,12,18,36 除0,1外的自然数至少有1和它本身两个因数，1是任何自然数(0除外)的因数。 3 2的倍数有哪些？ 找倍数用乘法 方法一：列乘法算式。 更方便… 2×1=2 2与非0自然数的 2×2=4 积都是2的倍数。 2×3=6 ………… 加“。 2的倍数有2,4,6，…。 说一说：你是怎样找到2的倍数的？ 方法二：列除法算式。 2÷2=1 哪个数除以2， 2的倍数 4÷2=2 商是整数且没 8÷2=4 一个数的倍数也可以像右图这样表示。 有余数，这个数 2,4,6, 就是2的倍数。 8,10, 3的倍数有哪些？5呢？ 12， 3的倍数有3,6,9,12，…。 5的倍数有5,10,15，…。 不加“。 在上面找因数和倍数的过程中，你有什么发现？ 1.一个数的最小因数是1，最大因数是它本身； 2.一个数的最小倍数是它本身，没有最大倍数； 3.一个数的因数的个数是有限的，一个数的倍数的个数是无限的。 一个非零自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 2 因数和倍数 练习二 1.把符合条件的数填入相应的热气球里。 提示通过列除法算式或乘法算式找36和60的因数。 36的因数 60的因数 12345689 101215161820 24303660 2.(1)写出下面各数的因数。 10 17 28 32 48 (2)写出下面各数的倍数（各写5个）。 4 10 6 9 3.找出5的倍数，把相应的星星涂上黄色。提示这些数除以5，商是整数且没有余数的，就 是5的倍数 55 0 48 92 100 60 12 4.15的因数有哪些？15是哪些数的倍数？ 5.判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。 (1)1是1,2,3，…的因数。 (2)8的倍数只有16,24,32,40,48。 (3)因为36÷9=4，所以36是9的倍数。 (4)5.7是3的倍数。 7 ©课堂笔记划重点”数学五年级下册人教 6.填空。 提示一个数的因数的个数是有限的 (1)1的因数有 个，7的因数有 个，10的因数有 个。 (2)一个数的最大因数和最小倍数都是18，这个数是 (3)一个数的最小倍数是1，这个数是 7.猜数游戏。 提示一个数的最大因数和最小倍数都是它本身 它是42的因数，又 它可能是7,14， 是7的倍数。 21,42中的一个。 它也是2和3的 我知道了，它是 倍数。 8.(1)14、21都是7的倍数，14与21的和是7的倍数吗？ (2)27、18都是9的倍数，27与18的差是9的倍数吗？ 通过这两个小题，你有什么发现？你能再举几个例子验证你的发现吗？ 你知道吗？ 完全数 6的因数有1,2,3,6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。像6这样，等 于除了它自身以外的全部因数之和的数，叫作完全数。 28也是完全数，而8则不是，因为1+2+4≠8。完全数非常稀少，截至2021年， 人们一共找出了51个完全数，其中较小的有6,28,496,8128等。 完全数还有一个有趣的性质，它们都能写成连续自然数之和。不信你可以试 试看。 8 因数和倍数 2 2、5、3的倍数 0 3 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 22 2 25 26 27 3 31 32 244 35 36 37 288 299 40 41 42 43 45 46 47 50 51 52 53 44 55 56 57 58 59 61 62 63 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 16 77 78 79 8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 (1)把上表中5的倍数圈起来， 看看5的倍数有什么特征。 找5的倍数只需要用5从1乘到19即可 (2)把上表中2的倍数框起来，看看2的倍数有什么特征。 找2的倍数只需要用2从1乘到49即可。 5的倍数个位上 2的倍数个位上的数 的数是0或5。 是0,2,4,6或8。 个数个位上是0或5，这个数就是5的倍数吗？一个数个位上是0,2,4,6或8，这个 数就是2的倍数吗？举例验证一下。 1.个位上是0,2,4,6或8的数，都是2的倍数： 2.个位上是0或5的数，都是5的倍数。 整数中，是2的倍数的数叫作偶数(0也是偶数)，不是2的倍数的数叫作奇(i)数。 划重点 (1)整数按照能否被2整除分为偶数和奇数。 (2)最小的偶数是0，最小的奇数是1。 (3)没有最大的偶数和最大的奇数。 做一做 个位上是0,2,4,6或8的数。 个位上是0或5的数 下面哪些数是2的倍数？哪些数是5的倍数？哪些数既是2的倍数，又是5的倍数？你 发现了什么？ 35 67 99 106 60 75 130 521 280 6018 ⑨课堂笔记划重点 数学五年级下册人教 圈出的数都是3的倍数 2 0 2 ③ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 20 21 22 23 24 25 26 20 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 可以根据倍数的概 念和找一个数的倍 50 50 52 53 54 55 56 57 58 59 数的方法，用3依 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 次与1,2,3,4，… 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 相乘，找到表格中 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 3的所有倍数并图 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 起来。 把上表中3的倍数圈起来，看看3的倍数有什么特征。 横着看，围起来的前10个数分别是3,6,9,12， 15,18,21,24,27,30 个位上分别是3,6,9,2,5,8,1,4,7,0 3的倍数个位上可以是 斜着看，3的倍 0~9中任何一个数。 数各位上的数的 和都是3的倍数。 任意找几个3的倍数，把各位上 三个连续自然数的和，三个连续 的数相加，看看有什么规律。 奇数（或偶数）的和，三个相同 自然数的和都是3的倍数。 个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数吗？举例验证一下。 个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 划重点 判断一个数是不是3的倍数的方法： (1)计算各位上的数的和； (2)看这个和是不是3的倍数。 做一做 二 提示每个数中两张数字卡片上的数加起来是3的倍数，这个数就是3的倍数。 下面用数字卡片摆出的数中哪些是3的倍数？ 2 4 58 47 96 在每个数后面增加一张数字卡片，使这个三位数成为3的倍数。 要保证增加的这张数字 上的数与原来两张数 字 卡片上的数加起来是3 倍数 10 2 因数和倍数 练习三 提示是2的倍数的数叫作偶数(0也是偶数)，不是2 1.下面哪些数是奇数？哪些数是偶数？的倍数的数叫作奇数 33 98 355 0 123 881 8089 1000 988 565 3678 677 2.按要求填写数字。 提示个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数 、1 两个数位上的数相同，并且是5的倍数。 (2) 3 既是2的倍数，又是5的倍数。 (3) 既是2的倍数，又是5的倍数的最小三位数。 3.圈出3的倍数。 提示计算每个数各位上的数的和，看这个和是不是3的倍数 92 75 36 206 65 3051 779 99999 111 49 165 5988 655 131 2222 7203 提示3乘不同的偶数(0除外) 提示5乘不同的奇数 你能说出3个是3的 你能说出3个是5的 倍数的偶数吗？ 倍数的奇数吗？ 5.在 里填一个数字，使组成的每个数都是3的倍数。各有几种填法？ 65 6.（1“一五，一十，十五，二十…”这样数数，数出来的数都是 的倍数，第12个 数是 。 提示第12个数是12×5=60 (2)100,98,96,94,…,8,6,4,2。这些数中的每个数都是 的倍数，其中第15 个数是 提示第15个数是100-2×14=72 9课堂笔记划重点”数学五年级下册人教 7.妈妈在花店买了一些马蹄莲和郁金香，店员说妈妈应付87元。按照下面的价格计算，店员 说得对吗？ 马蹄 10元/枝 玫瑰 3元/枝 提示3的倍数和个位上的数字是几无关。 8.判断下面的说法是否正确，并说一说你的理由。 (1)个位上是3,6,9的数，都是3的倍数。 (2)个位上是1,3,5,7,9的数，都是奇数。 (3)在全部整数里，不是奇数就是偶数。 9.现在有22名学生分组玩游戏，至少再来几名学生就可以正好3人一组？ 提示3的倍数大于22，且与22最接近的是24 10.从下面四张数字卡片中按要求取出三张，组成三位数。 奇数 偶数 2的倍数 5的倍数 0 3的倍数 既是2的倍数，又是3的倍数 11.先圈出4的倍数，再回答下面的问题。 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 (1)4的倍数都是2的倍数吗？ (2)只看个位，能否判断一个数是不是4的倍数？应该怎样判断？ ② 因数和倍数 …个位上只能是0 12.（1)既是2和5的倍数，又是3的倍数的最小两位数是 (2)既是2的倍数，又是3的倍数的最小三位数是 最大三位数是 生活中的数学 提示单、双号能方便查找。 街道一边的门牌号是奇数，另 一边的是偶数。 公民身份号码中的第17位数字 34 43 可以分辨性别，奇数为男性，偶数 为女性。 你知道吗？ (1)判断一个数是不是2或5的倍数，为什么只用看个位数？ 一个数可以根据数的组成进行改写，比如： 24=2×10+4×1 2485=2×1000+4×100+8×10+5×1 其中10,100,1000都是2或5的倍数，所以只要个位上的数是2或5的倍数， 这个数就是2或5的倍数。 (2)判断一个数是不是3的倍数，为什么要看各位上数的和？ 可以按（1)的思路进行分析。 2485=2×1000+4×100+8×10+5×1 =2×(999+1)+4×(99+1)+8×（9+1)+5 =2×999+4×99+8×9+（2+4+8+5) 其中9,99,999都是3的倍数，括号中是这个数各个数位上的数，所以只要 这些数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 试一试：你能继续找到判断9的倍数的方法吗？ 13 9课堂笔记划重点”数学五年级下册人教 质数和合数 可以用列乘法算式或者列除法 找出1~20各数的因数，按要求填写下表。 算式的方法找一个数的因数。 分类标准：因数的个数 只有一个因数的数 只有1和它本身两个因数的数 有两个以上因数的数 4、6、8、9、10、12 1 2、3、5、7、11、13、17、19 14、15、16、18、20 一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。如2,3,5， 7都是质数。 质数：只有两个因数，最小的质数是2。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。如4,6,15,49 都是合数。 合数：至少有3个因数，最小的合数是4。 质数 1既不是质数，也不是合数。 非0自然数 1(分类标准：因数的个数) 因为1只有1个因数 合数 找出100以内的质数，做一个质数表。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 方法一：逐一验证法 可以逐一验证 先把2的倍数划去， 根据质数、合数的意义逐个验证 每个数，看哪 2除外，划掉的这些 方法二：筛选法 些是质数。 数都不是质数。再把 先划掉1，再划掉2,3,5,7的 3的倍数划去… 所有倍数(2,3,5,7除外)。 100以内的质数表： 2 19 23 想一想：划到几的倍数就可以了？ 29 31 37 53 5961 1 67 71 73 7983 89 97