山东青岛第二中学2026届高三第二次适应性检测数学试卷

绝密★启用前 2026年青岛二中高三第二次适应性检测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={r-1>1,N={-l,,则M∩N= A.{-1,} B.{-1} c.} D. 2.已知=(1+i)i,则z+z= A.-1 B.-2 C.2i D.-2i 3.若f)=2sinx+}(@>0)的最小正周期为x,则y 3 A.0 B.1 C.5 D.2 4,已知双曲线c。Ia>0)的两条渐近线相互垂直，则a A.42 B.2 C.4 D.2 5.农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学 模型，可用C=Ce"(C。,k为正常数)描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬 表面的农药残留量（单位：mg/kg),某品种有机裤农药的降解速率常数k-2，, 3, 现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8g/kg,国家食品安全标准规定该农药 的残留限值为1mg/kg,则该蔬菜的最短安全采收间隔期为 A.3天 B.6天 C.9天 D.12天 数学试题第1页（共4页） 6.x(2+x)4=4x+4,x2+4x3+ax4+ax,则a1+a2+a3+a4= A.16 B.65 C.80 D.81 7.已知正四棱锥的侧棱长为3√3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 A.1 B.5 C.2 D.3 8.已知集合A={x∈N1≤x≤2026.设集合B=,b2,b,,b}满足B∈A,且对 任意的b,b,,b∈B(i,j,k∈1,2,3，，m),存在m∈N,使得b+b,+b=39m, 则n的最大值为 A.50 B.51 C.52 D.53 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.一个袋子中有4个红球和2个白球，采用不放回方式依次摸取2个球.设 事件A为“第一次摸到红球”，事件B为“第二次摸到红球”，则 A.P4-月 B.P(®)号 c.8A-月 D,A与B相互独立 10.已知直四棱柱ABCD-ABCD的各顶点都在球O的球面上，若A,O,C三 点共线，则 A.B,O,D三点共线 B.AB⊥B,C C.AD⊥平面DCCD D.BC1II平面ADDA 11.已知函数f(x)=e-a2有三个零点x,2,x(x<x2<x),则 A.若x1,x2,x,成等差数列，则x2,x,x3成等比数列 B.若x2,x,x成等比数列，则x,x2,x成等差数列 C.若x,x2,x成等差数列，则数列x,x2,x的公差为2n(√2-1 D.若x2,x,x成等此数列，则数列x2,x2,x的公此为3+2√2 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设ā，6为单位向量，且a-=V2,则a+= 13.已知直线1经过抛物线C：y2=4x的焦点，且与抛物线交于A,B两点，若使 得OP=OA+OB成立的点P的横坐标为3，则四边形OAPB的面积为 14.一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜 色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不 同染色的方法数为 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=x2-nx. (1)求函数∫(x)的单调区间； (2)点P是函数f(x)图象上任意一点，求点P到直线x-y-1=0距离的最小值. 16.(15分) 已知{x}是各项均为正数的等比数列，且x+x2=3,一x,=2 （I)求数列{x}的通项公式； (Ⅱ)如图，在平面直角坐标系xOy中， y个 P 依次连接点 P P P(飞，1)，(x2,2).卫n1(x1,n+1)得到 折线P2.P1,求由该折线与直线y=0 P x=X,x=xnH所围成的区域的面积T. X1 X2 X XA 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) ，y2 知椭四心0>0的左有顶点分别为44，有焦点为P,已 1AF=3,AF=1. (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点P在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线AP交y轴于点Q,若三角形APQ的面 积是三角形A,PF面积的二倍，求直线A2P的方程， 18.(17分) 将边长为√2的正方形ABCD沿对角线AC折叠，形成四面体D-ABC. B B (1)证明：AC⊥BD; (2)若二面角D-AC-B和A-BD-C的平面角互补，求BD; (3)证明：存在四面体D-ABC,使得其内部一点O到各个平面的距离均大于2-√5， 19.(17分) 已知甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球现从甲、乙两口 袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数 为X,恰有2个黑球的概率为Pn,恰有1个黑球的概率为9.， (1)求P1,4和P2,942； (2)求2P.+9n与2Pn-1+9m-1的递推关系式； (3)求X.的数学期望E(Xn)(用n表示) 数学试题第4页（共4页） 2026年青岛二中高三第二次适应性检测 数学试题答案与详解(A4) 1.B 【分析】先解绝对值不等式，再根据集合的交集的定义可得. 【详解】由x-1>1,解得x>2或x<0,所以M={x|x<0或x>2}, 而N={-1,1},所以M⌒N={-1} 2.B 【分析】结合题意与共轭复数的性质求出对应复数，进而求解，+，即可. 【详解】因为=(1+i)i,所以z=i+i=-1+i,则：=-1-i, 可得：+：=-1+i-1-i=-2,故B正确. 故选：B 3.A 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊角的正弦函数值进行求解即可. 【详解】因为了()=sn+对@>0)的最小正周期为x, 所以27-→0-2，即1)=2sn2x+到， 所以（-2(2x-2s=0, 33 故选：A 4.B 【分析】由题可得双曲线渐近线方程为y=±25x,再由直线斜率为1可得答案。 a 【详解】双曲线C的渐近线方程为y=±22 x,因为C的两条渐近线相互垂直， 所以2② 2W2 -1,又a>0,则a=2√2 a 故选：B. 5.c 【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果 【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为t天， 依题意可得C,e≤1，其中C,=8,k=h2, 3 所可得e之≤。，即-2t≤-3l血2，解得t≥97 3 因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天 6.C 【分析】根据题意得(2+x)4=4+4,x+4x2+4,+4x,利用赋值法和二项式系数求解 【详解】由于x(2+x)4=a4x+42x2+ax3+ax4+a,x3, 则(2+x)1=4+4,x+4x2+a,R+4, 令x=1,得4+a2+4+4,+4=3=81, 又因为4=C42°=1， 所以4+a2+4+4=80 7.D 【分析】设底面边长为aa>0,则离h-27-g,体积-27a-,设 f(四=27d-】a,a∈(0,36)，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点， 从而求出h. 【详解】设底面边长为a(a>0),则高h=3√ 3 由h>0,所以0<a<36, 所以体积-h27r 2 i设f(@=27a-a,a∈(0,36)，则f'(a)=108m-3d=3'(6+)6-a, 所以当0<a<6时，f'(a)>0,所以f(a)在(0,6)上单调递增； 当6<a<3√6时，f(a<0,所以f(a)在(6,3V6)上单调递减； 所以当α=6时f(@取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时h=27 63 =3 2 故选：D. 8.C 【分析】根据题意分析可知集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而 分析n的最大值 【详解】因为39=1×39=3×13，由选项可知n的最大值大于3， 若对任意的b,b,b∈B,存在m∈N,使得b+b,+b=39m, 则集合B的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即B={39,78,39或B={13,52,…,39n-26}或B={26,65,,391-13}, 若B={39,78,117,,39,则39n≤2026， 解得u≤2026∈(61,52)，此时r的最大值为513 39 若B={13,52,…,39n-26,则39n-26≤2026， 解得n≤684∈(52,53)，此时的最大值为52； 13 若B={26,65,,39n-13},则39n-13≤2026， 解得n≤2039∈(52,53列，此时n的最大值为52； 39 综上所述：n的最大值为52. 9.BC 【分析】根据古典概型、条件概率和独立事件的定义计算判断即可. 【济】出题意可，P八小是号所以A错： P叫8)=CC+SC-282 C%CCgC30303,所以B正确； P(AB=C305’所以P(B1A=PAB) C4C122 53 P(A) Σ5，所以C正确； 3 直于)P=号号-专P4)=手所以P4P@P0, 所以A与B不相互独立，所以D错误 10.BC 【分析】对于A,设O在底面ABCD上的投影为O,由题意无法确定O'是否在直线BD上， 从而无法确定B,O,D三点是否共线，从而判断A;由线面垂直的判定定理可得AB⊥平 面BCC,B、AD⊥平面DCCD,从而判断B,C；由题意无法确定平面BCC,B,是否平行于 平面ADDA,从而无法判断D. 【详解】如图所示： D D C B 易知平面BDDB,⊥底面ABCD, 设O在底面ABCD上的投影为O, 若B,O,D三点共线，则O在平面BDDB上， 此时O在直线BD上， 但根据题设不能确定O是否在直线BD上，故A错误； 因为直四棱柱ABCD-AB,CD的各顶点都在球O的球面上， 故A,B,C,D四点共圆， 若A,O,C三点共线， 同上可知O在直线AC上， 故AC为圆O'的直径， 所以∠ABC=90°，AB⊥BC, 又BB⊥底面ABCD,ABC底面ABCD, 故BB1AB, BB1,BCC平面BB,CC,BB1∩BC=B, 所以AB⊥平面BCCB, 又BCc平面BCCB,故AB⊥B,C, 同理可证AD⊥平面DCCD,故B,C正确； 由于不确定平面BCCB是否平行于平面ADDA, 故不确定BC是否平行于平面ADDA,故D错误. 故选：BC 11.ABD 【分析1对A、C:由题意可得三，结合等差数列定义可得矿=巧，则G苦 成等比数列，则可得二=x,之，即可求出，，结合=，两边取对数运 2 x ex exe 算可得x-x3,即可得其公差；对B、D:由 ，结合等此数列定义可得2%，=x+x, 则，成等差数列，则可求出产，即可得 ，即可得其公比 【详解】当a≤0时，f(x)=e-ax2>0,不合题意； 当a>0时，分别画出y=e与y=ax2的图象，如图： VA y-ax y-e 所以x1<0<-x1<x2<x3; e e2 e 对A、C:由题得 g,所以8e x’ 若x,2,成等差数列，则2x2=x+x3,所以x2x=x, 所以废等比数别.由<0长，则钙=（色学八， 2 即-6xx,=x2+x,所以 +6+1=0, 由之<-山，解得受3-25，因为 =e, 所以5-=-2h年=-2(3+2=23-3月=4-， 则x-x=-2n(√2-1)，即数列x,x,x的公差为-2n(V2-1), 故A正确、C错误； 对B、D:由写三，若矿，成等此数列，则写=， 则e+=e2:,即有2x2=x+,故，x2,x3成等差数列， 又是=325，则毫-(3-25=6+25j, 故是=3+2可=3+25，即数列的公比为3+25， 故B、D正确 12.【分析】根据向量模的关系得a.6=0,再计算a+即可. 【详解】因为ā，五为单位向量，所以==1， 因为a-列=2，平方得|+-2a.b=2,即a.5=0, 所以a+=+6+2a.6=2,即a+=2 故选：B 13,【分析】设直线方程，再直线曲线联立，借助韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式 计算高，最后计算面积即可。 【详解】由题知F(1,0),直线1的斜率不为0， 设直线1的方程为x=y+1,A(,),B(2,y2), B x=3 x=y+1, 联立=4， 整理得y2-4y-4=0,则y+y2=4m,2=-4. .x+x2=m(y+y2)+2=4m2+2 .OP=OA+OB,.四边形OAPB为平行四边形 点P的横坐标为3，∴3=+5=4m+2,解得m2 ∴AB=V1+mVy+⅓，)2-4y2=V1+m.V16m2-4x(-4)=5. 12W5 点O到直线AB的距离为 V1+m25’ :.平行四边形O1PB的面积为5×25=25. 5 14.82 【分析】分①②③④四边同色，①②③④只有三边同色时，另一边不同色时，①②③④每两 个同色时三种情况讨论，结合分步乘法计数原理即可求解。 【详解】解： 4 ② B ① ③ D④ C ①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色， ①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色，同理其他区域也一样， 则(1)①②③④四边同色，此时共有C=2种； (2)当①②③④只有三边同色，另一边与其不同色时，此时共有CA,×1×1×2×2=32种， (3)当①②③④每两个同色时，此时共有CA号×1x1×2×2=48种， 综上，共有2+32+48=82种.