山东青岛第五十八中学高新学校2026届高三二模调研数学试题

2026年青岛五十八中高新学校二模调研 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 4. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 5. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 双曲线的两条渐近线夹角为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为1 C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则的值为__________. 13. 已知向量，则的最大值为___________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 在中，已知D为边BC上一点，． （1）证明：； （2）若，求BD． 17. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． （1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； （2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值． 2026年青岛五十八中高新学校二模调研 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】16 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） 连接、， 因为四边形为菱形， 所以是边长为的正三角形， 因为为中点，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又平面， 所以， 又，，， 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. （2） 【16题答案】 【答案】（1） 如图， 在中，由正弦定理知：， 即， 要证， 即证， 即证， 即证， ， 即， 显然成立， 故原等式成立. （2）1 【17题答案】 【答案】（1） （2）“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示， 则的可能取值为：， 且，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， “方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为， 所以的分布列为：， 即的分布列为： 0 1 所以，则， 因为，，所以“方案二”估计的值更合理. 【18题答案】 【答案】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）， （2）证明：设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立，消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上，即有， 所以，因为， 则， 由（1）知，所以数列为为首项，的公比的等比数列； （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $