基础专练：相交线中的角度的计算&核心技巧：利用方程思想求相交线中的角度问题&难点探究：相交线中的计数问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）武汉专版

参考 第七章相交线与平行线 7.1相交线 7.1.1两条直线相交 名师点金 (1)反向延长线(2)顶点反向延长线相等 1.D 2.(1)∠BOD∠BOC和∠AOD(2)∠AOE∠AOF和∠BOE 3.B4.A5.50 6.解：因为∠AOB=∠BOC+40°，∠AOB+∠BOC=180°.所 以2∠BOC+40°=180°.所以∠BOC=70°.所以∠AOD= ∠BOC=70.因为OE平分∠A0D,所以∠D0E=是∠A0D =35°. 7.C8.C 9.解：(1)∠BOC∠AOC,∠BOD(2)因为∠AOD=20°，所 以∠BOC=∠AOD=20°，∠BOD=180°-∠AOD=160°.因为 ∠DOF:∠BOF=1:7,所以∠BOF=冬∠BOD=140,因为 OE平分∠BOF,所以∠BOE=∠BOF=10.所以∠C0E= ∠BOC+∠BOE=90° 10.解：(1)70°(2)①∠M0N=号∠A0D.理由如下：因为 ON平分∠EOD,OM平分∠AOE,所以∠EON=7∠EOD, ∠EOM=号∠AOE.所以∠MON=∠EON-∠EOM= 合∠EOD-名∠A0E=名（∠EOD-∠AOE)=号∠AOD, ②因为∠MON+∠BOD=160°，所以∠MON=160°- ∠BOD.由①知∠AOD=2∠MON.又因为∠AOD=180°- ∠BOD,所以180°-∠BOD=2(160°-∠BOD).所以∠BOD =140°.所以∠MON=160°-∠BOD=20°. 7.1.2两条直线垂直 名师点金 (1)直角垂线垂足(2)有且只有 (3)垂线段垂线段最短(4)垂线段 1.B 2.解：因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°.所以∠COE=∠EOF 一∠COF=40°.因为OE平分∠BOC,所以∠BOC=2∠COE =80°.所以∠AOD=∠BOC=80°. 3.C 答案 4.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 5.A6.垂线段最短7.C8.D9.C 10.解：(1)ON⊥CD.理由如下：因为OM⊥AB,所以∠AOM= 90°.所以∠1+∠AOC=90°.因为∠1=∠2，所以∠2+∠AOC =90°，即∠CON=90°.所以ON⊥CD.(2)因为OM⊥AB,所以 ∠B0M=90.因为∠1=￥∠B0C,∠B0C=∠1+∠B0M,所 以∠1=4（∠1+90）.所以∠1=302.所以∠M0D=180°- ∠1=150°. 11.解：(1)因为∠AOC=70°，所以∠BOD=∠AOC=70°.因为 ∠B0E:∠D0E=3:4,所以∠D0E=号∠BOD=40.(2)因 为OF⊥OE,所以∠EOF=90°.分两种情况讨论：①当OF1在 直线AB上方时，因为∠DOE=40°，所以∠DOF1=∠EOF1一 ∠DOE=50°.②当OF2在直线AB下方时，因为∠DOE=40°， 所以∠DOF2=∠EOF2+∠DOE=130°.综上所述，∠DOF的 度数是50°或130°. 7.1.3两条直线被第三条直线所截 名师点金 (1)同一侧同侧(2)之间两侧(3)之间同一旁 1.B2.C3.A4.D5.(1)DE内错(2)AF同位 6.解：(1)∠1与∠4是同位角；∠1与∠2是内错角；∠1与∠5 是同旁内角.(2)如果∠1=∠2，那么∠1与∠4相等，∠1与 ∠5互补.理由如下：因为∠1=∠2，∠2=∠4，∠2+∠5= 180°，所以∠1=∠4，∠1+∠5=180°，即∠1与∠4相等，∠1 与∠5互补. 7.D8.A9.9 10.解：(1)∠1和∠4是直线ED,BD被直线AB所截形成的 同位角.(2)∠2和∠7是直线ED,CD被直线EC所截形成的 同旁内角.(3)∠3和∠EFD是直线AB,BD被直线EF所截 形成的内错角.(4)∠1，∠5，∠DFC 11.(1)42(2)126(3)2412(4)2m(n-1)n(n-1) 基础专练：相交线中的角度的计算 1.解：因为∠BOE=150°，所以∠AOE=180°-∠BOE=30°.又 因为OA平分∠EOC,所以∠AOC=∠AOE=30°.所以∠BOD =∠AOC=30°. 2.解：因为∠3=130°，所以∠1=180°-∠3=50°，因为∠2一 ∠1=15°，所以∠2=15°+∠1=65°.所以∠C0E=180°-∠1 -∠2=65°. 3.解：(1)因为OF平分∠AOD,所以∠AOF=∠DOF.又因为 ∠AOC=∠BOD,所以∠AOF+∠AOC=∠DOF+∠BOD,即 ∠COF=∠BOF.(2)因为∠BOD=24°，所以∠AOD=180° ∠BOD=156°.因为OF平分∠AOD,所以∠AOF=2∠AOD =78°.又因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°.所以∠EOF= ∠AOE-∠AOF=12°. 4.解：(1)因为∠AOE=40°，所以∠AOF=180°-∠AOE= 140.因为0C平分∠A0F,所以∠C0F=号∠A0F=70.所 以∠DOE=∠COF=70°.(2)OA⊥OB,理由如下：设∠AOE= 2a,则∠AOF=180°-∠AOE=180°-2a.因为OC平分 ∠A0F,所以∠C0F=是∠A0F=90-a.所以∠D0E= ∠COF=90°-a.因为∠AOE=2∠BOD,所以∠BOD=a.所以 ∠BOE=∠DOE-∠BOD=90°-a-a=90°-2a.所以∠AOB =∠BOE+∠AOE=90°-2a+2a=90°.所以OA⊥OB. 核心技巧：利用方程思想求相交线中的角度问题 1.解：设∠COE=x,则∠BOC=2x,∠AOF=4x-8°.因为OE ⊥OF,所以∠EOF=90°.因为∠BOC+∠COE+∠EOF+ ∠A0F=180°，所以2x十x+90°+4x-8°=180°，解得x=14°. 所以∠AOF=4x一8°=48°.所以∠AOE=∠AOF+∠EOF= 138.因为OD平分∠A0E,所以∠D0E=∠A0E=69 2.解：(1)因为∠MON=70°，所以∠COD=∠MON=70°.所以 ∠B0D=号∠C0D=35.所以∠BON=180-∠M0N- ∠BOD=75°.(2)设∠AOC=x,则∠BOC=3x.因为∠COD= ∠MON=70°，所以∠BOD=∠BOC-∠COD=3x-70°， ∠AOD=∠AOC+∠COD=x+70°.因为∠AOD=2∠BOD, 所以x十70°=2(3x一70)，解得x=42°.所以∠BOD=3x 70°=56°.所以∠B0N=180°-∠M0N-∠B0OD=54°. 3.解：(1)设∠AOC=2x,则∠COD=3x∠BOD=4x,所以 ∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD=9x.因为∠AOB=144°， 所以9x=144°，解得x=16°.所以∠AOC=2x=32°.因为OM 平分∠A0C,所以∠C0M=克∠A0C=16.(2)由(1)知 ∠AOC=2x,∠COD=3x,∠BOD=4x,∠AOB=9x.因为OM 平分∠A0C,ON平分∠BOD,所以∠C0M=2∠A0C=x, ∠DON=?∠BOD=2x.所以∠MON=∠COM+∠COD+ ∠DON=x+3x+2x=6x.因为OM⊥ON,所以∠MON= 90°.所以6x=90°，解得x=15°.所以∠COD=3x=45°. 难点探究：相交线中的计数问题 1.(1)1015n(n-1) 2 (2)66 2.(1)24(2)612(3)1224(4)n(n-1)2n(n-1) (5)990019800 3.247(1)①16②1+n(n+1) 2 (2)56 7.2平行线 7.2.1平行线的概念 1.C2.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 3.解：(1)如图，直线AB,CD即为所求.(2)AB∥CD.理由：如 果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相 平行. 一D D A —B E -F 4.C5.(1)CD,EF,GH(2)不是同一平面 6.解：(1)(2)(3)如图所示 D 7.2.2平行线的判定 第1课时平行线的判定 名师点金 相等相等互补 1.D2.同位角相等，两直线平行3.B 4.∠CAB∠CAB∠2内错角相等，两直线平行 5.∠A十∠D=180°（答案不唯一） 6.解：：∠ACB=90°，∠BCD=55°，.∠ACD=∠ACB+ ∠BCD=145°.：∠A=35°，∴.∠A+∠ACD=180°.∴.AB∥CD. 7.D8.C 9.解：c∥d.理由如下：∠2+∠5=∠3+∠6=180°，∠2= ∠3，∴∠5=∠6.∠1=∠4，.∠1+∠5=∠4+∠6..c∥d. 10.解：(1)∠PAD=32°，∠PAD=∠BAE,.∠PAB=180 -∠PAD-∠BAE=116.(2)BC∥PA.理由如下：∠PAD =∠BAE,.∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE=180° 2∠BAE.同理可得∠ABC=180°-2∠ABE.,∠BAE+ ∠ABE=90°，∠PAB+∠ABC=180°-2∠BAE+180° 2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=180°..BC∥PA. 11.2或14基础专练：相交线中的角度的计算 一、运用对顶角、领补角的性质计算 1.(武汉蔡甸区期中)如图，直线AB,CD相交于点O,∠BOE=150°，OA平分∠EOC,求∠BOD 的度数. 2.如图，直线AB,CD相交于点O,∠2-∠1=15°，∠3=130°，求∠COE的度数. 二、运用垂线的性质计算 3.(武汉经开区期中)如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠AOD,且 ∠BOD=24°. (1)试说明：∠COF=∠BOF; (2)求∠EOF的度数. 4.如图，直线EF,CD相交于点O,OC平分∠AOF,∠AOE=2∠BOD. (1)若∠AOE=40°，求∠DOE的度数； (2)猜想OA与OB之间的位置关系，并说明理由. 第七章相交线与平行线7 核心技巧：利用方程思想求相交线中的角度问题 1.(武汉新洲区期中)如图，O为直线AB上一点，OE⊥OF,OD平分∠AOE.若∠BOC= 2∠COE,∠AOF的度数比∠COE的度数的4倍小8°，求∠DOE的度数. 2.(武汉武昌区期中)如图，直线DM,CN相交于点O,OA是∠COM内的一条射线，OB是 ∠DON内的一条射线，∠MON=70°. (1)若∠B0D=2∠C0D,求∠BON的度数； (2)若∠AOD=2∠BOD,∠BOC=3∠AOC,求∠BON的度数. 3.(武汉洪山区期末)如图，射线OC,OD在∠AOB内部，且∠AOC：∠COD：∠BOD=2:3: 4,射线OM平分∠AOC,射线ON平分∠BOD. (1)若∠AOB=144°，求∠COM的度数； (2)若OM⊥ON,求∠COD的度数. 8数学七年级下册(RJ) 难点探究：相交线中的计数问题 一、直线交点计数 1.我们知道，两条直线相交，最多有1个交点（如图①）；三条直线两两相交，最多有3个交点（如 图②)；四条直线两两相交，最多有6个交点（如图③）；五条直线两两相交，最多有多少个交点 (如图④)？六条直线呢？n条直线呢？ (1)完成表格； 直线条数 2 3 4 5 6 交点个数 1 3 6 (2)类比探究：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两个班之间比赛一场.若该校七年级共 有12个班，则第一轮共要进行 场比赛。 图① 图② 图③ 图④ 图② ☒③ (第1题图) (第2题图) 二、相交角计数 2.观察以下图形，寻找对顶角及邻补角. (1)图①中共有 对对顶角， 对邻补角； (2)图②中共有 对对顶角， 对邻补角； (3)图③中共有 对对顶角， 对邻补角： (4)根据上面的规律填空：若n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角；（用含n的代数式表示） (5)若100条直线相交于一点，则可形成 对对顶角， 对邻补角， 三、分割平面计数 3.n条直线最多可以把平面分割成多少个部分？ 如图①，平面中画出1条直线时，最多可以把平面分割成 个部分； 如图②，平面中画出2条直线时，最多可以把平面分割成 个部分； 如图③，平面中画出3条直线时，最多可以把平面分割成 个部分. 图① 图② 图③ (1)①5条直线最多可以把平面分割成个部分； ②根据规律，n条直线最多可以把平面分割成 个部分.（用含n的代数式表示） (2)应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼 第七章相交线与平行线9