核心技巧：证两直线平行的常用技巧&基础专练：利用平行线求角度-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年七年级下册数学（人教版·新教材）武汉专版

第2课时平行线判定方法的综合运用 1.C2.B3.A4.∠A=∠ECF(答案不唯一) 5.(1)BED同位角相等，两直线平行(2)DFC内错角相 等，两直线平行(3)AFD同旁内角互补，两直线平行 (4)AFD同旁内角互补，两直线平行 6.解：AF⊥AC,CD⊥AC,∴∠A=∠C=90°.∴∠A+∠C= 180°...AF∥CD.AF∥BE,.BE∥CD 7.B8.C 9.解：(I)DF∥AC.理由如下：AF平分∠BAC,DE平分 ∠BDF,.∠BAC=2∠2，∠BDF=2∠1.∠1=∠2， ∴.∠BDF=∠BAC.∴.DF∥AC.(2)DE∥AF.理由如下： AF平分∠BAC,.∠2=∠BAF.∠1=∠2，.∠1= ∠BAF..DE∥AF. 10.解：，∠1+∠C=180°，且∠1=∠CMN,∴.∠CMN+∠C =180°.∴.AB∥CD.∠2=∠3=60°，HD平分∠GHF, ∠GNB=180°-∠2=120°，∠GHF=2∠3=120°.∴.∠GNB =∠GHF..AB∥EF.AB∥CD,.CD∥EF. 11.解：(1)30°理由如下：∠BAC=60°，.∠BAD=180°- ∠BAC=120°.：∠ADE=30°，∠EDF=90°，.∠CDF= ∠ADE+∠EDF=120°..∠BAD=∠CDF..AB∥DF (2)AB∥EF.理由如下：过点D向上作∠MDF=45° '.∠MDF=∠F..DM∥EF.·∠ADM=360°-∠ADE ∠EDF-∠MDF=60°，∠BAC=∠ADM.∴.AB∥DM. .AB∥EF. 7.2.3平行线的性质 第1课时平行线的性质 名师点金 相等相等互补 1.D2.65°3.B4.52°5.C6.1009 7.解：∠B=∠D.理由如下：：AB∥CD,∴.∠D+∠A=180° ,AD∥BC,∴.∠B+∠A=180°.∴∠B=∠D. 8.A9.D10.55 11.解：：DE∥BF,∴.∠E+∠EBF=180°.∠EBF=180°- ∠E=50°.：BF平分∠ABE,.∠ABF=∠EBF=50°.：AB ∥CD,∴.∠F=∠ABF=50°.DE∥BF,∴∠CDE=∠F=50. 12.解：(1)：AB∥CD∥EF,∴.∠BAC+∠ACD=180°， ∠DCE+∠CEF=180°.：CD平分∠ACE,∴.∠ACD= ∠DCE..∠BAC=∠CEF.:AO平分∠BAC,EO平分 ∠CEF,∴∠BAO=∠BAC,∠FE0=Z∠CER.∴∠BA0 =∠FEO.(2)'AC⊥CE,.∠ACE=90°.，.∠ACD+∠DCE =90°.由(1)知∠BAC+∠ACD=180°，∠DCE+∠CEF= 180°，.∠BAC+∠CEF=360°-（∠ACD+∠DCE)=270°. “∠BAO=∠BAC,∠FEO=∠CER,∴∠BAO+∠FEO =∠BAC+∠CEF=135.:AB/CD∥EF,∠BAO- ∠AOC,∠COE=∠FEO.∴.∠AOE=∠AOC+∠COE= ∠BAO+∠FEO=135°. 第2课时平行线的性质与判定的综合运用 1.D2.C3.D4.C5.C6.B 7.解：，AB∥CD,∠B=∠COE.,∠B=∠CDF,∠COE =∠CDF.OG,DH分别平分∠COE和∠CDF,∴.∠COG= 是∠COE,∠CDH=号∠CDR.∠cOG=∠CDH.:0G/ DH. 8.C9.B10.180 11.解：(1)，∠A=∠ADE,.AC∥DE..∠EDC十∠C= 180°.∠EDC=3∠C,∴.3∠C+∠C=180°..∠C=45. (2)由(1)知AC∥DE,∴.∠E=∠ABE.:∠C=∠E,∴∠C ∠ABE..BE∥CD. 12.解：延长EF,交CD于点P.AB∥CD,.∠AEF= ∠EPD.又，∠AEF=∠GHD,∴∠EPD=∠GHD.∴.EP∥ GH.∴.∠EFN+∠FNG=180°.MG∥FN,∴.∠G+∠FNG =180°..∠EFN=∠G. 核心技巧：证两直线平行的常用技巧 1.解：，BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,,.∠DBF= ∠ABC,∠ECB=∠ACB:∠ABC-∠ACB,∠DBF =∠ECB.:∠DBF=∠F,∴∠ECB=∠F..EC∥DF. 2.解：：∠BDC+∠DHF=180°，∴.BD∥FH.∠B= ∠EFC.∠DEF=∠B,.∠EFC=∠DEF.DE∥BC. 3.解：：OE∥AC,∴∠A=∠BOE.OE平分∠BOC, ∠BOE=∠COE.∴∠A=∠COE.:∠A=∠D,∴∠D= ∠COE.∴.OE∥BD.∴.AC∥BD. 4.解：EF∥AB.理由如下：：CD∥AB,∠ABC=∠DCB= 70°.∠CBF=20°，∴.∠ABF=∠ABC-∠CBF=50 :∠EFB=130°，∠ABF+∠EFB=180°..EF∥AB, 5.解：正确.理由如下：过点F向左作FP∥AB.∠MFP= ∠2=50°.∴.∠PFG=∠MFN-∠MFP=40°.∴∠PFG+∠1 =180°..FP∥CD.∴.AB∥CD. 基础专练：利用平行线求角度 1.D2.A3.B4.C5.70°6.1209 7.解：(1)AB∥CD,.∠B十∠C=180°.，∠B=∠ADC, ∴.∠C+∠ADC=180°..AD∥BC..∠DAE=∠BEA..'AE 平分∠BAD,∴.∠DAE=∠BAE.∴∠BAE=∠BEA.(2)设 ∠CDE=x°，则∠ADE=3∠CDE=3x°，·∠ADC=∠ADE- ∠CDE=2x°..AB∥CD,.∠BAD=180°-∠ADC=180° 2x.由(1)知∠DAE=∠BAE=∠BEA=合∠BAD=90 x°，AD∥BC,.∠BED+∠ADE=180°，即∠BEA+∠AED+ ∠ADE=180°..90-x+60+3x=180,解得x=15..∠CED =∠BEA+∠AED=90°-x°+60°=135°. 7.3定义、命题、定理 名师点金 (1)定义(2)题设结论真假(3)推理证实 (4)推理推理过程 1.C 2.解：(1)命题改写：如果两条直线相交，那么这两条直线一定 不平行.题设是两条直线相交，结论是这两条直线一定不平行， (2)命题改写：如果两条直线被第三条直线所截形成的内错角 相等，那么这两条直线平行.题设是两条直线被第三条直线所 截形成的内错角相等，结论是这两条直线平行. 3.D4.a=0 5.解：答案不唯一，如：②③①证明如下：AB∥DE, ∴∠B=∠COD.又：BC∥EF,∠E=∠COD.∴∠B=∠E. 6.D7.①②③ 8.解：(1)两直线平行，同旁内角互补∠DBE两直线平行， 同位角相等(2)答案不唯一，如：选取①③作为题设，②作为 结论.即“如果AB∥CD,∠DBE十∠C=180°，那么AC∥BD” 是一个真命题.证明：AB∥CD,∴.∠A+∠C=180. ∠DBE+∠C=180°，∠A=∠DBE.∴.AC∥BD. 9.解：(1)正确的命题有：①②③为题设，④为结论；①②④为题 设，③为结论；①③④为题设，②为结论；②③④为题设，①为结 论.(2)答案不唯一，如：选择①②③为题设，④为结论.证明如 下：DE∥BC,.∠AED=∠ABC.EF∥BD,∴∠AEF= ∠ABD.∴∠AED-∠AEF=∠ABC-∠ABD,即∠FED= ∠DBC.:BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC.∴∠AEF= ∠FED..EF平分∠AED. 基础专练：平行线中的推理填空问题 1.同旁内角互补，两直线平行∠3两直线平行，内错角相等 垂直的定义同位角相等，两直线平行∠3两直线平行，同 位角相等等量代换 2.邻补角的定义同角的补角相等内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等等量代换DE同位角相等，两直 线平行两直线平行，同位角相等 3.垂直的定义同位角相等，两直线平行两直线平行，同位 角相等CDM等量代换内错角相等，两直线平行内错 角相等，两直线平行如果两条直线都与第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行 核心技巧：平行线的基本模型（一）“M”型和 “铅笔头”型 1.B2.B3.117°4.30 5.解：(1)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 也互相平行(2)：CF∥BE,∠CBE=135°，∴.∠BCF=180 -∠CBE=45°.∠BCD=108°，.∠DCF=∠BCD-∠BCF =63°.，BE∥MN,∴.CF∥MN..∠CDM=∠DCF=63. .'AB∥CD,∴.∠ABC=180°-∠BCD=72°..∴.∠ABE= ∠CBE-∠ABC=63° 核心技巧：平行线的基本模型（二）“钩”型 1.D2.D3.240° 4.解：过点D向左作DI∥EF.由题意，得EF∥AB,GH∥AB: .GH∥EF∥DI.:'∠F=150°，∴.∠FDI=180°-∠F=30° :∠FDH=∠CDB=35°，∴.∠HDI=∠FDI+∠FDH=65. .∠H=180°-∠HDI=115° 5.证明：过点F向右作FM∥AD.AD∥BC,∴.FM∥BC .∠AFM=∠DAG,∠CFM=∠BCF.·AG平分∠BAD, '.∠DAG=∠BAG.,'.∠AFM=∠BAG.,.∠CFM=∠AFM -∠AFE=∠BAG-∠AFE=45°..∠BCF=45°.，∠BCD =90°，∴.∠DCE=∠BCD-∠BCF=45°.∴.∠BCF=∠DCE. ∴.CF平分∠BCD 核心技巧：平行线的基本模型（三）多拐点“锯齿”型 1.D2.A3.D【延伸问】(n-1)·180 4.(解法一)解：，AG∥CD,∴.∠AGE=∠CDE=60°.，AF∥ DE,∴∠BAF=∠AGE=60°. (解法二)解：：AF∥DE,∴.BM∥CN.∴.∠BAF=∠ABM, ∠DCN=∠CDE=60°，∠MBC=∠NCB.:'AB∥CD, ∴.∠ABC=∠BCD.'.∠ABC-∠MBC=∠BCD-∠NCB,即 ∠ABM=∠DCN=60°..∠BAF=60°. 核心技巧：平行线的基本模型（四）组合型 1.C2.A3.C4.D5.86核心技巧：证两直线平行的常用技巧 一、转化角的关系证平行 1.如图，∠ABC=∠ACB,BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∠DBF=∠F.试说明：EC∥DF. 2.(武汉汉阳区月考)如图，在三角形ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，CD与EF相 交于点H,且∠BDC+∠DHF=180°，∠DEF=∠B.试说明：DE∥BC 二、借助平行公理及推论证平行 3.如图，AB和CD相交于点O,∠A=∠D,OE∥AC,且OE平分∠BOC.试说明：AC∥BD. 4.如图，CD∥AB,∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关 系？为什么？ 5.小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板两边AB与CD是否平行时，将 直角尺（∠MFN=90)按如图所示放置，MF交AB于点E,NF交CD于点G,测得∠1=140°， ∠2=50°.小明马上用所学数学知识判定AB∥CD.小明的判定正确吗？请说明理由. M 2XE G 第七章相交线与平行线19 基础专练：利用平行线求角度 一、利用平行线的性质求角度 1.(武汉武昌区期中)如图，AB∥CD,∠A=72°，则∠1的度数是 A.72 B.80° C.82 D.108° a 14 -b B 2 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.(武汉青山区期末)如图，直线a,b被直线c所截，a∥b,∠2=∠3.若∠4=40°，则∠1的度数是 ( ) A.80° B.75° C.70° D.60° 3.如图，小明将一块直角三角尺摆放在直尺上，若∠1=55°，则∠2的度数为 A.25° B.35 C.45 D.55° 4.学科融合新趋势（扬州中考）如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射 光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是( ) A.60° B.70° C.809 D.90 d P D 2 (第4题图) (第5题图) (第6题图) 二、利用平行线的性质与判定求角度 5.(武汉江岸区期末)如图，∠1十∠2=180°，∠3=110°，则∠4的度数是 6.如图，AC⊥BC于点C,DM⊥BC于点M,EF⊥AB于点F,且∠1=∠2=30°，则∠ADM的度 数为 7.(武汉东西湖区月考)已知∠B=∠ADC,AB∥CD,E为射线BC上一点，AE平分∠BAD: (1)如图①，当点E在线段BC上时，试说明：∠BAE=∠BEA. (2)如图②，当点E在线段BC的延长线上时，连接DE.若∠ADE=3∠CDE,∠AED=60°，求 ∠CED的度数. 图① 图② 20数学七年级下册(RJ)