专题02 平行线中的拐点模型之铅笔头模型（几何模型讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题02.平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴由图①； 图②中过点E作，    ∵，∴，∴，， ∴，即， 同理可得图③，， ∴图4时，．故选C． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，则， ，，， ．故选：B．    例2（2025·江苏南通·校考一模）如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 【答案】C 【详解】解：过E作直线MN//AB，如下图所示， ∵MN//AB，∴∠A+∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵，∴ ∵MN//AB，AB//CD，∴MN//CD，∴∠C+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠C＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C． 例3（24-25下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 【答案】/80度 【详解】解：如图，过点F作， ∵，∴，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，∴．故答案为． 例4（24-25下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，和的平分线相交于F，，则的度数为 ． 【答案】/140度 【详解】解：连接，∵，， ，，， 又平分和，， ．故答案为：． 例5（24-25·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点E作，过点F作，    ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ∵，∴，， ∴，∴， ∴，故选：C． 例6（24-25·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 【答案】540 【详解】过点E作，过点F作，如图， ∵，，，∴，， ∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°， ∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN， ∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540． 例7（24-25下·河北石家庄·七年级校考期末）下列各图中的与平行．    图中的，图中的，图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 【答案】 【详解】解：图中的， 图中的， 图中的， 图中的， 图中的．故答案为：，． 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1），证明：，， ，，； （2）， 证明：，， ，，， ，； （3）如图1，； 如图2，； 如图3，； 如图4，； 四个角，，，之间的数量关系有4种，故答案为：4．    1．（24-25下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 【答案】B 【详解】解：如图，作CF//ED，  ∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°= α ， ∵ED//CF， ∴∠D+∠DCF=180°， ∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°， ∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180° 即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ， ∴ β＝2α ． 故选B． 2．（2025·河南·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点C作，∵，∴， ∴， ∵，即，∴， ∴，故选C． 3．（24-25下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线，则，， ，，， ，， ．故选：B．    4．（24-25上·广东八年级月考）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 【答案】C 【详解】过点C作，，，    ∴由得，， 即．故选：C． 5．（2025·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵，∴， ∴，．故选：D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角，则故选D 7．（24-25下·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）如图，已知，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，， ∴．故选：B． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，， ，，故选：B． 9．（24-25七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图，∴，    ∵，∴， ∵，∴，∵于点B，∴，∴， ∴．故答案为： 10．（24-25七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，∴，∵，∴， ∴，，， ∵，，∴， ∴，∴，故答案为：． 11．（24-25下·广东·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．    【答案】90 【详解】解：如图，过点P作，    ∵，∴，∴，， ∵，，∴，， ∴，故答案为：90． 12．（24-25上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    【答案】/ 【详解】解：过C作，过D作，∵，∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴．故答案为：．    13．（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【详解】（1）解：①证明：∵，∴，∴ ∵∴∴； ②如图所示，过点作，∴ ∵∴∴∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作，∴ ∴， ∴，故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)；，理由见解析(2)或． 【详解】（1）解：如图： 如图1：格线都互相平行，，， ，，，故答案为：； ，证明：如图2：过O点作平行于格线， 格线都互相平行,， ，; （2）或，理由： 当射线在的内部，如图： ，， 格线都互相平行，,，，； 当射线在的外部，如图：，， 格线都互相平行，, ， ．综上所述：或． 15.（24-25下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．    问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系． 分析：过点作，则有，因为，所以，所以， 从而可以得到之间的数量关系． 请你直接写出之间的数量关系______． 类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题： 已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点． ①若，求的度数． ②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______． 【答案】（1）；（2）；（3）①；② 【详解】解：过点作，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2），理由如下：过点作，∴， ∵，∴，∴，∴．    （3）过点作，过点作， ①∵，，∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴， ②∵，，∴，， ∴， ∴，∴， ∵，∴，∵平分，平分， ∴，， ∴，即．    17．（24-25下·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究 已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． (1)在图1中，，，之间的数量关系为___________，，之间的数量关系为___________ (2)如图2，若，，试猜想和之间的数量关系，并加以证明．(3)若， ，请直接写出和之间的数量关系； 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：如图所示，过作 ∵，∴，∴，， 又，∴； ∵为的平分线，为的平分线， ∴即， 故答案为：，． （2），证明如下，如图所示，过点作 ∵，∴，∴ ∴，由（1）可得 ∴ ∵，即∴，即 同（1）可得，∴ ∵，， ∴，∴； （3）解：由（2）可得， ∵，∴，即 同（1）可得，∴ ∵，， ∴，∴． 18．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作，，（ ① ） ．（ ② ） ，．． 问题迁移：（2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补（2），理由见解析（3）或，理由见解析 【详解】解：（1）如图2，过点作， ，，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，．（两直线平行，同旁内角互补） ，，，．． （2），理由：过点作交于点， ，，，， ； （3）或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ，，，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ，，，， ，综上，或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.平行线中的拐点模型之铅笔头模型 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（铅笔头模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.铅笔头模型 3 9 铅笔头模型名称源于生活观察，铅笔头模型因图形类似铅笔的笔头形状而得名，是平行线拐点模型中的基础形态之一。铅笔头模型因其独特的形状和解题方法，被学生形象地称为“角度迷宫”的破解工具。有学生用“绕一圈回到原点要转360°的生活化比喻来记忆其结论，使抽象几何问题变得生动有趣。‌‌ （24-25七年级下·山西晋中·期中）学习了平行线的性质之后，课间同学们进行了进一步的探究活动，如图，已知，若按图中规律，请你探究两平行线间出现n个折角，则（   ） A． B． C． D． 图1 图2 图3 模型1）：如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°； ②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 模型2）：如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 模型3）：如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 模型1.铅笔头模型 例1（24-25七年级下·北京顺义·期末）如图，，若，，则的大小为（   ）    A． B． C． D． 例2（2025·江苏南通·校考一模）如图，已知，，，则的度数是（    ） A．80° B．120° C．100° D．140° 例3（24-25下·陕西西安·七年级校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是 ． 例4（24-25下·陕西西安·七年级校考期中）如图，已知，和的平分线相交于F，，则的度数为 ． 例5（24-25·安徽合肥·七年级校考期中）如图，，平分，平分，则与的数量关系为（        ）    A． B． C． D． 例6（24-25·新疆·七年级校考阶段练习）如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °． 例7（24-25下·河北石家庄·七年级校考期末）下列各图中的与平行．    图中的，图中的，图中的， 图中的 ， 据此推测，图中的 例8（24-25七年级下·北京东城·校考期末）如图，已知．    (1)如图1，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (2)如图2，是直线上的点，写出、和的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，点，分别是直线，上的动点，四个角，，，之间的数量关系有 种．（不要证明） 1．（24-25下·江苏·七年级专题练习）如图，AB//ED，α＝∠A+∠E， β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（   ） A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α 2．（2025·河南·校联考一模）如图，图1是某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”，可抽象为图2所示的数学图形．已知垂直地面上的直线于点，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即始终平行于）．在该运动过程中，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25下·广东汕头·七年级统考期末）如图，已知直线，，，则 等于（   ）    A． B． C． D． 4．（24-25上·广东八年级月考）如图所示，已知，那么（    ）    A．180° B．270° C．360° D．540° 5．（2025·辽宁·模拟预测）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为n，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 7．（24-25下·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）如图，已知，则（   ）    A． B． C． D． 8．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·北京石景山·期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    10．（24-25七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为 ． 11．（24-25下·广东·七年级校考期中）如图，，已知，．则 度．    12．（24-25上·四川绵阳·八年级统考开学考试）如图，已知，若，，则α与β之间的数量关系为 ．    13．（24-25七年级下·河北邢台·期中）（1）问题情景：如图1，已知，． ①问题初探：请对说明理由； ②拓展探究：请对说明理由． （2）迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______． 14．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图所示的格线彼此平行．小航在格线中作已知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系．他先作出，记与图中一条格线形成的锐角为，与图中另一条格线形成的锐角为． (1)如图1，点O在一条格线上，当时，_________；如图2，点O在两条格线之间，用等式表示与之间的数量关系，并说明理由； (2)在图3中，小航作射线，使得．记与图中的格线形成的锐角为，与图中格线形成的锐角为，请直接用等式表示与之间的数量关系． 15.（24-25下·河南平顶山·七年级统考期中）我们知道，两条平行线被第三条直线所截，可以得到一些相等的角或者互补的角，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到将直线的位置关系转化为角的数量关系的作用．    问题初探：（1）如图1，，用等式表示之间的数量关系． 分析：过点作，则有，因为，所以，所以， 从而可以得到之间的数量关系． 请你直接写出之间的数量关系______． 类比再探：（2）如图2，，用等式表示之间的数量关系，并说明理由． 拓展应用：（3）利用上面（1）、（2）得出的结论完成下题： 已知，如图3，，与两个角的角平分线相交于点． ①若，求的度数． ②若的度数用表示，的度数用表示，则与的之间的关系式为______． 17．（24-25下·山西长治·七年级校考阶段练习）综合与探究 已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． (1)在图1中，，，之间的数量关系为___________，，之间的数量关系为___________ (2)如图2，若，，试猜想和之间的数量关系，并加以证明．(3)若， ，请直接写出和之间的数量关系； 18．（24-25七年级下·河北邯郸·阶段练习）问题情境：如图1，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作，，（ ① ） ．（ ② ） ，．． 问题迁移：（2）如图3，，当点在线段上运动时，，求与之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、三点不重合），请直接写出与之间的数量关系． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $