专题06 三角形中的倒角模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题06 三角形中的倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、三角板模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连结BD，延长AD到E，，， ， 故选项A正确，符合题意；B不正确，不符合题意； 多边形的外角和是，∴∴ 故选项C不正确，不符合题意；选项D不正确，不符合题意．故选：A． 2．（24-25·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 3.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，． A．50° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∠ADB=20°，∴∠ABD=70°． ∵AB′∥BD，∴∠BAB′=110°．∵△AB′F由△ABF翻折而成，∴∠BAF=∠BAB′=55°．故选B． 4．（24-25广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ∵，∴，故选：A． 5．（24-25广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴40°-90°=50° 故选C． 6.（2025·陕西·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A 【详解】解：∵，∴． ∵是的外角，∴．故选：A． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∵，∴．故选：D 8．（24-25·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，，，，，， ，，，．    9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，得, ∵，∴，∴，故选B． 10.（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为，∴，，， 在中，，在中，， ∴，即，故选：B． 11.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，设与交于点，    由折叠的性质可得：，由三角形外角的性质可得： ，，故选：B． 12.（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 【答案】250 【详解】解：∵，，，， ，，， ．故答案为：250． 13．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则________． 【答案】 【详解】解：沿翻折到的位置，， 将沿翻折到的位置，，， ，，，故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则______，_____． 【答案】 /152度 /124度 【详解】解：如图1所示，∵，， ∴，，由折叠的性质可得， ∴，由折叠的性质可得．故答案为：；． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 【答案】或 【详解】解：当点在上时， 由折叠得， ，那么此时，记与交于点G，∴， ∵，∴； 当点在上时，由折叠知， 当点在上时，则，∴，∴， 综上：当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为或，故答案为：或． 16.（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解∶连接，则，， ∴， ∴，即， ∴，故答案为：； （2）解：连接，则，， ∴， ∴，即， ∴∴； 17．（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____；②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)①；②，理由见解析 【详解】（1）解：由折叠的性质可得由题意知，， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：①由折叠的性质可得，∴， ∵，∴； ②．理由如下：由折叠的性质可得，， ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 18.（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，为直角三角形，，∴， ∵，，∴，∴； （2）如图，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，，理由见下：由题意得，， ∴，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴，∴，即． 19．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵， 又∵，∴；故答案为： （2）交点有点、、，以为交点有1个，为与， 以为交点有4个，为与，与，与，与， 以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为： （3）由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点，∴，， 得：，∴， 又∵，，∴，∴； （4）关系：，由（1）可知：，， ∴，， ∵、分别是和的角平分线，∴， ∴，即， ∴，整理得，． 20．（24-25江苏·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．   　　　　     　　　　　   【答案】(1)见解析(2)①；②；③ 【详解】（1）解：∵分别平分，∴，∴， 由题干的结论得：，∠， ∴，∴， ∴，即； （2）解：①如图所示，分作的角平分线交于H，由（1）的结论可知， ∵分别平分，∴， ∵∴， ∴，同理可得，由题干的结论可得，∴；       ②如图所示，分作的角平分线交于H， 由（1）的结论可知，，同理可得，， ∴； ③由题干的结论可得， ∵平分，平分的外角，∴， ∵，∴， 由题干的结论可知，∴， ∴ ． 21.（24-25吉林·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)105(2)(3)或 【详解】（1）解：，，， ，， ，故答案为：； （2）解：如图1，延长，交于G，平分，，    由题意得：，， ，； （3）解：如图2，，，， 当点A运动到时，，综上所述：或． 22.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．    “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 【答案】(1)三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） (2)见解析 【详解】（1）故答案为：三角形的内角和定理（或三角形的内角和是180度） （2）证明：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，∴，， ∴，即． 23.（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，，∵ ∴∴； （2）①如图，连接，由（1）可知，， ∵，，∴， ∴，∴； ②如图，在直线上取一点，连接，由①可知， ∵∴∵∴∴∴． 24．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 【答案】（1）见解析（2）见解析 【详解】（1）延长BC适当长度到点M，过点C作CNAB，则∠1=∠A，∠2=∠B， ∵∠1+∠2+∠ACB=180°，∴∠A+∠B+∠ACB=180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°； （2）连接BC，∵∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABC+∠ACB，∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠ACB=∠ACD+∠DCB， ∴∠D+∠DBC+∠DCB=∠A+∠ABD+∠DBC+∠ACD+∠DCB， ∴∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，即∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 25.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令． 初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°； (2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________； (4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：，， 在多边形ABFPE中，， ∴， ∴，故； （2）由（1）得，∴； （3）在多边形ABFPE中，，，， ∴，∴，∴； （4）如下图所示，过点P作MN∥BC，交AB于点M，交DC于点N， 由（2）得． 25．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 【答案】(1)，证明见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，证明如下：由折叠的性质可得：，， ∴，，∵，∴， ∴，即； （2）解：由折叠的性质可得：，，∴，， ∵，∴， ∴，即 （3）解：由折叠的性质可得：，，∴，， ∵，∴， ∴，即． 26．（24-25七年级下·广东湛江·月考）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是_____． 【联系拓广】（2）①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如题图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【详解】解：（1）．理由如下：由折叠可得，， ∴，∴，∴；故答案为： （2）①．理由如下：如图，连接． 由正方形可知，，∴． ∵，∴，∴，即． ②如图，过点作，∴． ∵纸片是正方形，∴．∵，∴，∴， ∴，∴． （3）证明：∵，∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，，∴，∴． 27．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 【答案】（1），（2）①②（3）80 【详解】解：（1）如图1， ∵四边形是长方形，∴，∴，由折叠的性质可知，． ∵，∴， ∵，∴，∴． （2）①如图1，∵，∴，由折叠的性质可知，， ∵，∴， ②设，如图2，有；∵，∴， ∵，∴，∴， 如图3，有，∴， 如图4，有，∴， 由题意，，即，解得∴． (3)如图6，有， 如图7，有∴， 同理可得，按此规律，， 如图8，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，即，解得． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、三角板模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25四川绵阳·八年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ） A． B． C． D． 2．（24-25·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 3.（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，长方形ABCD中，∠ADB＝20°，现将这一长方形纸片沿AF折叠，当折痕AF与AB的夹角∠BAF＝________时，． A．50° B．55° C．65° D．70° 4．（24-25广西北海·八年级统考期中）按如图中所给的条件，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 6.（2025·陕西·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点C在的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且，，若，则的度数是（　　）    A．15° B．20° C．25° D．30° 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（    ）    A． B． C． D． 9.（24-25七年级下·广东深圳·期中）有一张直角三角形纸片，记作，其中，按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，则、满足的等量关系为（ ） A． B． C． D． 10.（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 11.（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，在中，，将沿直线l翻折，点B落在点的位置，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12.（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 13．（24-25七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，先将沿翻折到的位置，然后再将沿翻折到的位置，若，则________． 14．（24-25七年级下·河南周口·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则______，_____． 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，．第一步，将纸片折叠，使点A与点B重合，折痕与边的交点为点D；第二步，在边上找一点E，将纸片沿折叠，点A落在处；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，的度数为___________°． 16.（24-25七年级下·江苏常州·期末）画，在的两边上分别取点、，是平面内一点（点不在直线、、上），连接、．分别记、、为、、（本题中涉及的所有角均不超过）(1)若点在图1所示位置，则______（用含、、的代数式表示）； (2)若点在图2所示位置，则与、、之间有怎样的数量关系？请证明你的结论； 17．（24-25七年级下·山东聊城·期中）数学兴趣小组在对一张长方形纸张进行折叠的时候发现了很多有趣的数学问题，他们决定对折叠中产生的系列问题进行研究探索． (1)如图1，将一张长方形纸张按如图所示的方式折叠，，为折痕，折叠后，在同一直线上，已知，求的度数； (2)如图2，长方形纸条中，，．第一步，将长方形纸条折叠，使折痕经过点，得到折痕，再将纸片展平；第二步，如图3，将折痕折到处，点落在处． ①如图3，若，则_____；②如图3，判断和有怎样的位置关系，并说明理由． 18.（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 19．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 20．（24-25江苏·七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形．这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性．在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题．我们将图1①所示的图形称为“8字形”．在这个“8字形”中，存在结论． 我们将图1②所示的凹四边形称为“飞镖形”．在这个“飞镖形”中，存在结论．    (1)直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题： 如图2，、分别平分、，说明：． (2)将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题： ①如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，求的度数．②在图4中，平分的外角，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．③在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系（直接写出结果，无需说明理由）．     　　　　　   21.（24-25吉林·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 22.（24-25·湖北·七年级校考期中）阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，． “智慧小组”通过互学证明了这个结论： 方法一：如图2，连接，则在中，，即， 又：在中，，∴，即． “创新小组”想出了另外一种方法 方法二：如图3，连接并延长至F， ∵和分别是和的一个外角，………… 任务：(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______； (2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分． 23.（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】②如图3，已知，求的度数． 24．（24-25湖北鄂州·七年级统考期中）（1）如图1，三角形ABC中，试用平行线的知识证明∠A＋∠B＋∠C＝180°；（2）如图2，将线段BC折断成BDC的形状，证明∠D＝∠A＋∠B＋∠C ． 【注意哟：可以直接用（1）中的结论进行证明，也可以用平行线的性质证明】 25.（24-25七年级下·吉林长春·期中）在四边形ABCD中，，点E、F分别是边AD，BC上的点，点P是一动点，令． 初探：(1)如图①，若点P在线段CD上，且，则________°； (2)如图②，若点P在线段CD上运动，试探究与之间的关系，并说明理由； 再探：(3)如图③，若点P在线段DC的延长线上运动，则之间的关系为________； (4)若点P运动到四边形ABCD的内部，直接写出此时之间的关系为_________． 25．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示， 把沿折叠， (1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是 ． (3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是 ． 26．（24-25七年级下·广东湛江·月考）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是_____． 【联系拓广】（2）①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如题图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 27．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）【教材再现】（1）教材第201页有这样一道试题：如图1，将长方形纸片沿着折叠后，点D，C分别落在点，的位置，的延长线交于点G，，求，的大小； 【反思探究】（2）小明在解决完课本上的这道习题后，进行了如下总结：解决折纸问题的关键是要抓住长方形纸片中的平行关系以及折叠所带来的等角关系．于是，他又进行了以下探究活动． ①在（1）的条件下，求图1中的度数； ②将长方形纸带沿着折叠成图2，交边于点G；再将图2中的纸片沿着折叠成图3；再将图3中的纸片沿着折叠成图4；再将图4中的纸片沿着折叠，恰好与重叠．则图2中，的度数是多少？ 【拓展应用】（3）如图5，一张足够长的长方形纸条，点E，F分别在，上，是一个度数为的锐角．如图6，将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；如图7，再将纸条折叠，使得与重合，打开铺平，得到折痕；…如此反复操作．若第5次操作时，所得的，请直接写出x的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $