专题04 翻折模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题04 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称）问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.图形的翻折模型 3 10 图形翻折模型并非凭空产生，它源于‌古代折纸工艺与几何实践的深度融合‌，是数学理论对现实操作抽象升华的结晶。这一模型的演变主要经历了从“技艺”到“数学”的跨越。20 世纪后，数学家将折纸动作抽象为严谨的数学模型，聚焦于“翻折前后图形全等”、“对应点连线被对称轴垂直平分”等核心性质，使其成为解决中考及高考几何难题的强力工具。图形翻折的核心：轴对称变换；当你将一个图形沿某条直线（折痕）翻折时，实质上是进行了一次镜像反转。 全等性‌：翻折前后的两个图形完全重合，即全等。这意味着对应的边长相等、对应的角度相等。 对称性‌：任意一对对应点的连线，都会被折痕（对称轴）垂直平分。这是解题时寻找等量关系的关键线索。 （24-25七年级下·陕西西安·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则___________ ． 【答案】 【详解】解：根据题意，，， ∴，， 由折叠的性质可得，∴， 由折叠的性质可得．故答案为：． 模型1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 证明：由翻折的性质可知，∠1=∠2， ，∠2= ∠3，∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 模型2）如图，将长方形沿翻折，使点A落在处，点B落在处．再将得到的图形沿翻折，使点落在处，点落在处．若，=，则。 证明：四边形是长方形，，， 将长方形沿翻折，， ∴，由翻折的性质得， ，即. 模型1.图形的翻折模型 例1（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【详解】解：，，， 由折叠的性质可知，，故答案为：． 例2（24-25七年级下·安徽·期末）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 ． 【答案】90° 【详解】解：∵AB∥CD，∴∠2=∠AEF， 又∵∠AEF=∠FEA′，∠1=2∠2，∠AEF+∠FEA′+∠1=180°，∴∠AEF+∠FEA′+2∠2=180°， ∴4∠2=180°，∴∠2=45°，∴∠DFE=135°，由折叠的性质可得∠DFE=∠D´FE=135°， ∴∠CFD'=∠D´FE-∠2=90°．故答案为：90°． 例3（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，若AEBD，∠ADB=28°，则∠EAD= °，∠AFC= ° 【答案】 28 149 【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°， ∵AEBD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝90°+28°＝118°， ∵长方形ABCD沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧， ∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠DAF＝∠BAF∠EAD＝59°28°＝31°， ∵ADBC，∴∠DAF+∠AFC＝180°，∴∠AFC＝180°31°＝149°．故答案为：28；149 例4（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设, 由翻折的性质可得,, ,∴, ∵,， 在中,, 在中，， ，∴,∴,故选: A． 例5（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则=_______． 【答案】114 【详解】解：∵，∴， 四边形是长方形，，， ，设，， 由沿折叠可知：，， 由沿折叠可知：， ，，即，解得：，故答案为：． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为______．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 【答案】 /90度 /12度 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵，∴， 即，∴；根据折叠得， ∴，∴，∴， ∴．故答案为：． 例7（25-26七年级上·山东·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，，∵，∴， 由折叠性质得：，， ∵P为长方形纸片的边上一点，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 例8（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 【答案】/度 【详解】解：∵，∴，， ，， 由折叠的性质得，，， ，， ，．故答案为：． 例9（24-25七年级下·北京·阶段练习）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为． 解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠： 平分_________，∥，求∠的度数． （2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由． （3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推． ①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）； ②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）． 【答案】（1）∠ABM，∠＝135°；（2）能，60°；（3）180°－，180°－ 【详解】（1）由折叠得， ，∴平分∠ABM， ∵∠ABM＝90°，∴，∵ ，∴， ∴；故答案为：∠ABM； （2）α=60°；由折叠可得，，，， ∴，∴，∴； （3）①如图，由折叠得，，∴， ，∴，∴； 同理可得，，∴，故答案为：； ②由①可得， 由此可以得出：，故答案为：． 例10（25-26七年级上·云南·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． (3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【详解】（1）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，， ∴，∴； （2）解：∵将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处，将另一角沿折叠，点落在射线上的处，∴，， ∵，∴； （3）解：，理由如下：设， ∵，∴， ∵将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部，∴， ∵，∴，即． 1．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，点E,F分别是长方形的边上两点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点翻折到点．设， ，则与满足的数量关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图所示：∵折叠∴ ∵四边形是长方形，∴，∴，， ∴，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，把一块含角的三角板沿一条直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置，下列说法正确的是（   ） A．将绕着点顺时针旋转得到 B．将绕着点逆时针旋转得到 C．将绕着点顺时针旋转得到 D．将绕着点逆时针旋转得到 【答案】B 【详解】解：根据题意，得是等边三角形，， 故将绕着点逆时针旋转得到，故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴设，则，∴， ∵四边形形沿折叠形成四边形， ∴，∴， ∵四边形沿折叠得到四边形，∴， ∵，∴，解得，即的度数为．故选：B． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据上下边互相平行可知，， 又，根据折叠的性质可知，折叠两次后形成的三个角都相等， 根据题意可知，折叠两次后形成的三个角与折叠后的都相等，而这四个角的和为，故每个角为， ，根据上下边互相平行可知，， 即，故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江金华·月考）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）． （1）若，则______； （2）若，则当时， ______． 【答案】 【详解】解：（1）由折叠的性质可得：， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 再由折叠的性质可得，故答案为：； （2）由折叠的性质可得：， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， 再由折叠的性质可得，∵，∴，∴， ∵，，∴， ∵，，∴，故答案为：． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则___________度． 【答案】 【详解】解：四边形是长方形，，， 设，，， ，由沿折叠可知：， ，由沿折叠可知：， ，，即，解得， ，，故答案为：． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 【答案】 【详解】解：沿翻折到的位置，． 将沿翻折到的位置，， ．，．故答案为：． 8．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在纸片中，，将沿翻折到的位置，与交于点，，再将沿翻折到的位置，且点落在的延长线上，则的度数为________． 【答案】/46度 【详解】解：∵，， ，，， 由折叠性质得，， ．故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图，中，，把沿线段翻折，点A的对应点C落在边上，然后再沿线段翻折，点B恰好与点D重合，则可以由绕点O逆时针旋转得到，那么n的值至少为___________． 【答案】120 【详解】解：根据翻折可知：，，∴， ∵，∴， ∴，∴可以由绕点逆时针至少旋转得到， 即．故答案为：120． 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）（1）如图1是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则_______ （2）如图2所示的是一个长方形纸片沿其上一条线折叠后的图形，已知，则________ （3）如图3将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则________ 【答案】 /70度 /30度 /40度 【详解】解：（1）由折叠的性质可知：， ∵，∴，∴；故答案为； （2）由折叠的性质可知：，∴， ∴；故答案为； （3）由折叠的性质可知：， ∵，∴， ∴，∴；故答案为． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为，（1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 【答案】【初步感知】；垂直；【深入探究】（1）；（2）； 【拓展延伸】 【详解】解：【初步感知】∵将沿着直线翻折，使点与点重合，其中 ∴是等腰的对称轴，是等腰的“三线合一”∴，且 【深入探究】（1）∵，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为，∴是等腰的对称轴， ∵∴ ∵∴ （2）∵，，设，∴ 又∵ ∴ ∴∴ 则 【拓展延伸】（1）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，，∴ ∵将沿直线翻折得到∴ （2）如图；当的的边与垂直时， ∵等腰，，∴ ∵将沿直线翻折得到∴ ∴ 如图；当的的边与射线垂直时，过点作，∴ ∵∴∴ ∵等腰，，∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即∴ （4）如图；当的的边与垂直时，过点作，∴与重合时， ∵∴∴ ∵等腰，，∴ ∴ ∵将沿直线翻折得到 ∴，即 ∴ 综上所述：的度数为： 12．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3)、或 【详解】（1）解；∵在中，，，∴， 由折叠的性质可得，∴，故答案为：10； （2）证明：∵在中，，，∴， 由翻折的性质可得，∵，即， ∴，∴，∴； （3）解：由折叠的性质可得， 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴由轴对称图形的性质可得， ∵，， ∴，∴； 如图所示，当时，是轴对称图形， ∴，∴， 同理可得， ∴，即此种情况不存在； 如图所示，时，是轴对称图形，∴， 同理可得，∴； 如图所示，当时，是轴对称图形，∴， ∴，∴； 综上所述，的度数为、或． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． 【答案】(1)(2)见解析(3)(4)或或 【详解】（1）解：，，． 沿翻折后得到，．． （2）解：沿翻折后得到，． ，．，． ．．． （3）解：设，，平分， ，． 点是边上一点，将沿翻折后得到，． ，． ，． ．即． （4）解：当点E在右上方，如图 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，．是轴对称图形，， 则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形，则有或或三种情况∶ 当，则．． ，．． 当，则．，． 则A、D、Q、E四点重合，不符合题意(舍去)． 当，则． ，．． 当点E在 右下方，如图所示 ，，点是边上一点，将沿翻折后得到， ，．． 是轴对称图形，，则不可能为等边三角形，只能为等腰三角形． ，．． ，． ． 综上所述∶ 的度数可能为或或． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，∴，根据折叠可得，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． （2）解：∵，∴， 根据折叠可得，∴． （3）解：∵，，根据折叠可得， 根据折叠可得，， ∵，， ∴，∴，． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边上取一点，再在边上任取一点，从点处将纸条左侧折叠，使折叠后的对应线段经过点，此时的折痕记为（点在上），如图1所示；再从点处将纸条右侧折叠，使折叠后的对应线段也经过点，此时的折痕记为（点在上），如图2所示． (1)在图1中，若，求的大小（用表示）； (2)小明发现，在图2中，有，，进而推理： 线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①_________此处填推理的依据） ，，．（②_________此处填推理的依据） (3)小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边和不平行，但折叠后，在图3中仍有．请你帮小亮证明这个结论． 【答案】(1)(2)①两点确定一条直线；②平行于同一条直线的两条直线互相平行(3)见解析 【详解】（1）解：因为，所以， 由折叠的性质可知，所以； （2）解：线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①两点确定一条直线） ，，．（②平行于同一条直线的两条直线互相平行） 故答案为：①两点确定一条直线②平行于同一条直线的两条直线互相平行； （3）解：由和得．连接，如图， 则在中，．所以． 由题意，，，所以． 所以．所以． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图①，若将折叠，使得边落在边上，则．    根据以上材料，回答下列问题：折叠长方形纸片，为边上一点，，均是折痕，折叠后，点落在点，点B落在点 ．    (1)如图②，当点 在 上时，则 ______； (2)如图③，当点 在 的内部时，若，，求 的度数； (3)当折痕端点、端点分别在长方形纸片边、上时，请你探究 与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)；；． 【详解】（1）解：设，， ∵折叠，∴，， ∴， ∴，∴，∴，故答案为：； （2）解：∵折叠，且，， ∴，，， ∴，∴； （3）解：①当点 在 上时，如图所示：    由（1）可得：此时，，∴； ②当点 在 的内部时，如图所示：设，， ∴，即， ∴， ∴， 把代入可得：， ∴； ③当点 在 的外部时，如图所示：设，， ∴，即， ∴， ∴， 把代入可得：， ∴； 综上所述：；；． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 翻折模型 几何变换中的翻折（折叠、对称）问题是的考查热点问题，试题立意新颖，变幻巧妙，主要考查学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力。翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，以这个性质为基础，结合相关角度来考查。（本学期受计算工具限制，本专题暂时主要对翻折中的角度问题作探究）本专题以常见图形为背景进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型趣事 1 真题现模型 2 提炼模型 2 模型运用 3 模型1.图形的翻折模型 3 10 图形翻折模型并非凭空产生，它源于‌古代折纸工艺与几何实践的深度融合‌，是数学理论对现实操作抽象升华的结晶。这一模型的演变主要经历了从“技艺”到“数学”的跨越。20 世纪后，数学家将折纸动作抽象为严谨的数学模型，聚焦于“翻折前后图形全等”、“对应点连线被对称轴垂直平分”等核心性质，使其成为解决中考及高考几何难题的强力工具。图形翻折的核心：轴对称变换；当你将一个图形沿某条直线（折痕）翻折时，实质上是进行了一次镜像反转。 全等性‌：翻折前后的两个图形完全重合，即全等。这意味着对应的边长相等、对应的角度相等。 对称性‌：任意一对对应点的连线，都会被折痕（对称轴）垂直平分。这是解题时寻找等量关系的关键线索。 （24-25七年级下·陕西西安·期末）将一个长方形纸条折叠两次，第一次将长方形纸条向上翻折，记点，的对应点分别为，，折痕为，且交于点（如图1）；第二次将四边形沿向下翻折，记，的对应点分别为，（如图2）．若，则___________ ． 模型1）如图，将长方形纸片沿EF翻折，则∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 证明：由翻折的性质可知，∠1=∠2， ，∠2= ∠3，∠1=∠2= ∠3，三角形EFG是等腰三角形。 模型2）如图，将长方形沿翻折，使点A落在处，点B落在处．再将得到的图形沿翻折，使点落在处，点落在处．若，=，则。 证明：四边形是长方形，，， 将长方形沿翻折，， ∴，由翻折的性质得， ，即. 模型1.图形的翻折模型 例1（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ． 例2（24-25七年级下·安徽·期末）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD．将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应，若∠1＝2∠2，则∠CFD'的度数为 ． 例3（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，点F是长方形ABCD的边BC上一点，将长方形的一角沿AF折叠，点B的折叠点E落在长方形ABCD外侧，若AEBD，∠ADB=28°，则∠EAD= °，∠AFC= ° 例4（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，将沿翻折交于点，又将沿翻折，点落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（   ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则=_______． 例6（24-25七年级上·浙江杭州·期末）一张矩形纸片，若如图（1）翻折，点的对应点恰好落在上，折痕分别为，，则的度数为______．若如图（2）翻折，点的对应点落在的内部（不含角的两边），已知，，则的度数为______． 例7（25-26七年级上·山东·期末）点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践． P为长方形纸片的边上一点，点E，M分别为上的动点，如图，先把纸片沿对折，点A翻折至点F：再把纸片沿对折，点B翻折至点H．当点E，M运动时，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 例8（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片（），他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则______． 例9（24-25七年级下·北京·阶段练习）喜欢思考的小泽同学，设计了一种折叠纸条的游戏．如图1，纸条的一组对边PN∥QM（纸条的长度视为可延伸），在PN，QM上分别找一点A，B，使得∠ABM＝．如图2，将纸条作第一次折叠，使与BA在同一条直线上，折痕记为． 解决下面的问题：（1）聪明的小白想计算当α＝90°时，∠的度数，于是他将图2转化为下面的几何问题，请帮他补全问题并求解：如图3，PN∥QM，A，B分别在上，且∠ABM＝90°，由折叠：平分_________，∥，求∠的度数． （2）聪颖的小桐提出了一个问题：按图2折叠后，不展开纸条，再沿AR1折叠纸条（如图4），是否有可能使⊥BR1？如果能，请直接写出此时的度数；如果不能，请说明理由． （3）笑笑看完此题后提出了一个问题：当0°<≤90°时，将图2记为第一次折叠；将纸条展开，作第二次折叠，使与BR1在同一条直线上，折痕记为BR2（如图5）；将纸条展开，作第三次折叠，使与BR2在同一条直线上，折痕记为BR3；…以此类推． ①第二次折叠时，∠＝_____________（用的式子表示）； ②第n次折叠时，∠＝____________（用和n的式子表示）． 例10（25-26七年级上·云南·期末）如图1，将一张长方形纸片沿折叠，使角的顶点落在处． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，将另一角沿折叠，点落在射线上的处．求的度数． (3)如图3，将对折，点落在射线上的处，得到折痕．再沿折叠，使点落在处，点在的内部．若，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 1．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，点E,F分别是长方形的边上两点，连结，此时．将四边形沿翻折得到四边形，交于点G．继续将四边形沿翻折，点翻折到点．设， ，则与满足的数量关系是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，把一块含角的三角板沿一条直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置，下列说法正确的是（   ） A．将绕着点顺时针旋转得到 B．将绕着点逆时针旋转得到 C．将绕着点顺时针旋转得到 D．将绕着点逆时针旋转得到 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点M，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图1，将一条两边互相平行的纸袋折叠．在图1的基础上继续折叠，使得图1中的边与边重合如图，若继续沿边折叠，边恰好平分，则此时的度数为（    ）度． A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江金华·月考）小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条向上翻折，记点、的对应点分别为、，折痕为，且交于点（如图1）；第二步，将四边形沿向下翻折，记、的对应点分别为、（如图2）；第三步，将长方形向下翻折，记、的对应点分别为、，折痕为（如图3）． （1）若，则______； （2）若，则当时， ______． 6．（24-25七年级下·浙江台州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则___________度． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 8．（24-25七年级下·山西大同·期中）如图，在纸片中，，将沿翻折到的位置，与交于点，，再将沿翻折到的位置，且点落在的延长线上，则的度数为________． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·月考）如图，中，，把沿线段翻折，点A的对应点C落在边上，然后再沿线段翻折，点B恰好与点D重合，则可以由绕点O逆时针旋转得到，那么n的值至少为___________． 10．（24-25七年级上·河北衡水·期中）（1）如图1是一个长方形纸片，将纸片沿，折叠，点A的对应点为，点D的对应点为，且点在线段上．若，则_______ （2）如图2所示的是一个长方形纸片沿其上一条线折叠后的图形，已知，则________ （3）如图3将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若，则________ 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）综合与实践——折纸中的数学 折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识．现有等腰，如图①所示，其中 【初步感知】 问题1：如图②所示，直线与线段相交于点D，将沿着直线翻折，使点与点重合，则与的数量关系是________；直线与位置关系是________； 【深入探究】问题2：如图③，直线与线段相交于点D，将沿直线翻折至处，点的对应点为，（1）当，则________； （2）探究与之间的数量关系． 【拓展延伸】问题3：如图④所示，点在AB上，过点作交AC于点，直线与射线相交于点，将沿直线翻折得到，点的对应点为，点的对应点为，当的某一边与垂直时，直接写出的度数． 12．（24-25七年级下·江苏常州·期中）如图，在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图1，若点落在上，则_____； (2)如图2，当点落在的下方时，设与相交于点．若，试说明； (3)若点在边上，将沿直线翻折得到，使射线与射线相交于点，若是轴对称图形，直接写出的度数． 13．（24-25七年级下·江苏南京·月考）在中，，，点是边上一点，将沿翻折后得到． (1)如图①， 当点落在上时， 则=___________． (2)当点落在下方时， 设与相交于点 ． 如图②， 若， 试说明． (3)当点E落在下方时， 设与相交于点 F． 如图③， 连接，平分交的延长线于点 G， 交于点 H． 若， 则 与之间的数量关系为___________． (4)如图④， 若点D在边上， 将沿直线翻折得到， 使射线与射线相交于点 Q．若是轴对称图形，则可能的度数为___________． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将长方形纸条折叠，． (1)按如图①折叠，若，则_____； (2)按如图②折叠，，请用含的代数式表示； (3)如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 15．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）在数学探究活动中，小明找到一张两边平行的纸条，他先在边上取一点，再在边上任取一点，从点处将纸条左侧折叠，使折叠后的对应线段经过点，此时的折痕记为（点在上），如图1所示；再从点处将纸条右侧折叠，使折叠后的对应线段也经过点，此时的折痕记为（点在上），如图2所示． (1)在图1中，若，求的大小（用表示）； (2)小明发现，在图2中，有，，进而推理： 线段和线段都经过点和点， 它们都在同一条直线上．（①_________此处填推理的依据） ，，．（②_________此处填推理的依据） (3)小亮也用一张纸条做了与小明相同的操作，如图3所示，他意外地发现：虽然纸条的两边和不平行，但折叠后，在图3中仍有．请你帮小亮证明这个结论． 16．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图①，若将折叠，使得边落在边上，则．    根据以上材料，回答下列问题：折叠长方形纸片，为边上一点，，均是折痕，折叠后，点落在点，点B落在点 ．    (1)如图②，当点 在 上时，则 ______； (2)如图③，当点 在 的内部时，若，，求 的度数； (3)当折痕端点、端点分别在长方形纸片边、上时，请你探究 与的数量关系，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $