专题05 将军饮马模型（几何模型讲义）数学新教材苏科版七年级下册

专题05 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 17 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)在（1）的结果下，连接，，则面积是_________． (3)在对称轴上有一点P，当周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 例3（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时，______度． 例4（24-25·山东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 例5（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，E是边上的一个动点，D是的中点，连接，，当的周长最小时，则________． 例6（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26七年级下·江苏·周测）如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小；(4)在直线上找一点，使得的值最大． 例3（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 例5（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·山东·期中）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 例2（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·广东·期中）如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则_________． 例4（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 例2（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 例3（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 1．（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A．B．C．D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 5．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，正五边形中，点为边的中点，连接，为直线上一动点，连接，，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，已知，点分别是射线上的定点，为射线上的一动点，为射线上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为________． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 9.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 10.（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，关于MN对称，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 11．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为______． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    13．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，四边形中，，E、F分别是、上的点，当的周长最小时，的度数为_____． 14．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是______． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 16．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______，∴______． ∵在中，，∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______；(2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小；(4)在上找一点M，使得最大． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 2 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 29 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 53 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 68 17 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． 【答案】/72度 【详解】解：直线l是正五边形的一条对称轴，， ，此时：为的最小值， 在正五边形中，有，，， ，，，故答案为：． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小， ，，， ，，， ，， ，故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值） 例1（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得，则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 例2（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)在（1）的结果下，连接，，则面积是_________． (3)在对称轴上有一点P，当周长最小时，P点在什么位置，在图中标出P点． 【答案】(1)见解析;(2)4;(3)见解析 【详解】（1）解：如图所示，为所求作； （2）解：面积是； （3）解：如图所示，连接交对称轴于，则P为所求． . 理由：由轴对称的性质可得：， ∴的周长为，此时的周长最小. 例3（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，中，垂直于点B，且，在直线上方有一动点M满足，则点M到C、D两点距离之和最小时，______度． 【答案】45 【详解】解：因为，， 所以，点M在直线的上方且与直线的距离为的直线上，如图， 所以可得，且直线过的中点，作点D关于直线的对称点E，则：， 连接交直线于点，此时最小，因为，，所以，， 因为，，所以，，所以，， 连接，则，所以，，则有：，故答案为：45． 例4（24-25·山东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵B、C关于直线EF对称，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 例5（25-26八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，E是边上的一个动点，D是的中点，连接，，当的周长最小时，则________． 【答案】 【详解】解：如图，作D关于的对称点，连接，， 由对称性可知，，， ∴的周长， ∵D是的中点，∴是定值，∴最小时的周长最小， 此时在一条直线上，即构成， ∵，，∴，∴，即， ∴，∴．故答案为：． 例6（25-26八年级上·北京海淀·期末）如图，中，，，，点D，E分别是线段，上的动点，当最小时，的长是______． 【答案】2 【详解】解：如图，过作点A的对称点，连接， 由对称可知，，，， 根据图形可知当三点共线，且时，最小， 又，三点共线， ，．故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则，∴，此时最大．故选：B 例2（25-26七年级下·江苏·周测）如图，在由长度均为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点，，均在小正方形的顶点上（保留画图痕迹，不写画法）． (1)在图中画出与关于直线成轴对称的；(2)的面积为____________； (3)在直线上找一点，使得的值最小；(4)在直线上找一点，使得的值最大． 【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：．如图：． （3）解：如图，点即为所求． （4）解：如图，点即为所求． 例3（24-25·安徽马鞍山·八年级期末）如图，两村在一条小河的同一侧，要在河边建水厂向两村供水． （1）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ （2）自来水厂建好后，在招收职工的试卷中有道题“请你在河流上找出一点，使的值最大．”你能找到点吗？请将上述三点在下列各图分别标出，并保留尺规作图痕迹． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）由题意可知，若自来水厂到两村的输水管用料最省，即AN+BN最小， 如图，A′为点A关于CD的对称点，连接A′B，与CD交于点N，则厂址应该选在点N处； （2）若最大，根据三角形两边之差小于第三边，如图， 可知P位于AB与CD交点处时，|PA-PB|最大； 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】D 【详解】解：设中边上的高是，∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得，∴， ∵，∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得，∴是等腰三角形， ∴垂直平分，∴，∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 同理①得，∴的最小值是，故②错误； ∵，，∴， ∵，∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确；故选：D． 例5（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，为等腰直角三角形，在的内部，，为射线上一点，当最大时，的度数是______． 【答案】/117度 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接并延长交于点，交于点D，则点就是使的值最大的点，，连接， 为等腰直角三角形，，， ∵，， ，，，∵， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·山东·期中）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】（1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】（3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，，， 在中，，； （3）如图所示，，，则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 例2（24-25七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴，可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴，∴是等边三角形，∴， ∵，，∴，即，故选：． 例3（25-26八年级上·广东·期中）如图，在四边形中，，在，上分别找一点G，H，使周长最小时，则_________． 【答案】 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，连接交，于点G，H， ∵，∴，，∴的周长为 根据两点间线段最短可得，当E，G，H，F四点共线时，的周长最小为长， 这时，，∴，， ∴，故答案为：． 例4（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，分别是边上的动点，则的和的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，，，， ，，，，、、共线， ，， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值为， ，，， 的最小值为．故答案为：． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短【解决问题】图见解析． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，，∴，， 由两点之间线段最短可知，，∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 例2（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 【答案】/60度 【详解】解：作过于的对称点，作关于的对称点，连接，则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称，∴， ∵，， ∴，∴， ∴；故答案为：． 例3（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米任务2：（1）6，理由见解析      （2）10任务3：9 【详解】任务1解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米，∴到该中点的距离为米， ∵，∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则,∴, ∴点在同一条直线上，最短距离（米）．故答案为：． 任务2（1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线，∴，∴， ∵的最小值为,∴的最小值为6,∴周长最小值． 任务3解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，，∴． 1．（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗．由此引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”．将军在点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线l上选取一点P，使得最小．下面四种解决方案中，符合要求的是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：作点A关于直线的对称点，连接，则， ∴，连结，则线段的长度即为的最小值， 这样做依据的基本事实是：两点之间，线段最短．故选：A． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是（    ） A．6 B．2.4 C．4.8 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称，∴，， ∵，∴，∴， ∴三点共线，∴，∴当最小时，最小， ∵点M是上一点，∴时，最小，此时：， ∴，∴，∴的最小值为，故选C． 3．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，点分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于， ， 由轴对称的性质可得：，，，， ∴，∴当、、、在同一直线上时，最小，为， ∵，， ∴，， ∵，，∴，故选：C． 4.（24-25广东八年级期中）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【答案】D 【解析】∵PD⊥AC，PG⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝90°，∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°，∠D+∠G+∠EPF＝180°，∴∠D+∠G＝50°，由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°，∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，选D． 5．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，正五边形中，点为边的中点，连接，为直线上一动点，连接，，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接，连接交于点，连接， 点为正五边形边的中点，直线是正五边形的对称轴， ，，， 的值最小时，点位于点处，因此只要求出的度数即可． 五边形是正五边形，，，， ，，， 故当的值最小时，的度数为．故选：B． 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，已知，点分别是射线上的定点，为射线上的一动点，为射线上一动点，当的值最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：作N点关于的对称点D，P点关于的对称点E，连接与、分别交于点M、点Q，连接、， ∴，此时的值最小，由对称性可知，，， ∵，∴， 在中，， ∴，∴．故选：A． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，中，，，D，E，F分别是上的动点，连接，当的值最小时，的度数为________． 【答案】 【详解】解：作关于的对称线段，作点关于的对称点，过点作的垂线，垂足为，交于点，交于点， ∵，，∴， 由垂线段最短知的最小值为线段的长， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）小明学习了平行线间的距离处处相等的重要性质，并进一步研究．如图，为等腰三角形，其中，点分别是线段和上的动点，将沿线段翻折，点的对应点落在外角角平分线所在的直线上，当线段最大时，则___________． 【答案】/10度 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴，∴，∴， 由折叠的性质得：，，， ∵线段最大，∴最小，此时最小， ∵，∴当时， 最小，此时， ∴，∴， ∴，∴．故答案为： 9.（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 10.（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，关于MN对称，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：∵A、C关于MN对称，， 又，，， 在上取点，连接、、，∵A、C关于MN对称，，， 在中，当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 11．（25-26八年级上·黑龙江伊春·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为______． 【答案】16 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，此时最小， 在中，，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：16． 12．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4，，， 与关于直线对称，也是边长为4的等边三角形， ，，， 在和中，，，， ，，， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ，的最小值为8，故答案为：8． 13．（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，四边形中，，E、F分别是、上的点，当的周长最小时，的度数为_____． 【答案】 【详解】解：作点A关于的对称点G、关于的对称点H，连接， 交于点E，交于点F，根据题意，得， 故的周长的最小值为， 根据对称的性质，对顶角的性质，得，， ，， ， ， ，四边形中，，， ， 14．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是______． 【答案】/40度 【详解】作关于，的对称点，连接，，、， 则，∴， ∴，是与，的交点时，的周长最短， 关于对称，，，，； 同理，，，，，是等腰三角形．， ，，故答案为：． 15．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）利用轴对称的性质解决路程之和最短的问题，如图所示，河岸的同侧有、两个村庄，两村委会决定在小河边建一座自来水加工厂向两村庄输送自来水，为了节约开支，加工厂建在何处所需铺设的管道最短？为什么？ 【答案】见解析 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 由作图可知：， 要使的从点到点的路程最短，根据两点之间线段最短，连接，交直线于点，点即为所求； 故加工厂应该建在处． 16．（25-26八年级上·福建龙岩·期中）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图（1），将军从山脚下的点出发，到一条笔直的河边饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】小亮：如图（2），作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图（3），在直线上另取不同于点的任一点，连接，，． ∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴______，______，∴______． ∵在中，，∴______，即最小． 【解决问题】 任务一 请将小亮的说明过程补充完整．（直接填在横线上） 任务二 如图（4），将军从地出发，先到草地边某一处牧马；再到河边饮马，然后回到处，请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短．（保留画图痕迹） 【答案】任务一: ,,,; 任务二:见详解； 【详解】解：任务一∵点、关于直线对称，点、在直线上， ∴，，∴． ∵在中，，∴，即最小； 任务二 如图，即为最短路径． 17．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______；(2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小；(4)在上找一点M，使得最大． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：格点的面积为，故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时的周长为，为最小值，则点P即为所求； （4）解：，当A，B，M三点共线时最大， 如图，延长交直线于点M，此时，为最大值，则点M即为所求． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短(2)见解析(3)6 【详解】（1）连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图，点即为所求． （3）如图2，作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N，则的周长最小， 连接、，∵点C和点Q关于对称，∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴为等边三角形，∴，∴的周长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $