精品解析：浙江宁波市鄞州高级中学2025-2026学年高三下学期四月测评数学试卷

2025-2026学年高三下学期四月测评数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数z满足 (i为虚数单位)，则z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知条件，，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 4. 在边长为2的正方形 中，（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 6. 在 中，角的对边分别是，已知，且，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 18 7. 已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 8. “提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与共轭的双曲线是 B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为，则 D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一个圆上 10. 已知函数 的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 11. 如图，在正方体中， ，点 在平面内，，延长交平面 于点，则以下结论正确的是（ ） A. 点 到的距离的最大值为2 B. 线段长度的最小值为 C. 直线与所成的角的正弦值的最小值为 D. 直线与平面 所成的角正切值的最大值为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 13. 若等差数列的前 项和为，已知，则___________． 14. 已知曲线，点A在曲线 上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点 为 轴的一个动点，且曲线 上至少有两条不同的切线经过点 ，则动点 的轨迹的长度为_____. 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为 ． （1）求的值及函数图像的对称中心； （2）设，若使得，求实数b的取值范围． 16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆E的方程； （2）若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为， ①求直线AB的方程． ②求的面积． 17. 如图所示，在多面体中， 为平面六边形，平面平面，平面⊥平面，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 18. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量 表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到 个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件 表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求 ，并根据全概率公式求； （2）是否存在值且，使得，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求 的取值范围； （3）证明：（）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期四月测评数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数z满足 (i为虚数单位)，则z的虚部为（ ） A. i B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知等量关系，应用复数的除法可得，进而确定虚部. 【详解】由题意可得：，所以z的虚部为1. 故选：B. 2. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合描述法的定义求出集合，进而利用补集运算求解即可. 【详解】集合， 所以. 故选：A 3. 已知条件，，则 是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】由可得，解得 或， 因为或，所以， 是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 在边长为2的正方形 中，（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的几何性质和向量的数量积定义即可求解. 【详解】因为正方形 的边长为2，所以，所以； 故选：B. 5. 一组数据满足，若去掉后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（ ） A. 极差变大 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 第25百分位数变小 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差与百分位数的定义计算出去掉前后的相关数据，比较厚得到答案. 【详解】由于， 故，，……，，， A选项，原来的极差为，去掉后，极差为，极差变小，故A错误； B选项，原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故B错误； C选项，原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故C正确； D选项，，从小到大排列，选第 个数作为第百分位数，即， ，故从小到大排列，选择第个和第 个数作为第百分位数，即， 由于，去掉后第25百分位数变大，故D错误. 故选：C 6. 在 中，角的对边分别是，已知，且，则（ ） A. 9 B. 6 C. 3 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理角化边，结合已知等式求解即可. 【详解】在 中，由正弦定理得：， 由余弦定理得：，， 因为， 所以， 即， 即， 又因为， 所以， 因为，所以. 故选：A 7. 已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解. 【详解】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解， 令，，即函数 的图象与有四个不同的交点， 两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示： 所以， 不妨设， 则， 所以. 故选：D 8. “提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍．将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“提丢斯数列”定义得，再根据等比数列的性质和求和公式解题即可. 【详解】记“提丢斯数列”为,则当时,, 所以,当时,,满足该式,当时,, 所以， 所以“提丢斯数列”的前50项的和为． 故选：D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与共轭的双曲线是 B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为，则 D. 互为共轭的双曲线的4个焦点在同一个圆上 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共轭双曲线的定义，结合双曲线渐近线、离心率的意义逐项分析判断. 【详解】对于A，由共轭双曲线的定义知，与共轭的双曲线是，A正确； 对于B，双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，B错误； 对于C，双曲线的离心率为，双曲线的离心率为， 因此，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，双曲线的焦点为，双曲线的焦点为， 上述四个焦点到原点距离都为，因此它们都在圆上，D正确. 10. 已知函数 的定义域为，，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义性质逐项判断即得. 【详解】对于A，令，则，解得或，A错误； 对于B，令，得，则， 令，得，则，因此，B正确； 对于C，依题意，， 则，对，取， 得，又，则，即， 为偶函数，C正确； 对于D，由或，得，因此 不为奇函数，D错误. 11. 如图，在正方体中， ，点 在平面内，，延长交平面 于点 ，则以下结论正确的是（ ） A. 点 到的距离的最大值为2 B. 线段长度的最小值为 C. 直线与所成的角的正弦值的最小值为 D. 直线与平面 所成的角正切值的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示出点 的坐标，根据点线距公式可判断A；由 的轨迹位置可判断B；根据最小角定理可判断C；根据线面角的向量公式可判断D. 【详解】如图所示，以点 为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设， 所以点 的坐标为，， 由可得，． 因为，， ，， 所以点 到的距离为， 由正方体性质易知，平面，设平面， 所以，， 所以点 的轨迹为平面内以点 为圆心，半径为的圆，而易知为边长为的正三角形， 其内切圆半径为，所以点 的轨迹为的内切圆， 设其与三边的切点依次为，如图所示，易求得：，， 因此当时，即点 在 处，的中点时，点 到的距离，A正确； 当点 在 处时，此时 在 处，，B错误； 设直线与所成的角为 ，因为，由最小角定理可知， 直线与平面所成的角小于等于 ，即， 所以，当点 为过点 且与平行的直线与内切圆的交点时取等号，C正确； 设直线与平面 所成的角为 ，易知平面 的一个法向量为， 所以， 而由等和线定理可知，，所以，当时，，即， 即点 为平行于的直线与内切圆相切的切点时取得，故D错误． 故选：AC． 【点睛】本题的解题关键根据选项选择不同的处理方式，建系表示出点 的坐标，根据正方体的性质得出点 的轨迹，从而利用点线距，线面角的向量公式判断出AD的真假，再根据特殊位置以及最小角定理判断出BC的真假． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ______． 【答案】 【解析】 【分析】由，展开，结合诱导公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 13. 若等差数列的前 项和为，已知，则___________． 【答案】26 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式，通项公式及其性质变形求解. 【详解】设数列的公差为 ， ，则， 故． 故答案为：26 14. 已知曲线，点A在曲线上，则在点A处切线斜率的最小值为_____；若点 为 轴的一个动点，且曲线上至少有两条不同的切线经过点 ，则动点 的轨迹的长度为_____. 【答案】 ①. -1 ②. 8 【解析】 【分析】设，求导，得到在点A处切线斜率为，得到最小值；将代入切线方程，整理得到至少有两个根，构造函数，求导得到其单调性和极值情况，得到，求出轨迹长度. 【详解】设，， 故在点A处切线斜率为， 当 时，等号成立，故在点A处切线斜率的最小值为-1， 点 为 轴的一个动点，设为， 在处的切线方程为 ， 将代入切线方程得， 整理得， 曲线上至少有两条不同的切线经过点 ， 故至少有两个根， 令，则， 令得 ，令得 或 ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 极小值为，极大值为， 故时，至少两个根， 动点 的轨迹的长度为. 故答案为：-1，8 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及函数图像的对称中心； （2）设，若使得，求实数b的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用和差角，二倍角以及辅助角公式化简函数解析式，然后由周期求得求的值，然后利用正弦函数的对称中心求得函数图像的对称中心； （2）整理函数解析式，然后令，得到函数的取值范围，然后得到函数在上的最大值；由正弦函数的单调性求出的单调区间，从而求出在区间的最大值.由使得得到函数在上的最大值小于在上的最大值.由此解出实数b的取值范围. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ∵周期，∴， ∴， 令，解得， ∴函数图像的对称中心. 【小问2详解】 ， ， 令，在上单调递增，∴， ∴， 令，解得 ∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为， ∵使得， ∴， 当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意， ∴. 16. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆E的方程； （2）若A，B是椭圆E上两点，且线段AB的中点坐标为， ①求直线AB的方程． ②求的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意列出a、b、c的关系，求解即可； （2）① 根据点差法求出直线AB的斜率，即可得出直线AB的方程； ② 求出AB的长度，求出O到直线AB的距离，即可得出答案. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为， 【小问2详解】 ①设， 由A，B是椭圆E上两点得，， 两式相减得，即， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，即， 所以直线AB的方程为，即； ②由得，， 则， 所以， 点O到直线AB的距离， 所以． 17. 如图所示，在多面体中，为平面六边形，平面平面 ，平面⊥平面 ，，，与都是边长为2的等边三角形， ，，，， M，N，K分别为的中点． （1）求证：平面 ； （2）棱上是否存在点P，使得与平面成角？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：因为与均为等边三角形，且M，K分别为中点， 所以， 又平面⊥平面 ，平面平面，平面， 所以平面 ， 同理平面 ，所以； 又平面，平面，所以平面， 而平面平面，所以， 又平面 ，所以平面 （2）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理进行证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的计算公式进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过E作于T，因为，，，，， 所以,,, 所以是等腰直角三角形， ，同理可得，所以， 又M，N，K 分别为中点，所以所以 由（1）知平面 ，所以， 即两两垂直，故以N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以， 则，，，，， ， 所以， 设平面的法向量为，则， 不妨取，设，， 则， 因为与平面成角， 所以， 解得，所以存在点P，使得与平面成角，此时． 18. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量 表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到 个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件 表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求 ，并根据全概率公式求； （2）是否存在 值且，使得，请说明理由. 【答案】（1）， （2）不存在，理由如下： 假设存在 ，使 又. 得， 化简得 即 令 则 因为，所以在上存在，使得 所以即 且在为正，在为负 从而在为增函数，在为减函数 所以当时， 即不存在 值，使得 【解析】 【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1求出 ，再由条件概率公式及全概率公式求解即可； （2）根据分布列由期望公式求出得出方程，令，再由导数判断函数的最大值小于0，即可判断方程无解. 【小问1详解】 当时，， 则，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当 时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求 的取值范围； （3）证明：（）. 【答案】（1） （2） （3）设， 对取自然对数，得： ， 又， 于是， 构造函数，其中 ， 求导得：， 当 时，，所以在上单调递增， 则对于任意 ，有， 即， 而， 所以， 因此， ， 由于，所以， 从而. 原不等式得证. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是该点切线的斜率，求出斜率后，再利用点斜式即可写出切线方程； （2）函数在某个区间上单调递减，意味着其导函数在该区间内恒小于等于0，我们先求导，然后分离参数，转化为求新函数的最值问题； （3）对于这类连乘小于的题目，常用的技巧是取自然对数，将乘积转化为求和，然后利用放缩法（如裂项相消）来证明和式小于1. 【小问1详解】 当 时，， 将 代入：， 所以切点坐标为 ； 求导得：， 将 代入导函数：， 所以切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程： ， 因此，所求的切线方程为. 【小问2详解】 对求导得：， 因为在上单调递减， 所以对于任意 ，都有：， 即：， 因为 ， 即：，对于任意 恒成立， 令， ， 对于所有 ，不等式恒成立， 只需， 对求导：， 当时，，则，所以 ，函数单调递增， 当时，，则，所以，函数单调递减， 所以， 所以， 所以 的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $