专题07 将军饮马模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题07 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17 23 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． 【答案】/72度 【详解】解：直线l是正五边形的一条对称轴，， ，此时：为的最小值， 在正五边形中，有，，， ，，，故答案为：． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小， ，，， ，，， ，， ，故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·青海海东·期末）如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接，交直线于点，如图所示，，此时所需的管道最短．故选：D． 例2（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的． (2)在网格中画出△ABC关于直线m成轴对称的． (3)在直线m上画一点P，使得的值最小． 【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析 【详解】（1）解：如图所示：即为所作； （2）解：如图所示：即为所作； （3）解：如图所示：点P即为所作，使得的值最小． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点P是线段上方一动点，，，∴，即点P到的距离是， ∴点P在直线上，且，与之间的距离是， 依题意，作点A 关于直线的对称点，记为点， 连接交直线于点，即，，， ∵，∴，∴∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，则， 则当最小时，即点P与点C重合，∴，故选：D． 例4（24-25·山东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 【答案】A 【详解】解：∵B、C关于EF对称，设AC交EF于D， ∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小， ∵B、C关于直线EF对称，∴BD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4， ∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A． 例5（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等腰中，，于点，于点，点为上的动点，若，当的值最小时，的度数为_____． 【答案】/20度 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰中，，于点， ∴，，垂直平分，∴， 即点P在上时，的值最小时，设此时点P为， 则当的值最小时，，连接，∵垂直平分，∴， ∵，，∴．故答案为：． 例6（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在等边三角形的边上，，，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】B 【详解】解：如图，作点M关于的对称点，过点作，交于点P， 此时，，即的值最小， ∵是等边三角形，∴，， ∴，∴，由题意，得， ∴，∴， 由对称的性质，可知，∴， ∴，∴， 故选： B． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则，∴，此时最大．故选：B 例2（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图，根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 例3（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：如图①，点即为所求作； （2）解：如图②，点即为所求作； （3）解：如图③，点即为所求作． 例4（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    【答案】6 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，∴，    ∵的周长是16，， ∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，，， ∵A、C两点关于直线MN对称，∴，∴， 故的最大值为6，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：6． 例5（24-25七年级下·重庆·期末）已知中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的值最大时，的度数为______． 【答案】 【详解】解：如图，作点B关于的对称点H，连接． 则，，，此时， ∴当点P、H、D在同一直线上时，有最大值，此时， ∵，，∴，由题意得和关于对称， ∴，，，， ∴，，，∵，，∴， ∴，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴．故答案为： 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请你为牧马人设计出最短的牧马路线．（保留画图痕迹，不写画法步骤） 【答案】见解析 【详解】解：如图，分别作M点关于河（直线a）、草地（直线b）的对称点B、A，连接，分别与河（直线a）、草地（直线b）相交，交点分别为C、D，连接，则最短路线为． 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ，，∴， 又∵，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，故选：C． 例3（25-26八年级上·山东·专题练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．作延长线， ，，， ，，且，， ，故选：D． 例4（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】10 【详解】如图，作点E关于的对称点G，点E关于的对称点H，连接， 由对称性可知，，的周长为， 当G、D、F、H四点共线时，的周长最小，为的长． ，，， ，，， 又，是等边三角形，，当时，最短，此时的周长最小， 由，得，解得，的周长最小值为．故答案为：． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，表示草地的边界，表示小河的河岸，在草地与河岸之间有，两地，某养殖户从地赶了几只羊到草地放羊，然后再到小河饮水，之后回到地．假设该养殖户赶着羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置（不写作法）． 【答案】见解析 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，是他走的最短路线，放羊的位置为C点，饮水的位置为D点． 例2（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 【答案】/60度 【详解】解：作过于的对称点，作关于的对称点，连接，则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称，∴， ∵，， ∴，∴， ∴；故答案为：． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，，， 的最小值为的长． ，，，，，， ，△为等边三角形，， 即 的值最小为3；故答案为：3 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 【答案】任务1：520米任务2：（1）6，理由见解析      （2）10任务3：9 【详解】任务1解：作关于河岸的对称点，设的中点为M，连接， ∵，且点到中点的距离为米，∴到该中点的距离为米， ∵，∴， ∴，， 又点C、M、D在同一条直线上，则,∴, ∴点在同一条直线上，最短距离（米）．故答案为：． 任务2（1）解：由“两点之间线段最短”，当在与直线的交点时，∴的最小值为． （2）解：∵直线是边的垂直平分线，∴，∴， ∵的最小值为,∴的最小值为6,∴周长最小值． 任务3解：作关于的对称点，关于的对称点，连接交于、交于，则此时，取得最小值．连接． 则，，，， ，， ∵，，∴． 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点， 则点为所求燃气站的位置．故选：C； 2．（24-25八年级上·北京·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，垂足为是射线上一点，N是线段上一动点．当最小时，，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】解：∵是等边三角形，∴， 如图所示，延长，作点关于的对称点，∴，∴， 当点三点共线，且时，的值最小， ∴在中，，，∴， ∵对称，∴，且，∴， ∴，∴，∴，故选：A． 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，作关于、的对称点、，连接，交于，交于，则是周长的最小值，作的延长线， ，，, ，， 根据对称的性质可得：和都是等腰三角形， ，，， ；故选:． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，．当的值最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，则此时的值最小， ∴， ∴， ∴，．故选：C． 5.（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作点关于的对称点，连接，则，此时， 当点在同一直线上时，有最大值，此时， 当的最大值是时，， ，，由题意得和关于对称， ，，，，， ，，是等边三角形， ，，， ，，，故选B． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点P作于点E，延长到点D，使得，过点P作于点F，延长到点G，使得，连接分别交于点M、N，连接， 由轴对称的性质可知，，∴根据两点之间线段最短可知，的周长最小值为的长，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， 由对称可知：，∴， ∴，故选：B． 7．（24-25八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在长方形中，，，点E在四边形内部，且点E到边的距离为2，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，过点E作分别交，于点F，G，则，作点B关于的对称点，连接与交于点E，即为最短路径． ∵， ，∴为等腰直角三角形，∴，故选：D． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，顶角，点为边上一定点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是_____． 【答案】/138度 【详解】解：过点B作并延长，过点A作的平行线，与的延长线交于点Q，如图所示： ∵是等腰三角形，且顶角， ∴，，， ∵，∴，，∴，∴，∴， ∵，，∴， 过点D作于N，交于点H，过点D作于G，作点E关于的对称点M，则点M在上，连接，要使的值最小，则需满足点M、D、F三点共线，且，此时点M与点H重合，点F与点N重合，则点E与点G重合，如图所示， ∴此时点H与点G关于对称，，∴，， ∴，∴，∴， ∴当最小时，．故答案为：． 9．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 方法：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 故答案为：作点P关于直线的对称点，点P关于直线的对称点，连接交于点M，N，连接，即为所求． 10．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_____． 【答案】 【详解】解：如图所示，作点E关于的对称点E′，连接， ，， 当点，P，F三点共线，时，的值最小， 是等边三角形，， ，，， ，，，，解得，， ，故答案为：． 11.（24-25·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 【答案】15°##15度 【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD， ∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°， ∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形， ∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°． 12.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：连接， ∵等边中，于点H，∴点关于对称，∴，∴， ∵点D为的中点，∴，∴， ∵，∴，∴m的最小值为4；故答案为：4． 13．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，，又，，，在上取点，连接、、， ∵A、C两点关于直线MN对称，，，在中， 当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 【答案】 8 8 【详解】解：∵A、C两点关于直线MN对称，∴， ∵的周长是18，， ∴的周长，点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线MN对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故答案为：8，8． 15.（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将下述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 【答案】见解析 【详解】如图所示，作出点关于河岸的对称点，连接，交于河岸于点，连接，则点能满足最小，理由：，三角形任意两边之和大于第三边，当点在的连线上时，最小． 16．（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)求出的面积． (3)在直线l上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析(2)3.5(3)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． （3）解：根据两点间线段最短及轴对称可确定点，如图，点即为所求． 17．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1)(2)最短路径如图，理由见详解 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴，∴，∴铺设管道最短的是选项，故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得：，∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 18．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小．(3)在直线l上画出点Q，使得最小． 【答案】(1)图见解析；6(2)图见解析(3)图见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求． 的面积为：故答案为：6． （2）解：如图，连接，交直线l于点P，连接， 根据轴对称性质可知：，∴， ∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小，则点P即为所求． （3）解：如图，作线段的垂直平分线，与直线l相交于点Q，则点Q即为所求． 根据线段垂直平分线的性质可知：，∴，∴此时最小． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 将军饮马模型 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 9 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 17 23 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，直线l是正五边形的一条对称轴，点P是直线l上的一个动点，当最小时，______． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （25-26八年级上·北京西城·期中）已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是__________． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·青海海东·期末）如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A．B．C．D． 例2（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1个单位，△ABC的三个顶点均在格点上．要求只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹． (1)在网格中画出△ABC向下平移3个单位得到的． (2)在网格中画出△ABC关于直线m成轴对称的． (3)在直线m上画一点P，使得的值最小． 例3（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点P是线段上方一动点，，，当最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25·山东·七年级期末）如图，在中，，，，，B、C关于直线EF对称，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（       ） A．7 B．6 C．12 D．8 例5（25-26八年级上·云南曲靖·期末）如图，在等腰中，，于点，于点，点为上的动点，若，当的值最小时，的度数为_____． 例6（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）如图，点在等边三角形的边上，，，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点．当的值最小时，，则的长为（   ） A．10 B．11 C．15 D．16 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值） 例1（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 例2（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 例3（24-25八年级上·贵州·期末）在一条公路旁有A，B两个工厂，要在公路旁修一个汽车站，请分别按如下要求确定汽车站M的位置： (1)在图①中，要求车站M到两厂的距离相等； (2)在图②中，要求车站M到两厂的距离之和最短； (3)在图③中，要求车站M到两厂的距离之差最大． 例4（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，，的周长是16，若点P在直线上，则的最大值为 ．    例5（24-25七年级下·重庆·期末）已知中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的值最大时，的度数为______． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请你为牧马人设计出最短的牧马路线．（保留画图痕迹，不写画法步骤） 例2（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·山东·专题练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，面积为，在上分别找到一点，连接，则周长的最小值为 ． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，表示草地的边界，表示小河的河岸，在草地与河岸之间有，两地，某养殖户从地赶了几只羊到草地放羊，然后再到小河饮水，之后回到地．假设该养殖户赶着羊走的都是直路，请你为他设计一条最短的路线，标明放羊与饮水的位置（不写作法）． 例2（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，在中，，，点，是边上的两个定点，点，分别是边，上的两个动点．当四边形的周长最小时，的大小是________． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例4（25-26八年级上·福建龙岩·期中）请根据以下素材，完成探究任务． 探索最短距离 背景材料 我国古代对最短距离原理的运用充满智慧，不仅解决了具体的工程和军事问题，更体现出转化的数学思想．这些古老的思想在今天依然充满活力，在网络优化、物流配送和人工智能路径规划中，我们依然在使用这些最朴素的几何原理来解决最前沿的科技问题． 任务1 如图，牧童在处放牛，其家在处，A、B到河岸的距离分别为和，且，若点到河岸的中点的距离为米，则牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是____米． 任务2 如图，直线是中边的垂直平分线，点P是直线上的一动点，若．（1）求的最小值，并说明理由；（2）求周长的最小值． 任务3 如图，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在边、上，则当取最小值时，求的值． 1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，要在一条笔直的路边上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇P，Q铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域，下列四种铺设管道路径的方案： 方案：过点作于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是． 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 方案：作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则铺设管道路径是． 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 2．（24-25八年级上·北京·月考）如图，点M在等边三角形的边上，，垂足为是射线上一点，N是线段上一动点．当最小时，，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，，分别是，上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，．当的值最小时，的值为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25八年级上·辽宁营口·期中）如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，P是上一定点，M、N分别是上的动点，当的周长最小时，的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在长方形中，，，点E在四边形内部，且点E到边的距离为2，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等腰中，顶角，点为边上一定点，，分别为边和上两动点，当的值最小时，的大小是_____． 9．（24-25八年级上·天津·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线上，点N在射线上，当的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）______． 10．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点在等边三角形的边上，，射线，垂足为，是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为_____． 11.（24-25·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____． 12.（24-25八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，等边中，于点H，点D为的中点，，点E为上一点，连接，如果，那么m的最小值为 ． 13．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，，A、C两点关于直线MN对称，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 14．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ． 15.（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．请将下述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？ 16．（24-25八年级上·广东惠州·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的．(2)求出的面积． (3)在直线l上找一点P，使的值最小（保留作图痕迹）． 17．（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 18．（24-25七年级下·河南郑州·期中）画图题：如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图： (1)画出关于直线l成轴对称的，并求的面积______． (2)在直线l上画出点P，使得最小．(3)在直线l上画出点Q，使得最小． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $