专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 例2（24-25·陕西·八年级期中）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为 °． 例3（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 例4（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 提出问题：小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题：（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展：（2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究：（3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25七年级下·河南南阳·期末）小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． (1)填空：以上提示中① ；② ．(2)请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 例2（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 例3（24-25七年级下·四川遂宁·期中）如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．      例4（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 例5（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考（1）请解答老师提出的问题． 深入探究（2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022是（　　）度． A．x B．x C．x D．x 4．（24-25·重庆万州·八年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25·山东·七年级专题练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 7.（24-25.广东七年级期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 9．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数为 ． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 11．（24-25.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 12．（24-25·北京大兴·八年级期末）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论： ①；②；③射线是的角平分线；④． 所有正确结论的序号是 ． 13．（24-25·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，． (1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 　　． 14．（24-25·江西景德镇·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数． 15．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】（2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 16．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在△ABC中，点P为与的内角或外角平分线的交点． (1)如图1，若P为与的内角平分线的交点，，，则______ (2)如图2，若P为和的外角平分线的交点，，，求的度数．对于以上问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 平分（已知）； 同理可得：______ （______） （等式性质）____________ (3)如图3，若P为的内角平分线与的外角平分线的交点，则＝______（用表示） 17．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）【实践探究】 （1）如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点E，则_______； （2）如图2，在中，，延长至点P，延长至点D，已知，的平分线交于点E，的平分线与的延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知四边形，为的平分线，是外角的平分线，连接．已知、，请直接写出的度数． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，点，分别在，上． (1)如图1，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则__________°，__________°； (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为点，与的平分线交于点，求与的数量关系； (3)如图3，若点在内部（点不在线段上），，连接与，与的平分线交于点，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到20-21世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2025·陕西榆林·模拟预测）（1）问题解决：如图，中，、分别是和的平分线，为、交点，若，求的度数；（写出求解过程） （2）拓展与探究：①如图1，中，、分别是和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ②如图2，、分别是和的两个外角和的平分线，为、交点，则与的关系是______；（请直接写出你的结论） ③如图3，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，为、交点，则与的关系是______．（请直接写出你的结论） 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②理由见解析；③，理由见解析 【详解】解（1）∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴，∴； （2）①，理由如下： ∵，∴， ∵、分别是和的平分线，∴， ∴， ∴，故答案为：； ②，理由如下： ∵，∴， ∵分别是两个外角和的平分线， ∴，∴， ∴，故答案为：； ③，理由如下：∵、分别是的一个内角和一个外角的平分线，， ∴， 又∵是的一外角，∴，∴， ∵是的一外角，∴， 故答案为：． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【详解】解：∵在中，，∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等，∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴，故答案为：． 例2（24-25·陕西·八年级期中）如图，在中，点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为 °． 【答案】 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分，∴，， ∴ ．故答案为：． 例3（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在四边形中，分别平分和，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， 、分别平分和，，， ， ，，故选：B． 例4（24-25七年级下·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1，中，平分，平分，探求与之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2，中，、是的三等分线，、是的三等分线，则与之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3，中，、、是的四等分线，、、是的四等分线，则与之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4，中，、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，请用一个等式表示、、三者之间的数量关系是______； 【探究与应用】（5）中，、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线，若与的和是的7倍，则______． 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，n等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线得到，，从而； （2）由三等分线可得，，从而； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可，，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得，又，即可求得，同理有，即可解答． 【详解】解：（1）∵，∴， ∵平分，平分，∴，， ∴ ． （2）∵、是的三等分线，、是的三等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （3）∵、、是的四等分线，、、是的四等分线， ∴，， ∴ ．故答案为： （4）∵、、……、、是的等分线，、、……、、是的等分线，∴，，，， ∴ ， ， ∴． 故答案为： （5）∵、、……、是的2024等分线，、、……、是的2024等分线， ∴，，，， ∴ ， ， ∴， ∵∴，∴， 同理可得．故答案为：105 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分别平分，，为外角的平分线， ∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∴，故选：B． 例2（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，和的平分线交于点，连接的外角的平分线与的延长线交于点交于点．下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确的结论有（　　） A．①④ B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：∵和的平分线交于点，∴平分，∴， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故①正确； ∵，， 又∵，∴，∴， ∵，∴，故②错误； ∵，，∴ ，， ∵，∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确；综上分析可知，正确的有①③④．故选：C． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，，作的延长线，与的角分线相交于，与的角分线相交于…以此类推，与的角分线相交于，则 度． 【答案】 【详解】解：∵、分别平分和，∴，， 而，，∴， ∴，同理可得，即，∴， ∴，即．∴故答案为：． 例4（24-25七年级下·山西晋城·期末）综合与探究 提出问题：小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系． 解决问题：（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系． ①若，则________；若，则________； ②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由； 应用拓展：（2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数； 深入探究：（3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①30，45；②，见解析；（2）；（3） 【详解】解：（1）①∵平分平分，∴， ∵，∴， ∴，∴；若，则； 若，则；故答案为：，； ②由①得；故答案为：； （2）的平分线及一个外角的平分线相交于点，，． ，． ，． ，． ．； （3），理由如下：同（1）可得， ∵平分平分，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25七年级下·河南南阳·期末）小雯做作业时遇到这样一个题目：如图， ，点A，B分别是射线，上的动点，平分，平分．当点A，B在，上运动时，的大小是否变化？请说明理由． 小雯想了许久，对于求的度数没有思路，就去请教好朋友小溪，小溪给了她下面的提示． (1)填空：以上提示中① ；② ．(2)请参考提示，帮助小雯写出完整的解答过程． 【答案】(1)①；②(2)的大小不变化，见解析 【详解】（1）解：，， ，，， ．故答案为：①；② （2）解：的大小不变化.理由：，， ，，， ， 平分，平分，， ， ， 在中，，的大小不变化． 例2（24-25八年级上·重庆江北·开学考试）如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：作，垂足分别为点， 平分，，， 平分，，，，平分， ，，，， ，， ，故答案为： 例3（24-25七年级下·四川遂宁·期中）如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）．      【答案】①②④ 【详解】①∵平分，∴． ∵，，∴． ∴．∴．说法①正确． ②∵平分，∴．∵，∴． ∵，∴．∴．说法②正确． ③∵，∴．∵平分，∴．∴． ∵，，∴． ∴．∴．说法③错误． ④∵，， ∴ ．说法④正确． 所以，正确的结论有①②④．故答案为：①②④． 例4（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，点是两内角平分线的交点，点是两外角平分线的交点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 平分 平分 ，， ， ，故A正确； ∵点为的两外角平分线的交点， ，  ， ， ∴ ，故B正确； ∴ ，故D正确； ∵，∴，故C错误；故选：C． 例5（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，在中，与的平分线相交于点，猜想与的数量关系，并说明理由． 独立思考（1）请解答老师提出的问题． 深入探究（2）希望小组受此问题的启发继续探究，如图2，与的一个外角的平分线交于点，判断与的数量关系，并加以证明． （3）智慧小组突发奇想提出一个问题：如图3，，分别是外角与外角的平分线，，相交于点，请直接写出与的数量关系，不需要证明． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）如图， ∵、分别时和的角平分线；∴，， 在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得：，即：； （2），理由如下：如图，设，， ∵是与外角的平分线和的交点，∴，，， ∴在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得：，即：； （3），理由如下：设，， ∵是外角与外角的平分线和的交点， ∴，，， ∴在中，，即：， 在中，，即：， 代入上式得：，即：． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示： 、分别平分、，，， ，，， 、CE分别平分、，， ，， ，， 、分别平分、，， ， ，故选：A． 2．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，的外角和的平分线交分线交于点和的平分线交于点M，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，∵和的平分线交分线交于点， ∴，∴． ∵和的平分线交于点M，∴， ∴， 在中，，即：．故选：C． 3．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022是（　　）度． A．x B．x C．x D．x 【答案】C 【详解】解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠A1CD是△A1BC的外角， ∴∠A＝∠ACD−∠ABC，∠A1＝∠A1CD−∠A1BC， ∵BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD， ∴∠A1＝∠ACD−∠ABC＝∠A＝x°， 同理可得，∠A2＝∠A1＝×x°，∠A3＝∠A2＝××x°，…，∴∠A2022＝x°，故选：C． 4．（24-25·重庆万州·八年级校考阶段练习）已知，如图，中，，，点、分别在、延长线上，平分，平分，连接，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，于点，于点， 平分，平分，，，， ，，平分，，， ，．故选：． 5．（24-25·山东·七年级专题练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） ∴∠P=90°+∠A；故（1）的结论正确； （2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC） ∠P=∠PCE-∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误． （3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠FBC+∠ECB） =180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）=180°-（∠A+180°）=90°-∠A．故（3）的结论正确． 正确的为：（1）（3）．故选C 6．（24-25·江苏扬州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A=52°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．52° B．60° C．64° D．68° 【答案】C 【详解】∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=128°．∵BD和CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=64°．故选C． 7.（24-25.广东七年级期中）在四边形中，的平分线与的平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∵的平分线与的平分线交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，故选：． 8．（24-25·吉林长春·七年级校考期末）如图，△ABC中，∠C=50°，AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线，AD与BD交于点D，那么∠D= °． 【答案】25° 【详解】解：∵AD是∠CAB的平分线，BD是△ABC的外角平分线， ∴∠DBE=∠CBE，∠DAE=∠CAE， ∴∠D=∠DBE-∠DAE=（∠CBE-∠CAE）=∠C=25°，故答案为：25°． 9．（24-25八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且，交于点O，为外角的平分线，交的延长线于点E，已知，则的度数为 ． 【答案】/115度 【详解】解：∵平分，， ∵为外角的平分线，， ，， ，又，，故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，、、分别平分的外角、内角和外角．下列结论正确的是： ．（只填序号）①；②；③． 【答案】①② 【详解】解：∵，    ，平分 ∴∴，故①正确； ∵∴ ∵平分，平分∴∴ ∵∴，故②正确； ∵，∴， ∵，∴， ∵∴，故③错误；故答案为：①② 11．（24-25.广东八年级期中）如图，在△ABC中，∠B＝46°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ． 【答案】67°． 【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣46°＝134°， ∴∠DAC+∠FCA＝180°﹣∠BAC+180°﹣∠BCA＝360°﹣134°＝226°， ∵AE和CE分别平分∠DAC和∠FCA，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠FCA， ∴∠EAC+∠ECA＝（∠DAC+∠FCA）＝113°， ∴∠AEC＝180°﹣（∠EAC+∠ECA）＝180°﹣113°＝67°．故答案为：67°． 12．（24-25·北京大兴·八年级期末）如图，在中，，的平分线与外角的平分线相交于点M，作的延长线得到射线，作射线，有下面四个结论： ①；②；③射线是的角平分线；④． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵为的平分线，∴． ∵，∴，∴，故①正确； 如图，过点M作于点F，于点G，于点H， ∵为的平分线，为的平分线，∴． 又∵，∴， ∴，即射线是的角平分线，故③正确； 假设，∴． ∵为的平分线，是的角平分线， ∴，， ∴，即， ∴，即． ∵，∴，∴假设不成立，故②错误； ∵，∴． ∵，∴， ∴ ，∴④正确． 综上可知所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④． 13．（24-25·山西太原·八年级校考期末）已知：如图，是内一点，连接，． (1)猜想：与、、存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若，、分别是、的三等分线，直接利用（1）中结论，可得的度数为 　　． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）解：猜想：， 证明：由题意得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，、分别是、的三等分线， ∴，，， ∴．故答案为：． 14．（24-25·江西景德镇·七年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D在BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACD．(1)当∠ABC＝60°，∠P＝______；当∠ABC＝50°，∠P＝______；当∠ABC＝40°，∠P＝______；(2)当∠ABC为任意锐角时，∠P的度数是否会发生变化？若会变化，请说明理由；若不会变化请求出这个确定的度数． 【答案】(1)，，(2)不会发生变化，45° 【详解】（1），，， ，，，， ，，当时，， 当时，，所以答案为：，，． （2）∠P的度数不会发生变化．设∠ABC＝．则∠PBC＝，∠ACD＝， ∴∠PCD＝＝，∵∠PCD＝∠PBC＋∠P，∴∠P＝． 15．（24-25七年级下·河南南阳·期末）【教材呈现】以下是华师版教学七下第92页的部分内容． 如图，在 中． 平分 平分 求 的度数． 解 ∵平分 (已知)， 同理可得 ． ∵ (                )， (等式的性质) = ． （1）对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)． 【拓展延伸】（2）如图1， 在中，、的平分线交于点P， 将 沿折叠，使得点A与点P重合， 若， 求的度数； （3）如图2， 在中， 角平分线、交于点O，， 交边于点D，点E在的延长线上，作的平分线交的延长线于点F．若则 ． 【答案】（1），三角形内角和定理，，；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵平分（已知）， ∴．同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质）． 故答案为：，三角形内角和定理，，； （2）由折叠的性质可得，， ，，， ，，， ，， 平分，平分，，， ，即，； （3）是角平分线，是角平分线 ∴，，∴， ∵∴ ∵∴∴故答案为： 16．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在△ABC中，点P为与的内角或外角平分线的交点． (1)如图1，若P为与的内角平分线的交点，，，则______ (2)如图2，若P为和的外角平分线的交点，，，求的度数．对于以上问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式） 平分（已知）； 同理可得：______ （______） （等式性质）____________ (3)如图3，若P为的内角平分线与的外角平分线的交点，则＝______（用表示） 【答案】(1)115(2)65，三角形的内角和等于，65，65(3) 【详解】（1）解： 平分，平分，且，， ，， ．故答案为：115 （2）解：平分（已知），， 同理可得：， （三角形的内角和等于）， （等式性质），． 故答案为：65，三角形的内角和等于，65，65 （3）解：如图3， 平分，平分，，， ∵是的外角，是的外角， ∴， ，∴，∴． 17．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）【实践探究】 （1）如图1，在中，，的平分线与外角的平分线交于点E，则_______； （2）如图2，在中，，延长至点P，延长至点D，已知，的平分线交于点E，的平分线与的延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知四边形，为的平分线，是外角的平分线，连接．已知、，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵的平分线与外角的平分线交于点， ∴，，∵，∴， ∴，故答案为：． （2）∵平分，平分，∴，， ∴， 同（1）可得：，∴． （3）∵，，∴， ∵为的平分线，是外角的平分线，∴，， ∴ ． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）已知，点，分别在，上． (1)如图1，连接，，，的平分线与的平分线交于点，则__________°，__________°； (2)如图2，点是线段延长线上一点，过点作，垂足为点，与的平分线交于点，求与的数量关系； (3)如图3，若点在内部（点不在线段上），，连接与，与的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)，(2)(3)或 【详解】（1）解：，，，； 的平分线与的平分线交于点， ，， ，故答案为：，； （2）解：如图，连接并延长于点P， ，，是的外角， ，， 与的平分线交于点，，， 是的外角，是的外角，，， ，； （3）解：分两种情况，点G在外时，如图，连接， 在四边形中，，，， ， ，，， 与的平分线交于点，， ， 在中，，， ； 点G在内时，如图，连接， 由知，，在中，， ，， ，，， 与的平分线交于点，， ， 在四边形中，， ， 综上可知，的度数为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $