专题03 三角形中的特殊模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题03.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数． (2)若，，试求的度数（用和表示），并说明理由． 例3（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 例4（24-25七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；        ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    模型2.双垂直模型 例1（24-25四川八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 例2（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 例3（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在中，，是斜边上的高，，点E在的延长线上，求： （1）的度数．（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（文字理由或数学式）． 解：（1）（已知），______， ______，____________（等量代换）， （2）（______）． （等式的性质）， （已知），____________（等量代换）． 例2（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 1．（25-26·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末） 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 7．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 8．（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则 ．    9．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 10．（24-25·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．    11．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．(1)如果，求的度数；(2)试说明：． 12．（24-25·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．(1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系． 13．（24-25·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． (1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点．(1)若，，求的度数．(2)猜想与、的数量关系． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，．(1)求的度数；(2)求的度数． 16．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O． (1)当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°．(2)当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明． 17．（24-25·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分． (1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．    18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03.三角形中的倒角模型之高分线模型、双垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （24-25八年级·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)，证明见（1）(3) 【详解】（1）解：∵，∴，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，，∴； （3）解：由（1）可得， ∵，∴，∴； 由线段垂直平分线的性质可得，∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴，∴． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，分别是△ABC的角平分线和高线，且，则 ． 【答案】/度 【详解】解：∵，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵是的高线，∴， ∴．故答案为：． 例2（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）已知，如图，在中，，分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数． (2)若，，试求的度数（用和表示），并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，，∴， ∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下：∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴ ，∴． 例3（24-25八年级上·广东·校考期中）已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 例4（24-25七年级下·河南新乡·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的角与三角形的特殊线段”为主题开展数学活动． (1)【操作判断】在中，，，作的平分线交于点． ①操作一：在下图中，用三角尺作边上的高，垂足为点，求的度数；        ②操作二：如图1，在上任取点，作，垂足为点，直接写出的度数； (2)【迁移探究】操作三：如图2，将（1）中“在上任取点”改为“在的延长线上任取点”其他条件不变，判断的度数是否会发生变化，并说明理由； (3)【拓展应用】如图3、图4在中，，，是的平分线，在直线上任取点，过点作与直线交于点，请直接写出与，之间的数量关系．    【答案】(1)①；②(2)不变，理由见解析 (3)对于图3；对于图4 【详解】（1）解：①如图所示：         在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， 用三角尺作边上的高，垂足为点，； ②如图所示: 是的一个外角，， ，； （2）解：不变，理由如下：由（1）可知，， 是的一个外角，， ，； （3）解：如图所示：  在中，，，， 是的平分线，， 是的一个外角，， ，；如图所示：    在中，，，， 是的平分线，， ， ，； 综上所述，对于图3；对于图4． 模型2.双垂直模型 例1（24-25四川八年级校考期中）如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°，则∠BOC=（       ） A．110° B．120° C．130° D．140° 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，BD，CE是两条高，∠A=50°， ∴，∴，故选C． 例2（24-25八年级上·重庆大足·期末）已知在（不是直角三角形）中，边的高、边的高所在直线交于点，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当与交于点时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是锐角三角形时，∵边的高、边的高所在直线交于点， ∴，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可求，，； 如图，是钝角三角形时，是钝角，同理可得；故答案为：或． 例3（24-25八年级上·内蒙古·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【详解】由题意得： ，解得．故答案为：． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（24-25七年级上·吉林·期末）如图，在中，，是斜边上的高，，点E在的延长线上，求： （1）的度数．（2）的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（文字理由或数学式）． 解：（1）（已知），______， ______，____________（等量代换）， （2）（______）． （等式的性质）， （已知），____________（等量代换）． 【答案】见解析 【详解】解：（1）（已知）， ， ， （等量代换）； （2）（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等式的性质）， （已知）， （等量代换）． 例2（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在中，，是斜边上的高，，，，则的长度为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，是斜边上的高，∴，， ∴，∴，∴，故选：． 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是AB上一点，且．      (1)求证： 证明：∵在中，（已知） ∴（___________），又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（___________），∴，∴． (2)如图②，若的平分线分别交，于点E，F，求证：； (3)如图③．若E为上一点，交于点F，，，． ①___________；（用含m的代数式表示） ②四边形的面积是___________．（用含m的代数式表示） 【答案】(1)直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；(2)见解析；(3)①；②． 【详解】（1）证明：∵在中，（已知）， ∴（直角三角形两锐角互余）， 又∵（已知），∴（等量代换）， ∵（三角形内角和定理），∴，∴． 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理； （2）证明：∵平分，∴， ∵，∴，，∴， 又∵，∴； （3）解：①∵，∴， ∵，∴，∴，故答案为：；    ②连接，设，则，∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积，故答案为：． 1．（25-26·黑龙江哈尔滨·八年级校考月考）如图，在中，，，的边上的高与边上的高的比值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵的边上的高为，边上的高为，，， ∴，即：，∴，故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末） 如图，在中，是边上的高，且，平分，交于点，过点作，分别交、于点、．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是边上的高，，， ，，，故A正确，不符合题意； 平分，， ∵，∴，∴，故B正确，不符合题意； ，，，， ，故C正确，不符合题意； ∵，∴ 即，故D错误，符合题意．故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴，∴在中，， ∴在中，，∴．故选：C． 4．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∵是边上的高，∴，∴， ∵是的平分线，∴， ∴．故选：C． 5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，，， 平分，， 为边上的高，，．故选：C． 6．（24-25·北京朝阳·八年级期末）如图，在中，是高，是中线，若，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：∵，，即，∴ ∵是中线，即点是的中点，∴，故选：C． 7．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，中，，平分，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵中，，∴设，那么，∴， ∵平分，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 8．（24-25·湖南永州·八年级统考期中）如图，、是等边的高，则 ．    【答案】/度 【详解】解：∵、是等边的高， ∴、是的角平分线，，∴ ∴，故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【详解】解：如图，延长交于， ∵两条高交于点O，∴为边上的高，即， ∴，故答案为：． 10．（24-25·辽宁阜新·七年级校考期中）如图，在中，，，于，于，与交于，求的度数．    【答案】 【详解】延长交于点F，    ∵，，∴，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴． 11．（24-25·浙江·八年级专题练习）如图，在中，，于，平分交于，交于F．    (1)如果，求的度数；(2)试说明：． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：，，， 平分交于，，； （2）证明：，， ，，， 平分交于，，， ，． 12．（24-25·安徽安庆·八年级校考期中）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线．    (1)求的度数；(2)若，试探求、、之间的数量关系． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵在中，，，∴， ∵是的平分线，∴， ∵是边上的高，∴，∴， ∴，∴． （2）解：∵，是的平分线， ∴，∵是边上的高，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，即． 13．（24-25·云南玉溪·八年级校考期中）如图所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B． (1)求证：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝∠1＋∠BCD＝90°，∠1＝∠B， ∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高； （2）解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，∴， ∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴CD＝． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，平分，为线段上的一个点，交直线于点．(1)若，，求的度数．(2)猜想与、的数量关系． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解： ，，， 平分，，，； （2）如图，设，，平分，， ，，，， ，， ，，． 15．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，平分交于点D，是的边上的高，且，．(1)求的度数；(2)求的度数． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，平分，， ，． （2）是的高，， ，，． 16．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）在△ABC中，两条高BD、CE所在的直线相交于点O． (1)当∠BAC为锐角时，如图1，求证：∠BOC＋∠BAC＝180°．(2)当∠BAC为钝角时，如图2，请在图2中画出相应的图形（用三角尺），并回答（1）中结论是否成立？不需证明． 【答案】(1)见解析(2)成立，图见解析 【详解】（1）证明：∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠OEB=∠BDC=90° ∵∠BOC是COD的外角，∴∠BOC＝∠OCD＋∠CDO＝∠OCD＋． ∴∠BOC＋∠BAC＝∠OCD＋＋∠BAC＝（∠OCD＋∠BAC）＋＝＋＝． （2）如图所示：（1）中结论成立，理由如下： ∵BD、CE是△ABC的两条高，∴∠OEB=∠BDC=90°， ∴∠BOC+∠OBE=90°，∠DAB+∠OBE=90°∴∠BOC=∠DAB，∴∠BOC+∠BAC=∠DAB+∠BAC ∵∠DAB+∠BAC=180°∴∠BOC+∠BAC=180°． 17．（24-25·江苏徐州·七年级校考阶段练习）在中，，平分． (1)如图①，若于D，求的度数．(2)如图②若点P为上一点，，求的度数．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵，∴， 又∵平分，∴， 又∵，∴，∴， ∴； （2）解：过点作于点D，由（1）可得：， ∵，，∴，∴，∴．    18．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，平分，交边于点．（1）如图1，过点作于，若已知，求的度数； （2）如图2，过点作于，若恰好又平分，求的度数； （3）如图3，平分的外角，交的延长线于点，作于，设，试求的值．（用含有的代数式表示） （4）如图4，在图3的基础上分别作和的角平分线，交于点，作于，设，试直接写出的值．（用含有的代数式表示） 【答案】（1）10°（2）70°（3）=-30°（4）= 【详解】（1）∵，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=100° ∵平分，∴∠EAC==50° ∵∴∠DAC=90°-∠C =40°∴=∠EAC-∠DAC=10°； （2）设=x,∵∴∠DAC=90°-∠C =90°-x ∵平分，∴=2∠DAC=180°-2x ∵平分，∴=2=360°-4x 在△ABC中，+∠B+∠C=180°∴360°-4x+30°+x=180°解得x=70°∴=70°； （3）∵，∴∠BAC=180°-∠B-=150°- ∵平分，∴∠EAC== ∴∠AEC=180°-∠EAC -=∴∠DEF=∠AEC= ∵∴=90°-∠DEF =-15°∵∴∠BCG=180°-∠ACB=180°- ∵平分∴∠DCF== ∴=180°-∠EAC-∠ACF=180°-∠EAC-∠ACB-∠DCF =15°∴=-15°-15°=-30°； （4）=理由如下： ∵由（3）可得∠BAE =∠EAC== ∵AF1平分∠BAE∴∠F1AE=∠BAE = 由（3）同理可得+= 又∴+90°=++n∴= ∵CF1平分∴∠BCF1=∠BCF∠BCG = ∴=180°-∠F1AC-∠ACF1=180°-∠F1AE-∠EAC-∠ACB-∠BCF1=180°-()-()--()=22.5°∴=-22.5°=故=． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $