专题06 三角形中的倒角模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题06 三角形中的倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．多于3 4.（24-25江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（　　　） A． B． C． D． 6．（24-25河北·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 8．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 9．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 12．（24-25七年级下·福建·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 13．（24-25贵州·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．    14．（24-25陕西·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）    15．（24-25广东·八年级月考）如图，若，则 ． 16．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 17．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 18．（25-26·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 19．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示） 20.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则=_______． 21．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 22．（24-25吉林·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 23.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图，连接并延长至点，， （依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______； (2)下列说法正确的是______． A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论 D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论 (3)如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D． (1)如图1，如果点F在线段上，且，，则_____°； (2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点F与点A重合，、分别平分和的外角，连接，过点P作交延长线于点G，交的延长线于点H，若，且，求的度数． 25．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且． （1）求证：． 证明：在中，∵（已知）∴（ ） 又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ） （2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：． （3）如图③，若为上一点，交于点，，，． ①求的值；②四边形的面积是 ． 26．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等. 27．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 28．（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 29.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 30．（24-25七年级下·广东湛江·月考）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是_____． 【联系拓广】（2）①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如题图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 三角形中的倒角模型 本专题包含三角形中的八类倒角模型，主要有：高分线模型、双垂直模型、射影模型、双角平分线（双内、双外、内外）模型、A字型、8字型、燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻折等模型等。通过这些综合训练希望能让大家弄清楚这些模型的适用条件，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 1．（24-25八年级上·江苏·假期作业）如图，在中，，的角平分线和的外角平分线交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，的角平分线和的外角平分线交于点， ，， ，，， 是的外角，，， 即，解得：．故选：． 2．（24-25·云南大理·八年级校考期中）如图，在中，平分，平分，连接，若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过P作， ∵平分，平分，∴，∴． ∵，，∴，，∴，． ∵，， ∴，∴，∴．故选A． 3．（24-25八年级上·山东·阶段练习）如图，在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③；④点在的角平分线上；⑤一定成立的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．多于3 【答案】C 【详解】解：为外角的角平分线，平分，，， 又是的外角，，故①正确； ，分别平分，，∴， 则，∴，故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上，故④是正确的． ∵题干提供的信息都是角的条件，且三点共线，无法通过等角对等角得出， 故③是错误的．∵， 平分， ∴ 平分， ∴∴故⑤是错误的．故选：C． 4.（24-25江苏·七年级专题练习）如图，在中，AB=8，BC=6，AB、BC边上的高CE、AD交于点H，则AD与CE的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得： 解得故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，于点平分交于点．则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×100°=50°， ∵∠C=25°，∴∠AED=∠C+∠EAC=25°+50°=75°， ∵AD⊥BC，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=90°-75°=15°，故选：A． 6．（24-25河北·八年级校联考阶段练习）如图，，都是的高，则与一定相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，都是的高， ∴．∴． A、当时，可得，该选项不符合题意； B、当时，可得，该选项不符合题意； C、根据题意可知，该选项符合题意； D、当时，可得，该选项不符合题意．故选：C． 7．（24-25成都市·七年级专题练习）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 8．（24-25八年级上·海南儋州·开学考试）如图，为等腰直角三角形，，将按如图方式进行折叠，使点A与边上的点F重合，折痕分别与交于点D、点E．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的结论序号为（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】C 【详解】解：由折叠的性质，，，， ∵为等腰直角三角形，，∴，∴，故选项③正确； 设，， ∴，，∵， ∴，∴，∴，故选项②正确； ∵，∴与不一定相等，故选项①不一定正确； ∵点在边上，不固定，与不一定平行，故选项④不一定正确； 综上分析可知：正确的结论有②③．故选：C． 9．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，小军借助几何画板设计了“鱼形”图案，由四边形和组成．已知在中，，，，，则的度数是（　　） A．65° B．55° C．45° D．35° 【答案】B 【详解】解：延长交于点H，如图所示： ∵，，∴， ∵，，∴，，∴．故选：B． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， 由折叠的性质可得， ∴，∴， ∴，故选：B． ∵，∴，∴，∴，故答案为：． 11．（24-25七年级下·山东·期末）如图，，分别平分和，若，，则 度． 【答案】34 【详解】解：∵，分别平分和，∴，， 根据三角形内角和定理可得：，， ∴由得：， ∵，，∴，∴，故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 【答案】235°/235度 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 13．（24-25贵州·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，则 ．    【答案】 【详解】解：如图可知：，，，， ，故答案为：．    14．（24-25陕西·七年级统考期中）如图，，一副直角三角板和如图摆放，，，若，则下列结论：①；②；③；④平分，正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【详解】解：如图，由题意得：，∵，∴，    ∵， ∴， ∴，，故结论③错误； ∵，∴，∴平分，故结论④正确； ∵，∴，∴，故结论①正确； ∵，∴，∴，故结论②正确；故答案为：①②④． 15．（24-25广东·八年级月考）如图，若，则 ． 【答案】230° 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 16．（24-25八年级上·湖南湘西·期中）如图，在中，，，，垂足为．若，则的长为 ． 【答案】【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 17．（24-25·成都市·八年级专题练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则 ． 【答案】61° 【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°， ∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°， ∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°， ∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF， ∴∠EAC+∠ECA =（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°， ∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°． 18．（25-26·安徽阜阳·八年级校考期中）如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，已知，是的外角，的平分线与的平分线相交于点，得；若的平分线与的平分线相交于点，得；…的平分线与的平分线相交于点，得．则 ．（用含的式子表示） 【答案】/ 【详解】解：∵平分，平分，∴，， ∵，∴， ∴，同理可得，，… ∴，故答案为：． 20.（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则=_______． 【答案】114 【详解】解：∵，∴， 四边形是长方形，，， ，设，， 由沿折叠可知：，， 由沿折叠可知：， ，，即，解得：，故答案为：． 21．（24-25广东·八年级校考期末）（1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：　　；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数 　　个； （3）如果图2中，，，与分别是和的角平分线，试求的度数； （4）如果图2中和为任意角，其他条件不变，试问与，之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】解：（1）结论为：，理由如下：∵， 又∵，∴；故答案为： （2）交点有点、、，以为交点有1个，为与， 以为交点有4个，为与，与，与，与， 以为交点有1个，为与，综上所述，“8字形”图形共有6个；故答案为： （3）由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点，∴，， 得：，∴， 又∵，，∴，∴； （4）关系：，由（1）可知：，， ∴，， ∵、分别是和的角平分线，∴， ∴，即， ∴，整理得，． 22．（24-25吉林·七年级统考期末）实践与探究 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，．    (1)操作一：如图①，将三角尺按如图方摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 　 　度． (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，且平分，求的度数． (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B顺时针旋转一周，速度为每秒，设运动时间为t秒，当边与互相平行时，直接写出t的值． 【答案】(1)105(2)(3)或 【详解】（1）解：，，， ，， ，故答案为：； （2）解：如图1，延长，交于G，平分，，    由题意得：，， ，； （3）解：如图2，，，， 当点A运动到时，，综上所述：或． 23.（24-25八年级上·山西晋中·期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图，锐角内部有一点，在其两边和上各取任意一点，，连接，，求证：． 小丽的证法 小红的证法 证明：如图，连接并延长至点，， （依据）， 又∵，， ∴． 证明： ∵，，，（量角器测量所得）， ∴，（计算所得）． ∴（等量代换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：______； (2)下列说法正确的是______． A．小丽的证法用严谨的推理证明了本题结论 B．小丽的证法还需要改变的大小，再进行证明，本题的证明才完整 C．小红的证法用特殊到一般的方法证明了本题结论 D．小红的证法只要将点在的内部任意移动次，重新测量进行验证，就能证明本题结论 (3)如图，若点在锐角外部，与相交于点，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出，，，之间的关系并证明． 【答案】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(2)；(3)． 【详解】（1）解：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）解：由题意，按照定理证明的一般步骤分析，正确；小丽是用的一般方法证明的，不需要再改变的大小再证，故错误； 小红使用的是实验的方法，不是从特殊到一般的证明方法，不管试验几次，证明方法都不严谨，故、错误；故选：； （3）解：不成立，理由：∵是的一个外角，∴， ∵是的一个外角，∴，∴． 24．（24-25七年级下·福建泉州·期中）在中，，平分，点F为射线上一点（不与点E重合），且于点D． (1)如图1，如果点F在线段上，且，，则_____°； (2)如果点F在的外部，分别作出和的角平分线，交于点K，请在图2中补全图形，探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点F与点A重合，、分别平分和的外角，连接，过点P作交延长线于点G，交的延长线于点H，若，且，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：，，， 是的角平分线，，， ，，，故答案为：10； （2），理由：平分，， 平分，， ， ，，平分，， ，即； （3）设，，，，， 、分别平分和的外角，， 是的外角，是的外角，， ，，， 平分，，，， 即，，， ，， ，，在四边形中，． 25．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，，是上一点，且． （1）求证：． 证明：在中，∵（已知）∴（ ） 又∵（已知）∴（等量代换）∴（ ） （2）如图②，若的平分线分别交，于点，求证：． （3）如图③，若为上一点，交于点，，，． ①求的值；②四边形的面积是 ． 【答案】（1）直角三角形两锐角互余；三角形内角和；（2）见解析；（3）①；② 【详解】（1）在中， ∵（已知）∴（直角三角形两锐角互余） 又∵（已知）∴（等量代换） ∴（三角形内角和） 故答案为：直角三角形两锐角互余；三角形内角和； （2）∵平分，∴， 又∵，，，∴， 又∵，∴； （3）①∵BC=3CE，∴，∵AB=4AD，∴， ∴； ②连接，设，则， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴解得：， ∴四边形的面积是：． 26．（23-24八年级上·广东肇庆·期中）如图，的外角的平分线与的外角的平分线相交于点.(1)若，求的度数；(2)求证：点到三边，，所在直线的距离相等. 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，∴， ∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点， ∴，∴ （2）证明：过点P作，，，如图， ∵外角的平分线与的外角的平分线相交于点， ∴，∴，∴点到三边，，所在直线的距离相等 27．（24-25八年级上·河南许昌·期中）探究与发现： （1）如图（1），在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD． ①若，则　 　．②若，用含有α的式子表示为　 　． （2）如图（2），在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由．（3）如图（3），在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：　 　． 【答案】（1）①125°②∠P＝90°＋α；（2）∠P＝（∠A＋∠B）（3）∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 【详解】解：（1）①∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋×70°=125° 故答案为：125°； ②∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠ACD ∵∠A＋∠ADC＋∠ACD＝180°∴∠ADC＋∠ACD＝180°−∠A ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180° ∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°− （∠ADC＋∠ACD） ∴∠P＝180°−（180°−∠A）＝90°＋∠A=90°＋α故答案为：∠P＝90°＋α； （2）∠P＝（∠A＋∠B） 理由如下：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠CDP＝∠ADC，∠DCP＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠BCD＋∠ADC＝360°∴∠BCD＋∠ADC＝360°−（∠A＋∠B） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠ADC＋∠BCD） ∴∠P＝180°−[360°−（∠A＋∠B）]＝（∠A＋∠B） （3）∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD∴∠PDC＝∠EDC，∠PCD＝∠BCD ∵∠A＋∠B＋∠E＋∠F＋∠BCD＋∠EDC＝720°∴∠BCD＋∠EDC＝720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F） ∵∠P＋∠PDC＋∠PCD＝180°∴∠P＝180°−（∠PDC＋∠PCD）＝180°−（∠EDC＋∠BCD） ∴∠P＝180°− [720°−（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）]∴∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180° 故答案为：∠P＝（∠A＋∠B＋∠E＋∠F）−180°． 28．（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点， ，， ，， ； （2）解：，理由如下： O是与外角的平分线和的交点，， 是的一外角，，， 是的一外角，； （3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点， ，， ，， ． 29.（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）探究题 (1)若中，①如图1，若和的角平分线相交于点O，则 ． ②如图2， 若和的三等分线相交于点、，则 ． (2)若中，；①如图1，若和的角平分线相交于点O，则用x表示 度 ． ②如图2，若和的三等分线相交于点、，则用x表示 度． ③如图3，若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 度．（结果不需化简）；(3)如图，四边形中，为四边形的的角平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ①如图4，若设，，则 ； ②如图5，若设，，请在图中画出，则 ； ③若设，，一定存在吗？如有，求出的值（用x、y表示），如不一定，指出x、y满足什么条件时，不存在，并说明理由． 【答案】(1)；(2) (3)；；当且仅当满足时不存在 【详解】（1）解：①∵和的角平分线相交于点O，∴，，， ∵，∴，∴， ∵，∵，∴； ②∵和的三等分线相交于点、，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∵，． 故答案为：；； （2）①由（1）①得，∵，∴ ②由（1）②得，∵，∴ ③由①②可得，； ∴若和的n等分线相交于点、、……、，则用x表示 故答案为：，； （3）①∵，∴，∴，∴，∴． ∵，，∴故答案为：； ②如图，∵，∴， ∴，∴； ∵，，∴．故答案为：； ③当时，不存在， 如图，的角平分线及外角的平分线分别是和． ∵，∴，∴． ∵的角平分线及外角的平分线分别是和，∴， ∴的角平分线及外角的平分线平行，∴不存在，∴当时，不存在． 30．（24-25七年级下·广东湛江·月考）【综合实践】——折纸中的数学 某兴趣小组在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过以下的折纸方式找符合要求的直线．如图1，在一张正方形纸片的两边上分别有，两点，连接，是正方形纸片上一点，用折纸的方法过点作的平行线的基本步骤如下． 第一步：如图2．过点进行第一次折叠．使点的对应点落在上．折痕与互相垂直，垂足为，打开纸张铺平． 第二步：如图3，过点进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）． （1）根据上述步骤可知，与的位置关系是_____． 【联系拓广】（2）①如图4，设直线与正方形上、下两边分别交于点，，试探究与的数量关系，并说明理由；②若，求的度数． 【类别迁移】（3）如题图5，在长方形纸片中，，将纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处，且点，，，在同一直线上．求证：． 【答案】（1）；（2）①，理由见解析；②；（3）见解析． 【详解】解：（1）．理由如下：由折叠可得，， ∴，∴，∴；故答案为： （2）①．理由如下：如图，连接． 由正方形可知，，∴． ∵，∴，∴，即． ②如图，过点作，∴． ∵纸片是正方形，∴．∵，∴，∴， ∴，∴． （3）证明：∵，∴． ∵纸片沿折叠，使落在处，再将纸片沿折叠，使落在处， ∴，，∴，∴． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $