专题02 三角形中的特殊模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

专题02.三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴；故选：B． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①，；② (3) 【详解】（1）证明：，，； （2）①，，； ，，； 故答案为：，； ②如图所示：和的平分线和相交于点，，， 由(1)得，，，． ，，； （3）解：，理由如下：与分别平分与， ，， 和的平分线和相交于点，，， ，， ，， ，，， 四边形，， ，， ，，， ，，． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，即，故选：． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·吉林·校考期中）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 【答案】35 【详解】解：∴，而，∴， ∵，∴．故答案为：35． 例2（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，∵，∴， ∵，∴，∴，故选：B． 例3（24-25八年级上·湖北·专题练习）如图， 度． 【答案】 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ，， ，故答案为：． 例4（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 【答案】（1）见解析  （2）30°   （3） 【详解】解：（1）和，，． ， （2）分别平分，， 由（1）可知：由①+②可得， ，即，，，． （3）直接写出结论：． 由（1）可知：，， ，，，， ①， ②， 由①②得：，． 例5（24-25·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． （1）在中，，在中，， 两不等式相加得，∴即 （2）应用上题的结论：，， ∴． 模型2.“A”字模型 例1（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴故选：D． 例2（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 【答案】250 【详解】解：∵，，，， ，，， ．故答案为：250． 例3（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图， ． 【答案】 【详解】解：如图所示：是的一个外角，， 是的一个外角，， 在四边形中，， ，故答案为：． 例4（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图，为直角三角形，，∴， ∵，，∴，∴； （2）如图，∵，∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，，理由见下：由题意得，， ∴，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴，∴，即． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 【答案】/75度 【详解】解：由图可得，，， ∴，故答案为：． 例2（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴延长交于点P，如图， ∵∴∴ ∵∴， ∴故选：D 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴的大小为．故选：B． 例4（24-25··辽宁·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【详解】解：由题意知，，∴，①不一定正确，故不符合要求； ∵，∴， ∴与互为补角，②一定正确，故符合要求；∵，∴， ∵，∴，③一定正确，故符合要求； 由题意知，，即， ∵，∴，∴，④一定正确，故符合要求；故选：B． 例5（24-25·七年级下·吉林·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 【答案】(1)15(2)旋转角的所有可能的度数是：，，，， (3)，证明见解析 【详解】（1）解：当时，， ∴，即旋转角°故答案为：15 （2）解：当的一边与的某一边平行（不共线）时，有五种情况： ①当时，如下图，由（1）知旋转角； ②当时，如下图，与重合，∴，即旋转角为； ③当时，如下图，∴，∴， ∴， ∴，即旋转角为； ④当时，如下图，延长交于点M， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴，在同一直线上，即点A，B，D共线， ∴，即旋转角为； ⑤当时，如下图， ∵，∴，即旋转角为； 综上所述，旋转角的所有可能的度数是：，，，，． （3）（3）当，，保持不变； 理由如下：在中，， ，，， ，，． 1．（2025·河北·校考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在中，，∴， ∵，∴故选：A． 2．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示： 点在边上，，，， 在中，，，则， 是的一个外角，，故选：B． 3．（2025·广东·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交于， ， ∵一副直角三角板中，，，∴，， ∵，∴，∴，故选：C． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，∴，∴．故选：A． 5．（24-25·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为(   ) A．60° B．50° C．40° D．30° 【答案】D 【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝120°， 在△DBC中，∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝120°﹣90°＝30°．故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】/100度 【详解】解：根据题意可知，∴， 又∵，∴．故答案为：． 7．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 【答案】/100度 【详解】解：∵，，∴， ∵，∴，故答案为：． 8．（24-25·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．    【答案】/250度 【详解】解：如图，进行标注，    是的一个外角，， 是的一个外角，，即， 是的一个外角，， ， 是的一个外角， ， ，故答案为：． 9．（24-25·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 【答案】230 【详解】解：如图， ∵，∴， ∴，∴， ∴．故答案为：230． 10.（24-25上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 【答案】或或 【详解】解：有三种情形：①如图1中，当时． ∵， ∴， ∵， ∴． ②如图2中，当时，，可得． ③如图3中，当时，延长交于M． ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的的度数为或或． 故答案为：或或． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点，连接、．试证明：． 【答案】见解析 【详解】证明： 12．（24-25·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F． (1)若，则　 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴．故答案为：； （2）， 理由：∵，∴， ∵∴ ， ∵，∴． 13．（24-25·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)理由见解析 【详解】（1）解：， ∴， ∵，． （2）解：图中有个“字”分别是：、、、、． （3）解：平分平分， ， ，． 14．（24-25·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ A．90°          B．135°            C．270°             D．315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______ （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________ （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由． 【答案】（1）C；（2）220°；（3）∠1+∠2=180°+∠A；（4）∠1+∠2=2∠A，证明见解析 【详解】解：（1）∵△ABC为直角三角形，∠C=90°， ∴∠B+∠A=180°-90°=90°，∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠A）=270°．故选：C； （2）∵△ABC中，∠A=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=220°．故答案是：220°； （3）∵△ABC中，∠B+∠C=180°-∠A， ∴∠1+∠2=360°-（∠B+∠C）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A．故答案是：∠1+∠2=180°+∠A； （4）∠1+∠2=2∠A，理由如下：如图： ∵△EFP是由△EFA折叠得到的，∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF， ∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）， 又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A． 15．（24-25·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)；；(2)(3)不成立，，理由见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴， ∴．故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下：由（1）得：，∵，∴， ∴． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下：在中，， 在中，∵，∴， ∴，∴， ∴．∴（2）中的结论不成立． 16．（24-25·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【详解】解：（1）如图①，连接AD，由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 17．（24-25·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 【答案】(1)D(2)240(3)(4) 【详解】（1）解：，， ，故选：D． （2）解：，， ，故答案为：240． （3）解：，， ，故答案为：． （4）解：连接，，， ， ，，故答案为：． 18．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 【答案】(1)(2)；(3)或． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，∴，即；故答案为：； （2）解：由（1）得，∴，∴， ∵，∴； （3）解：如图，设与的交点为， ∵，∴，∴，∴； 如图，设与的交点为，∵，∴， ∴；综上，的度数为或．故答案为：或． 19．（24-25·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数； （3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）． 【答案】（1）见详解；（2）100°；（3）∠P=45°- 【详解】（1）证明：∵在“对顶三角形”与中，∴， ∵，∴，∵，∴， 又∵∴； （2）∵比大20°，+=+， ∴设=x， =y，则=x+20°，=y-20°， ∵，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-=x+y， ∴∠ABC+∠DCB=∠ABC+∠ACB-= x+y- x-20°=y-20°， ∵∠ABC+∠DCB+=180°，∴y-20°+y=180°，解得：y=100°，∴=100°； （3）∵，是的角平分线， ∴设∠ABE=∠CBE=x，∠ACD=∠BCD=y，∴2x+2y+=180°，即：x+y=90°-， ∵和的平分线和相交于点P， ∴∠CEP=(180°-2y-x)，∠CDP=(180°-2x-y)，∵∠CEP+∠ACD=∠CDP+∠P， ∴∠P=(180°-2y-x)+y-(180°-2x-y)= x+y=45°-，即：∠P=45°-． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． 已知：如图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出之间的数量关系　 　；(2)在图2中，若，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于M、N，试求的度数； (3)在图3中，已知分别平分，请问与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．(4)在图4中，已知的反向延长线平分，平分，请直接写出与之间的数量关系 ． 【答案】(1)(2)38°(3)(4) 【详解】（1）解：在中，．在中，． ∵（对顶角相等），∴， ∴；故答案为：； （2）解：∵， ∴，∴． ∵分别是和的角平分线，∴． 又∵，∴ ； （3）解：根据“8字形”数量关系有：①， ，∴②， 由①和②得：； （4）解：根据“8字形”数量关系有：，， ∴①， ，∴② 由①②得：．故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02.三角形中的倒角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． （2025·浙江宁波·三模）一张三角形纸片如图所示，已知，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较和的大小 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·吉林·校考期中）如图，线段和相交于点O，，，则的度数是 度． 例2（24-25八年级上·广东惠州·期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·湖北·专题练习）如图， 度． 例4（24-25七年级下·四川眉山·期末）【问题背景】（1）小明在学习多边形时，把如图1的图形看成“8”字形，并得出如下结论：，请你说明理由； 【尝试应用】（2）如图2，、分别平分、，若，，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，已知，，，，其中，且为整数，请利用上述结论或方法直接写出的度数．（用含n，，的代数式表示） 例5（24-25·重庆·八年级专项训练）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O． 求证：（1）； （2）． 模型2.“A”字模型 例1（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·江西宜春·阶段练习）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ° 例3（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图， ． 例4（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）（1）如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则 ____； （2）如图2，已知中，，剪去后成四边形，则____； （3）如图3，当时，将折成如图3形状，试求的度数（用含α的式子表示）． 模型3.三角板模型 例1（24-25七年级下·山东聊城·期末）把一副三角尺如图所示放置，如果不计三角尺的厚度，图中的度数是 ． 例2（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，三角板（其中，）和三角板（其中，）按照如图所示的位置摆放，点在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例3（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）两个直角三角板如图摆放，其中，，，与交于点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25··辽宁·七年级统考期中）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①；②与互为补角；③若，则；④．其中一定正确的序号是（    ）    A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④ 例5（24-25·七年级下·吉林·阶段练习）如图①，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，如图②，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______时，； (2)当的一过与的某一边平行（不共线）时，写出旋转角的所有可能的度数； (3)当时，连结，分别交、于点、，利用图③探值的大小变化情况，并给出你的证明． 1．（2025·河北·校考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·甘肃武威·一模）小明将一副直角三角板按如图所示摆放，点在边上，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，P是内一点，延长交于点，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25·福建福州·七年级统考期中）如图，将一块直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点B、C，若∠ABC+∠ACB＝120°，则∠ABD+∠ACD的值为(   ) A．60° B．50° C．40° D．30° 6．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）有一张直角三角形纸片，记作，其中．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形中，若，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，中，若沿图中虚线剪去后，，则 ． 8．（24-25·安徽·八年级校考期中）如图，若，则 ．    9．（24-25·江苏苏州·七年级统考期中）如图，四边形中，，若沿图中虚线剪去，则 ． 10.（24-25上海七年级课时练习）小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当，且点E在直线的上方时，他发现若 ，则三角板有一条边与斜边平行． 11．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，线段与相交于点，连接、．试证明：． 12．（24-25·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点D、E、F． (1)若，则　 ．(2)、、有什么数量关系？请说明理由． 13．（24-25·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 14．（24-25·广东东莞·八年级校考阶段练习）（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于___________ A．90°          B．135°            C．270°             D．315° （2）如图2，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝_______ （3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是________________ （4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1＋∠2与∠A的关系并说明理由． 15．（24-25·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系． (1)特殊探究：若，则_____度，_____度，_____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由． 16．（24-25·山东七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 17．（24-25·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳： (1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则　　． A．  90°  B．  315°  C．  135°  D. 270° (2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则　　度． (3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是　　． (4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是　　． 18．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线上，两个直角顶点重合在一起，交直线于点C，其中，． (1)如图2，将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与的数量关系是___________；(2)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转至图3所示的位置，此时在的内部，与相交于点P，当 时，求的度数；(3)将图1中的三角板绕点C按逆时针方向旋转，当时， 的度数为___________．（直接写出结果即可） 19．（24-25·江苏连云港·七年级统考期中）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． （1）【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； （2）【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数； （3）【拓展提高】如图4，已知，是的角平分线，且和的平分线和相交于点P，设，求的度数（用表示）． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． 已知：如图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出之间的数量关系　 　；(2)在图2中，若，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于M、N，试求的度数； (3)在图3中，已知分别平分，请问与之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．(4)在图4中，已知的反向延长线平分，平分，请直接写出与之间的数量关系 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $