第七章 专题强化 卫星的变轨和双星问题（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

专题强化　卫星的变轨 和双星问题 DIQIZHANG 第七章 1 1.理解卫星变轨和对接原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。 2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 学习目标 2 一、卫星的变轨和对接 二、双星及多星问题 专题强化练 内容索引 3 一 卫星的变轨和对接 4 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火 (选填“加”或“减”)速， 由于速度变 ，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ 上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入 椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火 (选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 加 大 加 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度 图中vⅢ vⅡB，vⅡA vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度 从远地点到近地点线速度逐渐 。 (3)两个不同轨道上的线速度 轨道半径越大，v越 ，图中vⅠ vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 > > 增大 小 > (4)不同轨道上运行周期T 根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期 外侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系： 。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度 根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ aⅡB，aⅡA aⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 小于 TⅠ<TⅡ<TⅢ = = 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 思考与讨论 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高 轨道，不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 (2023·浙江省高一期中)2021年2月，“天问一号”探测器实施近火捕获，顺利进入大椭圆环火轨道，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、落、巡”目标的第一步，环绕火星成功。图甲为我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像；图乙为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道， P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和 远火星点，P、S、Q三点与火星中心在 同一直线上，下列说法正确的是 例1 A.探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速 B.探测器在轨道Ⅲ上Q点的速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度 C.探测器在轨道Ⅰ上运行时，在相等时间 内与火星连线扫过的面积与在轨道Ⅲ上 相等 D.探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时 间小于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到 Q点的时间 √ 探测器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ做的是近心运动，需点火减速，使万有引力大于所需的向心力，A错误； 根据万有引力提供向心力，有G=m， 解得v=，可知轨道Ⅱ上S点对应圆轨 道的速度小于轨道Ⅲ上P点的速度，而轨 道Ⅱ上S点速度小于对应圆轨道的速度，又P、Q为轨道Ⅲ上的两点，则P、Q速度大小相等，所以Q点速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度，B正确； 开普勒第二定律描述的是卫星在同一个轨道上相等时间连线扫过的面积相等，轨道Ⅰ和轨道Ⅲ属于不同的轨道，则在相等时间内与火星连线扫过的面积不等，C错误； 轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅲ的半径，由开 普勒第三定律知，探测器在轨道Ⅱ上的周 期大于探测器在轨道Ⅲ上的周期，而探测 器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间和探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间都是各自周期的一半，故探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间大于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间，D错误。 总结提升 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。 (2024·丽水市高二期中)2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，于17时46分成功对接中国空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，在离地面约400 km的轨道绕地球做匀速圆周运动，如图所示，则 A.神舟十七号进入空间站同一轨道后直接 加速对接 B.神舟十七号飞船与空间站对接后的速度 大于点火加速前的速度 C.三舱三船组合体绕地球做圆周运动的速度v满足：7.9 km/s≤v≤11.2 km/s D.三舱三船组合体圆周运动周期小于24小时 例2 √ 神舟十七号进入空间站同一轨道后直接加速，神舟十七号将做离心运动，不可能与空间站对接；所以神舟十七号需要在低轨道加速，做离心运动到达空间站轨道实现对接； 根据万有引力提供向心力得=m， 可得v=，可知神舟十七号飞船与空 间站对接后的速度小于点火加速前的速 度，故A、B错误； 地球第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，所以三舱三船组合体绕地球做圆周运动的速度小于7.9 km/s，故C错误；根据万有引力提供向心力得= mr，可得T=，可知三舱三船 组合体圆周运动周期小于地球同步卫 星周期，即小于24小时，故D正确。 返回 二 双星及多星问题 18 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的 两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它 们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们 将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆 周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小 ，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2 =L，两星轨道半径之比等于两星质量的 。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运 动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 相等 反比 三星模型 四星模型         2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质 量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量 为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。 例3 答案　见解析 双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力， 对质量为m1的星体：=m1r1ω2 对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L 解得r1=，r2= 由G=m1r1及r1=得 周期T=2πL。 　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每颗恒星所受的万有引力的大小； 例4 答案　G 任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每颗恒星运行的角速度大小。 答案　 每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 返回 专题强化练 三 27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A D A C AD 题号 9 　10 答案 (1)2πL　(2)1.012 　 B 对一对 答案 1.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则 A.v1>v2，v1=　　B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1=　　D.v1<v2，v1> 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础强化练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，如图所示，由=可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”由圆轨道进入椭圆轨道需加速，所以v1>，故选B。 答案 2.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是 A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 3.(2024·宁波市高一月考)2021年4月29日，长征运载火箭在海南文昌成功将空间站“天和”核心舱送入高度约400 km的预定轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开。随后发射了“问天”和“梦天”两个实验舱，完成与核心舱对接，再发射“天舟”货运飞船、“神舟”载人飞船，为空间站送去乘组和物资，最终完成了中国第一座空间站“天宫”的建造。下列说法正确的是 A.“天和”核心舱的发射速度大于11.2 km/s B.空间站绕地飞行速度小于第一宇宙速度 C.空间站绕地飞行周期大于24小时 D.要实现实验舱与核心舱的对接，需要把实 验舱送入核心舱轨道后再加速追上核心舱 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 “天和”核心舱进入运行轨道后绕地球运动，其发射速度应小于第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误； 地球的第一宇宙速度，是发射卫星的最小 速度，也是卫星最大的环绕速度，故空间 站绕地飞行速度小于第一宇宙速度，故B 正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 根据开普勒第三定律=k，因为地球同步卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以空间站绕地飞行周期小 于24小时，故C错误； 要实现实验舱与核心舱对接，则先让实验 舱预留在低轨道，适当时机让实验舱加速 做离心运动，从低轨道到高轨道与核心舱对接，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 4.(2024·杭州市高一期末)2022年1月22日，我国实践二十一号卫星将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道”上。拖拽时，航天器先在P点加速进入转移轨道，而后在Q点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和 太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器 A.在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的 周期 B.在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度 C.在转移轨道上经过Q点的速度大于在墓地轨道上经过Q点的速度 D.在同步轨道上经过P点的加速度大于在转移轨道上经过P点的加速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 根据开普勒第三定律可知，在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期，故A正确； 根据万有引力提供向心力有G=mω2r得ω=， 由于同步轨道的半径小于墓地轨道的半径，则在同 步轨道上运动的角速度大于在墓地轨道上运动的角 速度，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 航天器在Q点经过加速才能进入墓地轨道，所以在转移轨道上经过Q点的速度小于在墓地轨道上经过Q点的速度，故C错误； 根据牛顿第二定律可知a=G，由于G、M、r都相等， 所以在同步轨道上经过P点的加速度等于在转移轨道 上经过P点的加速度，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 5.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器 A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误； 根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误； 天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动， 需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点 火减速，故C错误； 在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。 答案 6.由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，质量为m1、m2的两颗星各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则 A.它们的线速度大小之比v1∶v2=3∶2 B.它们的角速度大小之比ω1∶ω2=2∶3 C.它们的质量之比m1∶m2=3∶2 D.它们的周期之比T1∶T2=2∶3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，故B、D错误； 由于双星系统中，双星间的万有引力提供做圆周运动的向心力，则=m1ω2r1=m2ω2r2，解得m1∶m2=r2∶r1= 2∶3，故C错误； 双星的角速度相同，由v=rω知v1∶v2=r1∶r2= 3∶2，故A正确。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号 A.发射速度介于7.9 km/s与 11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间 小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动到Q点时的速度大于地球绕太阳的速度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 能力综合练 √ 答案 因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期 (12个月)，则从P点转移到 Q点的时间大于地球公转 周期的一半，故应大于6个 月，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点 变轨进入火星轨道，则需 要加速，又知v火<v地，故 “天问一号”在Q点的速 度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8.(多选)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是 A.双星之间引力变大 B.每颗星的加速度均变小 C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据万有引力定律F=G知，两颗恒星正在缓慢靠近，r减小，而两颗恒星的质量不变，则双星之间引力变大，A正确； 对质量为m1的恒星，a1=G，对质量为 m2的恒星，a2=G，两颗恒星正在缓慢 靠近，则每颗星的加速度均变大，B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到==，R1+R2 =r，整理得T=2π，知双星系统 周期T变小，C错误； 由ω=知双星系统转动的角速度变大，D正确。 答案 9.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)求两星球做圆周运动的周期； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　2πL 答案 两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 (2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位 有效数字)。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案　1.012 答案 若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的 运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆 周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L' 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 10.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点 上，并沿外接于等边三角形的圆 形轨道运行。设这三个星体的质 量均为M，并设两种系统的运动 周期相同，引力常量为G，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 尖子生选练 答案 A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期为4πR C.三角形三星系统中星体间的 距离为L=R D.三角形三星系统的线速度大 小为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v=ωR可知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误； 直线三星系统中万有引力提供 向心力，由G+G=MR 得T=4πR，故B正确； 答案 两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三角形三星系统中任意星 体所受合力为F=2Gcos 30°=G，则F=Mr，轨道半径r与边 长L的关系为L=r，解得 L=R，故C错误； 三角形三星系统的线速度 大小为v=，得v=×，故D错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回 答案 $ 专题强化　卫星的变轨和双星问题 [学习目标]　1.理解卫星变轨和对接原理，会分析卫星变轨前后物理量的变化(重难点)。2.掌握双星运动的特点，会分析双星的相关问题(重点)。 一、卫星的变轨和对接 1.变轨过程 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。 (2)在A点(近地点)点火加(选填“加”或“减”)速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加(选填“加”或“减”)速进入圆轨道Ⅲ。 2.变轨过程各物理量分析 (1)两个不同轨道的“切点”处线速度 图中vⅢ>vⅡB，vⅡA>vⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 (2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度 从远地点到近地点线速度逐渐增大。 (3)两个不同轨道上的线速度 轨道半径越大，v越小，图中vⅠ>vⅢ(选填“>”“<”或“=”)。 (4)不同轨道上运行周期T 根据开普勒第三定律=k知，内侧轨道的周期小于外侧轨道的周期，图中三个轨道周期关系：TⅠ<TⅡ<TⅢ。 (5)两个不同轨道的“切点”处加速度 根据=ma得，同一点的加速度相同，图中aⅢ=aⅡB，aⅡA=aⅠ(选填“>”“<”或“=”)。 1.如图所示，若两个航天器在同一轨道上运动，后面的航天器加速会追上前面的航天器吗？ 答案　不会，后面的航天器加速会做离心运动进入高轨道，不会追上前面的航天器。 2.怎样才能使后面的航天器追上前面的航天器？ 答案　如图所示，后面的航天器先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速度。 例1　(2023·浙江省高一期中)2021年2月，“天问一号”探测器实施近火捕获，顺利进入大椭圆环火轨道，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、落、巡”目标的第一步，环绕火星成功。图甲为我国航天局发布了由“天问一号”拍摄的首张火星图像；图乙为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨迹图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于P点，轨道Ⅲ为环绕火星的圆形轨道，P、S两点分别是椭圆轨道的近火星点和远火星点，P、S、Q三点与火星中心在同一直线上，下列说法正确的是(　　) A.探测器在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要点火加速 B.探测器在轨道Ⅲ上Q点的速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度 C.探测器在轨道Ⅰ上运行时，在相等时间内与火星连线扫过的面积与在轨道Ⅲ上相等 D.探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间小于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间 答案　B 解析　探测器由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ做的是近心运动，需点火减速，使万有引力大于所需的向心力，A错误；根据万有引力提供向心力，有G=m，解得v=，可知轨道Ⅱ上S点对应圆轨道的速度小于轨道Ⅲ上P点的速度，而轨道Ⅱ上S点速度小于对应圆轨道的速度，又P、Q为轨道Ⅲ上的两点，则P、Q速度大小相等，所以Q点速度大于在轨道Ⅱ上S点的速度，B正确；开普勒第二定律描述的是卫星在同一个轨道上相等时间连线扫过的面积相等，轨道Ⅰ和轨道Ⅲ属于不同的轨道，则在相等时间内与火星连线扫过的面积不等，C错误；轨道Ⅱ的半长轴大于轨道Ⅲ的半径，由开普勒第三定律知，探测器在轨道Ⅱ上的周期大于探测器在轨道Ⅲ上的周期，而探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间和探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间都是各自周期的一半，故探测器在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间大于探测器在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间，D错误。 判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路 1.判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。 2.判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。 3.判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。 4.判断卫星的加速度大小时，可根据a==G判断。 例2　(2024·丽水市高二期中)2023年10月26日11时14分，神舟十七号飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，于17时46分成功对接中国空间站核心舱前向端口，形成三舱三船组合体，在离地面约400 km的轨道绕地球做匀速圆周运动，如图所示，则(　　) A.神舟十七号进入空间站同一轨道后直接加速对接 B.神舟十七号飞船与空间站对接后的速度大于点火加速前的速度 C.三舱三船组合体绕地球做圆周运动的速度v满足：7.9 km/s≤v≤11.2 km/s D.三舱三船组合体圆周运动周期小于24小时 答案　D 解析　神舟十七号进入空间站同一轨道后直接加速，神舟十七号将做离心运动，不可能与空间站对接；所以神舟十七号需要在低轨道加速，做离心运动到达空间站轨道实现对接；根据万有引力提供向心力得=m，可得v=，可知神舟十七号飞船与空间站对接后的速度小于点火加速前的速度，故A、B错误；地球第一宇宙速度7.9 km/s是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，所以三舱三船组合体绕地球做圆周运动的速度小于7.9 km/s，故C错误；根据万有引力提供向心力得=mr，可得T=，可知三舱三船组合体圆周运动周期小于地球同步卫星周期，即小于24小时，故D正确。 二、双星及多星问题 1.双星模型 (1)如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。 ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。 ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1+r2=L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比。 (3)处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即=m1ω2r1，G=m2ω2r2。 2.多星系统 (1)多颗星体共同绕空间某点做匀速圆周运动。如： 三星模型 四星模型 (2)每颗星体做匀速圆周运动的周期和角速度都相同，以保持其相对位置不变。 (3)某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它引力的合力提供的。 例3　两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。 答案　见解析 解析　双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力， 对质量为m1的星体：=m1r1ω2 对质量为m2的星体：=m2r2ω2，且r1+r2=L 解得r1=，r2= 由G=m1r1及r1=得 周期T=2πL。 例4　宇宙间存在一些离其他恒星较远的“三星系统”，如图所示，三颗质量均为M的恒星位于等边三角形的三个顶点上，任意两颗恒星的距离均为L，三颗星绕中心点O做匀速圆周运动。忽略其他星体对它们的引力作用，引力常量为G，三颗恒星均可视为质点。求： (1)每颗恒星所受的万有引力的大小； (2)每颗恒星运行的角速度大小。 答案　(1)G　(2) 解析　(1)任意两颗恒星之间的万有引力大小F0=G，则任意一颗恒星所受合力大小F=2F0cos 30°，解得F=G。 (2)每颗恒星运行的轨道半径R=Lcos 30°，根据万有引力提供向心力有F=Mω2R，解得ω=。 专题强化练　[分值：100分] 1~6题每题9分，共54分 1.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　) A.v1>v2，v1= B.v1>v2，v1> C.v1<v2，v1= D.v1<v2，v1> 答案　B 解析　根据开普勒第二定律知，v1>v2，在近地点画出近地圆轨道，如图所示，由=可知，过近地点做匀速圆周运动的速度为v=，由于“东方红一号”由圆轨道进入椭圆轨道需加速，所以v1>，故选B。 2.在太空中，两颗靠得很近的星球可以组成双星系统，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。则下列说法错误的是(　　) A.两颗星有相同的角速度 B.两颗星的运动半径与质量成反比 C.两颗星的向心加速度大小与质量成反比 D.两颗星的线速度大小与质量成正比 答案　D 解析　双星由彼此间的万有引力提供做圆周运动的向心力，令双星的质量分别为m和M，圆周运动的半径分别为r和R，两星间的距离为R+r。 双星绕连线上某点做圆周运动，故双星的周期和角速度相同，故A正确； 运动半径满足mrω2=MRω2，可见两颗星的运动半径与质量成反比，故B正确； 两颗星的向心力大小相等，则满足mam=MaM，两颗星的向心加速度大小与质量成反比，故C正确； 线速度v=rω，两星的角速度相等，而半径与质量成反比，故线速度大小与质量成反比，故D错误。 3.(2024·宁波市高一月考)2021年4月29日，长征运载火箭在海南文昌成功将空间站“天和”核心舱送入高度约400 km的预定轨道，中国空间站在轨组装建造全面展开。随后发射了“问天”和“梦天”两个实验舱，完成与核心舱对接，再发射“天舟”货运飞船、“神舟”载人飞船，为空间站送去乘组和物资，最终完成了中国第一座空间站“天宫”的建造。下列说法正确的是(　　) A.“天和”核心舱的发射速度大于11.2 km/s B.空间站绕地飞行速度小于第一宇宙速度 C.空间站绕地飞行周期大于24小时 D.要实现实验舱与核心舱的对接，需要把实验舱送入核心舱轨道后再加速追上核心舱 答案　B 解析　“天和”核心舱进入运行轨道后绕地球运动，其发射速度应小于第二宇宙速度11.2 km/s，故A错误；地球的第一宇宙速度，是发射卫星的最小速度，也是卫星最大的环绕速度，故空间站绕地飞行速度小于第一宇宙速度，故B正确；根据开普勒第三定律=k，因为地球同步卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，所以空间站绕地飞行周期小于24小时，故C错误；要实现实验舱与核心舱对接，则先让实验舱预留在低轨道，适当时机让实验舱加速做离心运动，从低轨道到高轨道与核心舱对接，故D错误。 4.(2024·杭州市高一期末)2022年1月22日，我国实践二十一号卫星将一颗失效的北斗导航卫星从拥挤的地球同步轨道上拖拽到了航天器稀少的更高的“墓地轨道”上。拖拽时，航天器先在P点加速进入转移轨道，而后在Q点加速进入墓地轨道。如图所示，此举标志着航天器被动移位和太空垃圾处理新方式的成功执行，在该过程中，航天器(　　) A.在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期 B.在同步轨道上运动的角速度小于在墓地轨道上运动的角速度 C.在转移轨道上经过Q点的速度大于在墓地轨道上经过Q点的速度 D.在同步轨道上经过P点的加速度大于在转移轨道上经过P点的加速度 答案　A 解析　根据开普勒第三定律可知，在同步轨道上运动的周期小于在转移轨道上运动的周期，故A正确； 根据万有引力提供向心力有G=mω2r得ω=，由于同步轨道的半径小于墓地轨道的半径，则在同步轨道上运动的角速度大于在墓地轨道上运动的角速度，故B错误；航天器在Q点经过加速才能进入墓地轨道，所以在转移轨道上经过Q点的速度小于在墓地轨道上经过Q点的速度，故C错误；根据牛顿第二定律可知a=G，由于G、M、r都相等，所以在同步轨道上经过P点的加速度等于在转移轨道上经过P点的加速度，故D错误。 5.(2021·天津卷)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　) A.在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态 B.在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短 C.从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速 D.沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大 答案　D 解析　天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；根据开普勒第三定律可知，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，故在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，做近心运动，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P点点火减速，故C错误；在轨道Ⅰ向P飞近时，由开普勒第二定律可知速度增大，故D正确。 6.由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也和另一星体构成双星，如图所示，质量为m1、m2的两颗星各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终不变，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则(　　) A.它们的线速度大小之比v1∶v2=3∶2 B.它们的角速度大小之比ω1∶ω2=2∶3 C.它们的质量之比m1∶m2=3∶2 D.它们的周期之比T1∶T2=2∶3 答案　A 解析　在双星系统中，双星的角速度和周期都相同，故B、D错误；由于双星系统中，双星间的万有引力提供做圆周运动的向心力，则=m1ω2r1=m2ω2r2，解得m1∶m2=r2∶r1=2∶3，故C错误；双星的角速度相同，由v=rω知v1∶v2=r1∶r2=3∶2，故A正确。 7、8题每题10分，9题14分，共34分 7.(2022·浙江1月选考)“天问一号”从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道到Q点，再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，则天问一号(　　) A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间 B.从P点转移到Q点的时间小于6个月 C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小 D.在地火转移轨道运动到Q点时的速度大于地球绕太阳的速度 答案　C 解析　因“天问一号”要能脱离地球引力束缚，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故A错误； 因从P点转移到Q点的转移轨道的半长轴大于地球公转轨道半径，则其周期大于地球公转周期(12个月)，则从P点转移到Q点的时间大于地球公转周期的一半，故应大于6个月，故B错误； 因在环绕火星的停泊轨道的半长轴小于调相轨道的半长轴，则由开普勒第三定律可知在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小，故C正确； 假设“天问一号”在Q点变轨进入火星轨道，则需要加速，又知v火<v地，故“天问一号”在Q点的速度小于地球绕太阳的速度，故D错误。 8.(多选)如图所示，宇宙中一对年轻的双星，在距离地球16万光年的蜘蛛星云之中。该双星系统由两颗炽热又明亮的大质量恒星构成，二者围绕连线上中间某个点旋转。通过观测发现，两颗恒星正在缓慢靠近。不计其他天体的影响，且两颗恒星的质量不变。则以下说法中正确的是(　　) A.双星之间引力变大 B.每颗星的加速度均变小 C.双星系统周期逐渐变大 D.双星系统转动的角速度变大 答案　AD 解析　根据万有引力定律F=G知，两颗恒星正在缓慢靠近，r减小，而两颗恒星的质量不变，则双星之间引力变大，A正确；对质量为m1的恒星，a1=G，对质量为m2的恒星，a2=G，两颗恒星正在缓慢靠近，则每颗星的加速度均变大，B错误；由双星系统的两颗星的周期相等，万有引力提供向心力，可以得到=，=，R1+R2=r，整理得T=2π，知双星系统周期T变小，C错误；由ω=知双星系统转动的角速度变大，D正确。 9.(14分)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧，引力常量为G。 (1)(6分)求两星球做圆周运动的周期； (2)(8分)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做匀速圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比(计算结果保留四位有效数字)。 答案　(1)2πL　(2)1.012 解析　(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2， 对B有：G=Mr2 对A有：G=mr1 又r1+r2=L 联立解得T=2πL (2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地=5.98×1024 kg，m月=7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由(1)可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1=2π 若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得=m月L' 解得T2=2π 则= 故=≈1.012。 (12分) 10.太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于边长为L的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设这三个星体的质量均为M，并设两种系统的运动周期相同，引力常量为G，则(　　) A.直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同 B.直线三星系统的运动周期为4πR C.三角形三星系统中星体间的距离为L=R D.三角形三星系统的线速度大小为 答案　B 解析　直线三星系统中甲星和丙星角速度相同，运动半径相同，由v=ωR可知甲星和丙星的线速度大小相等，方向不同，故A错误；直线三星系统中万有引力提供向心力，由G+G=MR得T=4πR，故B正确；两种系统的运动周期相同，根据题意可得，三角形三星系统中任意星体所受合力为F=2Gcos 30°=G，则F=Mr，轨道半径r与边长L的关系为L=r，解得L=R，故C错误；三角形三星系统的线速度大小为v=，得v=×，故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $