第八章 专题强化 动能定理和机械能守恒定律的综合应用（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

专题强化　动能定理和机械能守 恒定律的综合应用 DIBAZHANG 第八章 1 1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的异同(重难点)。 2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合问题(重难点)。 学习目标 2 一、动能定理和机械能守恒定律的比较 二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用 专题强化练 内容索引 3 一 动能定理和机械能守恒定律的比较 4 　　规律 比较 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk 使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制 研究对象 物体与地球组成的系统 质点 物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度 　　规律 比较 机械能守恒定律 动能定理 应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况 选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍 如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车(可视为质点)从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计 一切摩擦阻力，求(试用动能定理和机械 能守恒定律分别作答)： (1)过山车在B点时的速度大小； 例1 答案　 方法一　运用动能定理 根据动能定理mgR=m， 解得vB=。 方法二　运用机械能守恒定律 选地面为参考平面，由A到B，对过山车由机械能守恒定律得mgR+0=0+m， 解得vB=。 (2)过山车在C点时对轨道的压力大小。 答案　6mg 方法一　运用动能定理 过山车在E点时由牛顿第二定律有 mg=m， 从C点到E点， 由动能定理有-mg·2r=m-m 又FC-mg=m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小FC'=FC=6mg。 方法二　运用机械能守恒定律 过山车在E点时有mg=m， 从C到E，由机械能守恒定律得 mg·2r+m=0+m， 过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，FC-mg=m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为FC'=FC=6mg。 (2024·杭州市高一月考)2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛，中国运动员展现超强实力，获得冠军。运动员某次的运动可简化为如图乙所示的运动情境，U型场地可近似看成半径R=4.5 m的半圆，运动员从高出U型场顶端H=1.5 m处自由下落。若运动员和滑雪装备总质量为m=60 kg，重力加速度g取10 m/s2。 例2 (1)忽略一切阻力，求运动员滑到U型场地最低点时速度大小以及运动员在最低点时对场地的压力大小； 答案　2 m/s　2 200 N 由于忽略一切阻力，所以从开始运动到运动到最低点的过程中机械能 守恒，设到达最低点的速度为v，有mg(H+R)=mv2 解得v=2 m/s 运动员在U型场地内做圆周运动， 在最低点时由牛顿第二定律有 FN-mg=m 解得FN=2 200 N 由牛顿第三定律可知，运动员对场地的压力与场地对运动员的支持力大小相等，即为2 200 N。 (2)运动员在某次滑雪过程中调节动作，使其滑板与场地产生摩擦力，仍从高出U型场顶端H=1.5 m处自由下落，恰好滑到A点，求这一过程中运动员克服摩擦力做的功。 答案　900 J 从开始运动到A点，设摩擦力做功 为Wf，由动能定理有mgH+Wf=0 解得Wf=-900 J 所以该过程中，克服摩擦力做功 为900 J。 返回 二 动能定理和机械能守恒定律的综合应用 17 动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。 　如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求： (1)小球在最高点C的速度大小vC； 例3 答案　 在最高点C时，根据牛顿第二定律有m=mg，解得vC= (2)小球在最低点B的速度大小vB； 答案　 根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN=8mg 根据牛顿第二定律有FN-mg=m，解得vB= (3)释放小球前弹簧的弹性势能； 答案　mgR 根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为Ep=m= mgR (4)小球由B到C克服阻力做的功。 答案　mgR 设小球由B到C克服阻力做的功为W， 根据动能定理有-2mgR-W=m-m 解得W=mgR。 　如图所示，AB面光滑、倾角θ=30°的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径R=0.1 m。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L=1 m，桌面BC段长l=0.5 m，甲质量M= 1.4 kg、乙质量m=0.1 kg，甲从斜面滑上 桌面时速度大小不变，重力加速度大小 取g=10 m/s2，不计空气阻力。求： 例4 设轻绳断开时甲速度的大小为v1， 根据机械能守恒定律Mgsin θ-mg=(M+m) 设甲到达斜面底端时的速度大小为v2，从AB中点到底端的过程根据动 能定理Mg×sin θ=M-M 重力的瞬时功率P=Mgv2sin θ 解得P=21 W (1)甲到达斜面底端时重力的瞬时功率； 答案　21 W 设甲到达C、D时的速度大小分别为v3、v4， 从B到C根据动能定理-μMgl=M-M 由C到D过程，由动能定理得-Mg×2R=M-M 甲恰好能通过圆形轨道的最高点D，根据牛顿第二定律Mg=M 解得μ=0.4。 (2)甲与桌面间的动摩擦因数。 答案　0.4 返回 专题强化练 三 26 题号 1 2 3 答案 (1)1.2×104 J　 (2)20 m/s　(3)40 m (1)　 (2)mgh (1)　　 (2)-mgL 题号 4 5 6 答案 B (1)5 m/s　(2)2 s　(3)0<R≤ m (1)4.5 J　(2)68 N　 (3)1.09 m 1 2 3 4 5 6 对一对 答案 1.(2023·宁波市余姚中学高一月考)如图所示，质量(连同装备)m=60 kg的滑雪运动员以v0=10 m/s的初速度从高h=15 m的A点沿光滑雪道滑下，到达水平面的B点后进入平直缓冲道BC，最终停下，已知滑雪板与缓冲道间动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度大小取g=10 m/s2。求： (1)以B所在平面C为参考平面，运动员在 A点时的机械能； 答案　1.2×104 J 1 2 3 4 5 6 基础强化练 答案 1 2 3 4 5 6 运动员在A点的机械能E=mgh+m 代入数据得E=1.2×104 J 答案 (2)到达最低点B时的速度大小； 答案　20 m/s 1 2 3 4 5 6 从A到B，由机械能守恒定律得E=m 代入数据得vB=20 m/s 答案 (3)运动员在缓冲道上通过的位移大小。 答案　40 m 1 2 3 4 5 6 在BC上，由动能定理得-μmgs=0-m 解得s=40 m。 答案 2.如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物体P和Q的质量分别为m、2m，两物体由静止释放。重力加速度大小为g，不计摩擦阻力和空气阻力，两物体均可视为质点。在Q下降距离h(Q未落地，P未与定滑轮相碰)过程中，求： (1)Q下降距离h时，P的速度大小； 1 2 3 4 5 6 答案　 答案 1 2 3 4 5 6 Q下降距离h时，对P、Q系统由机械能守恒定律可得 2mgh-mgh=×2mv2+mv2 解得P的速度大小v= 答案 (2)Q下降距离h的过程中，绳子对物体P所做的功W。 1 2 3 4 5 6 答案　mgh Q下降距离h的过程中，对物体P由动能定理得W-mgh=mv2 解得绳子对物体P所做的功W=mgh。 答案 3.(2024·金华一中高一期中)如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴在竖直平面内自由转动，杆的两端固定有小球A和B(均可看作质点)，A、B的质量分别为2m和m，到转轴O的距离分别为2L和L，重力加速度为g。现将轻杆从水平位置由静止释放，轻杆开始绕O轴自由转动，当球A到达最低点时，求： (1)球A、B的速度大小； 答案　　 1 2 3 4 5 6 答案 对于A、B两球及轻杆组成的系统，由于只有重力做功，则系统的机械能守恒，取轻杆原来水平时所在平面为零势能面，可得-2mg×2L+ mgL+×2m+m=0，由v=ωr，可知vA=2vB，解得vA=，vB= 1 2 3 4 5 6 答案 (2)在此过程中，杆对球A做了多少功。 答案　-mgL 1 2 3 4 5 6 当球A到达最低点时，对A由动能定理得W+2mg×2L=×2m， 解得杆对球A做的功为W=-mgL。 答案 4.(2024·浙江省四校联盟高一月考)如图所示，两个竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑。在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA和hB，重力加速度为g，下列说法正确的是 1 2 3 4 5 6 能力综合练 答案 A.若使小球沿轨道运动并且到达最高点，两球释放的最小高度hA<hB B.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，A球受到 的支持力最小值为6mg C.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，B球受到 的支持力最小值为6mg D.适当调整hA和hB，可使两球从轨道最高点飞出后，均恰好落在轨道右 端口处 1 2 3 4 5 6 √ 答案 小球A恰好能到左侧轨道的最高点时，由mg=m，解得vA=，根 据动能定理得mg(hA-2R)=m，解得hA=R，小球B恰好能到左侧轨 道的最高点时，在最高点的速度vB=0，根据机械能守恒定律得hB=2R，故A错误； 1 2 3 4 5 6 答案 小球在最低点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则FN-mg=m， 可知小球在最低点的速度越小受到的支持力越小，根据机械能守恒定 律可得，当小球A开始时的高度是R时，小球A在最低点的速度最小， 有m=mghA，联立解得FNAmin=6mg，根据机械能守恒定律可得， 当小球B开始时的高度是hB=2R 时，小球B在最低点的速度最 小，有m=mghB，解得 FNBmin=5mg，故B正确，C错误； 1 2 3 4 5 6 答案 小球A从最高点飞出后下落R高度时，水平位移的最小值为xA=vA= ·=R>R，小球A一定落在轨道右端口外侧，而适当调整hB， B可以落在轨道右端口处，故D错误。 1 2 3 4 5 6 答案 5.如图所示为一电动遥控赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4 N，赛车质量为0.4 kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2 W，B、C两点间高度差为0.45 m，赛道AB的长度为2 m，C与圆心O的 连线与竖直方向的夹角α=37°，空气阻力忽 略不计，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力 加速度取g=10 m/s2，求： 1 2 3 4 5 6 答案 (1)赛车通过C点时的速度大小； 答案　5 m/s 赛车在BC间做平抛运动， 则通过C点时竖直方向vy==3 m/s 由图可知：vC==5 m/s； 1 2 3 4 5 6 答案 (2)赛车电动机工作的时间； 答案　2 s 由(1)可知赛车通过B点时的速度 v0=vCcos 37°=4 m/s 根据动能定理得：Pt-FflAB=m，解得t=2 s； 1 2 3 4 5 6 答案 (3)要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回 到水平赛道EG，轨道半径R需要满足的条件。 答案　0<R≤ m 当赛车恰好通过最高点D时，设轨道半径为R0，有：mg=m 从C到D，由机械能守恒定律得：-mgR0(1+cos 37°)=m-m，解得R0= m 所以轨道半径0<R≤ m。 1 2 3 4 5 6 答案 6.如图，半径R=0.5 m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。在高h=0.8 m的光滑水平平台上，一质量m=1.0 kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右飞下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向 进入圆弧轨道。已知物块与轨道CD间 的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g取 10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8， 不计空气阻力，求： 1 2 3 4 5 6 答案 (1)弹簧储存的弹性势能Ep； 1 2 3 4 5 6 答案　4.5 J 由平抛运动规律，可得小物块在A处的竖直分速度为vy= 解得vy=4 m/s 则小物块做平抛运动的初速度为v0=vytan 37°=3 m/s 根据机械能守恒定律可得，弹簧储存的弹性势能为Ep=m=4.5 J； 答案 (2)物块经过B点时，对圆弧轨道压力 FN的大小； 1 2 3 4 5 6 答案　68 N 答案 小物块从水平平台抛出到运动到B点的过程，由动能定理有 mg(h+R-Rcos 53°)=m-m 经过B点时， 根据牛顿第二定律有FN'-mg=m 代入数据解得FN'=68 N 由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小为 FN=68 N； 1 2 3 4 5 6 答案 因μmgcos 37°>mgsin 37° 物块沿轨道CD向上做匀减速运动，速度减为零后不会下滑，从B上滑至最高点的过程， 由动能定理有-mgR(1-cos 37°)-(mgsin 37°+μmgcos 37°)·s=0-m 代入数据可解得s= m≈1.09 m。 (3)物块在轨道CD上运动的路程s(结果 保留三位小数)。 1 2 3 4 5 6 答案　1.09 m 返回 答案 $ 专题强化　动能定理和机械能守恒定律的综合应用 [学习目标]　1.知道动能定理与机械能守恒定律的区别，体会二者在解题时的异同(重难点)。2.能灵活运用动能定理和机械能守恒定律解决综合问题(重难点)。 一、动能定理和机械能守恒定律的比较 　　规律 比较 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1=E2 ΔEk=-ΔEp ΔEA=-ΔEB W=ΔEk 使用范围 只有重力或弹力做功 无条件限制 研究对象 物体与地球组成的系统 质点 物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能相互转化的过程 合外力做的功是动能变化的量度 应用角度 守恒条件及初、末状态机械能的形式和大小 动能的变化及合外力做功情况 选用原则 (1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都只考虑初、末状态，不需要考虑所经历过程的细节 (2)能用机械能守恒定律解决的问题都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定能用机械能守恒定律解决 (3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍 例1　如图所示水平轨道BC，左端与半径为R的四分之一圆轨道AB连接，右端与半径为r的四分之三圆轨道CDEF连接，圆心分别为O1、O2，质量为m的过山车(可视为质点)从高为R的A处由静止滑下，恰好能够通过右侧圆轨道最高点E，重力加速度为g，不计一切摩擦阻力，求(试用动能定理和机械能守恒定律分别作答)： (1)过山车在B点时的速度大小； (2)过山车在C点时对轨道的压力大小。 答案　(1)　(2)6mg 解析　方法一　运用动能定理 (1)根据动能定理mgR=m， 解得vB=。 (2)过山车在E点时由牛顿第二定律有 mg=m， 从C点到E点，由动能定理有-mg·2r=m-m 又FC-mg=m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小FC'=FC=6mg。 方法二　运用机械能守恒定律 (1)选地面为参考平面，由A到B，对过山车由机械能守恒定律得mgR+0=0+m， 解得vB=。 (2)过山车在E点时有mg=m， 从C到E，由机械能守恒定律得mg·2r+m=0+m， 过山车过C点时，受到轨道的支持力大小为FC，FC-mg=m， 由牛顿第三定律，过山车对轨道的压力大小为FC'=FC=6mg。 例2　(2024·杭州市高一月考)2022年2月18日，北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛，中国运动员展现超强实力，获得冠军。运动员某次的运动可简化为如图乙所示的运动情境，U型场地可近似看成半径R=4.5 m的半圆，运动员从高出U型场顶端H=1.5 m处自由下落。若运动员和滑雪装备总质量为m=60 kg，重力加速度g取10 m/s2。 (1)忽略一切阻力，求运动员滑到U型场地最低点时速度大小以及运动员在最低点时对场地的压力大小； (2)运动员在某次滑雪过程中调节动作，使其滑板与场地产生摩擦力，仍从高出U型场顶端H=1.5 m处自由下落，恰好滑到A点，求这一过程中运动员克服摩擦力做的功。 答案　(1)2 m/s　2 200 N　(2)900 J 解析　(1)由于忽略一切阻力，所以从开始运动到运动到最低点的过程中机械能守恒，设到达最低点的速度为v，有mg(H+R)=mv2 解得v=2 m/s 运动员在U型场地内做圆周运动，在最低点时由牛顿第二定律有FN-mg=m 解得FN=2 200 N 由牛顿第三定律可知，运动员对场地的压力与场地对运动员的支持力大小相等，即为2 200 N。 (2)从开始运动到A点，设摩擦力做功为Wf，由动能定理有mgH+Wf=0 解得Wf=-900 J 所以该过程中，克服摩擦力做功为900 J。 二、动能定理和机械能守恒定律的综合应用 动能定理和机械能守恒定律，都可以用来求能量或速度，但侧重点不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程。 例3　如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形轨道在B点平滑连接，轨道半径为R，一个质量为m的小球将弹簧压缩至A处。小球从A处由静止释放被弹开后，经过B点进入轨道的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能沿轨道运动到C点，重力加速度为g，求： (1)小球在最高点C的速度大小vC； (2)小球在最低点B的速度大小vB； (3)释放小球前弹簧的弹性势能； (4)小球由B到C克服阻力做的功。 答案　(1)　(2)　(3)mgR　(4)mgR 解析　(1)在最高点C时，根据牛顿第二定律有m=mg，解得vC= (2)根据牛顿第三定律可知，小球在最低点B时所受支持力大小为FN=8mg 根据牛顿第二定律有FN-mg=m，解得vB= (3)根据机械能守恒定律可得释放小球前弹簧的弹性势能为Ep=m=mgR (4)设小球由B到C克服阻力做的功为W，根据动能定理有-2mgR-W=m-m 解得W=mgR。 例4　如图所示，AB面光滑、倾角θ=30°的斜面体固定在水平桌面上，桌面右侧与光滑半圆形轨道CD相切于C点，圆弧轨道的半径R=0.1 m。物块甲、乙用跨过轻质定滑轮的轻绳连接，开始时乙被按在桌面上，甲位于斜面顶端A点，滑轮左侧轻绳竖直、右侧轻绳与AB平行；现释放乙，当甲滑至AB中点时轻绳断开，甲恰好能通过圆形轨道的最高点D。已知AB长L=1 m，桌面BC段长l=0.5 m，甲质量M=1.4 kg、乙质量m=0.1 kg，甲从斜面滑上桌面时速度大小不变，重力加速度大小取g=10 m/s2，不计空气阻力。求： (1)甲到达斜面底端时重力的瞬时功率； (2)甲与桌面间的动摩擦因数。 答案　(1)21 W　(2)0.4 解析　(1)设轻绳断开时甲速度的大小为v1，根据机械能守恒定律Mgsin θ-mg=(M+m) 设甲到达斜面底端时的速度大小为v2，从AB中点到底端的过程根据动能定理Mg×sin θ=M-M 重力的瞬时功率P=Mgv2sin θ 解得P=21 W (2)设甲到达C、D时的速度大小分别为v3、v4，从B到C根据动能定理-μMgl=M-M 由C到D过程，由动能定理得-Mg×2R=M-M 甲恰好能通过圆形轨道的最高点D，根据牛顿第二定律Mg=M 解得μ=0.4。 专题强化练　[分值：70分] 1~3题每题11分，共33分 1.(11分)(2023·宁波市余姚中学高一月考)如图所示，质量(连同装备)m=60 kg的滑雪运动员以v0=10 m/s的初速度从高h=15 m的A点沿光滑雪道滑下，到达水平面的B点后进入平直缓冲道BC，最终停下，已知滑雪板与缓冲道间动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度大小取g=10 m/s2。求： (1)(3分)以B所在平面C为参考平面，运动员在A点时的机械能； (2)(4分)到达最低点B时的速度大小； (3)(4分)运动员在缓冲道上通过的位移大小。 答案　(1)1.2×104 J　(2)20 m/s　(3)40 m 解析　(1)运动员在A点的机械能E=mgh+m 代入数据得E=1.2×104 J (2)从A到B，由机械能守恒定律得E=m 代入数据得vB=20 m/s (3)在BC上，由动能定理得-μmgs=0-m 解得s=40 m。 2.(11分)如图，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物体P和Q的质量分别为m、2m，两物体由静止释放。重力加速度大小为g，不计摩擦阻力和空气阻力，两物体均可视为质点。在Q下降距离h(Q未落地，P未与定滑轮相碰)过程中，求： (1)(5分)Q下降距离h时，P的速度大小； (2)(6分)Q下降距离h的过程中，绳子对物体P所做的功W。 答案　(1)　(2)mgh 解析　(1)Q下降距离h时，对P、Q系统由机械能守恒定律可得 2mgh-mgh=×2mv2+mv2 解得P的速度大小v= (2)Q下降距离h的过程中，对物体P由动能定理得W-mgh=mv2 解得绳子对物体P所做的功W=mgh。 3.(11分)(2024·金华一中高一期中)如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴在竖直平面内自由转动，杆的两端固定有小球A和B(均可看作质点)，A、B的质量分别为2m和m，到转轴O的距离分别为2L和L，重力加速度为g。现将轻杆从水平位置由静止释放，轻杆开始绕O轴自由转动，当球A到达最低点时，求： (1)(5分)球A、B的速度大小； (2)(6分)在此过程中，杆对球A做了多少功。 答案　(1)　　(2)-mgL 解析　(1)对于A、B两球及轻杆组成的系统，由于只有重力做功，则系统的机械能守恒，取轻杆原来水平时所在平面为零势能面，可得-2mg×2L+mgL+×2m+m=0，由v=ωr，可知vA=2vB，解得vA=，vB= (2)当球A到达最低点时，对A由动能定理得W+2mg×2L=×2m，解得杆对球A做的功为W=-mgL。 4题7分，5题14分，6题16分，共37分 4.(2024·浙江省四校联盟高一月考)如图所示，两个竖直圆弧轨道固定在同一水平地面上，半径R相同，左侧轨道由金属凹槽制成，右侧轨道由金属圆管制成，均可视为光滑。在两轨道右侧的正上方分别将质量均为m的金属小球A和B由静止释放，小球距离地面的高度分别为hA和hB，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.若使小球沿轨道运动并且到达最高点，两球释放的最小高度hA<hB B.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，A球受到的支持力最小值为6mg C.若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出，则在轨道最低点，B球受到的支持力最小值为6mg D.适当调整hA和hB，可使两球从轨道最高点飞出后，均恰好落在轨道右端口处 答案　B 解析　小球A恰好能到左侧轨道的最高点时，由mg=m，解得vA=，根据动能定理得mg(hA-2R)=m，解得hA=R，小球B恰好能到左侧轨道的最高点时，在最高点的速度vB=0，根据机械能守恒定律得hB=2R，故A错误；小球在最低点受到的支持力与重力的合力提供向心力，则FN-mg=m，可知小球在最低点的速度越小受到的支持力越小，根据机械能守恒定律可得，当小球A开始时的高度是R时，小球A在最低点的速度最小，有m=mghA，联立解得FNAmin=6mg，根据机械能守恒定律可得，当小球B开始时的高度是hB=2R时，小球B在最低点的速度最小，有m=mghB，解得FNBmin=5mg，故B正确，C错误；小球A从最高点飞出后下落R高度时，水平位移的最小值为xA=vA=·=R>R，小球A一定落在轨道右端口外侧，而适当调整hB，B可以落在轨道右端口处，故D错误。 5.(14分)如图所示为一电动遥控赛车(可视为质点)和它的运动轨道示意图。假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，工作一段时间后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点。已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4 N，赛车质量为0.4 kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2 W，B、C两点间高度差为0.45 m，赛道AB的长度为2 m，C与圆心O的连线与竖直方向的夹角α=37°，空气阻力忽略不计，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，重力加速度取g=10 m/s2，求： (1)(3分)赛车通过C点时的速度大小； (2)(5分)赛车电动机工作的时间； (3)(6分)要使赛车能通过圆轨道最高点D后沿轨道回到水平赛道EG，轨道半径R需要满足的条件。 答案　(1)5 m/s　(2)2 s　(3)0<R≤ m 解析　(1)赛车在BC间做平抛运动，则通过C点时竖直方向vy==3 m/s 由图可知：vC==5 m/s； (2)由(1)可知赛车通过B点时的速度 v0=vCcos 37°=4 m/s 根据动能定理得：Pt-FflAB=m，解得t=2 s； (3)当赛车恰好通过最高点D时，设轨道半径为R0，有：mg=m 从C到D，由机械能守恒定律得：-mgR0(1+cos 37°)=m-m，解得R0= m 所以轨道半径0<R≤ m。 6.(16分)如图，半径R=0.5 m的光滑圆弧轨道ABC与足够长的粗糙轨道CD在C处平滑连接，O为圆弧轨道ABC的圆心，B点为圆弧轨道的最低点，半径OA、OC与OB的夹角分别为53°和37°。在高h=0.8 m的光滑水平平台上，一质量m=1.0 kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep，若打开锁扣K，小物块将以一定的水平速度v0向右飞下平台，做平抛运动恰从A点沿切线方向进入圆弧轨道。已知物块与轨道CD间的动摩擦因数μ=0.8，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，不计空气阻力，求： (1)(5分)弹簧储存的弹性势能Ep； (2)(5分)物块经过B点时，对圆弧轨道压力FN的大小； (3)(6分)物块在轨道CD上运动的路程s(结果保留三位小数)。 答案　(1)4.5 J　(2)68 N　(3)1.09 m 解析　(1)由平抛运动规律，可得小物块在A处的竖直分速度为vy= 解得vy=4 m/s 则小物块做平抛运动的初速度为v0=vytan 37°=3 m/s 根据机械能守恒定律可得，弹簧储存的弹性势能为Ep=m=4.5 J； (2)小物块从水平平台抛出到运动到B点的过程，由动能定理有 mg(h+R-Rcos 53°)=m-m 经过B点时，根据牛顿第二定律有FN'-mg=m 代入数据解得FN'=68 N 由牛顿第三定律知，对轨道的压力大小为 FN=68 N； (3)因μmgcos 37°>mgsin 37° 物块沿轨道CD向上做匀减速运动，速度减为零后不会下滑，从B上滑至最高点的过程，由动能定理有-mgR(1-cos 37°)-(mgsin 37°+μmgcos 37°)·s=0-m 代入数据可解得s= m≈1.09 m。 学科网（北京）股份有限公司 $