第六章 专题强化 水平面内的圆周运动的临界问题（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高一物理必修第二册教师用书（人教版 浙江）

专题强化　水平面内的圆周运动的临界问题 [学习目标]　1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会分析它们的临界条件(重点)。2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1.水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。 2.解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 一、摩擦力的临界问题 例1　如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是(　　) A.若三个物体均未滑动，则B物体的向心加速度最大 B.若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大 C.若转速增加，则C物体最先滑动 D.若转速增加，则A物体比B物体先滑动 答案　C 解析　三个物体均未滑动时，角速度相同，根据a=ω2r可知，半径越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故A错误；物体做匀速圆周运动，由摩擦力提供向心力，故有FfA=2mω2R，FfB=mω2R，FfC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B错误；物体恰好不滑动时，最大静摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解得ω=，因此C物体最先达到临界值，最先滑动，A、B同时滑动，故C正确，D错误。 例2　如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的细绳刚好被水平拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍，重力加速度为g。求： (1)当转盘的角速度ω1=时，细绳的拉力FT1的大小。 (2)当转盘的角速度ω2=时，细绳的拉力FT2的大小。 答案　(1)0　(2) 解析　设转动过程中物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，此时FT0=0，则μmg=mr，解得ω0=。 (1)因为ω1=<ω0，所以物体所需向心力小于物体与转盘间的最大静摩擦力，则物体与转盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即FT1=0。 (2)因为ω2=>ω0，所以物体所需向心力大于物体与转盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，由牛顿第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。 二、弹力的临界问题 例3　(多选)(2024·浙江大学附属中学玉泉校区高一月考)如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化的关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，由图乙可知(　　) A.小球的角速度为2.5 rad/s时，小球刚离开锥面 B.母线与轴线之间夹角θ=30° C.小球质量为0.6 kg D.绳长为l=2 m 答案　AD 解析　根据题图乙可知，当小球的角速度满足ω2=(rad/s)2时小球恰好要离开锥面，此时角速度为ω=2.5 rad/s，故A正确；当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有Fsin θ=mω2lsin θ，即F=mω2l，当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为α，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有Fsin α=mω2lsin α，即F=mω2l，F-ω2图像的斜率表示ml，则根据图乙，结合所得绳子拉力F与ω2的函数关系可知，当小球离开锥面后ml=1 kg·m，当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向根据牛顿第二定律有Fsin θ-FNcos θ=mω2lsin θ，竖直方向根据平衡条件有Fcos θ+FNsin θ=mg，联立可得F=mlsin2θ·ω2+mgcos θ，根据题图乙，结合所得函数关系可得mlsin2θ= kg·m，mgcos θ=4 N，联立解得cos θ=，l=2 m，m=0.5 kg，θ≠30°，故D正确，B、C错误。 例4　(2024·杭州市萧山五中高一月考)如图所示，装置可绕竖直轴O'O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，细线AC长l=1 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)当装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的拉力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小； (2)当装置匀速转动的角速度为ω2=0.5ω1时，求此时AB、AC两细线中拉力的大小。 答案　(1) rad/s　(2)5.625 N　12.5 N 解析　(1) 当细线AB上的拉力为0时，小球的重力和细线AC拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，有： mgtan 37°=mlsin 37° 解得ω1== rad/s； (2) 当ω2=0.5ω1时，设AB、AC两细线上的拉力分别为FT1、FT2，则： 竖直方向FT2cos 37°=mg 水平方向FT2sin 37°-FT1=mlsin 37° 解得FT1=5.625 N，FT2=12.5 N。 专题强化练　[分值：100分] 1~6题每题7分，7题10分，共52分 1.(2024·浙江省精诚联盟高一月考)餐桌上的自动转盘在电动机的带动下匀速转动，转盘上放有A、B两个相同的空茶杯(可视为质点)随转盘一起做匀速圆周运动，A、B到圆心的距离分别是rA、rB，且rA<rB，假设自动转盘各处的粗糙程度相同。下列说法正确的是(　　) A.两个茶杯所受的摩擦力大小相等 B.两个茶杯都有沿切线方向滑出去的趋势 C.若在B茶杯中加入茶水后加快转盘的转速，则B茶杯应先滑出去 D.若在B茶杯中加入茶水后加快转盘的转速，则A茶杯应先滑出去 答案　C 解析　此时两茶杯随转盘一起做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有Ff=mω2r，由于rA<rB，则两个茶杯所受摩擦力大小FfA<FfB，A错误；两个茶杯靠静摩擦力提供向心力，向心力的方向指向圆心，可知两个茶杯都有沿半径向外滑出去的趋势，B错误；设茶杯发生滑动的临界角速度为ω0，根据牛顿第二定律可知μmg=mr，解得ω0=，由此可知，两茶杯发生滑动的临界角速度与m无关，即加快转盘的转速，B茶杯应先滑出去，C正确，D错误。 2.某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列分析正确的是(　　) A.若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力增大 B.当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω= C.若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑 D.若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变 答案　D 解析　螺丝帽受到的摩擦力始终不变，等于重力，若塑料管转动速度增大，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误；当螺丝帽恰好不下滑时，对螺丝帽根据牛顿第二定律得FN=mω2r，根据平衡条件得μFN=mg，解得ω=，B错误；因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力始终等于系统总重力，D正确。 3.如图所示，水平圆盘上放置A、B两物体(可看作质点)，质量分别为m和M，A放在圆盘中心轴处，且A、B用一根长为L的水平轻绳相连，轻绳刚好被拉直。两物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，现让圆盘转速从零开始逐渐增大，要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设A、B与圆盘均恰好不发生相对滑动时绳子的拉力为FT，则有FT+μMg=Mω2L，FT=μmg，联立解得ω=，即要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过，故选C。 4.如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则(　　) A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 C.当v0<时，小球对底面的压力为零 D.当v0=时，小球对侧壁的压力为零 答案　B 解析　对小球，由牛顿第二定律，有 FN2sin θ=m FN1+FN2cos θ=mg 可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零，底面对小球的支持力FN1可能为零，所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用，由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确；当v0<时，FN1=mg->0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 5.(2024·浙江省强基联盟模拟)图甲是正在做送餐工作的“机器人服务员”，该机器人正在沿图乙中ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4 m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，AB段长度也为4 m，CD段长度为12 m，机器人从A点由静止匀加速出发，到达B点时速率恰好达到1 m/s，接着以1 m/s的速率匀速通过BC弧段，通过C点以1 m/s的速率匀速运动到某位置后开始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。已知餐盘与托盘间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，关于该机器人送餐运动的说法正确的是(　　) A.从B运动到C过程中机器人的向心加速度为0.5 m/s2 B.为防止餐盘与水平托盘之间发生相对滑动，机器人在BC段运动的最大速率为4 m/s C.从A点运动到B点过程中机器人的加速度a=0.125 m/s2且餐盘和水平托盘不会发生相对滑动 D.餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间为12 s 答案　C 解析　从B运动到C的过程中机器人的向心加速度a向== m/s2=0.25 m/s2，故A错误；餐盘与托盘恰好不发生相对滑动，摩擦力提供向心力有μmg=m，解得vm=2 m/s，故B错误；由a== m/s2=0.125 m/s2知，该加速度小于发生相对滑动的临界加速度μg=2 m/s2，故C正确；机器人以1 m/s的速度匀减速至D点的最大加速度am=μg=2 m/s2，故最短的减速时间t1==0.5 s，匀减速的最小位移为Δx==0.25 m，故从C点开始匀速运动的时间t2==11.75 s，故从C运动到D点的最短时间为12.25 s，D错误。 6.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q水平放置，两轮之间不打滑，两轮半径RP=60 cm，RQ=30 cm。当主动轮P匀速转动时，在P轮边缘上放置的小物块恰能相对P轮静止，若将小物块放在Q轮上，欲使物块相对Q轮也静止，则物块距Q轮转轴的最大距离为(　　) A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.30 cm 答案　B 解析　相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q，则边缘线速度大小相等，则ωPRP=ωQRQ，解得=，对于在P边缘的物块，最大静摩擦力提供向心力，即mRP=Ffmax，当在Q轮上恰要滑动时，设此时半径为R，mR=Ffmax，解得R=15 cm。故选B。 7.(10分)如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)(4分)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？ (2)(6分)当转盘的角速度ω=时，游客抓住水平绳子可使自己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？ 答案　(1)　(2)μmg 解析　(1)当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动 μmg=mr 得ω0= (2)由题意有FT+μmg=mω2r 得FT=μmg 由牛顿第三定律得：FT'=FT=μmg。 8、9题每题9分，10题14分，共32分 8.(多选)如图所示为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一短一长的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　) A.角速度慢慢增大，绳长的球先离开圆锥筒 B.角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒 C.两球都离开圆锥筒后，它们的高度相同 D.两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同 答案　AC 解析　设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ=mω2lsin θ，解得ω=，绳子越长的球其角速度的临界值越小，越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误；两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角速度，小球的高度h=lcos θ，代入上式解得h=，故C正确；由以上分析可知，绳长的小球先离开圆锥筒，绳短的小球离开圆锥筒时，两绳与竖直方向的夹角不同，绳中拉力大小不同，故D错误。 9.(2024·浙江大学附属中学玉泉校区高一月考)如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在水平转盘上，用长为L的水平细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为L，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直且无弹力。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A.当ω<时，绳子一定无弹力 B.当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 C.ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大 D.ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力大小变大 答案　C 解析　根据题意可知，A、B两木块属于同轴转动，则角速度相等，根据Fn=mω2r可知，B木块需要的向心力较大，随着ω缓慢增大，B先达到最大静摩擦力，当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有Kmg=m·2L，解得ω1=，可知当ω>时，绳子具有弹力，故A错误；当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，设此时绳子的弹力为FT，根据牛顿第二定律，对A有Kmg-FT=mL，对B有FT+Kmg=m·2L，解得ω2=，可知当ω>时，A、B相对于转盘会滑动，故B错误；由上述分析可知，角速度ω在0<ω<范围内增大时，A、B所受的摩擦力变大，当ω=时，B所受摩擦力达到最大静摩擦力，保持不变，当ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力不变，A所受静摩擦力继续增大，即当ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直增大，故D错误，C正确。 10.(14分)如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 (1)(6分)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)(8分)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 答案　(1)　(2) 解析　(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg=mr，解得：ω1=。 (2)物块恰好离开转盘，则FN=0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示， mgtan θ=mr tan θ= 联立解得：ω2=。 11.(16分)(2024·杭州市第十四中学高一期末)如图所示，质量为m=1.2 kg的小球P(可以看成质点)，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结后再分别系于竖直轴上相距0.3 m的O、O'两点上，绳OP长0.5 m，绳O'P长0.4 m。g=10 m/s2。 (1)(5分)今在小球上施加一方向与水平方向成θ=37°的拉力F，将小球缓慢拉起，当绳O'P刚伸直时，拉力F的大小是多少？(已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) (2)(4分)如果撤去拉力F，使轴加速转动，求两绳绷紧时的最小角速度； (3)(7分)如果撤去拉力F，使轴匀速转动，设绳O'P对球的作用力为F'，系统与轴一起转动的角速度为ω，请写出F'与角速度ω的关系式并且作F'-ω2的图像。 答案　(1)10 N　(2) rad/s　(3)见解析　见解析图 解析　(1)绳O'P刚拉直时，设OP绳拉力为FT1，此时O'P绳子拉力为零，小球受力如图甲所示，根据几何关系可得sin α= 所以有α=37° 根据共点力的平衡条件可得Fcos θ=FT1cos α，Fsin θ+FT1sin α=mg 联立解得F=10 N (2)如果撤去力F，使轴加速转动，角速度最小对应的是O'P绳恰好伸直且拉力为零，合力提供向心力，故F合=mgtan 53°=mr，r=O'P=0.4 m 解得ωmin= rad/s (3)当角速度ω> rad/s时，绳子O'P有拉力，小球受重力、两个拉力，合力提供向心力。小球受力如图乙所示，竖直方向FT1'sin 37°=mg 水平方向F'+FT1'cos 37°=mω2r 联立解得F'=(0.48ω2-16) N 当角速度0<ω≤ rad/s时，F'=0 作F'-ω2的图像，如图丙所示 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化　水平面内的圆周运动 　　　　　的临界问题 DILIUZHANG 第六章 1 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会分析它们的临界条件(重点)。 2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。 学习目标 2 物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 1.水平面内的圆周运动常见的临界问题： (1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到　　　　。 (2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为　　。 (3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到　　　承受值。 (4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为 。 最大值 0 最大 0 2.解题关键： (1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。 (2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。 一、摩擦力的临界问题 二、弹力的临界问题 专题强化练 内容索引 5 一 摩擦力的临界问题 6 　 如图所示，水平转台上放着A、B、C三个物体，质量分别为2m、m、m，离转轴的距离分别为R、R、2R，与转台间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当转台旋转时，下列说法中正确的是 A.若三个物体均未滑动，则B物体的向心加速度最大 B.若三个物体均未滑动，则B物体受的摩擦力最大 C.若转速增加，则C物体最先滑动 D.若转速增加，则A物体比B物体先滑动 例1 √ 三个物体均未滑动时，角速度相同，根据a=ω2r可知，半径越大向心加速度越大，故C的向心加速度最大，故A错误； 物体做匀速圆周运动，由摩擦力提供向心力，故有FfA=2mω2R，FfB=mω2R，FfC=2mω2R，故B受到的摩擦力最小，故B错误； 物体恰好不滑动时，最大静摩擦力提供向心力，因此μmg=mω2r，解得ω=，因此C物体最先达到临界值，最先滑动，A、B同时滑动，故C正确，D错误。 　如图所示，水平转盘上放有质量为m的物体，当物体到转轴的距离为r时，连接物体和转轴的细绳刚好被水平拉直(绳上张力为零)。物体和转盘间的最大静摩擦力是其正压力的μ倍，重力加速度为g。求： (1)当转盘的角速度ω1=时，细绳的拉力FT1的大小。 例2 答案　0　 设转动过程中物体与转盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为ω0，此时FT0=0，则μmg=mr，解得ω0=。 因为ω1=<ω0，所以物体所需向心力小于物体与转盘间的最大静摩擦力，则物体与转盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即FT1=0。 (2)当转盘的角速度ω2=时，细绳的拉力FT2的大小。 返回 答案　 因为ω2=>ω0，所以物体所需向心力大于物体与转盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力FT2，由牛顿第二定律得FT2+μmg=mr，解得FT2=。 二 弹力的临界问题 12 　 (多选)(2024·浙江大学附属中学玉泉校区高一月考)如图甲所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线竖直，母线与轴线之间夹角为θ，一条长度为l的轻绳，一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小球(可看作质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，细线拉力F随ω2变化的关系如图乙所示。重力加速度g取10 m/s2，由图乙可知 A.小球的角速度为2.5 rad/s时，小球刚离开锥面 B.母线与轴线之间夹角θ=30° C.小球质量为0.6 kg D.绳长为l=2 m 例3 √ √ 根据题图乙可知，当小球的角速度满足ω2=(rad/s)2时小球恰好要离开锥面，此时角速度为ω=2.5 rad/s，故A正确； 当小球将要离开锥面时，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有Fsin θ=mω2lsin θ，即F=mω2l，当小球离开锥面后，设绳子与竖直方向的夹角为α，绳子拉力与小球重力的合力提供向心力，有Fsin α= mω2lsin α，即F=mω2l，F-ω2图像的斜率表示ml，则根据图乙，结合所得绳子拉力F与ω2的函数关系可知，当小球离开锥面后ml=1 kg·m， 当小球未离开锥面时，分析小球受力情况，水平方向根据牛顿第二定律有Fsin θ -FNcos θ=mω2lsin θ，竖直方向根据平衡条件有Fcos θ+FNsin θ=mg，联立可得 F=mlsin2θ·ω2+mgcos θ，根据题图乙，结合所得函数关系可得mlsin2θ = kg·m，mgcos θ=4 N，联立解得cos θ=，l=2 m，m=0.5 kg，θ≠30°，故D正确，B、C错误。 　 (2024·杭州市萧山五中高一月考)如图所示，装置可绕竖直轴O'O转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°。已知小球的质量m=1 kg，细线AC长l=1 m。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 例4 (1)当装置匀速转动的角速度为ω1时，细线AB上的拉力为0，而细线AC与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小； 答案　 rad/s　 当细线AB上的拉力为0时，小球的重力和细线AC拉力的合力提供小球做圆周运动的向心力，有： mgtan 37°=mlsin 37° 解得ω1== rad/s； (2)当装置匀速转动的角速度为ω2=0.5ω1时，求此时AB、AC两细线中拉力的大小。 答案　5.625 N　12.5 N 当ω2=0.5ω1时，设AB、AC两细线上的拉力分别为FT1、FT2，则： 竖直方向FT2cos 37°=mg 水平方向FT2sin 37°-FT1=mlsin 37° 解得FT1=5.625 N，FT2=12.5 N。 返回 专题强化练 三 19 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D C B C B (1)　(2)μmg 题号 8 9 10 11 答案 AC C (1)　(2) (1)10 N (2) rad/s (3)见解析　见解析图 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 1.(2024·浙江省精诚联盟高一月考)餐桌上的自动转盘在电动机的带动下匀速转动，转盘上放有A、B两个相同的空茶杯(可视为质点)随转盘一起做匀速圆周运动，A、B到圆心的距离分别是rA、rB，且rA<rB，假设自动转盘各处的粗糙程度相同。下列说法正确的是 A.两个茶杯所受的摩擦力大小相等 B.两个茶杯都有沿切线方向滑出去的趋势 C.若在B茶杯中加入茶水后加快转盘的转速，则B茶杯应先滑出去 D.若在B茶杯中加入茶水后加快转盘的转速，则A茶杯应先滑出去 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 基础强化练 √ 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 此时两茶杯随转盘一起做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有Ff=mω2r，由于rA<rB，则两个茶杯所受摩擦力大小FfA<FfB，A错误； 11 两个茶杯靠静摩擦力提供向心力，向心力的方向指向圆心，可知两个茶杯都有沿半径向外滑出去的趋势，B错误； 设茶杯发生滑动的临界角速度为ω0，根据牛顿第二定律可知μmg= mr，解得ω0=，由此可知，两茶杯发生滑动的临界角速度与m无关，即加快转盘的转速，B茶杯应先滑出去，C正确，D错误。 答案 2.某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。下列分析正确的是 A.若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力增大 B.当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω= C.若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑 D.若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 螺丝帽受到的摩擦力始终不变，等于重力，若塑料管转动速度增大，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误； 当螺丝帽恰好不下滑时，对螺丝帽根据牛顿第二定律得FN=mω2r，根据平衡条件得μFN=mg，解得ω=，B错误； 11 因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力始终等于系统总重力，D正确。 答案 3.如图所示，水平圆盘上放置A、B两物体(可看作质点)，质量分别为m和M，A放在圆盘中心轴处，且A、B用一根长为L的水平轻绳相连，轻绳刚好被拉直。两物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ，重力加速度为g，现让圆盘转速从零开始逐渐增大，要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 答案 设A、B与圆盘均恰好不发生相对滑动时绳子的拉力为FT，则有FT+ μMg=Mω2L，FT=μmg，联立解得ω=，即要使A、B与圆盘均不发生相对滑动，则圆盘转动的角速度不能超过，故选C。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 4.如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则 A.小球一定受到两个力的作用 B.小球可能受到三个力的作用 C.当v0<时，小球对底面的压力为零 D.当v0=时，小球对侧壁的压力为零 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 答案 对小球，由牛顿第二定律，有 FN2sin θ=m FN1+FN2cos θ=mg 可知侧壁对小球的支持力FN2不可能为零，底面对小球的支持力FN1可能为零，所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用，由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A、D错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 当v0<时，FN1=mg->0，由牛顿第三定律可知，当v0<时，小球对底面的压力不为零，故C错误。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 5.(2024·浙江省强基联盟模拟)图甲是正在做送餐工作的“机器人服务员”，该机器人正在沿图乙中ABCD曲线给16号桌送餐，已知弧长和半径均为4 m的圆弧BC与直线路径AB、CD相切，AB段长度也为4 m，CD段长度为12 m，机器人从A点由静止匀加速出发，到达B点时速率恰好达到1 m/s，接着以1 m/s的速率匀速通过BC弧段，通过C点以1 m/s的速率匀速运动到某位置后开始做匀减速直线运动，最终停在16号桌旁的D点。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 已知餐盘与托盘间的动摩擦因数μ=0.2，重力加速度g=10 m/s2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力， 答案 关于该机器人送餐运动的说法正确的是 A.从B运动到C过程中机器人的向心加速 　度为0.5 m/s2 B.为防止餐盘与水平托盘之间发生相对 　滑动，机器人在BC段运动的最大速率为4 m/s C.从A点运动到B点过程中机器人的加速度a=0.125 m/s2且餐盘和水平托 　盘不会发生相对滑动 D.餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短 　时间为12 s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 从B运动到C的过程中机器人的向心加速度a向== m/s2=0.25 m/s2，故A错误； 餐盘与托盘恰好不发生相对滑动，摩擦 11 力提供向心力有μmg=m，解得vm=2 m/s，故B错误； 由a== m/s2=0.125 m/s2知，该加速度小于发生相对滑动的临界加速度μg=2 m/s2，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 机器人以1 m/s的速度匀减速至D点的最大加速度am=μg=2 m/s2，故最短的减速时间t1==0.5 s，匀减速的最小位移为 11 Δx==0.25 m，故从C点开始匀速运动的时间t2==11.75 s，故从C运动到D点的最短时间为12.25 s，D错误。 答案 6.如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q水平放置，两轮之间不打滑，两轮半径RP=60 cm，RQ=30 cm。当主动轮P匀速转动时，在P轮边缘上放置的小物块恰能相对P轮静止，若将小物块放在Q轮上，欲使物块相对Q轮也静止，则物块距Q轮转轴 的最大距离为 A.10 cm B.15 cm C.20 cm D.30 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 11 相同材料制成的靠摩擦传动的轮P和Q，则边缘线速度大小相等，则ωPRP=ωQRQ，解得=，对于在P边缘的物块，最大静摩擦力提供向心力，即mRP=Ffmax，当在Q轮上恰要滑动时，设此时半径为R，mR=Ffmax，解得R=15 cm。故选B。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 7.如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m的游客，到转轴的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？ 答案　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动 μmg=mr 得ω0= 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)当转盘的角速度ω=时，游客抓住水平绳子可使自己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？ 答案　μmg 由题意有FT+μmg=mω2r 得FT=μmg 由牛顿第三定律得：FT'=FT=μmg。 答案 8.(多选)如图所示为一种圆锥筒状转筒，左右各系着一短一长的绳子挂着相同的小球，转筒静止时绳子平行圆锥面，当转筒中心轴开始缓慢加速转动，不计空气阻力，则下列说法正确的是 A.角速度慢慢增大，绳长的球先离开圆锥筒 B.角速度达到一定值时两球同时离开圆锥筒 C.两球都离开圆锥筒后，它们的高度相同 D.两球都离开圆锥筒时两绳中的拉力大小相同 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 能力综合练 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 设绳子与竖直方向的夹角为θ，小球刚好离开圆锥筒时，圆锥筒对小球的支持力为0，有mgtan θ=mω2lsin θ，解得ω=，绳子越长的球其角速度的临界值越小，越容易离开圆锥筒，故A正确，B错误； 11 两小球都离开圆锥筒后，小球都只受重力与绳子的拉力，两小球都随圆锥筒一起转动，有相同的角速度，小球的高度h=lcos θ，代入上式解得h=，故C正确； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由以上分析可知，绳长的小球先离开圆锥筒，绳短的小球离开圆锥筒时，两绳与竖直方向的夹角不同，绳中拉力大小不同，故D错误。 11 答案 9.(2024·浙江大学附属中学玉泉校区高一月考)如图所示，两个质量相等、可视为质点的木块A和B放在水平转盘上，用长为L的水平细绳连接，最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A与转轴的距离为L，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直且无弹力。现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，重力加速度为g， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 下列说法正确的是 A.当ω<时，绳子一定无弹力 B.当ω>时，A、B相对于转盘会滑动 C.ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力大小一直变大 D.ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力大小变大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 根据题意可知，A、B两木块属于同轴转动，则角速度相等，根据Fn=mω2r可知，B木块需要的向心力较大，随着ω缓慢增大，B先达到最大静摩擦力， 11 当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，根据牛顿第二定律有Kmg=m·2L，解得ω1=，可知当ω>时，绳子具有弹力，故A错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当A所受的摩擦力达到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘会滑动，设此时绳子的弹力为FT，根据牛顿第二定律，对A有Kmg-FT=mL，对B有 11 FT+Kmg=m·2L，解得ω2=，可知当ω>时，A、B相对于转盘会滑动，故B错误； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由上述分析可知，角速度ω在0<ω<范围内增大时，A、B所受的摩擦力变大，当ω=时，B 11 所受摩擦力达到最大静摩擦力，保持不变，当ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力不变，A所受静摩擦力继续增大，即当ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直增大，故D错误，C正确。 答案 10.如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方r处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； 答案　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则 μmg=mr，解得：ω1=。 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。 答案　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 物块恰好离开转盘，则FN=0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示， mgtan θ=mr tan θ= 联立解得：ω2=。 答案 11.(2024·杭州市第十四中学高一期末)如图所示，质量为m=1.2 kg的小球P(可以看成质点)，用两根轻绳OP和O'P在P点拴结后再分别系于竖直轴上相距0.3 m的O、O'两点上，绳OP长0.5 m，绳O'P长0.4 m。g=10 m/s2。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 尖子生选练 11 (1)今在小球上施加一方向与水平方向成θ=37°的拉力F，将小球缓慢拉起，当绳O'P刚伸直时，拉力F的大小是多少？(已知sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) 答案　10 N　 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 绳O'P刚拉直时，设OP绳拉力为FT1，此时O'P绳子拉力为零，小球受力如图甲所示，根据几何关系可得sin α= 所以有α=37° 根据共点力的平衡条件可得Fcos θ=FT1cos α， Fsin θ+FT1sin α=mg 联立解得F=10 N 11 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)如果撤去拉力F，使轴加速转动，求两绳绷紧时的最小角速度； 答案　 rad/s　 如果撤去力F，使轴加速转动，角速度最小对应的是O'P绳恰好伸直且拉力为零，合力提供向心力，故F合=mgtan 53°=mr，r=O'P=0.4 m 解得ωmin= rad/s 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)如果撤去拉力F，使轴匀速转动，设绳O'P对球的作用力为F'，系统与轴一起转动的角速度为ω，请写出F'与角速度ω的关系式并且作F'-ω2的图像。 答案　见解析　见解析图 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当角速度ω> rad/s时，绳子O'P有拉力，小球受重力、两个拉力，合力提供向心力。小球受力如图乙所示，竖直方向FT1'sin 37°=mg 水平方向F'+FT1'cos 37°=mω2r 联立解得F'=(0.48ω2-16) N 当角速度0<ω≤ rad/s时，F'=0 作F'-ω2的图像，如图丙所示 返回 11 答案 $