2026年中考数学临考冲刺卷（河北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学临考冲刺卷（河北专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在代数式“”的“”中填入运算符号“”、“ ”、“”、“”，要使运算的结果最小，则“”中填入的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：先计算括号内的式子： ， 分别计算填入不同运算符号的结果： 填入时，； 填入时，； 填入时，； 填入时，； 比较大小得 ， ∴填入乘号时运算结果最小， 故选C． 2．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：． 3．【新考法预测】将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 【答案】B 【解析】找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形， 可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同． 故选B． 4. 若m为整数，则能使的值也为整数的m有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】原式，且， 若m为整数，的值也为整数， 则，，且， 解得：或或， 能使的值也为整数的m的值共有三个． 故选：C． 5．如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 【答案】D 【解析】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 6．【新考法预测】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ） A. 5米 B. 15米 C. 40米 D. 50米 【答案】D 【解析】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 7．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分 【答案】B 【解析】解：设交于点， 由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确； 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分，D正确； ∵， ∴，C正确； 在中，，且， 则，故B错误，符合题意． 8．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：根据题意，画树状图如下： 一共有20种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”有2种等可能性， “李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 9．【新考法预测】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 10．《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 11．某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】解：设， 则， 即点在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象最多有5个交点． 12．【原创题】图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 【答案】B 【解析】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第1空2分，第二空1分，满分12分） 13．如图，数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上，点C表示的数为x，若为有理数，写出满足条件的一个x的值______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：为有理数， （为正有理数）， 数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上， ， ， x的值为（答案不唯一）． 14．如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 【答案】 【解析】解：连接，，如下图所示： ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长为： ． 15．如图，反比例函数的图象与直线，直线分别交于点、．若线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点（横纵坐标均为整数），则的取值范围是______． 【答案】 【解析】解：结合图形可知，线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点，分别是、、， 反比例函数在时，，即；在时，，即， 为保证封闭图形内只有个整点，则的取值范围是， 故答案为：． 16．如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）设，． （1）当时，求A的值； （2）小明认为不论k取何值，的值都无法确定，小红认为k可以找到适当的数使代数式的值是常数，谁的说法正确，请说明理由 【答案】（1）1 （2）小红的说法正确，理由见解析 【解析】 【小问1解析】 解：当时，， 【小问2解析】 ∴当时，． ∴小红的说法是正确的． 18．（8分）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． （1）求第个台阶上的数； （2）求第几个台阶上的数是． 【答案】（1） （2） 【解析】【小问1解析】 解：∵每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，第个台阶上的数是， ∴第个台阶上的数是． 小问2解析】 解：第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， 第个台阶上的数是， ……， ∴第个台阶上的数是， 当台阶上的数是时，， 解得：， ∴第个台阶上的数是． 19．（8分）人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： (2)本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； (3)若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； (4)学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 【答案】(1)；作图见解析 (2) (3) (4) 【解析】（1）解：组人数是人，所占百分比是， 总人数为（人）； 组人数为（人），补全图形如下： （2）解：由（1）可得，总共抽取了名学生，中位数是第、名学生的平均数， 组有人，组有人，组有人，组有人， 第、名在组， 中位数在组； （3）解：根据题意可得，成绩在分以上的人数所占百分比为， 全校2000名学生中获得该称号的人数为（人）； （4）解：标记个男的为，，个女的为，，，列表如下： 第一步第二步   总共有20种情况，符合条件的有12种， 所选的两位同学恰为一男一女的概率为． 20．（8分）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当秒时，求此时玩具车到小路的距离； (3)点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)此时玩具车到小路的距离为米 (3)此时玩具车行驶的路程为米或米 【解析】（1）解：如图，连接，作，交于点，则， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米； （2）解：如图，将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为， 当秒时，， ∵在中，米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∵米， ∴此时玩具车到小路的距离为米； （3）解：如图，连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴此时玩具车行驶的路程为米； 如图，当与相切于的上方时，连接，则， 同理可得：，， 此时玩具车行驶的路程为米； 综上所述，此时玩具车行驶的路程为米或米． 21．（10分）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 【答案】（1） （2）①410元；② （3）销售部门的业绩考核等级为合格 【解析】【小问1解析】 解：设， 由题意得，当时，，当时，， ， 解得， ； 【小问2解析】 解：①由题意得，四月份草莓日场销售的日平均利润为 元； ②由题意得， ； 【小问3解析】 解：， 当时，随的增大而增大， 当时，； 当时，， ，即万元万元， 销售部门业绩考核等级为合格． 22．（10分）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【解析】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； （2）解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： （4）解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 23．（10分）【新考法预测】在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． （1）若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； （2）如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； （3）已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【小问1解析】 解：依题意，点向右平移一个单位得到， 点关于点对称点 ∴点关于点的“联络点”的坐标为， 故答案为：． 【小问2解析】 ①以为圆心，为半径，作弧交轴于点，分别以、为圆心，为半径作弧交于点，连接 ，交轴于点 即为所求， ②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ． 设 交轴于点， ，，， 为中点，即． ， 为中点，轴， ， ∴, ∴T是的中点, ∴， 四边形为平行四边形， ． 【小问3解析】 设，， ，点关于点对称点 始终在直线上运动 直线与直线之间的距离大于或等于 设直线与轴交于点，则，过点作于点，则是等腰直角三角形， 直线与轴交于点，则， ∴， 解得或 即或 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）①；②或；③ 【解析】【小问1解析】 解：∵抛物线过点， ∴将代入中，得， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴顶点坐标为； 【小问2解析】 解：①∵直线与x轴交于点C， ∴当时，，即， ∵， ∴，解得， ∴点； ② 当时，直线为， ∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴点， ∵直线与直线交于点， ∴， ∴点， 由抛物线可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线沿对称轴上下平移， 当抛物线与线段相切时有一个交点，此时， 整理得，， ∴，即，解得； 当抛物线经过点时，有两个交点，； 当抛物线经过点时，有一个交点，； 综上可知，当抛物线与线段仅有一个交点时，或； ③存在，理由： ∵抛物线为，对称轴为，点为抛物线的对称轴上一点， ∴设， 直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵直线与直线：垂直， ∴直线的斜率为：，解析式为， ∴直线与抛物线联立得，， 整理得，， ∴， ∵点是的中点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， 即； ∵等腰的顶角为，即，且，关于对称轴对称， ∴， ∵，， ∴，化简得， 整理得，， ∵要使对任意都成立， ∴，解得， ∴． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（河北专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．在代数式“”的“”中填入运算符号“”、“ ”、“”、“”，要使运算的结果最小，则“”中填入的运算符号是（ ） A. B. C. D. 2．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3．【新考法预测】将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（　　） A. 图①的主视图和图②的主视图相同 B. 图①的主视图与图②的左视图相同 C. 图①的左视图与图②的左视图相同 D. 图①的俯视图与图②的俯视图相同 4. 若m为整数，则能使的值也为整数的m有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5．如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 5题 6题 6．【新考法预测】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（ ） A. 5米 B. 15米 C. 40米 D. 50米 7．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 垂直平分 8．李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示5个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ） A. B. C. D. 9．【新考法预测】小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 10．《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（   ） A． B． C． D． 11．某函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点，，…，，使得，则的最大取值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11题 12题 12．【原创题】图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（ ） A. 轨道① B. 轨道② C. 轨道③ D. 轨道④ 二、填空题二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，第16题第1空2分，第二空1分，满分12分） 13．如图，数轴上点A，B分别表示2，10，点C在线段上，点C表示的数为x，若为有理数，写出满足条件的一个x的值______． 13题 14题 14．如图，点为和角平分线的交点，，，．过作分别交，于点，．则的周长为__________． 15．如图，反比例函数的图象与直线，直线分别交于点、．若线段、、曲线段所围成的封闭图形（不包括边界）内有且只有个整点（横纵坐标均为整数），则的取值范围是______． 15题 16题 16．如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）设，． （1）当时，求A的值； （2）小明认为不论k取何值，的值都无法确定，小红认为k可以找到适当的数使代数式的值是常数，谁的说法正确，请说明理由 18．（8分）如图，每个台阶上都标着一个数，按照从下到上的顺序，每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大，已知第个台阶上的数是． （1）求第个台阶上的数； （2）求第几个台阶上的数是． 19．（8分）人工智能作为引领未来的战略性技术，正深刻影响着社会发展．为紧跟时代步伐，某校举办了“灵动数据”信息技术知识竞赛．赛后，学校随机抽取了部分学生的竞赛成绩（满分100分）作为样本进行统计分析，根据测试成绩分成四组（，，，），并绘制了如下不完整的统计图． 根据以上信息解决下列问题： (1)本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，请补全频数分布直方图： (2)本次调查的学生竞赛成绩的中位数落在_____组内（填、、或）； (3)若竞赛成绩在80分及以上可获得“灵动技术小达人”称号，请估计全校2000名学生中获得该称号的人数； (4)学校决定从组同学中随机选择两名同学参加进一步技术培训，若组同学中有2男3女，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为一男一女的概率． 20．（8分）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当秒时，求此时玩具车到小路的距离； (3)点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程．（参考数据：，，） 21．（10分）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 （1）求与的函数关系式（不写的取值范围）； （2）设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． （3）超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 22．（10分）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 23．（10分）【新考法预测】在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． （1）若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； （2）如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； （3）已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 24．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点． （1）求抛物线的表达式，并求出顶点坐标； （2）已知直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． ①C（ ， ）； ②当时，如图，直线与轴交于点，与直线x＝2交于点E，当抛物线与线段仅有一个交点时，求k的取值范围； ③过点C与垂直直线d交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．R为抛物线的对称轴上一点，射线，与x轴分别交于H，S．试探究：当m变化时，是否存在以为顶角的等腰，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（河北专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 个 10 11 12 C B B C D D B D D D B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 13.2V2(答案不唯一)14.515.4<k≤6 16.①.45②.45 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(本题6分) 【解析】 (I)当x=-1时，A=2×(-1+(-1)=1,2分) (2) A-B=2x2+x-[er2-(3x2-x+1]=2x2+x-(ar2-3x2+x-1刂=2x2+x-er2+3x2-x+1 =(5-k)x2+1 4分) 当k=5时，A-B=1.5分) .小红的说法是正确的.(6分) 18.(本题8分) 【解析】(1) 解：：每一个台阶上的数比前一个台阶上的数大3，第'个台阶上的数是10， 1 ∴第2个台阶上的数是-10+3=-7 (3分) 2解：第2个台阶上的数是10+(2-)x3=-7 第3个台阶上的数是10+B-)x3=4 ,(3分) 1/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 第4个台阶上的数是 10+(4-1)×3=-1 六第”个台阶上的数是10+n-)×3 (5分) 当台阶上的数是20时，-10+(1-)×3=20 (6分) 解得： n=11 ,(7分) ÷第1个台阶上的数是20.8分) 20 19.(本题8分) 【解析】(1)解：：D组人数是10人，所占百分比是20%， ·总人数为10÷20%=50（人）；(1分) B组人数为50-5-20-10=15（人），补全图形如下： 学生的竞赛成绩频数分布直方图 人数（频数） 25--- 20 20 15 (2分) 10 5 0 A B C D 成绩/分 (2)解：由(1)可得，总共抽取了50名学生，中位数是第25、26名学生的平均数， A组有5人，B组有15人，C组有20人，D组有10人， 第25、26名在C组， ∴.中位数在C组；(4分) (3)解：根据题意可得，成绩在80分以上的人数所占百分比为50 20+10x100%=60%,(5分) ·全校2000名学生中获得该称号的人数为2000×60%=1200（人）；(6分) (4)解：标记2个男的为M,N,3个女的为E,F,P,列表如下： 第 M P 步第二步 M (M,N) (M,E) (M,F) (M,P) 2/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 N (N,M (N,E) (N,F) (N,P) E (E,M) (E,N) (E,F) (E,P) F (F,M (F,N) (F,E (F,P) (P,M) (P,N) (P,E (P.F 总共有20种情况，符合条件的有12种，(7分) 12_3 所选的两位同学恰为一男一女的概率为205·（⑧分） 20.(本题8分) 【解折】(D解：如图，走接O4作oc份交AB于点C:则4C=4B,1分) N A B 由题意可得：0C=2.2米，01=3米， :1C=V0-0C-2V26 5米， 4B=24C= V26 5米：(2分) (2)解：如图，将玩具车的位置看为点D,过点D作DE⊥OC,垂足为E, AD CR M 3/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 当t=3.4秒时，∠AOD=3.4×5°=17°， 在RtaA0C中，OA=3米，OC=2.2米， cos∠A0C= 0C11 OA 15' c0s43°≈11 15, .∠A0C≈43°， ∴.∠DOC=∠AOC+∠AOD=60°， :0E=0Dcs∠C0D=3x)-1.5米， 2 2.2-1.5=0.7米， .此时玩具车到小路MW的距离为0.7米；(5分) (3)解：如图，连接OA,作OC⊥AB,交AB于点C,当MP与⊙O相切于AB的下方时，连接OP,则 OP⊥MP, M 在RteOPM中，os∠PoM=OP-3 OM 8, 3 c0s68° 8’ .∠POM≈68°， 0C2.211 在Rt△OCM中， cos∠COM= OM-840’ cos740≈ 0 ∴.∠COM≈74°， 由(2)可得∠A0C≈43°， 360-(68+74+43). .此时玩具车行驶的路程为 180 ×πx3=35π 12米；(7分) 4/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 如图，当MP与⊙O相切于AB的上方时，连接OP,则OP⊥MP, 同理可得：∠POM≈68°，∠COM≈74°， 360-74+43-68) 此时玩具车行驶的路程为 180 2×元x3=311元 60米 ,311π 35π 综上所述，此时玩具车行驶的路程为60米或12米.(8分) 21.(本题10分) 【解析】(1) 解：设y=r+b(K≠0) 由题意得，当=50时，y=540,当=5时，y=840 [540=50k+b 840=55k+b,(1分) k=60 解得1b=-2460,(2分) .y=60x-2460 :(3分) g解：@由题意得，四月份章日场销售的日平均利润为0×5-列×30×6+40×15+50×9列 ×[10×180+600+450)] 30 =410 元；(5分) W=410×30+y ②由题意得， 5/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 =12300+60x-2460 =60x+9840 ;(7分) (3)解： .60>0 当50≤rs60 ， ”随的增大而增大， 当x=50时，W最小=60×50+9840=12840 (8分) 当x=60时， W=60x60+9840=13440,(9分) .12840≤W≤13440，即1.284万元≤W≤1.344万元， 伤 六销售部门业绩考核等级为合格.(10分) 22.(本题10分) 【解析】(1)解：.AB=HF,BC=EG, 六SE影ABCD=AB'BC,S装形BGP HF'EG, 菱形 的面积与矩形 的面积之比为S整形C=2 H'EG:Q分) EHGF ABCD SE形ABCD AB'BC 2 (2)解：如图2 图2 ABCD.ANCM 矩形 为两个大小一样的矩形纸片， AD∥BC,AN∥CM,AM=CD,∠M=∠D=90° ∴四边形AFCE是平行四边形， .∠AEM=∠CED, 6/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 :△MME≌△CDE(AAS) :AE=CE, .四边形AECF是菱形.(5分) (3)解：先连接对角线AC,以点A为圆心，大于线段AC一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长 度为半径画弧，两弧交于M,N两点，连接M,N两点，所得直线与AD边交于点E,与BC边交于点F, 则四边形AECF即为所求： M E D (7分) N 3 (4)解：方法一：如图 H G B 在矩形ABCD中，AB=6,BC=18, :%aw=AB'BC=618=-108 由(1)可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为2， ·“菱形EHGF的面积为 1108=54: 方法二：如图 图2 7/14 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x, .AB=6,BC=18, .BF=18-x, 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2, 即6+18-2=x 解得x=10 .菱形AECF边长为10， .菱形AECF的面积为CF′AB=l0'6=60: 方法三：如图 图3 由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为I0, ∴菱形AECF的面积为CF′AB=10'6=60: .54<60, ,此矩形的内接菱形的面积最大值为60.(10分) 23.(本题10分) 【解析】 ()解：依题意，点M-2,0向右平移-个单位得到M'-1,0) 点M'-1,0关于点P,对称点N(3,2) ·点M关于点P的“联络点”的坐标为(3,2)， 故答案为：(3,2).(2分) 20以M为圆心， MO 为半径，作弧交'轴于点G,分别以0、G为圆心， MO 为半径作孤交于点H, 8/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 连接M,交'轴于点M'（M'即为所求）， A (4分) M XH ②连接MP,以P为圆心，PM'为半径作OP,MP延长线与O 交于点N P 设MW交'轴于点K, Pa,b),M-a,-b),M'0,-b K为MP中点，即K号0 PN=PM' KP-IMN .P.MN 为 中点， PT∥X轴， .TPIIMM IOK NT NP =1 ..TM PM', MN T是的中点， 9/14 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 P三MM=OK 六四边形OkP7 为平行四边形， OT-KP-IMN 0分 ③)设Cm,m+2),D(n,-川)， :.C(m+”,m+2,点C关于点D对称点E-m+,-21-1-2 E始终在直线)=-3m-2 运动 CE>3√2 “直线)=+2与直线'=-3n-2之间的距离大于或等于32. 设直线y=x+2与y轴交于点G,则G(0,2),过点G作GF1HE于点F,则aFGH是等腰直角三角 形， 直线y=x-3m-2与y轴交于点H,则H(0,-3n-2), :.-3n-2-2≥3W2×V2=6 角解得之3成7s<0 3 3或七s、10 即 3(10分) 10/14