2 2.2一元二次方程的解法 同步达标测试题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．小聪在解方程时，只得到一个根，则被漏掉的一个根是（    ） A． B． C． D． 2．若将一元二次方程配方得到，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．用配方法解方程，配方后正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知一个三角形的两边长分别是2和7，第三边长是方程的一个根，则该三角形的周长为（   ） A．10 B．16 C．14 D．16或14 5．关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（   ） A．或2 B．或4 C．4 D．2 8．对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（满分24分） 9．方程的较大的根是 ． 10．方程的根的判别式 ，这个方程根的情况为 ． 11．当 时，方程是一元二次方程． 12．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 13．已知实数x满足方程：，则 ． 14．已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为 ． 15．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是关于的方程的两个根，则的周长是 ． 16．若一元二次方程的两根恰好是一个直角三角形的两边长，则这个直角三角形的第三边长为 ． 三、解答题（满分72分） 17．用适当的方法解下列方程 (1) (2) 18．按要求解下列方程： (1)（因式分解法）； (2)（公式法） 19．已知关于的方程． (1)若该方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 20．先阅读下面材料：对于一元二次方程，如果方程有两个不相等的实数根，那么；如果方程有两个相等的实数根，那么；如果方程没有实数根，那么．再解答下面的题目：当t取什么值，关于x的一元二次方程， (1)有实数根； (2)没有实数根． 21．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 22．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 23．请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 参考答案 1．解：∵， ∴， ∴， ∴或， 即或． 小聪只得到，故被漏掉的根是． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为的形式，比较系数得出的值． 【详解】解：， ， ， ， 得， 即． 故选：B． 3．B 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，根据移项，配方，化简将方程左边配成完全平方形式即可． 【详解】解：． 移项：将常数项移到右边，得． 配方：配方时，系数为 ，取其一半的平方，即 ． 保持等式平衡：． 化简：左边写成完全平方形式，右边计算得：． 因此，配方后的方程为 ． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系的应用，先求出方程得到，，再分2种情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再利用三角形的周长公式即可求解． 【详解】解： 解得，， 当第三边为5时，， ∴2，5，7不能构成三角形，不符合题意，舍去； 当第三边为7时，， ∴2，7，7能构成三角形，此时三角形的周长为； ∴综上所述，该三角形的周长为16． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 6．C 【分析】此题考查了根的判别式，根据关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则，然后求出的值即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 7．D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值． 【详解】解：∵， 设，则原方程化为： ， 解得：或， 又∵， ∴舍去， ∴． 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解； ①根据根的定义，验证时的值；②利用判别式，从的根的情况推导的判别式；③将c代入方程，讨论是否恒成立． 【详解】解：① ∵ 当时，，而对应，故①错误． ② ∵有两个不等实根，∴ 判别式． 对于，判别式（∵）， 故有两个不等实根，②正确． ③ ∵ c是根，∴，即． 当时，；当时，不一定为0， 故③不一定正确． 综上，只有②正确， 故选：B． 9． 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握一元二次方程的解法． 先利用因式分解法解一元二次方程，再找出其中较大的根即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， 该方程较大的根是． 故答案为：． 10． 有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式的计算及方程根的判断，注意当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，当时，一元二次方程没有实数根． 直接把方程中的、、代入判别式进行计算，再根据判别式的正负情况判断根的情况即可． 【详解】解：方程中，，， 所以， 所以该方程有两个不相等的实数根， 故答案为：；有两个不相等的实数根． 11．3 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，在做题过程中是容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义得到且二次项系数，即可求解． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，解得． 当时，，此时二次项系数为0，不符合一元二次方程的定义，所以舍去； 当时，，此时二次项系数为1，符合一元二次方程的定义； 故答案为：3． 12．或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，判别式等于零，列方程求解． 【详解】解：将原方程化为标准形式：， 其中，，， 所以． 即， 解得或． 当时，； 当时，． 故答案为：或． 13． 【分析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【详解】解：设 ，则原方程化为： ， ， ∴， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ∴． 故答案为：6． 14． 【分析】本题考查了整体换元的思想；把方程看作是关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，，得到或，可求出的两根，然后得到两根之和. 【详解】解：把方程看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的两根为，， ∴或， 解得，， ∴. 故答案为：. 15． 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形定义，先解方程得，，然后根据等腰三角形两腰相等的性质分当时，当时两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴当时，即，此时三边为，，，不能构成三角形； 当时，即，或，，此时三边为，，，能构成三角形，周长为； 故答案为：． 16．3或 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确运用因式分解法解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 先解一元二次方程得到两根，即为直角三角形的两边长，再分两种情况讨论第三边：当两根均为直角边时，第三边为斜边；当其中一根为斜边时，第三边为直角边． 【详解】解方程 ， 因式分解得 ， 解得 ，． 即直角三角形的两边长为4和5． 当4和5均为直角边时，第三边（斜边）长为 ； 当5为斜边时，第三边长为 ． 故第三边长为3或． 17．(1)， (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ，，， ，则方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴． 18．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，； （2）解：， ，，， ， ， 解得：，． 19．(1)，另一个根为3 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）把代入原方程求出k的值，进而解原方程求出方程的另一根即可得到答案； （2）只需要证明即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程的一个根为1， ∴， 解得， ∴原方程为，即， ∴， 解得或， ∴原方程的另一个根为3； （2）证明：由题意得， ， ∴原方程总有两个实数根． 20．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． （1）先化为一般形式，根据方程有实数根，得到，进行求解即可； （2）根据方程没有实数根，得到，进行求解即可； 【详解】（1）解：原方程化为 当时，方程有实数根，即，解得 （2）解：当时，方程没有实数根，即，解得 21．(1)是等腰三角形   见解析 (2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 22．(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； （2）解：是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 23．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $