重难点专题01 解一元二次方程6大题型（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

重难点专题 解一元二次方程 重难点一 直接开平方解一元二次方程 1）形如：（），直接开方：，写出两根：，； 2）缺一次项的方程 优先用此法。 1．（25-26九年级上·陕西安康·期末）方程的负根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． 直接开平方法解出方程的两个根后，选取其中的负根即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， ∴方程的负根是． 故选：A． 2．（25-26九年级上·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 3．（2026·广东东莞·一模）方程的根为_______． 【答案】， 【分析】将原方程移项变形为，根据直接开平方法求出方程的根即可． 【详解】解：移项得， 开平方得， 即，． 4．（25-26八年级上·上海·期末）方程的解是____________． 【答案】 ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 6．（25-26七年级下·湖南湘西·月考）求下列各式中的的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解； （2）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得， 解得． （2）解：， 化简得， 开方得， 解得． 重难点二 配方法解一元二次方程 1）①化二次项系数为 1；②移项：常数移到右边；③配方：两边加一次项系数一半的平方； ④写成完全平方：；⑤直接开方求解。 7．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项得， 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式得，选项符合题意． 8．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果. 【详解】解：原方程为 . 移项得 . 方程两边同时加得 . 配方得 . 9．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 10．（25-26九年级下·安徽合肥·期中）解方程： 【答案】 【分析】把方程两边同时加上4进行配方，进而解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 解得． 11．（25-26八年级下·北京·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将原方程整理后利用配方法解方程即可； （2）将原方程整理后利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，； （2）解：， 原方程整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． 12．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 13．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】将原方程整理，且将常数项移到方程右边，接下来方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后开方解答即可． 【详解】（1）解：， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （2）解：， 两边都加上36，得， 即， 开方，得， ∴； （3）解：整理，得， 两边都加上9，得， 即， 开方，得， ∴； （4）解：整理，得， 两边都加上4，得， 即， 开方，得， ∴． 重难点三 公式法解一元二次方程 1）①化成标准式：；②确定 （带符号）；③算判别式：；④ 代入求根公式：。 14．（25-26八年级下·北京·课后作业）一元二次方程的实数根是（    ） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】先将原一元二次方程整理为一般形式，再利用一元二次方程求根公式求解即可． 【详解】解：， ， 判别式 ， ∴代入求根公式得 ∴，即选项D符合题意． 15．（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）若一元二次方程的两根是，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程一般形式，再用求根公式求出两根，判断两根的符号关系，逐一判断选项即可． 【详解】解：将原方程整理得， ∵，，， ∴， ∴两个根一个为，一个为，两根异号， A项：，故A错误； B项：题目未规定的大小，若为正根，则，故B错误； C项：两根异号，则，故C错误； D项：两根异号，异号两数相除商为负，则，故D正确． 16．（25-26八年级上·安徽六安·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ，． 17．（2026·安徽合肥·一模）解方程：． 【答案】， 【分析】根据公式法求解即可． 【详解】解：方程可化为， ，，， ， ， 解得：，． 18．（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 19．（2026·安徽芜湖·一模）解方程：． 【答案】 【分析】先求出a，b，c的值，再求出，然后根据求根公式解答． 【详解】解：， 由， ∵， ∴， ∴． 重难点四 因式分解法（含十字相乘法）解一元二次方程 1）右边化为 0，左边分解成两个一次式乘积，令每个因式=0，得两个一次方程； 2）十字相乘：拆二次项与常数项，交叉相乘等于一次项。 20．（2026·湖北黄冈·一模）某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 两边同时除以x，得． 移项，得， ． 或， 解得，． 其中完全正确的是（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．都正确 D．都不正确 【答案】B 【分析】根据因式分解法解一元二次方程求解判断即可． 【详解】解：依题意，甲同学的解法错误，方程两边不能同时除以x，这样会漏解； 乙同学利用解一元二次方程方法—因式分解法，计算正确， 因此完全正确的是乙同学． 21．（25-26八年级下·山东东营·月考）方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】 20 【分析】先求出方程的两个根，再分情况讨论边长组合，结合三角形三边关系验证组合是否成立，最后计算周长即可. 【详解】解： 因式分解得 解得 ； 若为腰，为底，三角形三边长为，因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，故舍去该情况； 若为底，为腰，三角形三边长为，满足三角形三边关系，此时周长为. 22．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）用适当的方法解一元二次方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ∴，． 23．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 因式分解，得， 解得，． 24．（25-26八年级下·安徽淮北·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】先因式分解得到，再解方程即可． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得，         即或，         解得，． 25．（25-26九年级上·广西河池·期末）解方程： 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 26．（25-26八年级下·北京·课后作业）用十字相乘法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】利用十字相乘法进行因式分解求解方程． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． （3）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． （4）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 重难点五 换元法解一元二次方程 1）找重复出现的整体（如 、）； 2）设 这个整体，把高次/复杂方程变简单； 3）解出 再回代求 ； 4）最后必须检验。 27．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 28．（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 29．（25-26八年级下·浙江金华·月考）关于x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【分析】可以把方程看作关于的一元二次方程，再根据关于x的方程的解是，得到或，从而得到方程的解． 【详解】解：观察与的形式可知，后者的解与前者的解满足关系， ∵x的方程（m，h，k均为常数，）的解是，， ∴或， ∴，， 即方程的解是，． 30．（25-26八年级上·上海·期末）已知为实数，且，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题考查了换元法，解一元二次方程，注意解的取值范围是解题关键． 设，则原方程化为，解二次方程并根据确定值． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 即， ， ， 解得或， 由于，故， 即． 故答案为：4． 31．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 32．（25-26八年级下·安徽合肥·月考）【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 重难点六 综合法解一元二次方程 1）先观察：缺一次项→直接开方；易因式分解→因式法；都不行→公式/配方法； 2）含括号整体 → 先看做整体，再展开； 3）含分母 → 先去分母化为整式方程； 4）最后统一验根。 33．（2026·江苏南通·模拟预测）若实数，满足，，则等于（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据立方差公式可得：，根据，可得：，设，可得：，利用完全平方公式可得：，所以可得方程，利用换元法解方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 设，则有， ， ， ， ， ， ， 整理得：， 设， 可得：， 两边同时乘以，可得：， 整理得：， 分解因式得， 或， 不能为负数， ， 解得：， 或． 34．（25-26八年级下·浙江嘉兴·月考）解下列方程： (1)（须用公式法）； (2)（须用配方法） (3)（方法不限）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解：， ， 解得； （3）解：， ， ， ， 或， 解得． 35．（25-26九年级下·内蒙古·开学考试）按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 36．（25-26八年级上·安徽六安·月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：． 解：将视为一个整体，设，则原方程可化为：， 因式分解得：，解得，， 当时，，解得；当时，，解得； 综上，原方程的解为，． 请参考例题，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设，则原方程可化为，先求出y值，再代入求出x即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）解：设，则原方程可化为， ， 解得，， 当时，， 整理得， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，， 整理得， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 37．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）在解一元二次方程时，小明的解法如下，请按要求完成下列问题． 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：或 第五步：， (1)小明第三步配方的依据是__________； A．完全平方公式    B．平方差公式    C．多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程中，第________步有误，错误原因是_________，此方程正确的解是________________； (3)用合适的方法解方程：． 【答案】(1)A (2)二，没有给等号右边加1，， (3)， 【分析】（1）配方法的依据是完全平方公式，即，据此可得出结果； （2）需要检查每一步的计算是否正确，找出错误的步骤并分析原因，然后求解方程； （3）使用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：A项：完全平方公式是，在配方时，通常会使用该公式来将方程转化为完全平方的形式； B项：平方差公式是，与配方无关； C项：多项式与多项式乘法法则是，也与配方无关， ∴小明第三步配方的依据是完全平方公式，选A． （2）解：小明在解题过程中，第二步有误，错误原因是没有给等号右边加1， 正确的解题过程如下： ， ， ， ， 或， ，． （3）解：， ，，， ， ， ，． 38．（25-26九年级上·江西赣州·期末）定义：如果关于x的一元二次方程，满足，我们称这个方程为“和谐方程”． (1)根据定义判断，方程________“和谐方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于x的一元二次方程是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程是“和谐方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)是 (2)， (3)代数式的最小值为 【分析】（1）根据“和谐方程”定义进行判断即可； （2）根据“和谐方程”定义得出，求出b的值，再解方程即可； （3）根据“和谐方程”定义得出，把代入得出根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：∵方程中，，， ∴， ∴方程是“和谐方程”； （2）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， 解得：， 解方程， 解得； （3）解：∵关于x的一元二次方程是“和谐方程”， ∴， ∴， ∴ ， ， ， 即代数式的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点专题解一元二次方程 重难点一：直接开平方解一元二次方程 重难点二：配方法解一元二次方程 直接解方程 重难点三：公式法解一元二次方程 重难点四：因式分解法（含十字相乘法）解一元二次方程 解一元二次方程 换元法解一元二次方程 灵活选用方法解方程 重难点一：综合法解一元二次方程 重点强化 重难点一直接开平方解一元二次方程 啸方法 1)形如：(x+m)2=n(n≥0)，直接开方：x+m=±V,写出两根：x1=-m+V, x2=-m-Vn: 2)缺一次项的方程ax2=c优先用此法。 1.(25-26九年级上陕西安康期末)方程(x一1)2=4的负根是() A.X=-1 B.X=3 C.x=-4 D.x=-3 2.(25-26九年级上.重庆开州期末)一元二次方程x2一9=0的解是() A.X1=3,X2=9 B.X1=9,X2=-9 C.X1=-3,X2=-9 D.X1=3,X2=-3 3.(2026广东东莞一模)方程x2一4=0的根为 4.(25-26八年级上.上海期末)方程(x-1)2-49=0的解是 5.(25-26八年级下·黑龙江大庆·月考)解下列方程： (1)(x-1)2=49 2)(2y-3)2=16 6.(25-26七年级下.湖南湘西·月考)求下列各式中的x的值： 1/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)4x2=64: 2)2(x+2)2=18 重难点二配方法解一元二次方程 城方法 1)①化二次项系数为1；②移项：常数移到右边；③配方：两边加一次项系数一半的平方； ④写成完全平方：(x+m)2=n;⑤直接开方求解。 7.(25-26八年级下.安微合肥月考)用配方法解方程x2一3=4x,变形后的结果正确的是（) A.x+22=18.k+22=7c.g-2)2=1 D.x-2)2=7 8.(25-26九年级下.四川绵阳开学考试)用配方法解一元二次方程x2-10x+5=0,配方正确的是（) A.(x+5)2=20 B.(x-5)2=30 c.(x-5)2=20 D.(x+5)2=30 9.(25-26八年级下黑龙江大庆·月考)解方程：（用配方法）； (1)x2+4x-2=0 (2)(t+3)(t-1)=12. 10.(25-26九年级下.安徽合肥期中)解方程：x2-4x=3 11.(25-26八年级下.北京课后作业)用配方法解下列方程： (1)x2-8x+13=0, (2)x2+5x+7=3x+11. 12.(25-26八年级下.黑龙江大庆.月考)用配方法解下列一元二次方程： (1x2-2x=4 (2)x2+5x=-2 (3)x2-4x+1=0 (4)x(X-4)=4 13.(25-26八年级下.黑龙江大庆月考)用配方法解下列方程： (1x2+6x=-7 (2x2-12x=4 (3)x2+x+1=7x+3 2/7 高学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4x-1(x-3)=8 重难点三公式法解一元二次方程 妹方法 1)①化成标准式：ax2+bx+c=0;②确定a、b、c(带符号)：③算判别式：△=b2-4ac;④A≥0代 入求根公式：x=竺 2a 14.(25-26八年级下.北京课后作业)一元二次方程4x2-x=1的实数根是（) A.X1=X2=0 B.81=0X2=4 C.为1=0，X2= D.名=*x,= 15.（25-26九年级下.河北廊坊开学考试)若一元二次方程2x(x-1)=1的两根是x1,x2,则下列结论 正确的是() A.X1+X2<0 B.X1-x2<0 C.X1X2>0 D.<0 16.(25-26八年级上安微六安月考)解方程：4x2-6x-9=0. 17.(2026安徽合肥.一模)解方程：3x2+2x=4. 18.(25-26八年级下.北京课后作业)用公式法解下列方程： (1)4x2-3=12x: (22x2-5x+3=0, 19.(2026安徽芜湖.一模)解方程：x2-8x+12=0. 重难点四因式分解法（含十字相乘法）解一元二次方程 啸方法 1)右边化为0，左边分解成两个一次式乘积，令每个因式=0，得两个一次方程； 2)十字相乘：拆二次项与常数项，交叉相乘等于一次项。 20.(2026湖北黄冈一模)某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程x2=2x,解答过程如下所示： 甲同学 乙同学 移项，得x2-2x=0, 两边同时除以x,得x=2, x(x-2)=0. 3/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x-2=0或x=0, 解得X1=2,X2=0. 其中完全正确的是() A.甲同学 B.乙同学 C.都正确 D.都不正确 21.(25-26八年级下山东东营·月考)方程x2一12x+32=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等 腰三角形的周长为· 22.(25-26八年级下安徽合肥月考)用适当的方法解一元二次方程：x2-3x一10=0. 23.(2026黑龙江齐齐哈尔.一模)解方程：5x2-4x-1=0. 24.(25-26八年级下.安徽准北月考)解方程：x(3x+6)=3x十6. 25.(25-26九年级上广西河池期末)解方程：x2+2x-24=0 26.(25-26八年级下北京课后作业)用十字相乘法解下列方程： (1)x2+6x-7=0: (2x2-2x-3=0: (3)2x2-5x-3=0: (4)2x2+15x+7=0 重难点五换元法解一元二次方程 妹方法 1)找重复出现的整体（如x2+x、2x-1): 2)设y=这个整体，把高次/复杂方程变简单； 3)解出y再回代求x; 4)最后必须检验。 27.(25-26八年级下安徽阜阳月考)已知方程x2+bx十c=0的解是x1=一2，X2=3,现给出另一个 方程a(x2+2x)2+b(x2+2x)+c=0,则它的实数解是() A.X1=-3,X2=1 B.81=-1,X2=3 C.X1=-2,X2=3 D.X1=-3,X2=2 28.(25-26八年级上山西朔州期末)已知x-2024)2+(x-2026)2=34,则x-2025)的值是() A.4 B.8 C.12 D.16 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 29.(25-26八年级下.浙江金华.月考)关于x的方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数，m≠0)的 解是81=-3，X2=2,则方程m(x+h-3)2+k=0的解是 30.(25-26八年级上.上海.期末)已知xy为实数，且(x2+y2)(x2+y2+1)=20,则x2+y2的值是 31.(2026八年级下.浙江绍兴.专题练习)【阅读材料】 解方程：x4一5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x4=y2,于是原方程可转化为y2-5y+4=0,解得1=1，y2=4.当y=1时，x2=1, 所以x=±1；当y=4时，x2=4,所以x=±2 所以原方程有四个根：X1=1,X2=一1，X3=2,X4=-2 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想 【问题】 (1)在解方程(x2+x)2-4(x2+x)一12=0时，若设y=x2+x,则原方程可转化为 (2)若(m2+n2-3)(2m2+2n2-4)=8,则m2+n2= 3)参照上面解题的思想方法解方程：（名）2-5·+6=0. 32.(25-26八年级下.安徽合肥月考)【材料阅读】 已知实数m,n满足(m2+n2+1)(m2+n2-1)=8,试求m2+n2的值. 解：设y=m2+n2, 则原方程可化为y+1y-1)=8,即y2=9,解得y=±3. :m2+n2≥0， m2+n2=3. 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成 一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化. 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=15,求x2+y2的值. (2)解方程：x4-x2一2=0. (3)解方程：(x2-2x)2-5x2+10x-6=0. 重难点六综合法解一元二次方程 5/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 嫦方法 1)先观察：缺一次项一→直接开方；易因式分解一→因式法；都不行一公式/配方法； 2)含括号整体→先看做整体，再展开： 3)含分母→先去分母化为整式方程； 4)最后统一验根。 33.(2026江苏南通模拟预测)若实数a,b满足a2+b2=1,a3-b3=1,则a+b等于() A.1 B.-1 C.1或-1 D.0或1 34.（25-26八年级下.浙江嘉兴·月考)解下列方程： (1)x2-5x+2=0（须用公式法)： (2x2+12x=一9（须用配方法） (3)2x(x-3)+3=x(方法不限). 35.(25-26九年级下.内蒙古开学考试)按要求解方程： (13(x-1)-27=0:(用直接开平方法) (2x2-6x-4=0;（用配方法) 3)x2-3x-1=0:(用公式法) (4)5x(x-3)+2(x-3)=0;(用因式分解法) 36.（25-26八年级上·安微六安·月考)我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方 程后再求解，这种方法叫做换元法.例：解方程：(2x+3)2-8(2x+3)+15=0. 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3=y,则原方程可化为：y2-8y+15=0, 因式分解得：(y-3)(y-5)=0,解得1=3，y2=5, 当y=3时，2x+3=3,解得x1=0;当y=5时，2x+3=5,解得x2=1; 综上，原方程的解为x1=0,X2=1. 请参考例题，解下列方程： (13x4-5x2-2=0: (2)(x2-4x)2+3x2-12x-18=0. 37.(25-26九年级上宁夏银川期末)在解一元二次方程x2-2x-8=0时，小明的解法如下，请按要求完 成下列问题 第一步：x2-2x=8 6/7 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第二步：x2-2x+1=8 第三步：(x-1)2=8 第四步：x-1=2V2或x-1=-2V2 第五步：X1=1+2V2,X2=1-2W2 (1)小明第三步配方的依据是 A.完全平方公式B.平方差公式C.多项式与多项式乘法法则 (2)上述解题过程中，第 步有误，错误原因是 ，此方程正确的解是 (3)用合适的方法解方程：2y2-9y+5=0, 38.(25-26九年级上江西赣州期末)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，满足 a十b十c=0,我们称这个方程为“和谐方程”. (1)根据定义判断，方程7x2-11x+4=0 “和谐方程”（填“是”或“不是”）： (2)已知关于x的一元二次方程x2+bx+5=0是“和谐方程”，则b的值为多少，并解出这个“和谐方程”； (3)若关于x的一元二次方程-x2+bx+c=0是“和谐方程”，求代数式b2-4c的最小值， 7/7