期中真题专项训练02 三角函数12大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学（沪教版必修第二册）重难点讲义与测试

期中真题专项训练02 三角函数 【考点一】正弦函数的单调性 【考点七】余弦函数的单调性 【考点二】求含sinx（型）函数的值域和最值 【考点八】余弦函数的定义域、值域和最值 【考点三】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【考点九】余弦函数的周期性 【考点四】正弦函数的奇偶性 【考点十】求图象变化前（后）的解析式 【考点五】求正弦型函数的最小正周期 【考点十一】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【考点六】正弦函数的对称性 【考点十二】正切型函数的性质 【考点一】正弦函数的单调性 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体代入法求得函数的单调区间，从而确定正确答案. 【详解】， ， 所以函数在上递增， 令，得. 故选：B 2．已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定. 【详解】由题意得，所以， 所以，即，A正确； 因为，所以，B不正确； 当时，，C不正确； 由，所以，所以， 所以，D不正确. 故选：． 3.（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为__________. 【答案】 【分析】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【详解】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 4．（23-24高一下·上海·期中）的单调减区间为___________. 【答案】. 【分析】先化简原函数解析式，再利用正弦函数的单调性结合整体代入法求单调减区间即可. 【详解】由于函数， 令解得 可得函数的减区间为 故答案为： 5.（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）先求在的值域，在利用在上恒成立，即在上恒成立，即在的值域含在即可. 【详解】（1）由题意有， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； （2）由在上恒成立，即在上恒成立， 由得，所以，即， 所以， 即. 【考点二】求含sinx（型）函数的值域和最值 6.（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为________． 【答案】 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解． 【详解】， 因为，所以，则， 故答案为：． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，分析该函数在上的性质即可. 【详解】函数，当时，， 当时，函数单调递增，函数值从1增大到， 当时，函数单调递减，函数值从减小到， 当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 即关于的方程在有两个不等的实根， 所以的取值范围为. 故答案为： 8．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换可得，利用锐角三角形可求得，可求范围. 【详解】 ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海·期中）设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】令，则，令，，分、、、、五种情况讨论在上的零点个数，即可确定在的零点情况，从而确定的值，即可求出的取值范围. 【详解】令，因为，，所以， 则， 令，， 因为，函数的对称轴为，且，所以当时恒成立； 当，即时，函数无零点，此时也无零点，故舍去； 当，即时，即有且仅有一个零点， 又在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，所以，此时； 当，即， 又函数的对称轴为， 若，即时在上存在两个零点，不妨设为，， 又在上存在两个解，在上存在两个解， 所以在上存在个解， 此时在内不可能恰有个零点，故舍去； 若，即时，令，解得或， 因为在上存在一个解，在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 若，则，又，所以在上存在一个零点，不妨设为， 又在上存在两个解， 要使函数在内恰有个零点，则，此时； 综上可得. 故答案为： 10.（25-26高一下·上海·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， (1)请用，来表示平行四边形的面积； (2)若，求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可； （3）表示，在中，表示出，利用三角恒等变换和三角函数的性质计算即可求解. 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，， 所以， 所以平行四边形的面积为； （2）由（1）有： 当时，， 所以 ， 又，所以， 所以当时，即，取最大值为； （3）由（1）有， 在中，， 所以， 所以， 又，所以，所以，所以. 【考点三】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 11.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由题意可知，对任意的，，参变分离得，利用正弦函数的基本性质求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，恒成立， 即， 当时，，所以，则， 故，即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 13．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 14.（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【详解】（1）由二倍角公式及辅助角公式可得 . （2）由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. （3）由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知定义在上的函数，数列满足，且. (1)若，，求的值； (2)若，且数列为严格增数列，求的取值范围； (3)若，且数列满足，其中，求和的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据递推公式结合可求得的值； （2）分析函数在上为增函数，结合数列为严格增数列，可得出，解得，由此得出，然后结合递推公式逐项推导可知，，，，综合可得出的取值范围； （3）由题意可知对任意的恒成立，讨论，结合以及推出矛盾，从而得出，，即可得解. 【详解】（1）因为，则， 因为，则，由可得， 由，解得. （2）因为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为数列为严格增数列，则，可得，解得， 所以， 且当时，，且， 当时，，且，， 以此类推可知，对任意的，，，合乎题意， 因此，的取值范围是. （3）由题意可知，，即对任意的恒成立， 若，则，即对任意的恒成立， 令可得， 因为，当时，，与题意矛盾. 所以，必有，从而可得，进而有， 故，. 【考点四】正弦函数的奇偶性 16. 是_________函数（填奇偶性）； 【答案】奇 【分析】根据奇函数的判定方法即可得到答案. 【详解】由解析式得的定义域为，关于原点对称， 且， 故为奇函数， 故答案为：奇. 17．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为______． 【答案】 【分析】根据诱导公式以及三角函数的性质即可求解，或者利用和差角公式以及三角函数的性质求解. 【详解】解法一：是偶函数，则; 解法二： ， 由于为偶函数，所以，即，所以， 故答案为：. 18．对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为_______________. 【答案】①③ 【分析】根据函数的奇偶性、正弦函数的性质，结合特例法逐一判断即可. 【详解】①：因为， 所以该函数是奇函数，它的图象关于原点对称，是中心对称图形，因此本结论正确； ②：因为， 所以，因此不成立，所以本结论不正确； ③：令，即，或， 当，显然成立， 当时，，显然函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等，因此本结论正确； ④：，或， 当，显然成立， 当时，，，，显然任意两相邻交点间的距离相等不正确，因此本结论不正确； 故答案为：①③ 19.（23-24高一下·上海普陀·期中）已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 【答案】（1）偶函数；理由见解析；（2）或，其中且. 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性；（2）方程转化为，即可求解. 【详解】（1）偶函数 说明如下：定义域对称，，所以f(x)是偶函数 （2）时，，可得 所以或，其中且. 20．已知函数，． （1）请指出函数的奇偶性，并给予证明； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）非奇非偶函数；（2）. 【分析】（1）取，验证，即得函数是非奇非偶函数； （2）先由得到，再逐步计算的取值范围即可． 【详解】解：， （1），      是非奇非偶函数；                      （2）由，得，．    所以．即． 【考点五】求正弦型函数的最小正周期 21.（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 22.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的最小正周期是______. 【答案】 【分析】直接用正弦函数的周期性回答即可. 【详解】由正弦函数的周期性知：的最小正周期是. 故答案为：. 23．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，则______． 【答案】或 【分析】根据题意，结合正弦型函数的性质，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得其最小正周期为， 结合题意，可得，即，解得. 故答案为：或. 24．（23-24高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则的最小正周期是__________． 【答案】 【分析】根据正弦型函数的周期公式求出，再由周期公式计算可得. 【详解】因为的最小正周期为，所以， 所以的最小正周期是. 故答案为： 25.（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】(1)； (2)，； (3). 【分析】（1）应用二倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，进而求正弦函数的最小正周期； （2）由正弦型函数的性质求增区间； （3）由题设在上有两个不同根，且，，应用差角余弦公式、二倍角正弦公式求函数值. 【详解】（1）由题设， 所以，最小正周期； （2）令，则，， 所以，增区间为，. （3）由，则， 所以在上有两个不同根，且，， 由，若，则， 所以，故， 所以， 所以，可得， 所以. 【考点六】正弦函数的对称性 26.（23-24高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用三角函数新定义结合辅助角公式化简函数，然后根据正弦函数的性质一一判定各个命题即可. 【详解】由题意可知：，显然该函数的值域为，即①正确； 当时，，即该函数图象关于原点对称是错误的，故②错误； 当时，，即该函数图象不关于直线对称，故③错误； 易知该函数为周期函数，其最小正周期为，故④正确. 故选：B 27.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据函数对称性定义得出函数关于直线对称，再结合方程在上有奇数个不同的实数解得出即可求参. 【详解】， 得关于直线对称， 而原方程有奇数个实数解，由对称性必为原方程的一个实数解， 从而， 故答案为: 29.（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或或或. 【分析】（1）根据奇偶性定义及正弦函数的性质判断奇偶性即可； （2）由题设可得，结合角的范围求角的大小. 【详解】（1）由的定义域为R，且， 又不恒等于0，故不恒成立， 所以该函数是偶函数而不是奇函数，得证； （2）由，， 所以或或或. 30．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数，求得，即可得到的值. （2）由点是图像的一个对称中心，得到，求得，利用正弦定理，求得的外接圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 当时，可得， 因为图象最高点都在直线，所以. （2）解：因为点是函数图像的一个对称中心，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 设的外接圆的半径为， 由正弦定理得，所以， 所以外接圆的面积为. 【考点七】余弦函数的单调性 31.（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】结合对数函数的定义和三角函数的性质即可解得定义域. 【详解】由对数函数的定义可知底数大于0且不为1，且真数大于0，结合三角函数的性质可得： . 故答案为：. 32．函数的严格减区间是__． 【答案】． 【分析】结合函数的定义域和复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，则为增函数， 欲求的减区间，则求的减区间 由题意得定义域为，解得 所以的减区间为 所以函数的严格减区间是. 故答案为：. 33．在中，若，则的最大值是____． 【答案】 【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解 【详解】结合正弦定理得，即， 所以， 因为，所以，则的最大值是． 故答案为： 34.求函数的单调减区间. 【答案】 【分析】将代入余弦函数的单调递减区间求解即可. 【详解】令,得. 得单调递减区间是. 35.已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 【答案】(1)①是，理由见解析；②不是，理由见解析； (2) 【分析】（1）①：根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可； ②：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即可； （2）利用正弦型函数的性质，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）①：当时，，根据余弦函数的图象可知， 是的“4重覆盖函数”； ②：由可知：，函数的图象如下图所示： 当时，，当， 所以不是的“重覆盖函数”； （2）因为，所以， 因为， 所以当时， ， 当时，， 函数和函数都是单调递减函数， 故该函数单调递减， 当时，， 函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，而函数递增的速度快于函数递减的速度，所以函数单调递增， 而函数的最小正周期为：， 因此函数，的图象如下图所示： 因此要想，为，的“9重覆盖函数”，只需， 所以的最大值. 【点睛】关键点睛：根据函数的单调性结合函数图象是解题的关键. 【考点八】余弦函数的定义域、值域和最值 36.（24-25高一下·上海·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 【答案】C 【分析】由正余弦定理可判断A，由弧长公式可判断B，由余弦函数图象性质可判断C，由旋转公式可判断D. 【详解】对A，，则， 令， ，由余弦定理得最大角为钝角，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，，则，故C错误； 对D，设点在角的终边上，且，则，， 点在角的终边上，且， 于是点的坐标满足：，， 所以，故D正确. 故选：C. 37.（23-24高一下·上海静安·期中）函数的定义域是__________. 【答案】， 【分析】利用三角函数和对数函数性质求出函数定义域. 【详解】要使函数有意义， 则需，即， 当时，， 所以当，解得，， 所以函数的定义域是，. 故答案为：，. 38．（24-25高一下·上海黄浦·期中）若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先由三角函数的值域得到，再由方程无解得到或，解之即可. 【详解】因为， 所以由方程无解可得或， 因为指数函数在上单调递减，且恒成立， 所以由得，由可知， 综上：，则. 故答案为：. 39.（23-24高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用诱导公式及两角和的正弦公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）根据偶函数的性质得到对于任意，均有成立，即可求出的值，从而得到解析式，再根据的范围求出的范围，最后由余弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）当时，函数 ， 令，， 解得，． 所以此函数的单调递增区间为，； （2）由题意可知函数的定义域为， 又， 因为函数为偶函数， 所以对于任意，均有成立， 即， 即对于任意实数均成立， 只有当时成立，此时． 因为，所以，所以，所以， 即此函数在上的值域为． 40．设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【答案】(1)增区间，减区间为； (2) 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数，则， 即， 即，即， 由于，则， 故， 由于，故. 【考点九】余弦函数的周期性 41.（23-24高一下·上海宝山·期中）下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A.利用的性质判断；B.利用的性质判断；C.作出的图象判断；D. 作出的图象判断. 【详解】A. 是奇函数，以2为最小正周期，故错误； B. 是偶函数，以2为最小正周期，在上为减函数，故错误； C. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为增函数，故正确； D. 的图象如图所示：    由图象知：是偶函数，以为最小正周期，在上为减函数，故错误； 故选：C 42．设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用余弦函数性质，由已知条件得出最小正周期的范围，从而得的范围，再由函数值为0得出的关系式，从而得出，，取出可能的，确定出值，即可得结论． 【详解】且在上为严格减函数，则， 又，，因此，， 又，所以，即， 由，则且，， ，， 因此，， 若，则，取，满足题意， 若，则，取，满足题意， 的值有2个． 故选：D． 43.函数的最小正周期是________． 【答案】 【分析】根据余弦函数的最小正周期公式，即可求得答案. 【详解】函数的最小正周期是， 故答案为： 44．（24-25高一下·上海青浦·期中）若函数的最小正周期是______ 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式化简，再由余弦函数的周期性求解. 【详解】， 所以函数的最小正周期是. 故答案为:. 45．函数的最小正周期为________________. 【答案】 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由已知得：， 其最小正周期为. 故答案为：. 【考点十】求图象变化前（后）的解析式 46.（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【答案】C 【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断. 【详解】由题意知， ， 代入得，所以（1）错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确. 故选：C. 47.（23-24高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【分析】先根据平移规律求出，然后再由为偶函数得出满足的关系式，从而求出结果. 【详解】因为将函数的图像向左平移个单位后得到函数， 所以， 因为函数是上的偶函数， 所以，得， 且，即，所以. 故答案为：. 48．将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是______． 【答案】 【分析】先结合诱导公式化简函数，再根据三角函数图象的伸缩变换与平移变换求得最终函数解析式即可. 【详解】解：由于．将横坐标放大为原来的两倍得解析式为， 再向左平移个单位，得到的函数解析式为. 故答案为：. 49.（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数图象变换运算求解即可； （2）以为整体，结合正弦函数的零点列式求解即可. 【详解】（1）将函数的图像向右平移个单位，得到， 再将横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 若函数在上恰有两个零点， 则，解得， 所以实数m的取值范围为. 50．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意写出函数，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意写出函数进行整理，令，根据二次函数性质求解最值； （3）根据题意写出函数进行整理，运用三角函数性质进行求解b和不等式解集. 【详解】（1）因为，当时， ，因为， 所以，故的值域为； （2）因为， 当时，， 因为，所以， 令，由（1）可知，则， 当时，，故的最大值为. （3）当时，，其中， 因为函数图像关于直线对称，故， 整理得，即，故， 又因为将函数的图像向右平移单位， 得到函数，由题可知， 计算得，故， 即， 所以的解集为. 【考点十一】由图象确定正（余）弦型函数解析式 51.函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据图象求出，然后结合周期公式求出的值，进而根据函数图象过点以及求出的值，即可求出结果. 【详解】由图象可知，所以，又因为，所以，所以，因为函数图象过点，所以，又因为，所以，因此， 故选：C. 52.（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 【答案】 【分析】先由函数图象得到符合题意的的表达式，再求出一个周期的值，再根据函数的周期性求值即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又因为，所以，所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，因为，令，可得， 所以. 所以， 因为，所以， 因为一共有2026项，且， 所以. 故答案为： 53．如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为_________________．    【答案】 【分析】设，其中，根据，求得，得到，得到函数，结合，即可求解． 【详解】由函数的部分图象，设，其中， 因为，可得，解得， 即，所以，可得，所以， 又由，可得，因为，所以． 故答案为：. 54．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为______．    【答案】 【分析】由图求出，根据周期求出，代入点求出. 【详解】由图知，且，解得，即，解得. 则，所以当时，， 即，则， 又，所以当时，，即. 故答案为: . 55.（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3)或． 【分析】（1）由图像求即可求解 （2）利用图像变换先求，进而得，由三角恒等变换化简即可求解； （3）令，可得，令，得，利用二次方程根的分布即可求解. 【详解】（1）由图可得，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且， 由知异号，不妨设， 若，则，无解， 在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意，此时，得； 若在有4个零点， 故在内应恰有2个零点，，此时 综上所述，或． 【考点十二】正切型函数的性质 56.（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的性质对选项逐一判断 【详解】对于A，函数为奇函数，， 对于B，函数为非奇非偶函数，， 对于C，函数为奇函数，， 对于D，，函数为奇函数，， 故选：D 57．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出四个选项中函数的周期，排除选项后，再通过函数的单调减区间找出正确选项即可. 【详解】对于A，，函数的周期为，但在区间上为增函数，故A不正确； 对于B，，函数的周期为，且在区间上为减函数，故B正确； 对于C，由题意观察得，C的周期不是，故C不正确； 对于D，，函数的周期为，但在，不满足在区间上为减函数，故D不正确； 故选：B 58.（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为______. 【答案】/ 【分析】根据，直接计算可得结果. 【详解】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 59．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 【答案】 【分析】根据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值. 【详解】函数的最小正周期， 由图可知，，函数， 所以， 故答案为： 60.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 【答案】(1)不是，是； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用“”函数的定义分别判断即可. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设，按并结合“”函数的定义证明结论，再利用周期性推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 由“”函数的定义知，函数不是“”函数； 令，其定义域为，，， 所以函数是“”函数. （2）由是以为周期的周期函数，不妨设， 当时，而函数为上的“”函数，则， 当时，不妨设，且， 由是以为周期的周期函数，得，又函数为上的“”函数， 因此 ，则对任意的，均有， 由于是以为周期的周期函数，则对任意， 存在，使得， 从而， 所以对任意的，均有. 【点睛】关键点点睛：第二问利用是以为周期的周期函数得，证明在区间具有性质是解决本题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题专项训练02 三角函数 【考点一】正弦函数的单调性 【考点七】余弦函数的单调性 【考点二】求含sinx（型）函数的值域和最值 【考点八】余弦函数的定义域、值域和最值 【考点三】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【考点九】余弦函数的周期性 【考点四】正弦函数的奇偶性 【考点十】求图象变化前（后）的解析式 【考点五】求正弦型函数的最小正周期 【考点十一】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【考点六】正弦函数的对称性 【考点十二】正切型函数的性质 【考点一】正弦函数的单调性 1．（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数在下列哪个区间上是严格增函数（    ） A． B． C． D． 2．已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为__________. 4．（23-24高一下·上海·期中）的单调减区间为___________. 5.（24-25高一下·上海·期中）已知函数，． (1)求函数的单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【考点二】求含sinx（型）函数的值域和最值 6.（24-25高一下·上海长宁·期中）已知函数，的值域为________． 7．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知关于的方程在有两个不等的实根，则的取值范围为________． 8．（24-25高一下·上海普陀·期中）在锐角中，若，则的取值范围是________． 9．（24-25高一下·上海·期中）设，若函数在内恰有6个零点，则的取值范围是__________． 10.（25-26高一下·上海·期中）如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， (1)请用，来表示平行四边形的面积； (2)若，求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； (3)若，求的取值范围. 【考点三】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 11.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数的图象都在轴下方，则实数的取值范围是________． 12．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为__________． 13．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为______. 14.（24-25高一下·上海·期中）已知. (1)试将表示成的形式. (2)当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. (3)对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 15．（24-25高一下·上海·期中）已知定义在上的函数，数列满足，且. (1)若，，求的值； (2)若，且数列为严格增数列，求的取值范围； (3)若，且数列满足，其中，求和的值. 【考点四】正弦函数的奇偶性 16. 是_________函数（填奇偶性）； 17．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为______． 18．对于函数，有以下4个结论： ①函数的图象是中心对称图形； ②任取，恒成立； ③函数的图象与轴有无穷多个交点，且任意两相邻交点的距离相等； ④函数与直线的图象有无穷多个交点，且任意两相邻交点间的距离相等. 其中正确的结论序号为_______________. 19.（23-24高一下·上海普陀·期中）已知函数． （1）判断函数y=f(x)的奇偶性，并说明理由； （2）求函数y=f(x)在的零点. 20．已知函数，． （1）请指出函数的奇偶性，并给予证明； （2）当时，求的取值范围． 【考点五】求正弦型函数的最小正周期 21.（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为；②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值；④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 22.（23-24高一下·上海杨浦·期中）函数的最小正周期是______. 23．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数（其中常数）的最小正周期为2，则______． 24．（23-24高一下·上海·期中）若函数的最小正周期是，则的最小正周期是__________． 25.（24-25高一下·上海·期中）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【考点六】正弦函数的对称性 26.（23-24高一下·上海闵行·期中）在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质， ①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称； ③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为. 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27.（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 28．（24-25高一下·上海闵行·期中）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 29.（24-25高一下·上海杨浦·期中）已知函数，其中. (1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数； (2)若，求的值. 30．（24-25高一下·上海·期中）若图象最高点都在直线上. (1)求的值； (2)在中，分别是的对边，若点是函数图像的一个对称中心，且，求外接圆的面积. 【考点七】余弦函数的单调性 31.（24-25高一下·上海·期中）函数的定义域为__________. 32．函数的严格减区间是__． 33．在中，若，则的最大值是____． 34.求函数的单调减区间. 35.已知函数和的定义域分别为和，若对任意的，都恰好存在n个不同的实数，使得（其中），则称为的“n重覆盖函数” . (1)判断下面两组函数中，是否为的“n重覆盖函数”，并说明理由； ①，，“4重覆盖函数”； ②，，“2重覆盖函数”； (2)若，为，的“9重覆盖函数”，求的最大值. 【考点八】余弦函数的定义域、值域和最值 36.（24-25高一下·上海·期中）下列命题中不正确的是（    ） A．在中，若，则三角形为钝角三角形 B．半径为2的圆上，圆心角为1rad所对的弧长为2 C．若且，则 D．已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标为 37.（23-24高一下·上海静安·期中）函数的定义域是__________. 38．（24-25高一下·上海黄浦·期中）若关于的方程无解，则的取值范围是_____． 39.（23-24高一下·上海·期中）设为常数，函数． (1)设，求函数的严格增区间； (2)若函数为偶函数，求此函数在上的值域． 40．设为常数，函数（）． (1)设，求函数的单调区间及周期； (2)若函数为偶函数，求此函数的值域． 【考点九】余弦函数的周期性 41.（23-24高一下·上海宝山·期中）下列函数中是偶函数，以为最小正周期，且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 42．设函数，若，，在上为严格减函数，那么的不同取值的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 43.函数的最小正周期是________． 44．（24-25高一下·上海青浦·期中）若函数的最小正周期是______ 45．函数的最小正周期为________________. 【考点十】求图象变化前（后）的解析式 46.（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 47.（23-24高一下·上海普陀·期中）将函数的图像向左平移个单位后得到函数，若函数是上的偶函数，则______． 48．将函数上的点，先保持纵坐标不变，将横坐标放大为原来的两倍，再向左平移个单位，得到的函数解析式是______． 49.（23-24高一下·上海·期中）将函数的图像向右平移个单位，再将横坐标变为原来的，纵坐标不变得到函数的图像. (1)求函数的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，求实数m的取值范围. 50．（24-25高一下·上海·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值域. (2)当时，求的最大值. (3)当时，的函数图象关于直线对称，将函数的图象向右平移单位. 得到函数，求解不等式. 【考点十一】由图象确定正（余）弦型函数解析式 51.函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 52.（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图，则 的值为_____. 53．如图所示为函数的部分图象，其中，则此函数的解析式为_________________．    54．（23-24高一下·上海松江·期中）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为______．    55.（24-25高一下·上海·期中）已知函数的图象如图所示． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作，求函数的最小值以及取得最小值时的值； (3)在（2）的题干下，若函数在内恰有6个零点，求的值． 【考点十二】正切型函数的性质 56.（23-24高一下·上海浦东新·期中）下列函数中，周期为1的奇函数是（　　） A． B． C． D． 57．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为减函数的是（    ） A． B． C． D． 58.（23-24高一下·上海·期中）函数的最小正周期为______. 59．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为，则__________． 60.（23-24高一下·上海·期中）已知函数的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数. (1)分别判断和是否为“”函数.（直接写出结果） (2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $