专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组15大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义 题型02 不等式的性质 题型03 不等式的解集 题型04 求一元一次不等式的解集 题型05 数轴上表示不等式的解集 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 列一元一次不等式 题型08 用一元一次不等式解决问题 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由一元一次不等式组的解集情况求参数 题型12 不等式组和方程组结合的问题 题型13 列一元一次不等式组 题型14 一元一次不等式组的实际应用 题型15 一元一次不等式（组）的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 理解并掌握不等式的定义、相关概念及基本性质，能正确辨析不等式与等式的区别，会用不等式表示不等关系并进行简单判断与应用。 基础考点，常出现在小题，2分左右 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，能正确运用性质进行不等式变形，尤其注意乘除负数时不等号方向改变，为解不等式奠定基础。 核心考点，常与其他知识点一起考查，分值大概在3分左右 不等式的解集 理解不等式解集的定义，能正确求出解集并在数轴上规范表示，区分实心点与空心圈，为解不等式组打好基础。 基础考点，注意不等式解集的表示，常出现在解答题，大概在3分左右 一元一次不等式的整数解 掌握求一元一次不等式整数解的方法，先正确求解集，再准确找出范围内所有符合条件的整数。 重要考点，主要在小题考查，分值在2分左右 用一元一次不等式解决问题 能根据实际问题列出一元一次不等式并求解，结合题意检验结果，解决简单的不等关系应用问题。 基本考点，主要在解答题考查，分值在3分左右 求不等式组的解集 掌握一元一次不等式组的解法，会分别解每个不等式、利用数轴确定公共解集，熟记 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 的口诀。 核心考查点，一般在计算题考查，分值在5分左右 由一元一次不等式组的解集情况求参数 掌握根据一元一次不等式组的解集存在性、边界情况，逆向求解参数取值范围，注意等号是否成立的临界判断。 核心考查点，注意含参问题的解决方法，一般在小题考查，分值在2分左右 不等式组和方程组结合的问题 掌握方程组与不等式组的综合运算，先解方程组得到含参数的表达式，再代入不等式组求参数范围或特殊解。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 一元一次不等式组的实际应用 能从实际问题中抽象出一元一次不等式组，正确列、解并结合题意检验解集，确定符合实际的方案或最值。 核心考查点，一般在解答题出现，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1、不要漏乘不含分母的项； 2、当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3、如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1、去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2、若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1、移项时不要漏项; 2、将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1、不要漏项； 2、系数的符号处理要得当. 3、字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1、不等式两边都除以未知数系数; 2、当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1、如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 易｜错｜点｜拨 1、不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子都是不等式，别漏≥、≤、≠； 2、只看形式，不看对错：如 2>3 也是不等式，只是假不等式； 3、含字母的式子只要有不等号，就是不等式。 1．在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 3．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、乘除负数必须变号，正数 / 加减不变号； 2、两边同乘含字母式子，要先判断正负再定方向； 3、两边同乘0，不等号变等号，不是恒成立； 4、不可随意跨项乘除，无依据变形必错。 4．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 6．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 题型三 不等式的解集 易｜错｜点｜拨 1、数轴表示：有等号实心点，无等号空心圈，别画反。 2、解集是所有解的集合，不是单个解。 3、变形时不等号方向错会导致解集完全相反。 4、端点值（边界）一定要检验是否可取。 7．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 8．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 9．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 题型四 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 两边乘除负数，不等号必须变号 去分母、移项时别漏乘、别忘变号 系数化为 1 时，看清系数正负再定方向 数轴表示：有等号实心，无等号空心 10．解不等式： 11．解下列不等式 (1)； (2)． 12．解不等式：． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 14．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 15．解不等式： (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 题型六 求一元一次不等式的整数解 易｜错｜点｜拨 先求正确解集，不等号变号、端点错，整数解全错 看清 **≥/≤取端点，>/<** 不取端点 别漏负整数、0，只找正整数最易丢解 整数解是范围内所有整数，不重不漏 16．已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 17．若方程的解是负数，则的最大整数值为___． 18．若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值． 题型七 列一元一次不等式 19．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省60元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为个月，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 20．公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______． 21．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 题型八 用一元一次不等式解决问题 22．一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 23．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 24．在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元； (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； (3)经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 26．解不等式组，并求它的整数解． 27．解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的整数解为________． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．关于不等式组，列说法正确的是（    ） A．无解 B．解集为 C．整数解有个 D．负整数解有个 30．解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 易｜错｜点｜拨 端点是否取等号最易错，要单独检验 分清同大取大、同小取小，别搞反参数范围 无解与有解、整数解存在性，边界临界必验证 先画数轴再定范围，别凭感觉写答案 31．已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 32．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 33．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 易｜错｜点｜拨 先解方程组求字母表达式，再代入不等式组，顺序别反 计算方程组时符号、系数别算错，一步错全错 解含参数不等式时，乘除负数勿忘变号 最后结果要同时满足两个范围，别漏交集 34．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 题型十三 列一元一次不等式组 37．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 38．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 39．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．去冬今春，由于天气持续高温，某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共420件，其中饮用水比蔬菜多140件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种货车共10辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来． 41．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 42．为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量/（） 执行电价元/（） 第一档 小于等于200 第二档 大于200且小于400 第三档 大于等于400 小李家5月、6月共用电，共缴纳电费元．已知小李家6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于． (1)问小李家5月、6月各用电多少？ (2)小王家6月份共用电，问共需缴纳电费多少元？ 题型十五 一元一次不等式（组）的新定义问题 43．定义：用表示，两个数中较大数，如，． (1)______，若，则的取值范围是_____； (2)若且满足成立，求正整数的值； (3)在（2）的条件下，解关于的方程：． 44．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． (1)填空： _________； _________； (2)若，求x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围． 45．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京通州·期中）某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京丰台·期中）不等式的非负整数解的个数有______个； 6．（24-25七年级下·北京石景山·期中）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 7．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 8．（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 9．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组： 10．（24-25七年级下·北京·期中平谷）为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·北京延庆·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·北京东城·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．不等式组的所有整数解的和为_________． 16．（24-25七年级下·北京东城·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 17．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀（不低于90分），那么小明至少答对了______题． 18．（24-25七年级下·北京·期末）对于实数、（其中），不等式的解集构成“的邻域”． （1）不等式的解集构成“_______的________邻域”； （2）不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”，若由、组成的不等式组的解集构成“的邻域”，则的取值范围是_________． 19．（24-25七年级下·北京延庆·期中）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 20．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知有理数满足，在数轴上，表示数和的点之间只有两个整数，（不包括与），下面有四个结论：①的值可以是1；②；③；④的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④ 22．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 23．（24-25七年级下·北京·期中）使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 24．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 26．（24-25七年级下·北京延庆·期末）每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立．为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动．为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元．学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本．则购买《马小跳玩数学》______本． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______． 28．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 29．（24-25七年级下·北京顺义·期中）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 30．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式和一元一次不等式组 （期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的定义 题型02 不等式的性质 题型03 不等式的解集 题型04 求一元一次不等式的解集 题型05 数轴上表示不等式的解集 题型06 求一元一次不等式的整数解 题型07 列一元一次不等式 题型08 用一元一次不等式解决问题 题型09 求不等式组的解集 题型10 求一元一次不等式组的整数解 题型11 由一元一次不等式组的解集情况求参数 题型12 不等式组和方程组结合的问题 题型13 列一元一次不等式组 题型14 一元一次不等式组的实际应用 题型15 一元一次不等式（组）的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的定义 理解并掌握不等式的定义、相关概念及基本性质，能正确辨析不等式与等式的区别，会用不等式表示不等关系并进行简单判断与应用。 基础考点，常出现在小题，2分左右 不等式的性质 掌握不等式的基本性质，能正确运用性质进行不等式变形，尤其注意乘除负数时不等号方向改变，为解不等式奠定基础。 核心考点，常与其他知识点一起考查，分值大概在3分左右 不等式的解集 理解不等式解集的定义，能正确求出解集并在数轴上规范表示，区分实心点与空心圈，为解不等式组打好基础。 基础考点，注意不等式解集的表示，常出现在解答题，大概在3分左右 一元一次不等式的整数解 掌握求一元一次不等式整数解的方法，先正确求解集，再准确找出范围内所有符合条件的整数。 重要考点，主要在小题考查，分值在2分左右 用一元一次不等式解决问题 能根据实际问题列出一元一次不等式并求解，结合题意检验结果，解决简单的不等关系应用问题。 基本考点，主要在解答题考查，分值在3分左右 求不等式组的解集 掌握一元一次不等式组的解法，会分别解每个不等式、利用数轴确定公共解集，熟记 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到” 的口诀。 核心考查点，一般在计算题考查，分值在5分左右 由一元一次不等式组的解集情况求参数 掌握根据一元一次不等式组的解集存在性、边界情况，逆向求解参数取值范围，注意等号是否成立的临界判断。 核心考查点，注意含参问题的解决方法，一般在小题考查，分值在2分左右 不等式组和方程组结合的问题 掌握方程组与不等式组的综合运算，先解方程组得到含参数的表达式，再代入不等式组求参数范围或特殊解。 重要考查点，一般在小题考查，2分左右 一元一次不等式组的实际应用 能从实际问题中抽象出一元一次不等式组，正确列、解并结合题意检验解集，确定符合实际的方案或最值。 核心考查点，一般在解答题出现，5分左右 知识点01 不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 知识点03 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 知识点04 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1、不要漏乘不含分母的项； 2、当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3、如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1、去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2、若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1、移项时不要漏项; 2、将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1、不要漏项； 2、系数的符号处理要得当. 3、字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1、不等式两边都除以未知数系数; 2、当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 知识点05 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1、如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2、在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点06 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 题型一 不等式的定义 易｜错｜点｜拨 1、不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接的式子都是不等式，别漏≥、≤、≠； 2、只看形式，不看对错：如 2>3 也是不等式，只是假不等式； 3、含字母的式子只要有不等号，就是不等式。 1．在下面的式子中，不等式有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】判断式子是否含有不等号即可，常见不等号包括，，，，等． 【详解】解：①含有不等号，是不等式； ②含有不等号，是不等式； ③是等式，不含不等号，不是不等式； ④是代数式，没有表示不等关系，不是不等式； ⑤含有不等号，是不等式； 所以共有3个不等式． 2．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 3．已知下列表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，______是不等式．（填序号） 【答案】 ①②⑥ 【分析】根据不等式的定义，逐个判断所给式子，筛选出符合定义的式子即可． 【详解】解：不等式的定义为：用不等号连接的式子叫做不等式． ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是用等号连接的等式，不是不等式； ④ 是代数式，不是不等式； ⑤ 是用等号连接的等式，不是不等式； ⑥ 是用不等号连接的式子，是不等式， 故①②⑥是不等式． 题型二 不等式的性质 易｜错｜点｜拨 1、乘除负数必须变号，正数 / 加减不变号； 2、两边同乘含字母式子，要先判断正负再定方向； 3、两边同乘0，不等号变等号，不是恒成立； 4、不可随意跨项乘除，无依据变形必错。 4．下列判断不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断各选项的正误，即可得到答案． 【详解】解：A. ∵题目未给出的取值范围，当时，若，可得. ∴原判断不成立，该选项判断错误，符合题意； B. ∵，可得，不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变， ∴可得，该选项判断正确，不符合题意； C. ∵不等式两边加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意； D. ∵不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，该选项判断正确，不符合题意． 5．已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 6．下面的推导过程中竟然推出了的错误结果，请你指出问题究竟出在哪里． 已知：． 两边都乘2，得． 两边都减去，得，即． 两边都除以，得． 【答案】见解析 【分析】注意不等式两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变． 【详解】解：∵， ∴，即是负数． 在不等式两边同时除以时， 因为除以的是一个负数，根据不等式的性质，不等号的方向应该改变，即，而不是． 题型三 不等式的解集 易｜错｜点｜拨 1、数轴表示：有等号实心点，无等号空心圈，别画反。 2、解集是所有解的集合，不是单个解。 3、变形时不等号方向错会导致解集完全相反。 4、端点值（边界）一定要检验是否可取。 7．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 8．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有_____． （2）的负整数解有_____． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 9．下列不等式后面括号内的数，哪些是不等式的解？哪些不是？ (1)； (2)． 【答案】(1)是该不等式的解，不是该不等式的解 (2)是该不等式的解，5不是该不等式的解 【分析】本题考查不等式的解的意义． （1）分别将括号内的数代入不等式的左边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立； （2）分别将括号内的数代入不等式的左边和右边计算，再比较左边与右边，判断不等式是否成立． 【详解】（1）解：当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式不成立； 当x取时，代入不等式左边，得， 因为，所以原不等式成立； 故是该不等式的解，不是该不等式的解． （2）解：当x取0时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得， 因为，所以原不等式成立； 当x取3时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式成立； 当x取5时，代入不等式左边，得，代入不等式右边，得． 因为，所以原不等式不成立， 故是该不等式的解，5不是该不等式的解． 题型四 求一元一次不等式的解集 易｜错｜点｜拨 两边乘除负数，不等号必须变号 去分母、移项时别漏乘、别忘变号 系数化为 1 时，看清系数正负再定方向 数轴表示：有等号实心，无等号空心 10．解不等式： 【答案】 【分析】根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1逐步求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 11．解下列不等式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不等式去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解； （2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，将x系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． （2）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 12．解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：． 题型五 数轴上表示不等式的解集 13．解不等式，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项得： 解集在数轴上表示如下： 14．解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】；数轴表示见解析 【详解】解： 解得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： 15．解不等式： (1)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； (2)解不等式，并在给出的数轴上表示其解集； 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 两边同除以，得， 两边同加上，得． 数轴表示如下所示： （2）解： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 数轴表示如下所示： 题型六 求一元一次不等式的整数解 易｜错｜点｜拨 先求正确解集，不等号变号、端点错，整数解全错 看清 **≥/≤取端点，>/<** 不取端点 别漏负整数、0，只找正整数最易丢解 整数解是范围内所有整数，不重不漏 16．已知关于的不等式的最小整数解为2，则整数的值可以是（　　） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的步骤，结合题意得出的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由得，， ∵该不等式的最小整数解为2， ∴， 解得， 选项中只有C符合题意． 17．若方程的解是负数，则的最大整数值为___． 【答案】 【分析】先求解方程得到关于的表达式，再根据解是负数这一条件列出关于的不等式，解不等式后确定的最大整数解． 【详解】解：， ， ， 方程的解是负数， ， ， ． 为整数， 的最大整数解为． 18．若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，以及解一元一次不等式，掌握相关解法和步骤是解题关键．先解一元一次方程得到，再根据解不大于0，得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：， 移项得， 解得． ∵方程的解不大于0，即， ∴，解得． ∴正整数m的取值为． 题型七 列一元一次不等式 19．某校机器人小组计划购买一套新的传感器模块用于备赛．小组已筹集到120元经费，并决定从本月起每月从社团经费中节省60元，直到经费不少于500元．设小组筹集的时间为个月，则可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据经费不少于500元列出不等式即可. 【详解】解：由题意，可列不等式为. 20．公共汽车上有个座位，车上已有人坐在座位上，在某站又上来人，有一部分人无座位，则可列不等式为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式．根据题意，空座位数为，上来人后，若有人无座位，则大于空座位数，进而列出不等式． 【详解】解：公共汽车上座位总数为，已有人占用座位，又上来人，则空座位数为，若有一部分人无座位，则表明上来的人数大于空座位数，即． 故答案为：． 21．某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 题型八 用一元一次不等式解决问题 22．一次智力测验，有道选择题，评分标准为：对题给分，错题扣分，不答题不给分也不扣分，小明有道题未答，则他至少要答对几道题，总分才不会低于分？ 【答案】小明至少答对道题，总分才不会低于分 【分析】设小明答对道题，则答错道题，利用总分答对题目数答错题目数，结合总分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设小明答对道题，则答错道题， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为． 答：小明至少答对道题，总分才不会低于分． 23．某服装厂计划生产一种服装，每件成本是元，售价是元．该厂生产这种服装，每月除成本外的其他开支共为元．如果想使生产这种服装的月获利不低于元，那么每月至少要生产这种服装多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设每月生产这种服装 件，根据单位利润乘以数量减去开支不低于元列不等式求解即可． 【详解】解：设每月生产这种服装 件，依题意得， ， ， ， ． 答：每月至少要生产 件． 24．在“生命，幸“盔”，有你”为主题的交通安全宣传教育下，人们骑乘电动自行车佩戴头盔的安全意识不断提高，某电动自行车店计划分别购进30个安全头盔和若干副电动自行车手套，店经理联系了批发商，他们之间的对话如下： 店经理：你好！请问安全头盔和手套的批发价分别是多少元？ 批发商：你好！头盔100元/个，手套30元/副，现在正值安全教育宣传期，有以下两种优惠方案： 方案一：整体打九折； 方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套． (1)电行动自车店计划购买30个安全头盔和100副手套，若选择方案二共需花费 元； (2)电动自行车店计划购买30个安全头盔和a副手套（）． 若选择方案一购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； 若选择方案二购买，需要花费 元（用含a的代数式表示）； (3)经理想购买30个安全头盔和a副手套，应该如何选择购买方案能更省钱？ 【答案】(1)5550 (2) (3)，选择方案二购买更省钱；，两种方案购买价格一样；，选择方案一购买更省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式的知识，一元一次不等式的应用， （1）方案二：原价购买两个头盔赠送一副手套，依此可得购买30个安全头盔和100副手套共需要花费； （2）购买30个安全头盔需3000元，a副手套需30a元，再分别用代数式表示出所需费用； （3）分三种情况列出关系式，求出a的取值范围即可. 【详解】（1）解：（元）. 故选择方案二共需花费5550元． 故答案为：5550元； （2）解：购买30个安全头盔需3000元， a副手套需元， 若选择方案一购买需元． 若选择方案二购买需元． 故答案为：，； （3）解：当时，， 此时两种方案购买价格一样； 当时，， ∴， 此时选择方案二购买更省钱． 当时，， 此时选择方案一购买更省钱． 答：当时，选择方案二购买更省钱；当时，两种方案购买价格一样；当时，选择方案一购买更省钱． 题型九 求不等式组的解集 25．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) ，数轴见解析． 【详解】（1）解：， 由得， 由得， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： 26．解不等式组，并求它的整数解． 【答案】解集为，不等式组的整数解为，，，， 【详解】解：， 由①可得：， 由②可得：， ∴原不等式组的解集为， ∴它的整数解有，，，，． 27．解不等式组：，并求出它的所有整数解． 解：解不等式①得________， 解不等式②得________， 所以，原不等式组的解集为________， 所以，原不等式组的整数解为________． 【答案】；；；，，0 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 所以，原不等式组的解集为， 所以，原不等式组的整数解为，，0． 题型十 求一元一次不等式组的整数解 28．不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集内的整数，统计个数即可得到答案 【详解】解：解不等式， ， ， 解不等式， ， 则不等式组的解集为， 该范围内的整数为，共3个 29．关于不等式组，列说法正确的是（    ） A．无解 B．解集为 C．整数解有个 D．负整数解有个 【答案】B 【分析】先确定不等式组的解集，再分别对各选项进行判断即可． 【详解】∵不等式组为， ∴该不等式组的解集为，故A选项错误，B选项正确， 满足的整数为，共个，故C选项错误， 在整数解中，负整数只有，共个，故D选项错误． 30．解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为2，3． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为2，3． 题型十一 由一元一次不等式组的解集情况求参数 易｜错｜点｜拨 端点是否取等号最易错，要单独检验 分清同大取大、同小取小，别搞反参数范围 无解与有解、整数解存在性，边界临界必验证 先画数轴再定范围，别凭感觉写答案 31．已知关于的不等式组恰有四个整数解，则满足条件的所有整数的和为（   ） A．21 B．24 C．15 D．30 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组得到x的取值范围，再根据恰有四个整数解确定m的取值范围.最后找出所有符合条件的整数m计算和即可. 【详解】解：解不等式组 解不等式，得 解不等式，得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有四个整数解， ∴四个整数解为 可得 不等式三边同乘，得 ∵为整数， ∴的取值为 所有整数的和为． 32．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 【答案】 【分析】先求解第一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定规律“大大小小解不了”，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∴原不等式组化为， 不等式组无解，符合“大大小小解不了”的规律， ． 33．已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，先得出该不等式组的解集为．再结合“有5个整数解”这个条件得这5个整数解为3，2，1，0，，再列出，即可作答． 【详解】解：解不等式， 得． 解不等式， 得， 该不等式组的解集为． 这个不等式组有5个整数解， 这5个整数解为3，2，1，0，， ， ∴解得， 的取值范围为． 题型十二 不等式组和方程组结合的问题 易｜错｜点｜拨 先解方程组求字母表达式，再代入不等式组，顺序别反 计算方程组时符号、系数别算错，一步错全错 解含参数不等式时，乘除负数勿忘变号 最后结果要同时满足两个范围，别漏交集 34．若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 35．已知方程组中的x，y满足， 则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用方程组中的减去得到，再结合，得到关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵方程组的中x，y满足， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了方程组和不等式结合的问题，正确利用方程组得到是解题的关键． 36．在方程组中，若，则的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到，再代入，得到关于k的不等式组，进而得出k的取值范围． 【详解】解：， 得：， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：． 题型十三 列一元一次不等式组 37．某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 38．某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系． 【答案】 【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可． 【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：， 解得： ， 【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键． 39．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式． 【答案】 【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于平方米，周长小于米列出不等式组求解即可． 【详解】∵矩形的面积大于平方米，周长小于米，矩形的一边长为，临边长为 ∴ 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关键． 题型十四 一元一次不等式组的实际问题 40．去冬今春，由于天气持续高温，某地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共420件，其中饮用水比蔬菜多140件． (1)求饮用水和蔬菜各有多少件？ (2)现计划租用甲、乙两种货车共10辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来． 【答案】(1)饮用水有280件，蔬菜有件 (2)有3种方案，方案一：甲4辆，乙6辆；方案二：甲5辆，乙5辆；方案三：甲6辆，乙4辆． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组； （1）设饮用水有x件，则蔬菜有件，根据饮用水和蔬菜共420件，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用甲货车a辆，乙货车辆，根据每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各安排方案； 【详解】（1）解：设饮用水有x件，则蔬菜有件，由题意可得： ， 解得：， ∴饮用水有280件， 蔬菜有件． 答：饮用水有280件，蔬菜有件 （2）设租用甲货车a辆，乙货车辆，则： ， 解得：， ∴a为整数， ∴或或 ∴有3种方案，方案一：甲4辆，乙6辆；方案二：甲5辆，乙5辆；方案三：甲6辆，乙4辆． 41．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 42．为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制，具体执行方案如下： 档次 每月每户用电量/（） 执行电价元/（） 第一档 小于等于200 第二档 大于200且小于400 第三档 大于等于400 小李家5月、6月共用电，共缴纳电费元．已知小李家6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于． (1)问小李家5月、6月各用电多少？ (2)小王家6月份共用电，问共需缴纳电费多少元？ 【答案】(1)小李家5月用电，6月用电 (2)共需缴纳电费元 【分析】（1）设5月用电，则6月用电．先利用6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于，列不等式组求出，分两种情况：第一种情况：当时，第二种情况：当时，分别讨论即可； （2）直接利用计算即可． 【详解】（1）解：设5月用电，则6月用电． ∵6月用电量大于5月，且5月、6月用电量均小于， ∴， 解得， 分两种情况： 第一种情况：当时，， 则， 解得， ； 第二种情况：当时，， 则， 整理得：，无解， ∴小李家5月用电，6月用电． （2）解：∵， ∴共需缴纳电费（元）． 题型十五 一元一次不等式（组）的新定义问题 43．定义：用表示，两个数中较大数，如，． (1)______，若，则的取值范围是_____； (2)若且满足成立，求正整数的值； (3)在（2）的条件下，解关于的方程：． 【答案】(1)3， (2)的值为1 (3) 【分析】（1）根据表示、中较大数的定义，直接比较和的大小；再由，得出不大于的取值范围。 （2）结合和，转化为不等式组求解，再确定正整数的值。 （3）将(2)中求得的代入方程，通过解一元一次方程得到的值。 【详解】（1）解：3，若，则的取值范围是， 故答案为：3，； （2）解：由题意得， 解得， 因为是正整数， 所以的值为1． （3）解：当时，原方程为， 解得． 44．对于任意实数a，b，定义关于@的一种运算如下，例如，． (1)填空： _________； _________； (2)若，求x的取值范围． (3)若关于x的不等式恰有两个正整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)4，4 (2) (3) 【分析】此题主要考查了新定义，有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，理解题目中给出的新定义运算的法则，及一元一次不等式组的解集，熟练掌握有理数的运算，解一元一次不等式和一元一次不等式组是解决问题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）先计算，然后将不等式可转化为，解此不等式可得的取值范围； （3）先计算，因此可将不等式可转化为，由此可解得，再根据恰有两个正整数解，得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：4，4； （2）解：， 不等式可转化为：， ； （3）解：， 不等式可转化为：， ， ∵关于x的不等式恰有两个正整数解， ∴， 解得：． 45．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)不是，是 (2) (3)或 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是不等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握含有不等号（<、>、≠等）的式子是不等式是解题的关键． 根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如<， >， ≠等）． 【详解】解：∵ ① 是等式，不含不等号； ② 含有“<”，是不等式； ③ 是代数式，不含不等号； ④ 含有“>”，是不等式； ⑤ 含有“≠”，是不等式． ∴ 不等式有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京海淀·期中）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 3．（24-25七年级下·北京通州·期中）某超市花费2500元购进草莓100kg，销售中有10%的正常损耗．为避免亏本（其他费用不考虑），售价至少定为每千克多少元？设售价定为每千克x元，根据题意所列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 根据题意，草莓有损耗，实际销售量为，销售收入为元，为避免亏本，销售收入应不小于进货成本元，即可列出关于的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 4．（24-25七年级下·北京门头沟·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 5．（24-25七年级下·北京丰台·期中）不等式的非负整数解的个数有______个； 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法与非负整数解的确定，熟练掌握一元一次不等式的解题步骤并准确筛选非负整数解是解题的关键． 先求解不等式的解集，再从解集中找出所有非负整数解并统计个数． 【详解】解：， ， ， ， ， 非负整数解为，，，共3个． 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·北京石景山·期中）已知，则关于的不等式组的所有整数解的积是________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的整数解，解题关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法． 先求出不等式组的解集，结合的取值范围找到所有整数解并求积即可． 【详解】解：由可得， ， 不等式组的解为，所有整数解为、、， 故所有整数解的积是． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）已知关于的不等式的解集为，则的值为__________． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，方程思想的应用，掌握解不等式得到解集表达式，通过解集相等建立方程求参数是解题的关键． 通过解不等式得到关于的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解． 【详解】解：解不等式， 化简得，即， 移项得， 由于解集为， 因此， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·北京大兴·期中）下列说法：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集是．其中正确的有________________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了不等式的解集和解，解题的关键是掌握二者的区别与联系． 根据不等式的解的定义：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；不等式的解集：能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集，进行分析． 【详解】解：①是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ②是不等式的一个解，说法正确，符合题意； ③不等式的解集是，说法正确，符合题意； 故答案为：①②③． 9．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式组： 【答案】 【分析】依次解不等式，取其公共部分即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①：， 化简得， 解得； 解不等式②：， 去分母得， 化简得， 解得； ∴不等式组的解集为． 10．（24-25七年级下·北京·期中平谷）为了加强体育锻炼，某班计划购买足球和篮球共40个．已知足球和篮球的价格分别为60元/个和90元/个，购买的总费用不超过2800元．该班级至少购买几个足球？ 【答案】27个 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设购买足球有个，则购买篮球个，根据“购买的总费用不超过2800元．”列出不等式，即可求解． 【详解】解：设购买足球有个，则购买篮球个，由题意得， ， 解得：， 因为为整数， 所以的最小值取27． 答：至少购买27个足球． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 11．（24-25七年级下·北京延庆·期中）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质． 举例判断A、B，根据不等式的性质判断C、D即可． 【详解】解：∵， 选项A，取，，满足，但，，，故A不成立； 选项B，取，，满足，但，，，故B不成立； 选项C，∵不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，，∴，故C不成立； 选项D，∵不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，，∴，故D成立； 故选：D． 12．（24-25七年级下·北京东城·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 13．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确理解“不等式组有且只有3个整数解”是解本题的关键． 先解不等式组得到解集为，由有且只有3个整数解，确定整数解为，从而推导出的取值范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵有且只有3个整数解， ∴整数解为， ∴的取值范围为， 故选：A． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤． 先分别解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组无解（两个解集无公共部分），建立关于的不等式求解即可． 【详解】解不等式，得， 解不等式，得， 又∵不等式组无解， ∴， 解得． 故选：A． 15．不等式组的所有整数解的和为_________． 【答案】7 【分析】先分别解出不等式组中的两个不等式，求出它们的公共解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 【详解】解：首先解不等式组： 解不等式①： ． 解不等式②： ． 故：． 满足的整数为，． ∴整数解的和． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的应用，解题关键是准确求出每个不等式的解集，找到公共解集后，再确定其中的整数解并求和． 16．（24-25七年级下·北京东城·期中）某超市开展促销活动，一次性购买的商品超过88元时，就可享受打折优惠．小明同学准备为班级购买奖品，需买6本笔记本和若干支钢笔．已知笔记本每本4元，钢笔每支7元，如果小明想享受打折优惠，那么至少买钢笔__________支． 【答案】10 【分析】设需要购买x支钢笔，根据总价=单价×数量，结合总价超过88元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，准确列不等式计算是解题的关键． 【详解】解：设购买钢笔x支，根据题意，得 由题意得， 解得． ∵x为整数， ∴x的最小值为10， ∴至少买10支钢笔． 故答案为：10． 17．（24-25七年级下·北京怀柔·期中）某班道法课上进行了普法知识竞赛，共有30道题，规定答对一题得5分，不答一题得0分，答错一题扣2分，在本次竞赛中小明有1道题没答，最终成绩获得优秀（不低于90分），那么小明至少答对了______题． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，理解题意，根据不等关系列出不等式是关键；通过设未知数表示答对题数，根据总题数和得分规则列出不等式，求解后取整数解． 【详解】解：设小明答对了题，则答错了题（因为有1题没答，共答了29题）． 根据得分规则，得分为，且不低于90分， 即：， 化简得：， 解得：， 由于为整数，因此． 故小明至少答对了22题． 18．（24-25七年级下·北京·期末）对于实数、（其中），不等式的解集构成“的邻域”． （1）不等式的解集构成“_______的________邻域”； （2）不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”，若由、组成的不等式组的解集构成“的邻域”，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值不等式的解法以及邻域概念的理解，熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键． （1）将绝对值不等式转化为邻域形式即可得到答案； （2）通过不等式组的解集关系，建立关于的不等式，即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故不等式的解集构成“的邻域， 故答案为：，； （2）由题意可得：不等式的解集构成“的2邻域”，不等式的解集构成“2的1邻域”， 不等式：， 即， 不等式：， 即， 由、组成的不等式组的解集构成“的邻域” 故、组成的不等式组的解集为， 即， ， 解得， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·北京延庆·期中）下面是小数同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成下列问题． 解：去分母，得． 去括号，得．第二步 移项，得．第三步 合并同类项，得．第四步 系数化为1，得．第五步 (1)以上解题过程中，第一步的依据是_____，第_____步开始出现错误． (2)请你写出正确解答过程． 【答案】(1)不等式性质2；三 (2)见解析 【分析】本题考查不等式的性质及一元一次不等式的求解 （1）根据不等式的性质作答即可；第三步开始出错，移项时没有变号，写出正确的步骤即可； （2）按照正确的解一元一次不等式步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是不等式性质2. 第三步开始出现错误； 故答案为：不等式性质2；三． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 20．（25-26七年级上·北京延庆·期末）小明在解关于的一元一次方程时，发现正整数被遮挡 (1)小刚猜“”是3，请解一元一次方程． (2)若老师告诉小刚这个方程的解是正整数，则被遮挡的正整数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，已知方程的解求参数，解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再移项，合并同类项，即可作答． （2）与（1）同理得，结合方程的解是正整数，得，故，又因为为正整数，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； （2）解：设被遮挡的正整数是， ∴， 去分母得， 移项得， 合并同类项得； ∵方程的解是正整数， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， 即被遮挡的正整数是． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 21．（25-26七年级上·北京顺义·期中）已知有理数满足，在数轴上，表示数和的点之间只有两个整数，（不包括与），下面有四个结论：①的值可以是1；②；③；④的取值范围是，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的相关知识点，解一元一次不等式，有理数的乘法，有理数的加法，由题意可得，从而得出其中一个整数为，另一个整数为或，若另一个整数为 1，则需，但此时，包含了整数，不符合题意；进而可得另一个整数只能为，则需，，，解得，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵在数轴上，表示数和的点之间只有两个整数，（不包括与）， ∴其中一个整数为，另一个整数为或， 若另一个整数为 1，则需，但此时，包含了整数，不符合题意； ∴另一个整数只能为，则需，，，解得：， ①的值可以是1，原说法正确； ②，原说法正确； ③，原说法错误； ④的取值范围是，原说法错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：B． 22．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 23．（24-25七年级下·北京·期中）使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）与不等式（组）的“同频解”．如是方程与不等式的“同频解”；则以下说法正确的是（   ） 方程与不等式有且仅有一个负整数“同频解”； 是与的“同频解”，则； 存在整数使得方程的所有解均是其与的“同频解”； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了方程与不等式或不等式组的关系，根据方程与不等式或不等式组的关系逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由方程得：， 则不等式， ∴， ∵，且负整数， ∴此时无解，原选项错误，不符合题意； 由得：，代入得， ， 解得：， 由， ∴∵是与的“同频解”， ∴， ∴， ∴，原选项正确，符合题意； 由得，， 代入与得，， 整理得：， 若不等式对所有成立，则系数必须为， ∴，解得：，与题意矛盾，则原选项错误，不符合题意； 综上可得正确，共个， 故选：． 24．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 25．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x的不等式组有且仅有3个偶数解，且关于y的一元一次方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和一元一次方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和一元一次方程的一般步骤． 先解不等式组得到，再由不等式组有3个偶数解得到，接着解一元一次方程得到，利用一元一次方程的解为非负整数和得到，， ，从而得到结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有3个偶数解， ∴这3个偶数解为，0，2， ∴， 解得． 解方程， 得， ∵方程的解为非负整数， ∴， 解得，且a为偶数， ∴a的范围为，且a为偶数， ∴，， ， 则所有满足条件的整数a的值之和为． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·北京延庆·期末）每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立．为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动．为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元．学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本．则购买《马小跳玩数学》______本． 【答案】8 【分析】设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本，根据题意，得，且，x，y都是正整数，解答即可． 本题考查了二元一次方程的应用，不等式的应用，熟练掌握确定二元一次方程的解，整数解的应用是解题的关键． 【详解】解：设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本， 根据题意，得，且，x，y都是正整数， ， ∴， 解得， ∵， ∴一定是25的倍数， ∴， ∴， 故答案为：8． 27．（24-25七年级下·北京通州·期中）已知关于的不等式组． （1）若，已知该不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围为______． （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）若，不等式为，根据已知该不等式组的所有整数解的和为，可得对应整数解为或，分别得出不等式求解即可； （2）若，已知该不等式组有且只有两个整数解，两个整数不明确，设整数解为，，再利用m这个量的交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：（1）若，即为， 已知该不等式组的所有整数解的和为， 不等式组的解为， ∴对应整数解为， ∴， 解得：； 当对应整数解为时， ， 解得：． 故答案为：或． （2）若，即为， 已知该不等式组有且只有两个整数解，设整数解为，， 不等式组的解为，且，， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 28．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组的解满足不等式，求m的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式． 得到，求出，进而代入①求出，将，代入求解即可． 【详解】解：得：， 解得：， 将代入①得：， 根据题意得：， 解得：． 29．（24-25七年级下·北京顺义·期中）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【分析】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【详解】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 30．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 【点睛】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式是解题的关键． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $