专题02 二元一次方程组18大题型（期中复习讲义）七年级数学下学期新教材北京版

专题02 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的定义、特征，能准确判断并理解其解的含义。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程解的意义，能判断解、求对应未知数的值，并知道其有无数组解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 掌握二元一次方程组的定义，能判断方程组，并理解其解的意义、会检验一组数是否为方程组的解。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 理解并掌握代入消元法、加减消元法，能熟练解二元一次方程组，并检验解的正确性。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 利用看错系数的错解反推原方程或参数，还原并正确求解二元一次方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 能从实际问题中提炼等量关系，列出并求解二元一次方程组，解决配套、行程、工程、利润等常见应用题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1.定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的变形，需通过移项、系数化为1的步骤，将方程转化为用含y的代数式表示x的形式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：A． 2．已知是关于的二元一次方程，则___________． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程的定义，可知x和y的次数均为1，据此得到关于m，n的方程，求解得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得， 解方程组得， ∴． 3．已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 【答案】(1) (2) (3)不是 【分析】本题考查了二元一次方程的解、列代数式，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键． （1）代入到方程，得到关于k的方程，即可求出k的值； （2）由（1）得，代入方程，即可解答； （3）由（2）得，计算出当时对应的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：代入到方程，得， 解得：， 的值为． （2）解：由（1）得，， 代入到，得， ， 用含y的代数式表示x为． （3）解：由（2）得，， 当时，， 不是这个方程的解． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 4．下列选项中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故选项错误； B、，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故选项错误； C、，第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故选项错误； D、，是二元一次方程组，故选项正确， 故选：D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的相关概念，等式的性质；根据二元一次方程组的概念及解对各选项进行判断． 【详解】A、是二元二次方程组，故A选项错误． B、二元一次方程的解有无数个，故此项错误． C、方程组的解必是方程的解，故此项错误． D、， 得：，即，故此项正确． 故选：D． 6．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】所求二元一次方程只需满足是它的解即可，据此构造方程即可． 【详解】解：∵所求方程与所给方程组成的方程组的解为， ∴所求方程的解为， ∵， ∴是符合要求的二元一次方程． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 7．关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组解的定义，将代入得出关于的二元一次方程组，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵关于的方程组的解为， ∴，解得： ∴， 故选：C． 8．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件组成新的方程组，求出和的值，再将和的值代入第二个方程求出的值． 【详解】解：∵方程组的解满足③， ∴①和③组成新的方程组为，解得， 将代入②，得． 故答案为：4． 9．已知是关于，的方程组的解，求关于的不等式的解集． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，求不等式的解集的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 把代入方程组，求出，的值，再代入不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：把代入方程组， 即， 解得：， 把代入， 即， 解得：； 题型四 解二元一次方程组 10．按要求解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得， 解得， 把代入②得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为 11．解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原方程组化简整理为标准形式，再用代入消元法求解即可； （2）先将原方程组化简整理为标准形式，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：整理原方程组，得 ， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， ∴原方程组的解为； （2）解：整理原方程组，得 ， 由①②，得 ， 解得， 把代入②，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． 12．解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接运用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先整理方程组，再运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 将代入得， 解得：， ∴． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入得， 解得：， ∴原方程组的解为． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 13．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程组转化为，结合题意得出，计算即可得出结果． 【详解】解：方程组转化为， ∵关于、的方程组的解是， ∴, ∴． 14．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】将第二个方程组中的和分别作为一个整体，参照第一个方程组的解即可得到结果． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 所以，关于，的二元一次方程组的解为． 15．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程组解的定义，代入求解即可； （2）借助所学的换元法求解即可． 【详解】（1）解：把代入方程组得， 解得； （2）解：设，， 则原方程组可整理为， 解得， 即， 解得． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 16．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 【答案】A 【分析】正确解满足原方程组所有方程，小童只看错c，因此其解满足第一个方程，据此列出方程求解、、，再计算即可． 【详解】解：∵小郑的解是原方程组的正确解， ∴代入原方程组得， 解得，， ∵小童只看错，因此满足， ∴代入得， 整理得， 联立得方程组， 解得：，， ∴． 17．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 【答案】 【分析】先根据甲、乙看错的条件，分别求出正确的、的值，再代入原方程组求解． 【详解】解:甲看错的值，解得，将其代入，可得：， 解得：． 乙看错的值解得，将其代入，可得：， 解得：． ∴原方程为：． 对两边同时乘以，可得：①； 由可得：②； 将②代入①，得：， 解得：． 把代入②，解得：． ∴该方程组正确的解为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是利用甲、乙看错的条件分别求出正确的值，再代入原方程组求解． 18．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1），代入，解方程组可求出和的值，把，代入即可求出的值； （2）根据，，，得出原方程组为，再利用加减消元法求解即可； （3）根据的解为得出，解方程组即可． 【详解】（1）解：∵甲把方程组中的看成了， ∴是方程组的解， ∴， 解得：， ∵乙看错了方程组中的，得解为， ∴， 解得：． （2）解：∵，，， ∴原方程组为， ①+②得，， 解得：， 把代入②得，， 解得：， ∴原方程组的解为． （3）解：把，，代入得，， ∵的解为， ∴， 解得：． 题型七 构造二元一次方程组求解 19．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 20．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是得出关于a、b的方程组，难度一般，根据题意求出，即可求解． 【详解】由题意得：，解得 ∴ 故选：C． 21．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）先把原方程去括号整理得出，再由题意得出，解方程即可； （2）先整理原方程，再把公共解代入方程，可得出方程的解与a的值无关，即可说明无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 【详解】（1）解： 整理得：， 由题意得：， 解得． （2）解：把化为下面的形式：， ∵， ∴，即， ∴当时，二元一次方程的解与a的值无关， ∴无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 22．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 23．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，有理数的乘方运算，已知式子的值，求代数式的值． 将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，联立含有的两个方程，把的值代入，两方程相加可求得的值，代入代数式中求解即可． 【详解】解：把方程组中不含的两个方程联立得， ， 得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含的两个方程联立得， ， 把代入得， 得，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组的解之间的关系． 首先联立两个方程组中不含、的两个方程求得方程组的解，然后代入两个方程组中含、的两个方程从而得到一个关于、的方程组求解即可 【详解】解：联立 解得 将分别代入和， 得 解得 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 25．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用加减消元法消去，接着利用 “无论取何值方程组都有解” 的条件，代入会让的系数变为的特殊值，最后根据“乘任何数都得，要使该方程有解，右边常数项必须为” 的原理，列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由得 ， 由于方程组对任意都有解，则当时也应有解， 此时方程为， 即， 为使此方程有解，须有， 解得． 故选：D． 26．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数． 将两方程相加后根据求解即可． 【详解】解：， 得：， 即， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 27．已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入方程组得，再利用加减法解答即可求解； （）利用加减法可得，即得，再解方程即可求解； 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，原方程组为， ①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ①②，得， ， ， 解得． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 28．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 29．为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 【答案】4380 【分析】设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个，根据“这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花”列方程化简得出，，再根据黄花总数代入求解即可． 【详解】解：设塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆的数量分别为、、个， 根据题意可得红花总数量：，化简得：①， 粉花总数量：，化简得：②， 把②代入①：， 整理得：， 则黄花总数（朵）． 30．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 【答案】(1) (2)购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元 (3) 【分析】（1）由可得，由计算即可得出结果； （2）设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元，由题意可得，求出，即可得出结果； （3），由可得，即可得出结果． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：， ∴； （2）解：设笔记本的单价为元，中性笔的单价为元，便利贴的单价为元， 由题意可得：， 由可得：， 由可得：， ∴， ∴（元）， 故购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需元； （3）解：∵对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数），已知，， ∴， 由可得：， ∴． 题型十一 方案问题 31．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 【答案】(1)盒装销售了50份，袋装销售了100份 (2)共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份 【分析】（1）设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意列出二元一次方程组并求出x，y的值即可； （2）设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意得到，即，推导出m为3的倍数，且，得到或6，进而求出n的值即可． 【详解】（1）解：设盒装和袋装各销售了x份，y份，依题意，得 ， 解得， 答：盒装销售了50份，袋装销售了100份． （2）解：设盒装和袋装各m份、n份，恰好能分完，依题意，得 ， 即， ∵m，n都为正整数， ∴m为3的倍数，且， 解得， ∴或6， 当时，； 当时，； 答：共有2种分装方案，方案1：盒装3份，袋装4份；方案2：盒装6份，袋装2份． 32．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 【答案】(1)甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元 (2)当时，方案二花费少；当时，两种方案花费一样；当时，方案一花费少 【分析】（1）设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元，根据题意构造方程组求解即可； （2）设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件，用含m的代数式分别表示两种方案的费用，然后分类求解即可． 【详解】（1）解：设甲种器材的单价为x元，乙种器材的单价为y元， 由题意，得， 解得， 答：甲种器材的单价为120元，乙种器材的单价为90元． （2）解：设购买甲种器材m件，则购买乙种器材件， 由题意，得， ． ∴． 当，即时，解得，此时两种方案花费一样； 当，即时，解得，此时方案一花费少； 当，即时，解得，此时方案二花费少， 又∵， ∴当时，方案二花费少； 当时，两种方案花费一样； 当时，方案一花费少． 33．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨 (2)共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车 (3)租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元 【分析】（1）设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨，根据用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨，列出方程组，解方程组即可； （2）根据一次运完30吨梨，列出方程，求出方程的正整数解即可； （3）分别求出两种方案的租金，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设1辆甲型车装满梨子一次可运货x吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货y吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆甲型车装满梨子一次可运货4吨，1辆乙型车装满梨子一次可运货3吨． （2）解：依题意，得：， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，；当时，． ∴共有2种租车方案，方案1：租用3辆甲型车，6辆乙型车；方案2：租用6辆甲型车，2辆乙型车． （3）解：方案1所需租金（元）； 方案2所需租金（元）． ∵， ∴租用6辆甲型车和2辆乙型车最省钱，最少租车费用为1380元． 题型十二 行程问题 34．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 35．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 【答案】(1)动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度 (2)①，；②为10秒或14秒时，点与点恰好相距14 【分析】（1）先求出，设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①由（1）得动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，结合点、在数轴上表示的数分别是、64，列代数式即可； ②根据题意列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 设动点运动的速度是每秒个单位长度，动点运动的速度是每秒个单位长度， 则， 解得， 答：动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度． （2）解：①因为动点运动的速度是每秒5个单位长度，动点运动的速度是每秒2个单位长度，点、在数轴上表示的数分别是、64， 所以动点在数轴上对应的数为，动点在数轴上对应的数为； ②由题意得， 化简整理得， 所以或， 解得或14， 答：为10秒或14秒时，点与点恰好相距14． 36．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 题型十三 工程问题 37．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 38．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． (2)13 【分析】（1）根据“已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，”，然后结合工人数量，即可得出答案； （2）设甲车间有名工人，乙车间有名工人．由（1）可知，，即，接着表示出从甲车间抽调名工人去乙车间后，两个车间生产的冰墩墩与雪容融的数量，结合题意“现每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍”，得到，结合为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：① 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ， 解得， 答：甲车间的工人数是24人，乙车间的工人数是36人． （2）解：设甲车间有名工人，乙车间有名工人． 由（1）可知，，即， 当工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间时，两个车间生产的数量如下表所示： 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 根据题意有，， 那么有， ∵为正整数， ∴当时，符合题意且取得最小值，此时， 故答案为：13． 39．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 【答案】(1)甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件 (2)甲车间抽调人数后有16人，乙车间抽调人数后有25人 (3)方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天 【分析】（1）设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设每个车间被抽走人，根据“抽调后两个车间每天生产总和不变”进行列式求解即可； （3）设甲车间工作天，乙车间工作天，根据题意列出二元一次方程，再求出符合要求的解即可． 【详解】（1）解：设甲车间原来每天生产个零件，乙车间原来每天生产个零件， ， 解得， 答：甲车间原来每天生产500个零件，乙车间原来每天生产580个零件； （2）解：设每个车间被抽走人， 抽调前 抽调后 车间效率 个人效率 人数 个人效率 人数 车间效率 甲 500 25 20 30 和不变 乙 580 20 29 24 ∴ 解得， ∴甲车间人数：（人）；乙车间人数：（人）； （3）解：由（2）得，甲车间抽调后每天生产480个零件，乙车间抽调后每天生产600个零件， 设甲车间工作天，乙车间工作天， 由题意得，， ∴符合要求的解为， ∴方案一：甲车间工作20天，乙车间工作16天；方案二：甲车间工作15天，乙车间工作20天． 题型十四 分配问题 40．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 【答案】可以制作乙种纸盒80个 【分析】设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个， 甲种无盖长方体纸盒需要1张正方形硬纸片和4张长方形硬纸片， 乙种无盖长方体纸盒需要2张正方形硬纸片和3张长方形硬纸片， 根据题意，得， 解得， ∴可以制作乙种纸盒80个． 41．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 42．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 【答案】(1)第一层最少有个图案， (2)不可以，理由见解析． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意是解题的关键． （1）先求出与的最小公倍数为，进而得出答案； （2）设图案的层数为，图案的层数为，列出方程组，进而得出答案． 【详解】（1）解：与的最小公倍数为， （个）， 答：以上述方式贴成的长方形，第一层最少有个图案． （2）不可以，理由如下： ∵的形状分别为公分公分的长方形，的形状分别为公分公分的长方形， ∴， ∵第一层的图案数量与（1）求出之值相同， ∴第二层的图案最少有个， 设图案的层数为，图案的层数为， ， 解得：， ∵为整数， ∴不可以． 题型十五 销售利润问题 43．从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【答案】(1)打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； (2)打折后购买比不打折节省3700元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元，根据题意得：，求解即可得出答案； （2）分别算出每种商品节省的钱，再相加得到总节省金额． 【详解】（1）解：设打折前一根跳绳为 x 元，一个手球为 y 元， 根据题意得：， 解得 答：打折前一根跳绳160元，一个手球50 元； （2）解：跳绳每根节省：元，100 根共省：元 手球每个节省：元，40 个共省： 元 总计节省： 元 答：共节省 3700 元． 44．根据如下表素材，探索完成任务． 背景 红树中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两款奶茶作为奖品． 素材 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元； 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用元购买、两款奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 【答案】(1)款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元 (2)符合题意的购买方案有种：①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯；③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元；若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买A款奶茶m杯，购买B款奶茶n杯，根据李老师计划正好用220元购买A、B两款奶茶（两种都要），列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：款奶茶的销售单价是元，款奶茶的销售单价是元； （2）解：设购买款奶茶杯，购买款奶茶杯， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 符合题意的购买方案有种： ①购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ②购买款奶茶杯，购买款奶茶杯； ③购买款奶茶杯，购买款奶茶杯． 45．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数是由签子的长短来决定的，一般是个，这个数量可是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)①若每根竹签穿5个山楂，穿串冰糖葫芦需要_____个山楂； ②若用200个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦需要_____个山楂； (2)若用100个山楂恰好制作成代表五福临门的款串和代表六六大顺的款串（两款都有，且没有剩余山楂），其中款每串卖9元，款每串卖10元，能全部卖完．求当取何值时，卖的钱最多，并求出最多时的钱数． 【答案】(1)①；② (2)当时，卖的钱最多，为元 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）①根据需要的山楂个数每根竹签穿的山楂的个数穿的冰糖葫芦的串数，即可得解；②根据每串冰糖葫芦需要的山楂的个数山楂总个数穿的冰糖葫芦的串数，即可得解； （2）由题意可得，结合和均为正整数，得出，或，或，；表示出卖的总钱数为，分别代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①若每根竹签穿5个山楂，穿串冰糖葫芦需要个山楂； ②若用200个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦需要个山楂； 故答案为：；； （2）解：由题意可得：， ∵和均为正整数， ∴，或，或，； ∵款每串卖9元，款每串卖10元， ∴卖的总钱数为， 当，时，（元）， 当，时，（元）， 当，时，（元）， ∵， ∴当时，卖的钱最多，为元． 题型十六 几何问题 46．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，代入求值，解二元一次方程组，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，先表示出阴影部分长方形的长与宽，然后列代数式计算面积即可； （2）长方形纸板长为，宽为，即，解方程求出的值， 利用长方体体积公式计算出体积，代入求值即可． 【详解】（1）解：根据题意，阴影部分长方形长为，宽为， 则阴影部分长方形的面积； （2）解：由题意， 解得， 长方体体积； 当时， （） 答：长方体纸盒的体积为． 47．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由． 【答案】(1)40个，260个 (2)第三次记录有误，理由见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 对于（1），先设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，再根据长方形和正方形的纸板总数相等列出方程组，再求出解即可； 对于（2），先根据方程组的特点先求出，再根据是否能被5整除即可判断答案． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据题意，得 解得， 所以第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各为40个，260个； （2）解：第三次记录有误，理由如下： 由（1），根据题意，得 可知， 即， 所以第二次领取的纸板能用完； 同理：， 所以第三次领取的纸板不能用完； 同理：， 所以第四次领取的纸板能用完． 48．综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 【答案】（1）；；20； （2） （3）边长 【分析】本题主要考查整式的运算与图形，一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解图示中线段的关系，由数量关系正确列式求解是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为，根据周长计算方法列方程求解即可； （2）由题意可得，设图2中长方形的长为，宽为，由此列二元一次方程组求解即可； （3）设，，则，，根据 ，，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为，“优美长方形”的周长为， ∴列方程， 解得，， ∴正方形的边长为， 故答案为：，，； （2）由（1）可知，， ∴， 设图2中长方形的长为，宽为， ∴， 解得，， ∴ ∴图2中每块小长方形的面积； （3）“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙）， ∴设，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∴， ∴小正方形的边长为． 题型十七 古代问题 49．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设清酒斗，醑酒斗，根据一共有5斗酒可得方程，根据一共有30斗谷子可得方程，据此建立方程组即可得到答案． 【详解】解；设清酒斗，醑酒斗， 由题意得，， 故选：A． 50．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 51．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有只雀、只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同．已知只雀和只燕总重斤，则只雀和只燕分别重多少斤？设只燕重斤，只雀重斤． (1)填空：列方程组为______； (2)求只燕和只雀分别重多少斤？ 【答案】(1) (2)只燕重 斤，只雀重 斤． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用。 （1）根据只雀和只燕总重斤以及将其中只雀和只燕互换位置，重相同这两个条件来列方程组； （2）通过消元法求解方程组，得到只燕和只雀的重量． 【详解】（1）将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同； ， 只雀和只燕总重斤， ， 根据题意可列出方程组， 故答案为：． （2）由（1）可知，将方程组化简可得，令为①，为②，则有①得：③， 将③代入②得：， 解得， ， ． 答：只燕重 斤，只雀重 斤． 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 52．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出方程是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于、的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于、的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得 （2）解：根据题意，得 解得 所以， 解得． 53．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算、又知道，，，则m的数值是_____． 【答案】4 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及新定义．首先根据题意，当，则可以得出，进而得出关于a，c的方程组求出即可． 【详解】解：由题设的等式，， 得， 当， ∴， ∵， ∴， ∴等式改为， ∵，， ∴， 解得， ∴题设的等式即．而， 在这个等式中，令，，得， ∴． 故答案为：4． 54．定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程，解二元一次方程组，新定义． （1）根据“对称二元一次方程”的定义即可得解； （2）根据“对称二元一次方程”的定义可得关于的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：方程的“对称二元一次方程”是； （2）解：由题意得， 解得， 即． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京·期中）在解关于的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，那么和满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，两方程相加后消去y，需y的系数之和为0，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，得：， 又∵可直接消去未知数， ∴ ， 故选：D 2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 3．（25-26七年级下·北京·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 4．（24-25七年级下·北京·期末）已知方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键． 先将两个方程相加，得到，再由，可得，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 5．（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，关键是明确加减消元的核心：使待消去的未知数的系数互为相反数(相加消元)或相等(相减消元)． 【详解】解：方案一：要消去， 将得， 得， 两式相加得， 的系数不为0，无法消去，方案一错误； 方案二：要消去， 将得， 得， 两式相减得， 的系数不为0，无法消去，方案二错误； 方案三：要消去， 将得， 减去得， 的系数不为0，无法消去，方案三错误； 方案四：要消去，将得， 加上得，即， 的系数为0，成功消去，方案四正确； 综上，正确的方案只有1个， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 【答案】6 【分析】本题考查了列二元一次方程组求解，解题的关键是得到，．先根据关于，的方程组和有相同的解，列出方程组求出x、y的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵关于，的方程组和有相同的解， ∴，， 解得， 将代入得： ， 解得， ∴ 故答案为：6． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．通过解方程组得到 x 和 y 用 k 表示的表达式，再代入方程 ，即可求解k． 【详解】解：解方程组， 两式相加得：， 所以； 两式相减得， 所以． 将和代入，得： ， 解得． 故答案为：1 9．（25-26七年级下·北京·期中）解方程组． 【答案】 【分析】利用代入法解答即可求解． 【详解】解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得， 把代入③，得， ∴原方程组的解为． 10．（25-26七年级下·北京西城·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握解方程组的方法是关键．两个方程相减可得，与联立组成方程组，求出方程组的解即可求出答案． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴解方程组得：， ∴． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，然后代入已知条件，即可求出k的值． 【详解】解：方程组为：， 将两方程相加，得：， 即 ， ∴， 又 ∵ ， ∴， 故选：D． 12．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组和一元一次不等式的综合问题，解题的关键是掌握相关知识．方程组两方程相加，变形后表示出，代入已知不等式计算即可求出的范围． 【详解】解： 得： ， 方程组的解满足， ， 解得：， 故选：C． 13．（2026七年级下·北京·期中）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程与实际问题，关键是根据等量关系列方程，求方程的特殊解；设购买种奖品个，种奖品个，根据总费用列出二元一次方程，再结合、为正整数求符合条件的解的个数即可. 【详解】解：设购买种奖品个，种奖品个， ∵总费用为元， ∴， 化简得：， ∴， ∵为正整数，为正整数， 当时，， 当时，， ∴共有种购买方案， 故选：A． 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先解方程组，得到，然后将代入，即可判断①；若，即可得到，然后解方程即可判断②；根据题意，可知，然后代入求值即可判断③；将代入解方程即可判断④． 【详解】 解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：． ①当时，，， ∴， ， ∴，故①错误； ②若，则， 解得：， ∴，， ∴x，y互为相反数，故②错误； ③，为自然数， ∴， 当时，，， 当时，，， 当时，，， ∴x，y为自然数的解有3对，故③正确； ④∵， ∴， 解得：，故④错误， ∴其中正确的有③，共1个． 15．（24-25七年级下·北京·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 【答案】 4 【分析】先解方程组，再由关于x，y的方程组与有相同的解得到x，y的值，将x，y的值代入通过解二元一次方程组求得a，b的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴关于x，y的方程组的解也是， ∴，解得． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 17．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1－60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如下表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是_______； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是：_______． 【答案】 绿 绿，黄，红，蓝，紫 【分析】本题考查方程组的应用，解方程组等知识点，根据题意列出方程组并求解是解题的关键． （1）根据题意设未知数，列方程组，解方程组，找到最大的数对应的颜色即可； （2）根据题意，由大到小找到数字对应颜色即可． 【详解】解：（1）设红、黄、蓝、绿、紫五个按键分别对应的数字为a，b，c，d，e. 由题意得：，解得， 所以对应数字最大的按键颜色是绿； 故答案为：绿 （2）由（1）知，， 因为要按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱， 所以能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是绿，黄，红，蓝，紫； 故答案为： 绿，黄，红，蓝，紫． 18．（23-24七年级下·北京·月考）对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算、又知道，，，则m的数值是_____． 【答案】4 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及新定义．首先根据题意，当，则可以得出，进而得出关于a，c的方程组求出即可． 【详解】解：由题设的等式，， 得， 当， ∴， ∵， ∴， ∴等式改为， ∵，， ∴， 解得， ∴题设的等式即．而， 在这个等式中，令，，得， ∴． 故答案为：4． 19．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 20．（2026·北京·模拟预测）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 【答案】(1) (2)行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 【分析】（1）根据汽车前轮轮胎报废的里程和总磨损量可得答案； （2）设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里，根据两对轮胎同时报废，且报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵每个新轮胎报废时的总磨损量为1，且前轮轮胎在行驶6万公里时报废， ∴安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为； （2）解：设行驶x万公里后交换前后轮，两对轮胎同时报废时总行驶里程为y万公里， 由题意得，， 解得， ， 答：行驶万公里后交换，可使两对轮胎同时报废，报废时行驶里程能达到万公里． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 21．（25-26七年级下·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形卡片的长为，宽为，根据图中各边之间的关系，列出关于、的二元一次方程组，解之可得出、的值，再由长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：，解得：， 阴影部分的总面积为：． 故选：C． 22．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】先解得方程组的解，根据题意逐一解答判断即可． 【详解】解：， 得， 解得， 把代入，得， 故方程组的解为， ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，得， 解得，结论正确； ②当时，方程组的解为， 方程， 而， 故方程组的解也是方程的解， 故结论正确； ③由，得，是定值， 故无论取什么实数，的值始终不变，结论正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了解方程组，相反数的性质，方程同解，定值问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 23．（24-25七年级下·北京通州·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用二元一次方程组解决几何问题，解题的关键是假设未知数，找准等量关系． 对各正方形进行编号，假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，表示出所有正方形的边长，找出等量关系，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：如图所示，对各正方形进行编号，    根据题意可得： 正方形①的边长为： 假设正方形②的边长为，正方形③的边长为，则， 则正方形④的边长为， 正方形⑥的边长为， 正方形⑦的边长为， 正方形⑤的边长为， 正方形⑧的边长为， 正方形的边长为和，则， ∴， 解得， ∴最大正方形的面积为， 故选：A． 24．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，要想求出的值（即与无关），则与必须满足什么数量关系（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法解方程组，根据加减消元法分别表示出，进而求得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵①，②， 得，即 得，，即 ∴ 当时， 即 故选：A． 25．（25-26七年级下·北京·期中）初二年级S班有学生48人，他们的学号分别为1，2，…，48．在一次数学兴趣小组活动课上，老师将他们随机分成两组（每组至少1人）．聪明的小厉（小厉的学号是9号）发现，如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加．请问： （1）小厉所在的第一组一共有______人； （2）第二组所有学生的学号分别是______． 【答案】 40 1，2，3，4，5，6，7，8 【分析】本题考查了列代数式，平方差公式，平均数的应用和二元一次方程组的解法，根据题意列出关于人数和学号总和的方程组是解题的关键． （1）设第一组有m人，第二组有n人，根据调换后两组平均学号均增加的条件列出方程，结合总人数和学号总和求解，即可作答． （2）由（1）得，，即第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，总学号和为， 设第一组有m人，学号总和为，第二组有n人，学号总和为， 则， ∴第一组的平均学号为，第二组的平均学号为， ∵小厉的学号是9号， ∴小厉从第一组调到第二组后，第一组新平均学号为，第二组新平均学号为， ∵如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加， ∴，， 整理得，，， ∴ 即， ∵， ∴ ∴， 解得， 则， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， 故答案为：40； （2）由（1）得，， ∴第二组有8人，学号总和为36，且学号均为正整数，故学号为1，2，3，4，5，6，7，8． 故答案为：1，2，3，4，5，6，7，8． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期中）甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数、、的卡片，且．洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存．这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次．已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到颗糖果．则 （1）______． （2）丙在第一次游戏中得到的糖果的准确数量是______颗． 【答案】 11 3 【分析】（1）根据游戏结束时三人的糖果颗数，得到总糖果数．游戏场数和糖果颗数都是整数，可得到游戏的场数和每场游戏分发的糖果颗数； （2）乙在最后一次游戏中得到颗糖果，且乙获得的总糖果数平均数，则乙三次都没有分到b颗，则乙的糖果数为：．丙的糖果数乙的糖果数平均数，丙三次都没有分到颗，则丙的糖果数．联立求解即可． 【详解】解：（1）设进行了场游戏， 则，而或 ∵且， ∴，， ∵一共有33颗糖果，一共有3个人， ∴平均每人分到颗糖果； 故答案为：11； （2）∵乙在最后一次游戏中得到颗糖果，且乙获得的总糖果数平均数颗， 又∵， ∴乙三次都没有分到颗，则乙的糖果数为：， ∵丙的糖果数乙的糖果数颗平均数颗， ∴丙三次都没有分到c颗，则丙的糖果数，或丙的糖果数（，不为整数，舍去）， 联立，解得：， ∴丙在第一次游戏中获得的糖果数为3颗． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了不等式的实际应用和解三元一次方程组．分清楚题目中的数量关系，得到三元一次方程组求解是解题的关键． 27．（24-25七年级下·北京·期末）若关于x，y的两个二元一次方程与的部分解分别如表①、表②所示，则关于x，y的二元一次方程组的______． 表① x －1 0 1 2 3 y －4 －3 －2 －1 0 表② x －1 0 1 2 3 y 5 3 1 －1 －3 【答案】 【分析】把表格①中x与y的两对值代入方程y+ax=b求出a与b的值，把表格②中x与y的两对值代入2x-cy=d中求出c与d的值，确定出方程组，求出解即可． 【详解】解：把，；，代入得：， 解得：； 把，；，代入得：， 解得：，代入方程组得：，解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则______，______； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为______． 【答案】 2 1 0或或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据二元一次方程组的解的情况求参数，正确理解友好方程组”的定义是解题的关键。 （1）根据题意可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）先解原方程组得到，再根据原方程组的解为整数求解即可． 【详解】解：（1）∵关于、的方程组为“友好方程组”， ∴， 解得， 故答案为：2；1； （2）解方程组得， ∵关于、的“友好方程组”的解为整数， ∴是整数， ∴或， 解得或或或（舍去）， ∴整数的值为0或或， 故答案为：0或或． 29．（25-26七年级下·北京·期中）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 【答案】(1)1 (2)，； (3) 【分析】此题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系和不等关系． （1）把代入方程求出y的值，再根据“关联值”的概念求解即可； （2）根据“关联值”为4分情况列方程求解即可； （3）根据题意分两种情况求解. 【详解】（1）解：当时，即， 解得， ∵ ∴此时方程的“关联值”为1． （2）解：∵“关联值”为4， ∴①当时，即，解得， ∴方程的解为； ②当时，即，解得， ∴方程的解为； ③当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； ④当时，即，解得， ∵， ∴不符合题意，应舍去； 综上所述，所有满足条件的方程的解有，； （3）解：∵， ∴， 当时，即，解得， 此时为方程的“关联值”， ∵， ∴不存在最小关联值； 当，即，解得或， ∴或， 此时为方程的“关联值”，的最小值为， ∴方程的最小“关联值”为 30．（25-26七年级下·北京·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 【答案】(1)3 (2)2，1，2 【分析】（1）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个，根据总原料恰好，总工艺品个数为5，列方程组消元求解即可； （2）设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个，根据甲种原料不超过，总个数为5，每种至少1个，列出约束条件，将乙种原料总重量表示为的代数式，根据代数式性质求解使乙种原料最大的方案即可． 【详解】（1）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为x个，y个，z个， 由题意得， 由得， 将其代入得： 解得， ∴制作A型工艺品的个数为3； （2）解：设制作A、B、C三种型号工艺品分别为a个，b个，c个， 由题意得（，且为正整数）， 由得，， 再将其代入得： 解得， 设乙种原料总重量为W，则 ， 要使W最大，需使最大， ∵， ∴b最小为1， ∴ 解得， ∴a最大为2， ∴，此时W取得最大值， ∴A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为． 31．（24-25七年级下·北京·期末）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 【答案】(1) (2)① (3) 【分析】本题考查二元一次方程的解和解二元一次方程组、三元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）将代入方程即可求得答案； （2）依次将三个选项与原方程组成方程组，求出方程组的解进行判断即可； （3）根据表格的数据，建立关于c、d、的三元一次方程组，解方程组得到c、d的值，即可得到原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 故， 故答案为：． （2）解：①与组成方程组， 方程组为：， 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； ②与组成方程组 ， 解方程组得：， ∵不在范围内， 故②不符合题意； ③与组成方程组 解方程组得：， ∵在范围内， 故①符合题意； 故答案为：①； （3）解：依题意， 解方程组得， 则方程为，即， ∴方程组为：， 解方程组得， 故答案为：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 二元一次方程的定义与解 题型02 二元一次方程组的定义与解 题型03 已知二元一次方程组的解求参数 题型04 解二元一次方程组 题型05 二元一次方程组的特殊解法 题型06 二元一次方程组的错解复原问题 题型07 构造二元一次方程组求解 题型08 二元一次方程组的同解问题 题型09 已知二元一次方程组解的情况求参数 题型10 三元一次方程组的定义、解与应用 题型11 方案问题 题型12 行程问题 题型13 工程问题 题型14 分配问题 题型15 销售利润问题 题型16 几何问题 题型17 古代问题 题型18 二元一次方程组的新定义问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程的定义 掌握二元一次方程的定义、特征，能准确判断并理解其解的含义。 基础常考题，一般是概念辨析问题，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程的解 理解二元一次方程解的意义，能判断解、求对应未知数的值，并知道其有无数组解。 基础常考题，题型主要是给出方程的解去求解，出现在小题中，分值2分左右 二元一次方程组的定义与解 掌握二元一次方程组的定义，能判断方程组，并理解其解的意义、会检验一组数是否为方程组的解。 基础常考题，出现在小题中，分值2分左右 解二元一次方程组 理解并掌握代入消元法、加减消元法，能熟练解二元一次方程组，并检验解的正确性。 核心必考题，一般在计算题考查，难度不大，分值在5分左右 二元一次方程组的含参问题 掌握含参数的二元一次方程组的解法，能根据解的情况、同解等条件求参数的值或范围。 重要考点，含参问题一直是初中的难点，一般会在小题中考查，分值在3分左右 二元一次方程组的错解复原问题 利用看错系数的错解反推原方程或参数，还原并正确求解二元一次方程组。 常考易错题，所有题型均可能考查，分值在3分左右，难度不大 三元一次方程组的相关概念 三元一次方程组的相关概念 基本常考题，一般出现在小题，分值3分 二元一次方程组的实际问题 能从实际问题中提炼等量关系，列出并求解二元一次方程组，解决配套、行程、工程、利润等常见应用题。 核心必考题，二元一次方组的实际应用是期中的必考题，注意各种题型的解题方法，一般分值在6分左右 知识点01 二元一次方程 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 知识点02 二元一次方程的解 1.定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 知识点03 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 知识点04 二元一次方程组的解 1.定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2.注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 知识点05 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2.用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 知识点06 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 知识点07 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 知识点08 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 题型一 二元一次方程的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错：必须是整式方程，含两个未知数且次数都是 1；分母有未知数、含 xy 项都不是二元一次方程。 解的易错：二元一次方程有无数组解；检验时要把一对数值同时代入验证；已知一个未知数求另一个，注意移项计算别出错。 1．已知二元一次方程，用含的代数式表示，下列正确的是（） A． B． C． D． 2．已知是关于的二元一次方程，则___________． 3．已知是二元一次方程的一个解． (1)求k的值； (2)用含y的代数式表示x； (3)检验是不是这个方程的解． 题型二 二元一次方程组的定义与解 易｜错｜点｜拨 定义易错 必须满足：共含两个未知数，每个方程都是一次整式方程； 易错：出现 xy 项、未知数在分母、出现三个未知数，都不是二元一次方程组； 解的易错 方程组的解要同时满足所有方程，只满足一个不算解； 不要和二元一次方程混淆：方程组一般只有一组解，不是无数组； 检验时易只代入一个方程验算，导致判断错误。 4．下列选项中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（　　） A．是二元一次方程组 B．方程的解只有 C．方程的解必是方程组的解 D．由方程组可得出与之间关系是 6．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为：______． 题型三 已知二元一次方程组的解求参数 易｜错｜点｜拨 1.方程组的解同时满足两个方程，不能只代入一个方程求参数; 2.代入计算时，注意符号、系数不要抄错，避免移项、去括号出错; 3.看清题目：是求参数的值，还是求含参数的代数式的值，不要答非所问; 4.求出参数后，可回代检验，防止计算错误。 7．关于的方程组的解为，则的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为_______． 9．已知是关于，的方程组的解，求关于的不等式的解集． 题型四 解二元一次方程组 10．按要求解下列方程组． (1)； (2)． 11．解方程组 (1)； (2)． 12．解方程组： (1) (2)． 题型五 二元一次方程组的特殊解法 13．若关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 14．若关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为______． 15．已知是二元一次方程组的解． (1)求，的值； (2)小华在求方程组的解时发现，若将（1）中求得的，代入化简整理之后求解，容易出错．如果把看成一个整体设为，把看成一个整体设为，通过换元便可得与类似的方程组，由于是二元一次方程组的解，于是即，解得． 请参考小华同学的方法，解方程组． 题型六 二元一次方程组的错解复原问题 易｜错｜点｜拨 1.看清谁看错了哪个系数，错解只能代入看错的方程，不能代入原方程; 2.正确的解要同时代入两个原方程，不要和错解混用; 3.复原时先列出含参数的方程组，计算时注意符号和移项，避免算错参数; 4.最后一定要检验，确认复原后的方程组和解是否一致。 16．解方程组时，小郑正确解得，而小童只看错了，解得，则的值是（   ） A．6 B．4 C．2 D．0 17．甲、乙两人解关于的方程组时，甲看错的值解得乙看错b的值解得则该方程组正确的解为______． 18．在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，得解为，乙看错了方程组中的，得解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解； (3)若关于，的二元一次方程组为，直接写出方程组的解． 题型七 构造二元一次方程组求解 19．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 20．对于有理数x、y，定义新运算：，其中是常数，例：．已知，，那么（   ） A． B． C． D． 21．已知关于x，y的二元一次方程，当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解． (1)求出这个公共解； (2)请说明，无论a取何值，这个公共解都是二元一次方程的解． 题型八 二元一次方程组的同解问题 易｜错｜点｜拨 1.同解就是一组解同时满足所有方程组，不能只代入部分方程； 2.先联立不含参数的两个方程求出公共解，再把解代入含参数方程； 3.代入时看清系数与符号，别把参数和未知数弄混； 4.求出参数后记得回代检验，避免计算失误。 22．已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 23．若关于，的方程组和有相同的解，则的值为_____． 24．已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求a，b的值． 题型九 已知二元一次方程组解的情况求参数 25．若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则（   ） A． B． C． D． 26．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 27．已知关于，的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 题型十 三元一次方程组的定义、解与应用 28．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 29．为迎国庆，沙乡街道办摆放花盆，有塑料花盆、陶瓷花盆、木制花盆三种．其中塑料花盆由15朵红花、24朵黄花、25朵粉花组合而成，陶瓷花盆由10朵红花、12朵黄花组合而成，木制花盆由10朵红花、18朵黄花、25朵粉花组合而成．这些花盆一共用了2900朵红花，3750朵粉花，则黄花一共用了____朵． 30．已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，即由①－②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． (1)（类比探究）已知方程组请用整体思想求的值． (2)（解决问题）某文具店售卖笔记本、中性笔和便利贴：买14本笔记本、4支中性笔和3本便利贴共需41元；买27本笔记本、7支中性笔和5本便利贴共需73元．则购买3本笔记本、3支中性笔和3本便利贴共需多少元？ (3)（拓展延伸）对于有理数x，y，定义新运算：（a，b，c为常数）．已知，，求的值． 题型十一 方案问题 31．【列方程（组）解决问题】春假即将来临，某校组织学生去农场春游，体验草莓采摘、包装和销售过程．据了解该农场在包装草莓时，通常采用盒装和袋装两种包装方式．其中，盒装每份售价50元，袋装每份售价70元． (1)活动中，学生卖出盒装和袋装草莓共150份，销售总收入为9500元，请问盒装和袋装各销售了多少份？ (2)已知现在需要对36斤草莓进行分装，既有盒装也有袋装，且恰好将这36斤草莓整份分装完．若盒装每份4斤，袋装每份6斤，请问盒装和袋装各多少份恰好能分完？并请求出具体方案． 32．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 云南省积极推进“双减”政策落地见效，某校为了丰富课后服务内容，计划采购一批甲、乙两种艺术器材，为学生提供优质的艺术教育资源．该校准备在某文具店购买这两种器材 素材一 购买1件甲种器材和1件乙种器材共需210元 素材二 购买3件甲种器材和2件乙种器材共需540元 素材三 该店对同时购买这两种器材推出两种优惠方案． 方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折． 方案二：甲、乙两种器材每件均打八折 请完成下列任务： (1)任务一：求甲、乙两种器材的单价分别是多少元 (2)任务二：经核算，该校准备购买甲、乙两种器材共50件（甲、乙两种器材都要购买），且甲种器材不超过35件．设按方案一、方案二购买的总费用分别为元、元，请通过计算说明选择哪种方案花费较少 33．王洋准备租车把一批梨子运往外地去销售，经租车公司负责人介绍，用2辆甲型车和3辆乙型车装满梨子一次可运货17吨；用3辆甲型车和4辆乙型车装满梨子一次可运货24吨．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆甲型车和1辆乙型车都装满梨子一次可分别运货多少吨？ (2)现有30吨梨子，王洋计划同时租用甲型车m辆，乙型车n辆（均为正整数），一次运完，且恰好每辆车都装满梨子，请你帮他设计共有多少种租车方案？ (3)若1辆甲型车需租金180元/次，1辆乙型车需租金150元/次，请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 题型十二 行程问题 34．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 35．如图，已知点、在数轴上表示的数分别是、64，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向右匀速运动，动点从点出发，以每秒若干个单位长度的速度向左匀速运动，若点、同时出发．则出发后12秒相遇；若点先出发7秒，则点出发10秒后与点相遇． (1)求动点、运动的速度分别是多少？ (2)若点、同时出发，设运动时间为， ①动点在数轴上对应的数为______，动点在数轴上对应的数为_____； ②求为何值时，点与点恰好相距14？ 36．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 题型十三 工程问题 37．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 38．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家喜爱，某工厂计划生产两种吉祥物，已知甲车间里的工人每人每天可以制作2个冰墩墩和5个雪容融，乙车间里的工人每人每天可以制作3个冰墩墩和1个雪容融，已知该工厂每天生产的两种吉祥物数量相同． (1)设甲车间有名工人，乙车间有名工人． ①完成下列表格 冰墩墩（个） 雪容融（个） 甲车间 乙车间 总计 ②若该工厂共有60名工人，则甲、乙车间的工人数分别是多少？ (2)由于市场需求旺盛，工厂决定从甲车间抽调名工人去乙车间，使得每天生产的冰墩墩数量是雪容融数量的2倍，则要抽调的工人数至少为______．（直接写出答案） 39．如何分配工作时间 如何分配工作时间，使公司能在规定时间内完成任务 素材1 某电子零件生产公司承接到19200个零件的生产订单，计划将任务分配给甲、乙两个车间去完成．若甲车间生产12天，乙车间生产24天，则比订单多生产720个；若甲车间生产24天，乙车间生产12天，则比订单少生产240个零件． 素材2 经调查，甲车间每人每天能生产25个电子零件，乙车间每人每天能生产20个电子零件． 素材3 因分公司生产需求，需从两个车间抽走相同数量的工人，为了保证抽调后两个车间每天生产总和不变，且甲、乙两车间同时开工生产，余下工人每人每天生产个数需要提高． 问题解决 (1)求甲、乙车间原来每天生产多少个电子零件？ (2)甲、乙车间抽调后各有多少人？ (3)若按甲、乙车间抽调后的人数和提高后的工作效率计算，如何分配甲、乙两车间工作的天数（天数为整数），使公司能在不超过20天的情况下，恰好完成该任务？ 题型十四 分配问题 40．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形硬纸片的宽与正方形硬纸片的边长相等．用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片制作这两种纸盒，纸片刚好用完且无剩余．求可以制作乙种纸盒多少个．（纸片连接处损耗不计） 41．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 42．商店中贩卖一款包含两种图案的艺术纸片组合包，形状分别为公分公分、公分公分的长方形，如图所示． 小灿打算在不裁切纸片的情况下，将这两种艺术纸片以紧密相邻的方式贴成图的长方形，其中奇数层为图案，偶数层为图案，且最后一层为图案，而相同图案的艺术纸片皆为相同的方向． 请根据上述信息回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释： (1)以上述方式贴成的长方形，第一层最少有几个图案？ (2)已知每个组合包中两种图案的艺术纸片数量比为，若小灿想购买一些组合包，贴成图的长方形，其中第一层的图案数量与（1）求出之值相同，判断他是否可能恰好把购买的艺术纸片用完？请说明理由． 题型十五 销售利润问题 43．从2028年开始，我市中考体育总分将增加到70分，为适应新中考要求，某中学计划购买跳绳和手球供学生体育锻炼．某体育用品店为了吸引顾客，准备在春节假期开展促销活动，其中跳绳打八折，手球打七五折，已知打折前，购买4根跳绳和3个手球共需790元；打折后，购买2根跳绳和4个手球共需406元 (1)打折前购买一根跳绳和一个手球分别需要多少元？ (2)某校需购买跳绳100根，手球40个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 44．根据如下表素材，探索完成任务． 背景 红树中学在组织开展体育文化节亚冬会知识竞赛活动时，去奶茶店购买、两款奶茶作为奖品． 素材 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元； 若买杯款奶茶，杯款奶茶，共需元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)款奶茶和款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用元购买、两款奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 45．冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上熔化的冰糖液制作而成．一串冰糖葫芦山楂的个数是由签子的长短来决定的，一般是个，这个数量可是有寓意的，串5个代表五福临门，6个代表六六大顺，7个代表七星高照，8个代表八方来财，9个代表九九同心，10个代表十全十美． (1)①若每根竹签穿5个山楂，穿串冰糖葫芦需要_____个山楂； ②若用200个山楂穿了串冰糖葫芦，且每串的山楂个数相等，则每串冰糖葫芦需要_____个山楂； (2)若用100个山楂恰好制作成代表五福临门的款串和代表六六大顺的款串（两款都有，且没有剩余山楂），其中款每串卖9元，款每串卖10元，能全部卖完．求当取何值时，卖的钱最多，并求出最多时的钱数． 题型十六 几何问题 46．如图，一块长为，宽为的长方形纸板，在它的四个角各切去一个相同的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为的长方体状无盖纸盒． (1)求该长方体纸盒底面（阴影部分）的面积； (2)若该长方形纸板长为，宽为，求该长方体纸盒的体积． 47．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． 下表是工作人员四次领取纸板数的记录： 日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 560 940 第二次 420 860 第三次 500 1002 第四次 1000 2000 (1)利用第一次领取的纸板能够制作竖式与横式纸盒各多少个？ (2)仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由． 48．综合与实践 【问题情境】我们规定，如果一个长方形内部能用一些正方形（或长方形）铺，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美长方形”，图1和图2的大长方形，都是“优美长方形”． 【初步感知】 （1）如图1，“优美长方形”是由块小正方形铺成的，若“优美长方形”的周长为，求正方形的边长． 若设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形c的边长为，正方形的边长为． 依题意可列方程________________， 解得________________， 所以，正方形的边长为________． 【解决问题】 （2）如图2，“优美长方形”是由块相同的小长方形铺成的，若图1和图2的两个“优美长方形”的宽相同，即，求图2中每块小长方形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，“优美长方形”是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，求小正方形的边长． 题型十七 古代问题 49．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在1斗清酒价值10斗谷子，1斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　） A． B． C． D． 50．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是______． 51．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》）题目大意：有只雀、只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中只雀和只燕互换位置，则二者轻重相同．已知只雀和只燕总重斤，则只雀和只燕分别重多少斤？设只燕重斤，只雀重斤． (1)填空：列方程组为______； (2)求只燕和只雀分别重多少斤？ 题型十八 二元一次方程组的新定义问题 52．对于实数x，y，定义新运算：（a，b是常数）．已知． (1)求a，b的值． (2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 53．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算、又知道，，，则m的数值是_____． 54．定义：关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，例如：与互为“对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“对称二元一次方程”； (2)关于的二元一次方程与互为“对称二元一次方程”，求的值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26七年级下·北京·期中）在解关于的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数，那么和满足的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级下·北京·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·北京·期末）已知方程组的解满足，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 6．（25-26七年级下·北京海淀·期末）用加减消元法解二元一次方程组时，下列消元方案中正确的个数有__个． 方案一：要消去，可以将； 方案二：要消去，可以将； 方案三：要消去，可以将； 方案四：要消去，可以将． 7．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）已知关于的方程组和有相同的解，那么值是___________． 8．（25-26七年级下·四川成都·期中）解关于x，y的方程组，当解满足方程时，k值为______． 9．（25-26七年级下·北京·期中）解方程组． 10．（25-26七年级下·北京西城·期末）若关于x、y的二元一次方程组的解，求k的值． 期中重难突破练（测试时间：15分钟） 11．（25-26七年级下·北京海淀·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则k的值为（   ） A． B． C． D．3 12．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）若方程组的解满足，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（2026七年级下·北京·期中）学校计划用元钱购买、两种奖品（两种都要买），种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 14．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则，其中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．（24-25七年级下·北京·期末）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，则_____，_____． 16．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为__________． 17．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）学校在科技节活动中有一个数学寻宝游戏．奖品放在一个上锁的宝箱中，宝箱的密码锁有红、黄、蓝、绿、紫五个不同颜色的按键，只有按照正确颜色顺序依次按动按键才能打开宝箱获得奖品．游戏的线索如下：a．每个按键颜色对应一个数字（数字为1－60的整数）；b．每两个按键颜色代表的数字之和如下表所示；c．按照所对应的数字从大到小的顺序按动相应颜色按键才能打开宝箱． 按键颜色 红、黄 黄、蓝 蓝、绿 绿、紫 紫、红 数字之和 62 55 73 68 42 （1）小明思考后立刻正确说出了对应数字最大的按键颜色，这个颜色是_______； （2）能打开宝箱的正确的按键颜色顺序是：_______． 18．（23-24七年级下·北京·月考）对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算、又知道，，，则m的数值是_____． 19．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 20．（2026·北京·模拟预测）随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程） (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里． 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 21．（25-26七年级下·北京海淀·期末）有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式（不重叠）放置在大长方形中，根据图中标出的数据，阴影部分的总面积是（　　） A．72 B．68 C．65 D．60 22．（24-25七年级下·北京·期中）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论： ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 23．（24-25七年级下·北京通州·期中）若一个长方形可以分割为几个大小不同的小正方形，则称这个长方形为完美长方形， 1925年数学家莫伦发现了第一个完美长方形， 它被分割成9个大小不同的正方形，已知最小正方形的周长为8，则最大正方形的面积为（    ）    A．1296 B．1444 C．2304 D．20736 24．（23-24七年级下·北京·期中）已知，，要想求出的值（即与无关），则与必须满足什么数量关系（    ） A． B． C． D． 25．（25-26七年级下·北京·期中）初二年级S班有学生48人，他们的学号分别为1，2，…，48．在一次数学兴趣小组活动课上，老师将他们随机分成两组（每组至少1人）．聪明的小厉（小厉的学号是9号）发现，如果把她从第一组调到第二组，那么两组学生的平均学号都会增加．请问： （1）小厉所在的第一组一共有______人； （2）第二组所有学生的学号分别是______． 26．（24-25七年级下·北京海淀·期中）甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数、、的卡片，且．洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存．这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次．已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到颗糖果．则 （1）______． （2）丙在第一次游戏中得到的糖果的准确数量是______颗． 27．（24-25七年级下·北京·期末）若关于x，y的两个二元一次方程与的部分解分别如表①、表②所示，则关于x，y的二元一次方程组的______． 表① x －1 0 1 2 3 y －4 －3 －2 －1 0 表② x －1 0 1 2 3 y 5 3 1 －1 －3 28．（24-25七年级下·北京·期中）规定：形如关于、的方程与的两个方程互为“友好二元一次方程”，其中；由这两个方程组成的方程组叫做“友好方程组”． （1）若关于、的方程组为“友好方程组”，则______，______； （2）若关于、的“友好方程组”的解为整数，则整数的值为______． 29．（25-26七年级下·北京·期中）对于二元一次方程的任意一个解，给出如下定义：若，则称为方程的“关联值”；若，则称为方程的“关联值”． (1)当时，直接写出方程的“关联值”为____________； (2)若“关联值”为4，直接写出所有满足条件的方程的解为____________； (3)直接写出方程的最小“关联值”为____________． 30．（25-26七年级下·北京·期中）某工厂用甲、乙两种原料制作A，B，C三种型号的工艺品，三种型号工艺品的重量及所含甲、乙两种原料的重量如下： 工艺品型号 含甲种原料的重量 含乙种原料的重量 工艺品的重量 A 3 4 7 B 3 2 5 C 2 3 5 现要用甲、乙两种原料共，制作5个工艺品，且每种型号至少制作1个． (1)若原料恰好全部用完，则制作A型工艺品的个数为__________个； (2)若使用甲种原料不超过，同时使用乙种原料最多，则制作方案中A，B，C三种型号的工艺品的个数依次为__________． 31．（24-25七年级下·北京·期末）小明为了方便探究关于的二元一次方程解的规律，把和的部分值分别填入表格（的值从左到右依次增大）． (1)的值为_________． (2)下列方程中，与组成方程组，在范围内有解的是________（填正确的序号）． ①  ②  ③ (3)已知关于的二元一次方程的部分解如表所示： 则方程组的解为___________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $