专题05 随机变量及其分布列（13大考点期中真题汇编，重庆专用）高二数学下学期人教A版

专题05 随机变量及其分布列 13大高频考点概览 考点01条件概率公式、全概率公式 考点02条件概率应用 考点03全概率公式应用 考点04贝叶斯公式应用 考点05独立性 考点06概率与数列交汇 考点07分布列的性质 考点08随机变量的期望和方差 考点09随机变量及其分布列 考点10两点分布、二项分布 考点11超几何分布 考点12正态分布 考点13线性回归方程 地 城 考点01 条件概率公式、全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，，若随机事件，相互独立，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知事件，，且，，，则（ ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 三、填空题 5．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)设为两个随机事件，若，则_____． 地 城 考点02 条件概率应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)有一项抽奖活动．在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，分别对应得分：1，2，3，4，5．学生从中有放回地任取一个球，记下得分．设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B．猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 5．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 四、解答题 7．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 地 城 考点03 全概率公式应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（    ） A．0.64 B．0.68 C．0.72 D．0.76 3．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某人计划星期一外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别是0.8，0.9．若当天是晴天就乘飞机，否则就坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（   ） A．0.72 B．0.88 C．0.64 D．0.82 4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（   ） A．0.021 B．0.022 C．0.023 D．0.04 5．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 6．(24-25高二下·重庆市外国语学校·期中)某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为__________. 三、解答题 8．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，万州二中举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.甲同学参加比赛. (1)求甲同学抽到盒的概率 (2)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率 9．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 地 城 考点04 贝叶斯公式应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件”从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．，是对立事件 B． C． D． 三、解答题 4．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 地 城 考点05 独立性 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 地 城 考点06 概率与数列交汇 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 二、解答题 2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 地 城 考点07 分布列的性质 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．1 B．2 C．3 D．4 2．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则_____ 4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为_______. 地 城 考点08 随机变量的期望和方差 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆市外国语学校·期中)已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 5．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知随机变量，，且，的分布列如下： X 1 2 3 4 P m n 若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知随机变量的分布列为： 其中，，若，则的最小值为_________. 地 城 考点09 随机变量及其分布列 一、解答题 1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 2．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为. (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练，求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标或总共射击6次就结束训练.若甲先射击，求： ①结束训练时甲只射击了1次的概率； ②结束训练时甲射击的次数记为随机变量，求的分布列与数学期望. 3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 4．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； (2)若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 5．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 6． (24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望． 7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. (1)求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. (2)两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. (3)甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 地 城 考点10 两点分布、二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第一中学校·期中)已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取,,,....,，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．已知，则 D．已知随机变量，则 三、解答题 4．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 5．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 地 城 考点11 超几何分布 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为__________. 地 城 考点12 正态分布 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知随机变量，若，则__________. 地 城 考点13 线性回归方程 一、解答题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机变量及其分布列 13大高频考点概览 考点01条件概率公式、全概率公式 考点02条件概率应用 考点03全概率公式应用 考点04贝叶斯公式应用 考点05独立性 考点06概率与数列交汇 考点07分布列的性质 考点08随机变量的期望和方差 考点09随机变量及其分布列 考点10两点分布、二项分布 考点11超几何分布 考点12正态分布 考点13线性回归方程 地 城 考点01 条件概率公式、全概率公式 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆四川外国语大学附属外国语学校·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助概率乘法公式计算即可得. 【详解】， 故，即. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)已知，，若随机事件，相互独立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据独立，结合条件概率公式以及和事件的概率公式，结合已知数据，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：因为相互独立，故，故A正确； 对B：因为相互独立，故，故B正确； 对C：因为相互独立，故也相互独立，故，故C错误； 对D：，故，解得， 则，故D正确； 故选：ABD. 3．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)已知事件，，且，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合条件概率公式，由得，再由得到，进而求解判断各个选项. 【详解】对于A，因为，所以，A错误； 对于B，由题意， ，所以，B正确； 对于C，因为，所以， 所以，C正确； 对于D，因为， 所以， 所以， 所以，D正确； 故选：BCD 4．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)若一个样本空间所包含的样本点个数是有限的，其中事件与相互独立，与互斥，且，则下列正确的选项有（    ） A． B． C． D．若，则与互斥 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率、互斥事件、概率的基本性质及条件概率公式逐项求解判断. 【详解】对于A，由与相互独立，得， 则，A错误； 对于B，由与互斥，得，则， ，因此，B正确； 对于C，，由与互斥，得发生则一定不发生， 则，，因此，C正确； 对于D，，即，由， 得，则，与互斥，D正确. 故选：BCD 三、填空题 5．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)设为两个随机事件，若，则_____． 【答案】 【分析】根据条件概率公式可得，进而利用概率加法公式以及对立事件概率，即可代入求解. 【详解】由，又，故， 所以， . 故答案为：. 地 城 考点02 条件概率应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)高二有甲乙丙丁4名志愿者参加2024年体育节志愿服务，志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加长跑、跳远、铅球3个比赛项目的志愿服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其中一个项目，求在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，以A为样本空间，利用古典概率公式即可求解. 【详解】用事件A表示“甲被安排到了长跑”，B表示“乙被安排到了长跑”， 在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑就是在事件A发生的条件下，事件B发生， 相当于以A为样本空间，考查事件B发生，在新的样本空间中事件B发生就是积事件AB，包含的样本点数， 事件A发生的样本点数， 所以在甲被安排到了长跑的条件下，乙也被安排到长跑的概率为. 故选：A. 2．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)有一项抽奖活动．在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“1”、“2”、“3”、“4”、“5”，分别对应得分：1，2，3，4，5．学生从中有放回地任取一个球，记下得分．设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用条件概率公式计算可得结果. 【详解】因为是有放回，所以可得，且； 因此. 故选：B 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的数字小于第一次”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】根据题意知，符合5的倍数的牌有两张，分别是5和10，则, 事件有两种情况，第一次抽5且第二次抽的比第一次小，和第一次抽10且第二次抽的比第一次小，则. 根据条件概率公式可知. 故选：C. 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)下面几种概率是条件概率的是（    ） A．甲、乙两人投篮命中率分别为，，各投篮一次都投中的概率 B．猎人打猎时，有一猎物在米处，第一次击中的概率是，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到米处，第二次击中的概率 C．一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率 【答案】BC 【分析】条件概率是指事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率，我们需要根据这个定义，对每个选项进行分析，判断其是否为条件概率. 【详解】A、是计算两人同时投篮命中这一普通事件的概率，并没有涉及到一个事件在另一个事件已经发生的条件下的概率，所以它不是条件概率； B、此概率是在“第一次没有击中”这个事件已经发生的条件下，计算第二次击中的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； C、这是在“有一个小孩是女孩”这个事件已经发生的条件下，去求另一个小孩是男孩的概率，符合条件概率的定义，所以它是条件概率； D、这只是在计算小明上学遇到红灯这一普通事件的概率，没有体现出一个事件在另一个事件已发生条件下的概率，所以它不是条件概率. 故选：BC. 5．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)在一个盒子中装有4个大小形状均相同，编号为的小球.从中有放回地随机取两次，每次取1个球，记事件A：“第二次取到球的号码小于等于2”，事件B：“两次取到球的号码之和为奇数”，事件C：“两次取到球的号码之积为偶数”，则（    ） A．与互斥 B．与相互独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件的定义即可判断A；利用独立事件的概率公式即可判断B；根据公式计算可判断C；利用条件概率的计算公式即可判断D. 【详解】对于A，事件与可以同时发生，如两次取到球的号码分别为1和2，则与不互斥，故A错误； 对于B，，，. 所以与相互独立，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，，故D正确 故选：BCD. 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)在一场三局两胜制的羽毛球比赛中，每一局甲获胜的概率为0.6，且每局比赛结果互不影响，已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为_____． 【答案】 【分析】先求出甲获胜的概率，再由条件概率公式直接计算即可. 【详解】记事件A为甲获胜，由题意甲获胜的情况有2种： 打两局以甲乙比分为2：0结束比赛，记为事件B，此事件发生的概率为； 打三局以甲乙比分为2：1结束比赛，此时事件发生的概率为； 所以甲获胜的概率为，且， 所以已知甲获胜，则最终比分为2：0的概率为. 故答案为： 四、解答题 7．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求： (1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率； (2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可； （2）根据概率乘法公式计算即可. 【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 地 城 考点03 全概率公式应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知口袋中有3个黑球和2个白球（除颜色外完全相同），现进行不放回摸球，每次摸一个，则第一次摸到白球的情况下，第三次又摸到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析题意，利用全概率公式即可得解. 【详解】设事件表示“第二次摸到白球”，事件表示“第三次又摸到白球”， 依题意，在第一次摸到白球的情况下，口袋中有3个黑球和1个白球（除颜色外完全相同）， 所以，，，， 则所求概率为. 故选：B 2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)小明参与答题竞赛，需要从a，b两道试题中选一道进行回答，回答正确即可晋级．若小明选择a，b试题的概率分别为0.8，0.2，答对a，b试题的概率分别为0.8，0.6，则小明晋级的概率为（    ） A．0.64 B．0.68 C．0.72 D．0.76 【答案】D 【分析】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级，可得，，利用全概率公式可求小明晋级的概率. 【详解】用分别表示小明选择试题，用表示小明晋级， 由题意可得，， 所以由全概率公式得. 故选：D. 3．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某人计划星期一外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别是0.8，0.9．若当天是晴天就乘飞机，否则就坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（   ） A．0.72 B．0.88 C．0.64 D．0.82 【答案】D 【分析】根据此人能准时到达情况分为乘飞机准时到达和坐高铁准时到达两种可能，利用全概率公式计算可得． 【详解】某人乘飞机准时到达的概率是0.8，坐高铁能准时到达的概率0.9． 乘飞机的概率为0.8，坐高铁的概率为0.2， 所以此人能准时到达的概率为． 故选：D． 4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)某工厂有甲、乙、丙3条流水线生产同一种产品，甲、乙、丙流水线的产量分别占总产量的40%、40%、20%，且甲、乙、丙流水线的不合格品率依次为0.03，0.02，0.01，现从该厂的产品中任取1件，则抽到不合格品的概率为（   ） A．0.021 B．0.022 C．0.023 D．0.04 【答案】B 【分析】利用全概率公式计算即可. 【详解】根据全概率公式可得，任取1件产品且抽到不合格品的概率为 . 故选：B 5．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)某网红奶茶店“Chill Tea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店.根据平台数据，顾客选择、、店的概率分别为30%、50%、20%.已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：店20%、店40%、店30%.若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（    ） A．28% B．32% C．35% D．40% 【答案】B 【分析】由全概率公式即可求解； 【详解】由题意选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 选择店并超时的概率为：； 所以等待超过15分钟的概率为， 故选：B 6．(24-25高二下·重庆市外国语学校·期中)某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、连花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式计算可得； 【详解】记服用金花清感颗粒为事件，服用连花清瘟胶囊为事件，服用清开灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 依题意可得，，，，，， 所以 . 故选：C 二、填空题 7．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)已知一道双空填空题要求每空都要填，根据以往经验，每10个人大约有8个人能填对第一空，以频率估计概率，若在第一空填不对的情况下，填对第二空的概率为0.1，第一空填对的情况下，第二空填错的概率为0.6，则填对第二空的概率为__________. 【答案】0.34 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式、全概率公式，结合对立事件的概率公式求解. 【详解】设“填对第一空”为事件，“填对第二空”为事件， 依题意，， 则，， ，所以. 故答案为：0.34 三、解答题 8．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，3月22日-28日是第三十七届“中国水周”.为了唤起孩子们的节约用水意识，加强水资源保护，万州二中举办了关于“水资源”的问答比赛.比赛规则如下：盒中有5个红球，4个白球，盒中有5个红球，5个白球（两盒中的球除颜色外其他都相同）.现随机选择一盒，然后从中随机抽取2个球，若抽到球的颜色相同，则回答第一类问题，答对得2分，若抽到球的颜色不同，则回答第二类问题，答对得3分，两类问题答错均不得分.甲同学参加比赛. (1)求甲同学抽到盒的概率 (2)求甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由古典概型直接得到甲同学抽到盒的概率； （2）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 设事件“随机抽取两个球，颜色相同”，由全概率公式计算即可. 【详解】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则. （2）由（1），设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则. 设事件“随机抽取两个球，颜色相同”， 所以，， 由全概率公式得， 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为. 9．(24-25高二下·重庆荣昌中学校·期中)甲、乙两个箱子装有大小及外观相同的小球，甲箱中有5个白球和3个黑球，乙箱中有4个白球和3个黑球． (1)若从甲箱中任取2个小球，求这2个小球同色的概率； (2)若先从甲箱中任取2个小球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个小球，求从乙箱中取出的球是白球的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出从甲箱中任取2个小球的事件数，再求出这2个小球同色的事件数即可得出； （2）先求出从从甲箱中取出的2个小球的各种情况的概率，再利用条件概率公式求解. 【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 地 城 考点04 贝叶斯公式应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 2．(24-25高二下·重庆第十八中学·期中)甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动.已知他周六跑步的概率为0.6，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为0.7，如果周六游泳，则周日跑步的概率为0.9.若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用条件概率、全概率公式列式计算得解. 【详解】用事件分别表示“周六跑步”，“周日跑步”，则分别表示“周六游泳”，“周日游泳”， 于是， 因此， 所以. 故选：D 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件”从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．，是对立事件 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据对立事件的定义可判断A；计算出可判断B；计算出可判断C；计算出可判断D. 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是对立事件，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 4．(24-25高二下·重庆复旦中学教育集团·期中)甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先用来表示甲、乙、丙三人的“通关”事件并求对应的概率，然后利用对立事件的性质和独立事件的乘法公式即可求解. （2）利用独立事件的乘法公式分别计算三人小组获得“团体奖”的概率和甲乙丙同时通关的概率，进而利用条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. （2）由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 地 城 考点05 独立性 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆万州第二高级中学·期中)已知是相互独立事件，且，则（   ） A．0.1 B．0.12 C．0.18 D．0.28 【答案】C 【分析】根据对立事件概率可得，再由相互独立事件乘法公式计算可得. 【详解】由可得， 又是相互独立事件，所以. 故选：C 2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设“第一次摸到黑球”，“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（    ） A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 【答案】C 【分析】根据概率值判断相等，再应用独立事件概率乘法公式判断独立事件. 【详解】因为A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，A与B不相等，D选项错误； 则, ,A与B相互独立，C选项正确； A与B可以同时发生，A选项错误；B选项错误； 故选：C. 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)已知随机事件A，B满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】BC 【分析】根据给定条件，结合概率的性质、互斥事件、相互独立事件的概率公式，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得，相互独立，则，D错误. 故选：BC. 地 城 考点06 概率与数列交汇 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第次传球后球在甲、乙、丙手中的概率依次为，，，，则第3次传球后球在甲手里的概率________，第次传球后球在丙手里的概率________. 【答案】/； 【分析】根据已知，应用全概率公式并整理得、，结合、，并应用等比数列的定义写出通项公式，进而求项，即可得. 【详解】由题设，当球在甲手中，则传给甲的概率为0，当球不在甲手中，则传给甲的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，故， 当球在丙手中，则传给丙的概率为0，当球不在丙手中，则传给丙的概率为， 且，，即， 又，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，易得，则. 故答案为：， 二、解答题 2．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)某学校有C、D两个图书馆，某学生每天都会在这两个图书馆中选择一个去学习，已知该学生第一天选择C图书馆的概率是，若在前一天选择C图书馆的条件下，后一天继续选择C图书馆的概率为，而在前一天选择D图书馆的条件下，后一天继续选择D图书馆的概率为，如此往复. (1)求该学生第一天和第二天都选择C图书馆的概率； (2)求该学生第二天选择C图书馆的概率； (3)记该学生第n天选择C图书馆的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据第一天选择C图书馆的概率是，后一天继续选择C图书馆的概率为求解即可； （2）分第一天选C、D两个图书馆两种情况求解即可； （3）根据题意得出递推公式，再构造求解通项公式即可. 【详解】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 地 城 考点07 分布列的性质 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据概率和为1求解即可. 【详解】由题意，，解得. 故选：B 2．(24-25高二下·重庆两江育才中学·期中)下表是离散型随机变量的概率分布，则（   ） 1 2 3 4 P A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得，利用对立事件概率性质运算求解. 【详解】由题意可得：，解得， 所以． 故选：B. 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.1 0.3 则_____ 【答案】0.3/ 【分析】根据给定的数表，利用分布列的性质求出m，再利用互斥事件的概率公式计算作答. 【详解】由分布列的性质得，，解得， 所以. 故答案为：0.3 4．(24-25高二下·重庆第二外国语学校·期中)已知离散型随机变量所有可能取值为，0，1其中，，，则的最大值为_______. 【答案】 【分析】利用分布列的性质及基本不等式求解. 【详解】依题意，，解得，而， 于是，即，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 地 城 考点08 随机变量的期望和方差 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆市外国语学校·期中)已知随机变量X满足，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用期望、方差的性质求解. 【详解】由，得，则； 由，得，因此. 故选：C 2．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)随机变量的分布列如表，则方差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列的性质求出的值，可求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由分布列的性质可得，解得，所以， 故. 故选：C. 3．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据期望公式求出，再将其代入方差公式得到关于的函数，最后通过求函数的最小值来确定的值. 【详解】根据期望公式可得： 根据方差公式 则对称轴， 所以当时，方差取得最小值 故选：B. 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则（   ） -1 0 1 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据所有离散型随机变量每个取值对应概率之和等于1列出方程求出，再根据期望和方差及其性质的计算公式以及性质即可逐一判断选项． 【详解】由离散型随机变量的性质可得，解得， 所以，， 所以，. 故选：ABD 5．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 0.2 0.3 0.4 0.1 则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合数学期望和方差的公式及其性质计算判断各选项即可. 【详解】由题意，，故A正确； 则，故C错误； 而， 故B错误； 则，故D正确. 故选：AD. 6．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)已知随机变量的分布列为 0 1 2 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据概率之和为1可得，即可根据期望以及方差的计算公式以及性质即可逐一求解. 【详解】由，得，A正确. ，B不正确，C正确. ，D正确. 故选：ACD 7．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)已知随机变量，，且，的分布列如下： X 1 2 3 4 P m n 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列性质以及期望值性质解方程组计算可得AB正确，C正确，再由方差定义计算可得，再利用方差性质计算可判断D正确. 【详解】易知，即； 由，可得，可得； 因此，即， 联立，解得，即AB正确，C错误； 易知， 则，即D正确. 故选：ABD 三、填空题 8．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)已知随机变量的分布列为： 其中，，若，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质可得a，然后由期望公式可得m、n的关系，最后巧用“1”和基本不等式可得. 【详解】由分布列性质可知 所以 所以 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 地 城 考点09 随机变量及其分布列 一、解答题 1．(24-25高二下·重庆第十一中学·期中)2025年世界游泳锦标赛将在新加坡举办，游泳比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段，只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛．已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和，丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中．假设每次比赛结果相互独立． (1)甲、乙、丙进入决赛的概率分别是多少？ (2)如果甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为X，求X的分布列． 【答案】(1)，， (2) (3)分布列见解析 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式即可求解； （2）利用甲、乙、丙三人都进入决赛的概率之积列方程求解即可； （3）利用分类计算三人相互独立事件发生概率之积来求分布列即可. 【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2．(24-25高二下·重庆外国语学校·期中)甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为. (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练，求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标或总共射击6次就结束训练.若甲先射击，求： ①结束训练时甲只射击了1次的概率； ②结束训练时甲射击的次数记为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)第三次射击就结束训练的概率为； (2)①结束训练时甲只射击了1次的概率为；②分布列见解析；数学期望为 【分析】（1）明确第三次射击结束的情况结合独立事件概率乘法公式即可求解. （2）①明确甲只射击1次的情况并分别各情况概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解. ②由题意求出随机变量的各个取值并求出各取值对应的概率即可求得分布列，再用数学期望公式即可计算数学期望. 【详解】（1）第三次射击就结束训练，则有两种情况： 第一种情况是甲第一次射击未命中，第二次射击命中，然后乙第三次射击命中； 第二种情况是甲第一次射击命中，乙第二次射击未命中，然后乙第三次射击命中； 所以第三次射击就结束训练的概率为. （2）①结束训练时甲只射击了1次有两种情况： 甲第一次射击就命中目标，其概率为. 甲第一次射击未命中目标，乙第二次射击命中目标，其概率为. 所以结束训练时甲只射击了1次的概率为.   ②由题可能取值为，，， ，，. 则的分布列为： 数学期望. 3．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学·期中)一个小组九人，其中，编号分别为1，2，3，4，5的男生五人；编号分别为1，2，3，4的女生四人，现从该小组中任意选取3人． (1)求选出的3个人中有相同编号的情况有多少种； (2)若选出的3个人中编号的最大值为，求出的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）首先从，，，这四组编号中选出一组，再从其余7人中选1个人，利用组合数公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 4．(24-25高二下·重庆九校联盟·期中)某学校组织了网络安全知识竞赛，有A，两类问题，每位参加比赛的同学回答2次，每次回答一个问题，若回答错误，则下一个问题从另一类中随机抽取一个回答；若回答正确，则继续从该类中随机抽取一个回答．A类问题中的每个问题回答正确得10分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得30分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为0.7，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若且小明先回答类问题，记为小明累计得分，求的分布列； (2)若小明先回答A类问题，当为何值时累计得分的期望最大？ 【答案】(1)分布列见解析； (2)当时累计得分的期望最大. 【分析】（1）由题设写出随机变量的取值并求出相应取值的概率即可得解； （2）先求出累计得分的期望表达式，再根据函数性质求最大值. 【详解】（1）由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 5．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)重庆漆艺历史悠久，可以追溯到商周时期，是一种传承千年，特色鲜明的传统手工技艺.某漆器厂准备制作三种不同规格的漆器瓷盘各一件，制作过程必须经过两道工艺，第一道是胎体制作，第二道是抛光上漆，第一道工艺合格以后才能进入第二道，两道工艺相互独立，三件瓷盘的制作过程也相互独立.该厂制作A，B，C瓷盘第一道工艺合格率分别为，第二道工艺合格率分别为. (1)求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； (2)经过两道工艺且均合格以后，产品就可以上市销售，每件瓷盘可获利2百元；如果不合格，每件亏损1百元，求这三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； (3)该厂决定研发瓷盘，计划邀请两名一级技工和一名二级技工参与，假定每名一级技工独立制作成功的概率为，每名二级技工制作成功的概率为.现三人按照一定顺序依次制作瓷盘，从第一个人开始，如果制作失败，则换下一个人制作，如果制作成功，则停止制作（如果三人均制作失败，也停止制作）.三个人的制作过程相互独立.若每制作一次，进行制作的技工会获得相应的人工费，未进行制作的技工不获得人工费，其中一级技工的人工费为3百元，二级技工的人工费为2百元.现有以下两种方案可供选择： 方案一：由二级技工第一个制作； 方案二：由二级技工第三个制作. 试比较两种方案人工费开销的数学期望哪个更小？并说明理由. 【答案】(1) (2)（百元） (3)答案见解析；理由见解析 【分析】（1）由独立事件的概率公式可求经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格的概率； （2）根据二项分布的数学期望可求三件瓷盘合计盈亏金额的数学期望； （3）设方案一的人工费开销为，方案二的人工费开销为，由独立事件的概率公式可求它们的分布列，从而可得它们的数学期望，作差后可比较它们的大小. 【详解】（1）设事件为“经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格”， 则. （2）由题设可得经过两道工序，瓷盘合格的概率为， 瓷盘合格的概率为，瓷盘合格的概率为， 设三件瓷盘合格的个数为，则，故， 而， 所以（百元）. （3）设方案一的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， 设方案二的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， ， 当时，，故方案二的人工费开销的数学期望较小； 当时，，故方案一、方案二的人工费开销的数学期望相同； 当时，，故方案一的人工费开销的数学期望较小. 6． (24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)衡阳市八中对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立． （1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； （2）记在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】（1）；（2）． 【详解】试题分析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件．则利用对立事件即可求出结果；（2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6．列出的分布列，即可求出结果． 试题解析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件． 则． （2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6． 因为， ， ， ， 所以的分布列为： X 3 4 5 6 ＝3×＋4×＋5×＋6×＝． 7．(24-25高二下·重庆“大一联盟”·期中)甲、乙两名同学参加一项射击比赛，已知甲、乙两人射击的命中率分别为和，假设两人射击互不影响. (1)求两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率. (2)两人各射击一次，在只有一个人命中的条件下，求甲命中的概率. (3)甲参加射击训练，训练计划如下：甲先射击（，）次，若这次都命中，则训练结束，否则额外射击次.试问为何值时，甲射击次数的期望最大? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先分别求出两人射击一次不能命中目标的概率，可得各射击一次两人都没有命中目标的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可； （2）先求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标”概率，再求出“两人各射击一次，只有一个人命中目标，且是甲命中目标”的概率，再结合条件概率公式即可求解； （3）根据题意求出甲射击次数的分布列，利用期望公式求出期望，然后利用求出临界值和，判断与大小，即可得出最大值. 【详解】（1）设事件M为“甲射击的命中目标”；事件N为“乙射击的命中目标”； 由题意，，所以， 两人各射击一次，都没有命中目标的概率为， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为. （2）设事件为“两人各射击一次，只有一个人命中目标”，事件为“两人各射击一次，甲命中目标”， 所以， ， 则所求概率为. （3）设甲射击的次数为，所有可能取值为， ， 所以的分布列为 则， 令，则， ，因单调递减， 当时，，即； 当时，，即 又 所以， 所以当时，甲射击次数的期望最大. 地 城 考点10 两点分布、二项分布 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第一中学校·期中)已知随机变量X，Y均服从两点分布，若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列举法即可求解. 【详解】因为随机变量X，Y均服从两点分布，且，， 所以，， 所以， 又因为，所以， 所以. 故答案为：A. 2．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲､乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜.然后分别求出各种情况的概率，加起来即可；也可以构建二项分布模型解决. 【详解】解法一：乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜. 乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为； 乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为. 所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为. 解法二：采用五局三胜制，不妨设赛满5局，用表示5局比赛中乙胜的局数，则.乙最终获胜的概率为. 故选：C. 二、多选题 3．(24-25高二下·重庆西藏中学校·期中)下列说法正确的是（    ） A．设随机变量等可能取,,,....,，如果，则 B．若随机变量的概率分布为，且是常数，则 C．已知，则 D．已知随机变量，则 【答案】ACD 【分析】利用古典概率及互斥事件的概率求解判断A；利用分布列的性质列式计算判断B；利用排列数、组合数公式求解判断C；利用二项分布的期望公式及期望性质计算判断D. 【详解】对于A，由随机变量等可能取，得， 则，，A正确； 对于B，随机变量的概率分布为， 则，解得，B错误； 对于C，由，得，解得，C正确； 对于D，由随机变量，得，则，D正确. 故选：ACD 三、解答题 4．(24-25高二下·重庆南城巴川学校·期中)某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 5．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)某数学试卷的选择题有单选和多选两种题型.单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分.多选题每题四个选项，正确答案只有两种情况：两个选项正确或三个选项正确.全部选对得6分，部分选对的得一部分的分（如果正确答案是2项，那么每项得3分；如果正确答案是3项，那么每项得2分），有错误选择或不选择得0分. (1)若某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立.记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量，求的分布列； (2)若某同学对其中一道多选题完全没有答题思路，决定只随机选择一个选项作答.已知此题正确答案是两个选项的概率为，求该同学回答这道多选题得分的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2)； 【分析】（1）由题意可得变量满足二项分布，根据其概率公式以及分布列，可得答案； （2）由题意可得变量的所有可能的值，分别求得每个值对应的概率，根据数学期望以及方差的计算，可得答案. 【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 地 城 考点11 超几何分布 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆南开中学·期中)现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为__________. 【答案】 【分析】根据题意，写出服从的分布列，根据分布列求其数学期望即可. 【详解】由已知的所有可能取值为：0,1,2； 则 所以． 故答案为：. 地 城 考点12 正态分布 一、填空题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)已知随机变量，若，则__________. 【答案】0.15/ 【分析】根据正态曲线的对称性，结合正态分布的概率表示，可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 地 城 考点13 线性回归方程 一、解答题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学校·期中)某科技公司的厂告投入（单位：百万）与销售额（单位：千万）之间有如下对应数据： 广告投入 18 16 14 12 10 8 销售额 13 11 9 8 7 6 (1)求样本相关系数（结果保留两位小数），并判断与是否具有较强的线性相关性； (2)求销售额关于广告投入的经验回归方程. 参考公式：. 参考数据：. 【答案】(1)，有较强的线性相关性 (2) 【分析】（1）根据相关系数公式计算即可求解； （2）根据最小二乘法依次计算相关量即可计算求解. 【详解】（1）由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； （2）， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 随机变量及其分布列 地 城 考点01 条件概率公式、全概率公式 一、单选题 1．A 二、多选题 2．ABD 3．BCD 4．BCD 三、填空题 5． 地 城 考点02 条件概率应用 一、单选题 1．A 2．B 3．C 二、多选题 4．BC 5．BCD 三、填空题 6． 四、解答题 7．【详解】（1）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 第一个人摸出个红球后，盒子中还有9个球，其中4个红球，5个白球， 故在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率. （2）设事件表示：第一个人摸出红球，表示：第二个人摸出白球， 事件：第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球即事件， 所以 地 城 考点03 全概率公式应用 一、单选题 1．B 2．D 3．D． 4．B 5．B 6．C 二、填空题 7．0.34 三、解答题 8．【详解】（1）设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则. （2）由（1），设事件“抽到盒”，事件“抽到盒”， 则. 设事件“随机抽取两个球，颜色相同”， 所以，， 由全概率公式得， 所以甲同学在一轮比赛中回答第一类问题的概率为. 9．【详解】（1）从甲箱中任取2个小球的事件数为， 这2个小球同色的事件数为， 所以这2个小球同色的概率为． （2）设事件A为“从乙箱中任取1个小球，取出的这个小球是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是白球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球为1个白球1个黑球”， 事件为“从甲箱中取出的2个小球都是黑球”， 则事件，，彼此互斥． ，，， ，，， 所以 ， 所以取出的这个小球是白球的概率为． 地 城 考点04 贝叶斯公式应用 一、单选题 1．B. 2．D 二、多选题 3．ACD 三、解答题 4．【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. （2）由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 地 城 考点05 独立性 一、单选题 1．C 2．C 二、多选题 3．BC 地 城 考点06 概率与数列交汇 一、填空题 1．/； 二、解答题 2．【详解】（1）由题意，第一天和第二天都选择C图书馆的概率为 （2）第一天选C图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 第一天选D图书馆，第二天选C图书馆的概率为， 故第二天选C图书馆的概率为. （3）由题意，当时，，则， 即， 故是以为首项，为公比的等比数列， 故，解得 地 城 考点07 分布列的性质 一、单选题 1．B 2．B 二、多选题 3．0.3/ 4． 地 城 考点08 随机变量的期望和方差 一、单选题 1．C 2．C. 3．B 二、多选题 4．ABD 5．AD 6．ACD 7．ABD 三、填空题 8． 地 城 考点09 随机变量及其分布列 一、解答题 1．【详解】（1）甲进入决赛的概率为， 乙进入决赛的概率为， 丙进入决赛的概率为. （2）因为甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为， 则， 整理得，解得或， 因为，所以. （3）由（2）知，丙进入决赛的概率为， 所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为，，， 根据题意可得，随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 可得； ， ， 则， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 2．【详解】（1）第三次射击就结束训练，则有两种情况： 第一种情况是甲第一次射击未命中，第二次射击命中，然后乙第三次射击命中； 第二种情况是甲第一次射击命中，乙第二次射击未命中，然后乙第三次射击命中； 所以第三次射击就结束训练的概率为. （2）①结束训练时甲只射击了1次有两种情况： 甲第一次射击就命中目标，其概率为. 甲第一次射击未命中目标，乙第二次射击命中目标，其概率为. 所以结束训练时甲只射击了1次的概率为.   ②由题可能取值为，，， ，，. 则的分布列为： 数学期望. 3．【详解】（1）选出的3个人中有相同编号，则其中两人的编号相同， 首先从，，，这四组双编号组中选出一组，有种选法， 再从选过后的人中选个人，有种选法， 所以选出的3个人中有相同编号的情况有种； （2）依题意的可能取值为，，，， 所以，， ，. 所以的分布列为 2 3 4 5 所以的数学期望. 4．【详解】（1）由题可得， 且，，，， 所以的分布列为 X 0 10 30 60 P （2）设累计得分为Y，则, 且，，，， 所以累计得分的期望为 ， 因为，， 所以当时，累计得分的期望最大为. 5．【详解】（1）设事件为“经过第一道工艺以后三件瓷盘中恰有两件合格”， 则. （2）由题设可得经过两道工序，瓷盘合格的概率为， 瓷盘合格的概率为，瓷盘合格的概率为， 设三件瓷盘合格的个数为，则，故， 而， 所以（百元）. （3）设方案一的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， 设方案二的人工费开销为，则可取， 而，，， 故 ， ， 当时，，故方案二的人工费开销的数学期望较小； 当时，，故方案一、方案二的人工费开销的数学期望相同； 当时，，故方案一的人工费开销的数学期望较小. 6．【详解】试题分析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件．则利用对立事件即可求出结果；（2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6．列出的分布列，即可求出结果． 试题解析：（1）记“甲考核为优秀”为事件，“乙考核为优秀”为事件，“丙考核为优秀”为事件，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件． 则． （2）由题意，得的可能取值是3，4，5，6． 因为， ， ， ， 所以的分布列为： X 3 4 5 6 ＝3×＋4×＋5×＋6×＝． 7．【详解】（1）设事件M为“甲射击的命中目标”；事件N为“乙射击的命中目标”； 由题意，，所以， 两人各射击一次，都没有命中目标的概率为， 所以两人各射击一次，至少有一人命中目标的概率为. （2）设事件为“两人各射击一次，只有一个人命中目标”，事件为“两人各射击一次，甲命中目标”， 所以， ， 则所求概率为. （3）设甲射击的次数为，所有可能取值为， ， 所以的分布列为 则， 令，则， ，因单调递减， 当时，，即； 当时，，即 又 所以， 所以当时，甲射击次数的期望最大. 地 城 考点10 两点分布、二项分布 一、单选题 1．A. 2．C. 二、多选题 3．ACD 三、解答题 4．【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 5．【详解】（1）该同学答对每道单选题的概率均为，易知， 所以， ，， 那么的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）因为这道多选题的正确答案是2个选项的概率，正确答案是3个选项的概率为 只随机选择一个选项作答，共有4种情况，得分的随机变量可以取值为分， 若正确选项是2项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得3分，， 若正确答案是3个选项，则在所有的4种情况里，共有种情况可以得2分，， 其余情况得0分，， 所以得分的数学期望为； 得分的方差为. 地 城 考点11 超几何分布 一、填空题 1． 地 城 考点12 正态分布 一、填空题 1．. 地 城 考点13 线性回归方程 一、解答题 1．【详解】（1）由题意可知， ， 因为非常接近1，故与有较强的线性相关性； （2）， 故.将代入可得， 故经验回归方程为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $