精品解析：重庆市江津中学2025-2026学年度高二下学期第二阶段质量检测数学试卷

2025-2026学年下期第二阶段质量检测 高二数学试卷 注意事项： 1．本试题满分150分，考试用时120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，则或， 由， 所以. 2. 函数的定义域为R的充要条件是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】讨论的取值以区分函数类型以保证根号下非负即可求解. 【详解】由题意得恒成立，， 当时，由二次函数的性质可得且，解得， 当时，一次函数不恒成立， 综上， . 3. 某校办学教育成果展活动中，安排4名学生志愿者到3个不同的服务点开展服务工作，且每人只去一个服务点，要求每个服务点至少有一名学生志愿者，则不同的安排方式共有（ ）． A. 种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【详解】将4个学生以的形式分组，有种， 再将三组分配到3个不同的服务点，有种， 所以共有种不同安排方式. 4. 已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为与至多有两个交点，令，利用导数法研究函数性质，利用数形结合即可求解. 【详解】方程至多有两个不同实数解，记， 则与至多有两个交点， 由可得， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 是函数的极小值点，极小值为， 作出函数图象，如图， 由图可知，与至多有两个交点时，或， 所以实数的取值范围是. 5. 某校高二年级男生1000米跑成绩近似服从正态分布．体育组规定：用时不超过205秒的学生可获得“体能满分”证书，这部分学生约占全年级的．据此估算，成绩在205秒到225秒之间的学生占比约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以，又因为， 所以. 6. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由，可得， 因为当时，函数取得最大值， 故，解得，所以，经验证在时取得最大值， 所以. 7. 已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在区间上单调递增，以及函数导数的几何意义得出不等式在区间上恒成立，利用构造函数，结合函数导数与单调性、最值分析求解即可 【详解】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 8. 已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数，利用函数导数与单调性、最值，不等式的性质以及对数函数的单调性判断即可. 【详解】设函数，由，令，解得：， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 所以， 因为，函数在上单调递减，且， 所以， 由， ， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以正确的不等式有2个. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为4 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A，因为，当且仅当时等号成立，所以. 选项B，因为，所以.当且仅当时等号成立， 选项C，，当且仅当时等号成立， 选项D，，当且仅当时等号成立，解得，与条件矛盾，因此最小值取不到. 10. 高二学情统计显示：课后自主学习对数学成绩提升作用显著，高二学生课后自主学习的概率为．设事件A：学生课后自主学习，：学生课后未自主学习；事件B：第二阶段考试数学成绩达标，：第二阶段考试数学成绩未达标．已知，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 11. 对于集合A中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：①“”的充要条件为“”；②；③，都有．则称为集合A上的距离，记为．则下列说法不正确的是（ ） A. 为 B. 为 C. 若，则为 D. 若为，则也为（e为自然对数的底数） 【答案】BD 【解析】 【分析】由的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，即， ①，，即，即， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，，成立， ③，，，故A正确； 对于B，， ①，，即，即， 此时若，则，故B错误； 对于C，， ①，即，即，得， 若，则， 所以“”的充要条件为“”. ②，，成立； ③， ，故成立，故C正确； 对于D，设新的函数为，由性质①，需满足“”， 当时，有，此时.这与性质①的要求矛盾，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知展开式中的第4项是一次项，则展开式的各项系数和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用通项公式根据一次项条件求出，再利用赋值法令代入原式即可求得各项系数之和. 【详解】由题意得展开式的通项为， 第4项即时的次数为1，即，解得， 则原式为，令得展开式的各项系数和为. 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【详解】因为，则 因为，，所以， 则原式，当即时，取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，，结合的单调性分析可知：函数的图象与函数的图象有两个交点，利用切线法结合图象分析求解. 【详解】因为，， 且在上单调递增，可知在上单调递增， 由题意可知：函数的图象与函数的图象有两个交点， 又因为， 设切点坐标为，则切线斜率，切线方程为， 若切线过原点，则，解得， 结合图象可知：若函数的图象与函数的图象有两个交点，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． （1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； （2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）认为观众的性别与购票情况无关 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，求得，结合参考数据和公式，求得，得到，即可求解； （2）根据题意，得到的列联表，求得，结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由表格中的数据可得， 因为， ，， 所以，则， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：根据题意，得到的列联表，如下表所示： 性别 购买情况 合计 购买A等票 购买B等票 男性观众 45 15 60 女性观众 35 5 40 合计 80 20 100 零假设为：观众的性别与购票情况无关， 根据列联表中的数据，经计算可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以认为成立，即认为观众的性别与购票情况无关. 16. 已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示. （1）求的单调区间； （2）求a，b，c的值； （3）若函数有三个零点，求m的取值范围. 【答案】（1）单调递减区间是；单调递增是和. （2） （3） 【解析】 【分析】(1)通过导函数的图象与原函数单调性的联系可得结果； (2)由导函数零点与原函数极值点可建立方程组，从而解得a，b，c的值； (3)由图象可知函数的单调性及极值，函数有三个零点等价于与有三个交点，继而可得m的取值范围. 【小问1详解】 根据图象可知时，，即单调递减； 和时，，即 单调递增； 故答案为：单调递减区间是；单调递增是和. 【小问2详解】 由已知可得：和是的两个根， 由（1）可得的极大值在处取得，故 解得： 故答案为： 【小问3详解】 由（2）知，的极小值为： 结合的单调性可作其草图，如下所示 函数有三个零点等价于与有三个交点，所以. 故答案为： 17. 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由概率公式计算取值为的概率，进而列出分布列； （2）分别计算出两种方案的分布列，进而得出期望，并通过期望的大小关系得出t 的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得的取值为. 所以的分布列为： 【小问2详解】记选择方案一所需费用为元 则当时， 当时， 当时， 当时， 则的分布列为 记选择方案二所需费用为元. 则时， ； 时，； 时， 则的分布列为 因为，所以， 解得，所以的取值范围为. 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）. 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.利用导数的正负判断函数单调性，注意对参数分类讨论. 2.将函数有两个极值问题转化为导函数对应的方程有两个不相等的实数根，再结合韦达定理整体代换，构造关于的函数求值域. 易错归纳： 1.漏写函数的定义域，分类讨论时忽视参数的情况，单调性相同的不连续区间错用并集符号. 2根据函数有两个极值，求导数有两个正实根，忽视两根为正，导致参数的范围求错；对数书写时漏写括号. 19. 三个互不相同的函数，与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”． （1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”； （3）若，且存在实数，，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 【答案】（1）因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立， 故是与在上的“分割函数”. 又因为，当与时，其值分别为与， 所以与在上都不恒成立， 故不是与在上的“分割函数”. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可得当时恒成立，结合“分割函数”的定义依次判断，即可求解； （2）根据“分割函数”的性质，则 对一切实数恒成立，由导数的几何意义和恒成立可得且对一切实数恒成立，结合图形即可求解； （3）利用导数求出函数 的极值，则，作出其函数与函数的图象，设直线与的图象交于点，利用代数法求出弦长 ，结合导数研究函数的性质即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设是与在上的“分割函数”， 则 对一切实数恒成立，由， 当时，，可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线， 所以，可得 所以对一切实数恒成立， 即且对一切实数恒成立， 可得且，即， 又时与为相同函数，不合题意， 故所求的函数为. 【小问3详解】 关于函数，令，可得， 当与时，； 当与时，， 可知是函数 极小值点，0是极大值点， 该函数与的图象如图所示. 由为与在区间上的“分割函数”， 故存在使得 且直线与的图象相切， 并且切点横坐标∪，此时切线方程为， 即， 设直线与的图象交于点， 则由可得， 所以 ， 令 ， (仅当时，)， 所以严格减，故的最大值为，可知的最大值为， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下期第二阶段质量检测 高二数学试卷 注意事项： 1．本试题满分150分，考试用时120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．必须在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为R的充要条件是（ ） A. B. 且 C. D. 3. 某校办学教育成果展活动中，安排4名学生志愿者到3个不同的服务点开展服务工作，且每人只去一个服务点，要求每个服务点至少有一名学生志愿者，则不同的安排方式共有（ ）． A. 种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 4. 已知关于的方程至多有两个不同实数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某校高二年级男生1000米跑成绩近似服从正态分布．体育组规定：用时不超过205秒的学生可获得“体能满分”证书，这部分学生约占全年级的．据此估算，成绩在205秒到225秒之间的学生占比约为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，函数取得最大值，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是自然对数的底数，是圆周率，下列不等式中，，，正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为4 10. 高二学情统计显示：课后自主学习对数学成绩提升作用显著，高二学生课后自主学习的概率为．设事件A：学生课后自主学习，：学生课后未自主学习；事件B：第二阶段考试数学成绩达标，：第二阶段考试数学成绩未达标．已知，，则下列说法正确的是（ ） A. ， B. C. D. 11. 对于集合A中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件：①“”的充要条件为“”；②；③，都有．则称为集合A上的距离，记为．则下列说法不正确的是（ ） A. 为 B. 为 C. 若，则为 D. 若为，则也为（e为自然对数的底数） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知展开式中的第4项是一次项，则展开式的各项系数和为________． 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 14. 已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示： 场次编号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 观众人数y(单位：万) 1.93 1.95 1.97 1.98 2.01 2.02 2.02 2.05 2.07 经计算可得：， ，． （1）通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程(结果中的数值用分数表示)； （2）若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？ 性别 购买情况 合计 购买 A 等票 购买 B 等票 男性观众 60 女性观众 40 合计 100 附： ①对于一组数据((x₁，y₁)，(x₂，y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ，； ② 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知三次函数的极大值是20，其导函数的图象经过点，.如图所示. （1）求的单调区间； （2）求a，b，c的值； （3）若函数有三个零点，求m的取值范围. 17. 某环保机器制造商为响应“2030年前碳排放达峰行动”的号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后3年内的延保维修方案： 方案一：交纳延保金3000元，在延保的3年内可免费维修1次，超过1次每次收取维修费1000元； 方案二：交纳延保金4000元，在延保的3年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费 t 元； 制造商为制定t元的收取标准，为此搜集并整理了100台这种机器超过保修期后3年内维修的次数，统计得到下表： 维修次数 0 1 2 机器台数 10 40 50 以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记 X 表示 2 台机器超过保修期后 3年内共需维修的次数． （1）求 X 的分布列； （2）以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，求使客户选择方案二更合算时t 的取值范围． 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 19. 三个互不相同的函数，与在区间D上恒有或恒有，则称为与在区间D上的“分割函数”． （1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）求所有的二次函数，使得该函数是与在区间上的“分割函数”； （3）若，且存在实数，，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $