专题06 期中真题百练通关（9大压轴题型，期中复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题05 期中真题百练通关（9大压轴题型） 题型一 平面向量数量积的取值范围 题型六 三角函数的零点问题 题型二 向量模的取值范围 题型七 三角函数带绝对值问题 题型三 平面向量的新定义问题 题型八 三角函数的恒成立、能成立问题 题型四 三角恒等变化 题型九 三角函数中的新定义问题 题型五 三角函数中的的取值范围 题型一 平面向量数量积的取值范围 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 2．（2023·24高一下·天津·期末）如图，梯形且，，则____________，在线段BC上，则的取值范围为____________. 【答案】 【详解】因为，， 所以， 所以，即， 解得，因为，所以； 过点作，垂足为，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 在中，，，所以，，所以， 所以，则， 因为在线段BC上，设， 从而，， ， 因为，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 3．（2025·26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） . 【分析】 【详解】（1）由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； （2）由题意：由为圆心，得，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 4．（2023·24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点． (1)若，且，求的值； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知， 因为点是线段的中点，所以， 又点是线段上的一点，且，所以，又， 所以， 所以．解得，， 所以． （2）设，所以， ， 所以 ， 所以当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为6． 所以的取值范围是． 5．（2024·25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】因为点与点关于点对称，所以，则． 取的中点，连接，则，， 则． 当点与点或点重合时，取得最大值，则， 从而的最大值为8． 故选：D 6．（2024·25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为_____________. 【答案】 【详解】由题意：以点为原点，建立平面直接坐标系，则， 所以直线的方程为，设点， 所以， 所以， 当时，的最小值为：. 故答案为：. 题型二 向量模的取值范围 7．（2023·24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即，， 所以，， 所以，， 因为在上的投影向量为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律，考查数量积的几何意义，解题的关键是对已知等式两边平方化简后，两式相结合求出的范围，考查计算能力，属于较难题. 8．（2022·23高一下·吉林长春·期末）已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，则， 又，，所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：C 9．（2021·22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 【答案】 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示，    若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 10．（2023·24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】因为为单位向量，有，得， 由，得，得， 所以，又，所以， 而， 则 当且仅当与方向相反时“=”成立 所以的最小值为； 故答案为： 11．（2021·22高一下·吉林·期末）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______． 【答案】3 【详解】因为， 所以， 所以，即，则． 因为点是圆内部一点， 所以，所以， 则， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值是3． 故答案为：3. 12．（2024·25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】 【详解】（1）当时，，所以， 所以， ， 又， 所以 ； （2）当时，，所以， 所以， ， 因为三点共线，所以存在，使， 又因为三点共线，所以，解得， 所以，所以； （3）因为， ， 所以， ， 所以， ， ， 由题意知， 所以当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以的取值范围是. 题型三 平面向量的新定义问题 13．（2024·25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，而，，则，， 于是，显然存在，，则， 因此，即，则， 显然，即， 从而，因此， 又存在，使得，即，解得，则， 所以的取值集合为. 故选：A. 14．（2024·25高一下·福建漳州·期中）（多选）已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（    ）． A．， B．在上投影向量的模为 C．若，，则 D． 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，，则，故A正确； 对于B，在上投影向量的模为，，故B错误； 对于C，由，，则，所以，故C正确； 对于D，由，，， 则，所以，故D正确. 故选：ACD. 15．（2023·24高一下·江苏南京·期中）（多选）定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】AC 【详解】，其中是与的夹角， 对A：若，则，， 则，故A正确； 对B：若，则，故与的夹角为90°， 则，故B错误； 对C：若，则，故C正确； 对D：若，，则，， ,，，， 则，，故D错误． 故选：AC． 16．（2024·25高一下·河南·期末）已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，且，所以， 解得，则， 所以． （2）证明：若，则． 又，所以，即， 所以． 故是的充分条件． 若，则， 整理得，所以． 故是的必要条件． 综上所述，是的充要条件． 17．（2025·26高一下·湖北襄阳·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ，为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 18．（2024·25高一下·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 【答案】(1)1 (2)①证明见解析 ；② 【分析】 【详解】（1）因为， 所以. （2）①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ②因， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的重心，则， 可得， 则， ， ， 可得， 所以. 题型四 三角恒等变化 19．（2025·26高一上·山东枣庄·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 且，可得， 又因为，则， 且，可得， 所以 . 故选：A. 20．（2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C 21．（2024·25高一下·江苏·期中）已知，，则______． 【答案】 【详解】已知，则，所以. 又因为，所以. 根据三角函数平方关系，可得： 可得： 因为，所以. 再根据二倍角公式，可得： ① 又因为 ② 联立①②求解，因为，所以，. 由①得，代入②可得： 设（），则，两边同时乘以得： ，解得或，即或. 由于，则可以再缩小，因此. 因此.由于， 而 ， ， 则. 故答案为：. 22．（2024·25高一下·江苏宿迁·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， . 故选：B 23．（2024·25高一下·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值. 题型五 三角函数中的的取值范围 24．（2025·26高三下·辽宁·期中）若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设函数的最小正周期为，则， 由题意可知，即，解得， 因为，，所以， 又，所以，， 则或， 解得或， 所以的取值范围为. 25．（2025·26高一下·江西九江·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知：， 若，则， 因为函数在区间上单调递增，则，解得， 若，则， 因为函数在区间上存在唯一1条对称轴，则，解得， 综上所述：的取值范围是. 26．（2024·25高一下·四川南充·期中）设函数， (1)若函数在是增函数，求实数的最大值； (2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） ． 令，则， 令，则；令，则； 令，则； 若函数在是增函数，则，则的最大值为； （2）， 因为，则当时，， 为使在上恰有两个零点，则， 解得，则的取值范围为． 27．（2024·25高一下·四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 所以当时，取到最大值， 解得，所以. 令， 在区间上有2个零点， 即在区间上有2个零点， ，解得. 故选：D 28．（2024·25高一上·吉林长春·期末）设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】，, 令，则，， 当时，，则，解得， 此时，可验证此时恰有一条对称轴在内，符合题意， 当时，，则，解得， 此时，不符合题意， 当取其它整数时，不符合题意，所以. 故答案为：. 29．（2024·25高一下·北京·期中）设函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； (3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1） ， 所以的最小正周期为. （2）令，则， 令，则；令，则； 令，则； 若函数在是增函数，则， 则的最大值为. （3）， 因为，则当时，， 结合正弦函数的图象可知，为使在上恰有两个零点，则， 解得， 则的取值范围为. 题型六 三角函数的零点问题 30．（2024·25高一下·湖北黄冈·期中）若函数的两个零点分别为和，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，其中， 由，得，而， 因此，即，则即， 所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用辅助角公式化简，结合正弦函数的性质用零点表示辅助角是求解问题的关键. 31．（2024·25高一下·辽宁·期中）（多选）已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（    ） A． B． C．14 D．13 【答案】ABC 【详解】由题意得 ， 得或－1，得或或． 由，得， 因为方程在，上恰有5个实数根， 所以结合余弦函数的图象得，得． 故选：ABC. 32．（2024·25高一下·河南信阳·期中）已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有1个实数根，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为，其中, 又函数的图像关于直线对称，且， 所以，解得， 所以， 当时，令， 因为方程在上恰有1个实数根，且函数在上单调递增，在上单调递减， ， 所以. 故答案为： 33．（2024·25高一下·上海青浦·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时.函数在区间上恰有2026个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168 D．当时.函数在区间上给有4054个零点 【答案】C 【详解】. 令，所以， 因为.函数有两个零点. 记的两个零点分别为， 则，设. . 对于A.当时，.令.得或. 所以或. 当时，或或. 所以在上有3个零点. 而. 所以函数在区间上有个零点，故A正确： 对于B.当时，. . 所以<. 所以函数在上没有零点，在上有两个零点. 而. 所以函数在区间上有个零点，故B正确； 对于C.当时，. . 所以. 所以函数在上有两个零点，在上没有零点， 因为函数在区间上给有2168个零点. 而，所以或2168，故C错误； 对于D，当时，， . 所以，所以函数在上有两个零点，在上有两个雾点.而. 所以函数在区间上有个零点，故D正确； 故选：C. 34．（2023·24高一下·浙江·期中）已知平面向量．设函数． (1)求的最小正周期； (2)若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到，且关于的方程在上恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围和的值． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】 【详解】（1）由， 得， 所以的最小正周期. （2）由（1）知，，则， 关于的方程在上恰有三个不同的实数根， 于是直线与函数在上的图象有3个不同的公共点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图， 显然，当时，直线与函数在上的图象有3个不同的公共点， 且点关于直线对称，点关于直线对称， 因此，，， 所以实数的取值范围是，.      【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答. 35．（2024·25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）因， 令，解得， 函数的单调递增区间为； （2）将函数的图象向右平移个单位，可得的图象， 再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象， 若函数在上有两个零点， 则与在上有两个交点， 由，得，由，得， 所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减， 因为，，， 所以要使与在上有两个交点，只要， 故m的范围为． 题型七 三角函数带绝对值问题 36．（2025·26高一上·福建宁德·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有7个零点 【答案】BCD 【详解】由，可得是偶函数，是的一个周期， 当时，，如图画出函数图象   ，，，所以不是的一个周期，故A错； 由图可知的值域为，故B对； ， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故C对； 令，即，由图可得函数与的图像有7个交点，故D对. 故选：BCD. 37．（2025·26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，若，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】当时，即时， ， 当时，即时， ， 所以， 当时，，令 此时在上单调递增，所以， 在上的值域为， 由题意可得，所以， 因为在上单调递减，且， 所以要使得，则，即的最小值为， 故答案为：. 38．（2024·25高一下·湖北恩施·期中）已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】函数，则的图象关于轴对称，且， 因此有唯一解，则， 即，则， 当时，，当，即时， ， 当，即时，， 即，令， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象，当，即时，直线与函数的图象有4个交点， 所以的取值范围为． 故答案为： 39．（2024·25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)或或. 【分析】 【详解】（1）证明：函数， 则， 所以是函数的一个周期； （2）当，时，， 令，因为， 所以，所以， 又，故， 所以， 所以当，单调递增， 所以有. （3）当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递减， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 当时， 由可得：， 令，因为，所以， 因此，即，因为， 所以， 因此，该二次函数的对称轴为：， 因此当时，该二次函数单调递增， 所以当时，即时，有一解， 当时，即时，有一解， 当时，即时，有二解， 综上所述：当函数F（x）在区间内恰好有奇数个零点，或或. 题型八 三角函数的恒成立、能成立问题 40．（2025·26高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为、 (2) 【分析】 【详解】（1） ， 则的最小正周期； 令， 解得， 当时，，当时，， 故在上的单调增区间为、； （2）当时，，则， 故，由不等式恒成立， 则恒成立，即，即. 41．（2024·25高二上·云南昆明·期中）已知函数，且函数的最小正周期为. (1)求及的值； (2)任意，对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】 【详解】（1）依题意，， ， ， 函数的最小正周期为， ，； （2）由（1）知， 令，则， ， 的值域为，故最大值为2， 对任意恒成立， 恒成立，整理得恒成立，            ①当时，恒成立， ②当时，， 综上，的取值范围为. 42．（2024·25高一下·江苏连云港·期末）已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1） ， 故的最小值为． （2）令，则有解，即有解， 因为时，，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取最小值；当时，取最大值3，即， 因为有解，所以实数a的取值范围为． 43．（2022·23高一下·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 【详解】（1）因为是定义域上的奇函数， 所以，即， 所以， 又， 所以此时为奇函数，符合题意； （2）由（1）得， 因为， 所以， 所以，即函数的值域为． （3）因为， 当时，， 所以， 所以， 由无实数解可得的定义域为， 易知单调递增，所以在上单调递减， 若关于的不等式在上有解， 则在上有解， 所以在上有解， 所以，即， 故的范围为 44．（2025·26高三上·吉林长春·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值以及相应的的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为 (3) 【分析】 【详解】（1） ， 又，，解得，所以. 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； （2）因为，所以， 令，则函数在单调递增，在单调递减； 所以即时，； 即时，； 所以当时，函数取最大值为，当时，函数取最小值为； （3）由题意可得， 设 ， ，，当时，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 所以在区间上单调递增， 因为，所以， 则，， 所以，所以，， 所以. 45．（2025·26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1） ， 正弦函数的递增区间为，令， 则，解得， 的单调递增区间为． （2）函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故， 的图象是将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，故； （ⅰ）当时，，令， ，； （ⅱ）方程，代入， ， ， 方程转化为， 设，当时，，方程化为， 整理得，令，， 则，， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 令，则对勾函数的图象如下图所示： 由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， ，，， 综上可得的取值范围为：． 题型九 三角函数中的新定义问题 46．（2024·25高一下·江苏南通·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由题意 ． 故选：A． 47．（2025·26高一上·广东深圳·期末）“凹凸性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 【答案】(1)下凸函数,证明见解析 (2)上凸函数，证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）是下凸函数. ， 故，所以函数是下凸函数. （2）在上是上凸函数，证明如下： ， 显然，则 因此， 函数在上是上凸函数. （3）由（2）知，在上是上凸函数， 根据琴生不等式：， 由于锐角，则 ， 当且仅当即时取到最大值. 48．（2024·25高一上·福建厦门·期末）已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， (1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， (2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）时，， ，故或， 的定义域为，所以或， 所以解集的“区间长度”为； （2）（ⅰ），， 其中，故不等式解集为或， 设的两个根为，其中，且， 同理，设的两个根为，其中，且， 所以， 又，所以， 其中，即， 由诱导公式得，即，， 又，解得或，故或， 所以 或 ； （ⅱ）由（ⅰ）可得， 则， 即， 因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以或， 由于，故， 所以，舍去， 故， 所以， 因为，所以， 由可知，， 当且仅当，，即时，等号成立， 所以，故的最大值为. 49．（2023·24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）因为函数是“可消函数”, 所以,对,使得, 整理得, 当时,;当时,,解得. 经检验,满足条件,所以所求函数的“可消数对”为. （2）因为为函数的“可消数对”, 所以为函数的“可消数对”, 所以,对,都有,整理得, 所以,所以. （3）因为存在,使得同时为函数的“可消点”与“可消点”, 所以, 化简可得, 因为 则, 所以, 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：新结构题目结合题目给的条件表示出是解决（3）的关键. 50．（2023·24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】 【详解】（1）因为 ， 令，解得， 所以的单调递减区间为. （2）①因为 ， 又，所以当时，当时， 所以， 当时，且在上单调递增，在上单调递减， 当时，则，则在上单调递减， 所以， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减， 且，，，，的图象如下所示： 因为有三个实数根，即与有三个交点，所以； ②由①可知，，则， 所以，， 所以 ， 令，则， 所以， 因为在上单调递增，当时， 当时， 即，所以， 所以，所以， 即. 【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题准确理解并应用所给定义是解决这一类问题的关键. 51．（2022·23高一下·河南洛阳·期中）定义函数的“伴随向量”为；向量的“伴随函数”为． (1)写出函数的“伴随向量”，并求； (2)记向量的伴随函数为，若当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）， 所以函数的“伴随向量”， 所以； （2）因为向量的伴随函数为， 所以， 则不等式恒成立， 即为恒成立， 即为在上恒成立， 由，得， 当，即时，， 则不等式即为成立，此时； 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 此时， 所以； 当，即时，， 则不等式等价于恒成立， 此时， 所以， 综上所述实数k的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：理解“伴随向量”和“伴随函数”的定义是解决本题的关键. 十、单选题 1．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由正弦函数的对称轴为，函数，令， 解得对称轴方程为，则， 化简得，因为为整数且，要在区间内有且仅有条对称轴， 则整数的取值为，共个，因此必须满足，解得. 2．定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值不可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， ， ，可得，故， 即. 故选：D. 3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 4．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【详解】函数． 设函数的最小正周期为，由，得，， 所以，，即，． 又因为函数在上存在零点，且当时，， 所以，即． 综上，的最小值为4． 5．若，则的最大值是______． 【答案】 【详解】 当时，，可知在上单调递增； ，可知在上单调递增； 所以在上单调递增， 当时，函数取得最大值为. 6．已知向量，，，. 若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 又，则. 当时，，显然不成立；当时，，成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 当时，，显然不成立；当时，，显然不成立； 所以. 此时，则，即， 又，所以. 又，故. 所以的取值范围为. 7．已知函数. (1)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意，， 则， 令， 则， 因此， 则当，即时，；当，即时，， 由存在，对任意，有恒成立， 得为的最小值，为的最大值，即， 则，所以. （2）由（1）得， 则 ， 整理得， 即， 于是， 则， 因此，由，得，， 则，，即，所以. 8．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”. (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求实数k的取值范围； (3)对于定义域为的函数，.函数是奇函数，且是严格递增函数，若，，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】 【详解】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，所以， 因为为严格递增函数，所以， 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中真题百练通关（9大压轴题型） 题型一 平面向量数量积的取值范围 题型六 三角函数的零点问题 题型二 向量模的取值范围 题型七 三角函数带绝对值问题 题型三 平面向量的新定义问题 题型八 三角函数的恒成立、能成立问题 题型四 三角恒等变化 题型九 三角函数中的新定义问题 题型五 三角函数中的的取值范围 题型一 平面向量数量积的取值范围 1．（2025·26高一下·安徽阜阳·期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 2．（2023·24高一下·天津·期末）如图，梯形且，，则____________，在线段BC上，则的取值范围为____________. 3．（2025·26高一下·内蒙古鄂尔多斯·期中）（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 4．（2023·24高一下·山西大同·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上的一点，且，点是线段上的一点． (1)若，且，求的值； (2)求的取值范围． 5．（2024·25高一下·湖南邵阳·期末）在矩形中，，是矩形区域内一点（含边界），点与点关于点对称，则的最大值为（    ） A．9 B．6 C．7 D．8 6．（2024·25高一下·广东汕头·期末）已知为直角三角形，，，，为的中点.若点在射线上运动，则的最小值为_____________. 题型二 向量模的取值范围 7．（2023·24高一下·河南三门峡·期末）已知在上的投影向量为，则的取值范围为______． 8．（2022·23高一下·吉林长春·期末）已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2021·22高一下·上海浦东新·期末）已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 10．（2023·24高一下·重庆·期末）已知为单位向量，且，则的最小值为__________. 11．（2021·22高一下·吉林·期末）窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆是某窗的平面图，为圆心，点在圆的圆周上，点是圆内部一点，若，且，则的最小值是______． 12．（2024·25高一下·安徽宣城·期末）在直角梯形中，已知，，，，，动点E、F分别在线段和上，和交于点M，且，，. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围. 题型三 平面向量的新定义问题 13．（2024·25高一下·山西·期中）对任意两个非零向量，，定义新运算：，表示向量，的夹角.若非零向量，满足，向量，的夹角，且和都是集合中的元素，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·25高一下·福建漳州·期中）（多选）已知两个非零向量，的夹角为，定义运算：，若，，则下列说法正确的是（    ）． A．， B．在上投影向量的模为 C．若，，则 D． 15．（2023·24高一下·江苏南京·期中）（多选）定义平面向量的一种运算，其中是与的夹角，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 16．（2024·25高一下·河南·期末）已知向量，且，定义向量的新运算：． (1)若向量，且，求； (2)证明：是的充要条件， 17．（2025·26高一下·湖北襄阳·期中）如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 18．（2024·25高一下·山西太原·期中）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，且，若，求． 题型四 三角恒等变化 19．（2025·26高一上·山东枣庄·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 21．（2024·25高一下·江苏·期中）已知，，则______． 22．（2024·25高一下·江苏宿迁·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 23．（2024·25高一下·湖南怀化·期末）已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 题型五 三角函数中的的取值范围 24．（2025·26高三下·辽宁·期中）若函数的图象在区间上恰好存在2个对称中心和1条对称轴，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．（2025·26高一下·江西九江·期中）已知函数在区间上单调递增，且在区间上存在唯一一条对称轴，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 26．（2024·25高一下·四川南充·期中）设函数， (1)若函数在是增函数，求实数的最大值； (2)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围． 27．（2024·25高一下·四川南充·期中）已知函数的最大值为2，若在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．（2024·25高一上·吉林长春·期末）设函数，的图象在区间内恰有一条对称轴，且的最小正周期大于，则的取值范围是__________． 29．（2024·25高一下·北京·期中）设函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若函数在是增函数，直接写出实数的最大值； (3)设，若函数在区间上恰有两个零点，求的取值范围. 题型六 三角函数的零点问题 30．（2024·25高一下·湖北黄冈·期中）若函数的两个零点分别为和，则（ ） A． B． C． D． 31．（2024·25高一下·辽宁·期中）（多选）已知关于的方程在上恰有5个实数根，则的值可能为（    ） A． B． C．14 D．13 32．（2024·25高一下·河南信阳·期中）已知函数的图象关于直线对称，若方程在上恰有1个实数根，则的取值范围是______. 33．（2024·25高一下·上海青浦·期中）已知函数，则下列说法错误的是（    ） A．当时，函数在区间上恰有3040个零点 B．当时.函数在区间上恰有2026个零点 C．当时，函数在区间上恰有2168个零点，则正整数的值是2168 D．当时.函数在区间上给有4054个零点 34．（2023·24高一下·浙江·期中）已知平面向量．设函数． (1)求的最小正周期； (2)若函数的图象可由函数的图象向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到，且关于的方程在上恰有三个不同的实数根，求实数的取值范围和的值． 35．（2024·25高一下·四川泸州·期中）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 题型七 三角函数带绝对值问题 36．（2025·26高一上·福建宁德·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是的一个周期 B．的值域为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上有7个零点 37．（2025·26高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，若，则的最小值为__________． 38．（2024·25高一下·湖北恩施·期中）已知函数，若方程在有4个解，则的取值范围为________． 39．（2024·25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，函数，设. (1)求证：是函数的一个周期； (2)当时，求：在区间上的最大值； (3)若函数在区间内恰好有奇数个零点，请直接写出所有满足条件的实数k的值. 题型八 三角函数的恒成立、能成立问题 40．（2025·26高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的最小正周期并求在上的单调增区间； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 41．（2024·25高二上·云南昆明·期中）已知函数，且函数的最小正周期为. (1)求及的值； (2)任意，对任意，不等式恒成立，求的取值范围. 42．（2024·25高一下·江苏连云港·期末）已知向量，，函数． (1)求的最小值 (2)若对任意的，都有解，求实数a的取值范围 43．（2022·23高一下·江苏苏州·期中）已知函数是定义域上的奇函数． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围． 44．（2025·26高三上·吉林长春·期中）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值以及相应的的值； (3)将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，，当时，恒成立，求的取值范围. 45．（2025·26高一上·山东烟台·期末）已知函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象． （ⅰ）当时，求的取值范围； （ⅱ）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围． 题型九 三角函数中的新定义问题 46．（2024·25高一下·江苏南通·期中）对于集合和常数，定义：为集合相对常数的“余弦方差”．若集合相对常数的“余弦方差”是一个常数T，则T=（    ） A． B． C．2 D．3 47．（2025·26高一上·广东深圳·期末）“凹凸性”是函数的重要性质.若函数的图像在定义域区间上连续不断，且对任意，恒有，则称函数是区间上的上凸函数；若恒有，则称函数是区间上的下凸函数（也称凹函数）将上述定义进行推广，即若是上凸函数，则对任意恒有，若是下凸函数，则对任意恒有，当且仅当时等号成立，这个不等式即为著名的琴生不等式. (1)判断是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (2)判断在上是上凸还是下凸函数？并证明你的结论； (3)已知锐角满足，求的最大值. 48．（2024·25高一上·福建厦门·期末）已知a，b，c，，且，定义的“区间长度”为﹐函数的定义域为， (1)当时，求关于x的不等式解集的“区间长度”， (2)已知，设关于x的不等式解集的“区间长度”为I． （ⅰ）若，求t； （ⅱ）求I的最大值． 49．（2023·24高一下·江苏盐城·期末）若对于实数，，关于的方程在函数的定义域上有实数解，则称为函数的“可消点”.又若存在实数，，对任意实数，都为函数的“可消点”，则称函数为“可消函数”，此时，有序数对称为函数的“可消数对”. (1)若是“可消函数”，求函数的“可消数对”； (2)若为函数的“可消数对”，求的值； (3)若函数的定义域为，存在实数，使得同时为该函数的“可消点”与“可消点”，求的取值范围. 50．（2023·24高一下·四川·期末）在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 51．（2022·23高一下·河南洛阳·期中）定义函数的“伴随向量”为；向量的“伴随函数”为． (1)写出函数的“伴随向量”，并求； (2)记向量的伴随函数为，若当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 1．已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．定义：为集合相对常数的“余弦方差”.若，则集合相对的“余弦方差”的取值不可能为（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．若，则的最大值是______． 6．已知向量，，，. 若（其中表示不超过的最大整数，如：，，则的取值范围为__________. 7．已知函数. (1)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； (2)若，且，求的值. 8．对于函数，若存在非零常数T，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“T函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”. (1)求证：，是“T函数”； (2)若函数是“函数”，求实数k的取值范围； (3)对于定义域为的函数，.函数是奇函数，且是严格递增函数，若，，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $