第11章《解三角形》同步单元必刷卷 培优卷-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 4．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则三角形有两解 B．若，则是锐角三角形 C．若，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.若，则（ ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 13．如图，中，，D，E是线段上的两个点，为等边三角形，，则_______.    14．如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角、、所对的边分别为、、.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，求的值. 16．七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 17．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 18．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，．    (1)求的大小； (2)若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 19．已知在△中，.点在边上.点与点关于对称，直线过点，且点和点在△的边上.记△和△的面积分别为和. (1)若，，且点与点重合. （i）当时，求； （ii）求的最大值； (2)求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，所以， 又因为，所以，所以，解得； 在中，，由余弦定理可得， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以， 所以面积的取值范围为. 3．重庆江津区京师实验学校校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许．我校高一年级的刘同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点处分别测得顶点的仰角为，且，则木铎金声钟的高约为（    ）（参考数据：，，） A．5.20m B．7.35m C．8.20m D．10.39m 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：， 在 点仰角 ：，​ 又，即 ， 是 中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式： ，​ 化简计算： ， 因此木铎金声钟的高约为 . 4．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由余弦定理可得，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，，则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 5．平面上的四边形中，，，，，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，设，先列出的关系确定，然后根据正弦定理列出的关系确定，从而得到结果. 【详解】延长交于点，因为，所以. 因为，所以. 所以 设，所以在中，. 设，因为，所以. 由得，解得. 在中，根据正弦定理，得到. 所以. 由于，所以有，解得. 所以的取值范围为. 故选：A. 6．在中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，应用和差化积及已知可得，再由三角形内角和性质、诱导公式化简得，利用二倍角正切公式、平方关系求. 【详解】设，则①， ②， 得，在中， 所以，即， 又因为，即， 因为，代入得， 因为，所以． 故选：A 7．已知的面积为1，边上的中线为，且，则边的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求边，最后转化为角的函数来求最值即可. 【详解】 取，根据已知条件可知为的重心， 由，设，，则，， 由， 又因为， 所以， 由余弦定理可知， 令，则， 即， 因为，所以，即， 因为，所以的最小值为. 8．今有一块半径为的圆形木板，然后将这块圆形木板截成一块凸四边形形状的木板，且这块凸四边形木板的一个内角满足，则这块凸四边形木板面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出对应图形，借助正、余弦定理与面积公式，结合基本不等式计算即可得解. 【详解】依题意圆形木板的直径为，设截得的四边形木板为， 设，，，，，， 如下图所示，由且，得， 在中，由正弦定理得，，解得， 在中，由余弦定理得， 所以，得， 当且仅当时等号成立． 在中，， 由余弦定理可得 ， 得，当且仅当时等号成立， 所以这块四边形木板面积最大值为. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（    ） A．若，则三角形有两解 B．若，则是锐角三角形 C．若，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，且，则的最小值为8 【答案】ACD 【分析】根据题意求，可得，即可判断A；利用正、余弦定理与诱导公式化简，逐一判断即可判断B；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于选项A：由题意可得：， 因，所以三角形有两解，故A正确； 对于选项B，因为，即， 可得， 即， 且，可得，可得， 因为，可知必有一个是钝角， 所以是钝角三角形，故B错误； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 由正弦定理得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：因为， 且，则， 整理可得， 又因为为锐角三角形，则，可得， 令， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8，故D正确. 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由二倍角公式及三角恒等变换可求得判断A；由已知条件配方可求得判断C；进而利用余弦定理计算可得判断D；利用，求得判断B. 【详解】由，得， 所以，又因为，所以， 所以，所以，即， 所以，所以，故A错误. 又，所以，则，所以. 由，得， 所以，解得.故C正确； 由余弦定理可得， 所以，因为，所以，故BD正确. 11．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】对于选项A，根据正弦定理可求出三角形外接圆半径；对于选项B，在两个小三角形中，分别运用正弦定理，结合中线的定义进行判断即可；对于选项C，运用余弦定理和基本不等式可验证其正确；对于选项D，结合选项C的结论，然后根据向量的模可求出其最小值为. 【详解】对于选项A：根据正弦定理可得，解得， 所以外接圆的半径为，A错误； 对于选项B：在中，，所以. 在中，，所以. 因为， 所以， B正确； 对于选项C： 根据余弦定理得， 可得， 所以，当且仅当时等号成立，此时的最大值为3，C正确； 对于选项D：因为， 所以 因为，所以， 所以， 当时，，所以，此时取最小值. 所以的最小值为，D错误. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 13．如图，中，，D，E是线段上的两个点，为等边三角形，，则_______.    【答案】/ 【分析】令，利用相似可求得，用余弦定理求，用正弦定理求角的正弦，进而即可得解. 【详解】    由，为等边三角形，可得：， 又因为，所以， 又因为，所以， 即，由，可设，则， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 即， 再由正弦定理得：， 因为，所以. 故答案为： 14．如图，已知五边形的每个内角都小于，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】连接，由题意可得，则可利用余弦定理求得，则可得，再设，利用正弦定理可表示出，最后利用辅助角公式及范围即可得解. 【详解】如图，连接，在中，，则， 所以， 则， 所以， 设，则， 于是在中，由正弦定理，得， 所以， 所以， 因为，所以，则， 所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角、、所对的边分别为、、.已知. (1)求角的大小； (2)若，，求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的范围可得出角的值； （2）利用正弦定理结合已知条件可得出的值，再利用余弦定理可得出的值； （3）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简可得出的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 所以，所以， 由余弦定理可得， 因为，故. （2）由正弦定理可得，所以，即，可得， 由余弦定理可得，故. （3）因为，则为锐角，所以， 所以， ， 所以. 16．七宝中学狂欢节在“星蛇起舞，幻梦游园”主题活动中，计划将如图所示的扇形空地分隔成三部分分别作为团队游戏区、运动区及签到区．已知扇形的半径为60米，，动点在扇形的弧上（不包含端点），点在半径上，且． (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到运动的安全性等原因，希望运动区的面积尽可能的大，求该区的面积的最大值． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 17．在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得； （2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解； （3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）因为， 可得， 因为为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得. 18．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，．    (1)求的大小； (2)若，在的边和上分别取点，，将沿线段折叠到平面后，顶点恰好落在边上（设为点）．设，，回答以下问题： （ⅰ）当时，求的长度； （ⅱ）当取最小值时，求的面积． 【答案】(1). (2)（ⅰ）;（ⅱ）. 【分析】（1）根据正弦定理：和三角形内角之间的关系：，化简原方程式，再根据两角差的正弦公式：，结合三角形角的取值范围，确定角的大小. （2）（ⅰ）根据余弦定理，结合题给条件和（1）中结论，列出关于的方程，解方程即可. （ⅱ）根据余弦定理，列出关于m，n的方程，根据基本不等式（，,当且仅当时等号成立）确定m的最小值，进而求出相应的其他参数，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）已知，根据正弦定理(R为三角形ABC外接圆半径)， 则有，，. 代入原式可得：，化简得 . 因为，所以， 所以. 化简得：. 因为，所以，所以. 上式可变形为：， 所以. 又因为，所以，则，即. （2）（ⅰ）因为，由（1）知，，所以是等边三角形. 由折叠可知：,. 在中，根据余弦定理：. 已知，，则 解得. 故时，. （ⅱ）在中，根据余弦定理： 令，则. 根据基本不等式：（，,当且仅当时等号成立）， 对于，有，当且仅当，即时成立. 此时取最小值：， 则，. 的面积：, 因为，,， 则. 故m取最小值时，的面积为：. 19．已知在△中，.点在边上.点与点关于对称，直线过点，且点和点在△的边上.记△和△的面积分别为和. (1)若，，且点与点重合. （i）当时，求； （ii）求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)4 【分析】（1）由已知条件求出三角形的角，再根据同角三角函数的关系和正弦的两角和公式即可求出； （2）设，，再根据正弦定理得到的关系，继而得到面积的表达式，最后根据函数的性质即可求出； （3）通过建立平面直角坐标系，结合面积比例列出的关系式，再利用均值不等式即可求出最小值. 【详解】（1）（i）因为，，所以△是等边三角形，，     而，，则， 所以.   由题意点在边上，，故.     （ii）由于，则，，， 所以，由正弦定理，，， 所以，则，因此，  ， 则，，   令，， 因为，所以在单调递增，在单调递减，则时最大，而，所以.    （2）分情况讨论并建立对应平面直角坐标系： ①当点在边上时，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设，，，，，， 则，， ， 则      易有，，所以，， 当且仅当，，，分别为，，的中点时，， 所以.   ②当点在边上时，可分为在线段上和在线段上两种情况，而两种情况显然等效. 设在线段上，考虑固定点，由于，增大时，点更靠近点，点更靠近点，则增大，直到点与点重合，最大值为， 设此时与交于点，，则， ，，，，   设是点到的距离，是点到的距离，则，，， ，则. 综上所述，的最小值是4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $