第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 培优卷-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 4．已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 10．下列四个选项中，化简正确的是（ ） A． B． C． D． 11．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则___________． 13．若，，并且，，且，则的值为______. 14．已知，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数 (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 16．证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 17．大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 18．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若为偶函数，且，对于任意的，至少存在4个整数b，使恒成立，求m的取值范围； (3)若的最大值为2，对于任意的，存在，使等式成立，求的取值范围. 19．已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章《三角恒等变换》单元达标高分突破必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【详解】. 故选：B. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角和差及辅助角公式化简可得，再结合二倍角公式求值即可． 【详解】 ， 则 ． 故选：C． 3．已知向量，则的最小值为（    ） A． B．2 C．-2 D． 【答案】D 【详解】向量， 则， 当时，取最小值. 4．已知，为锐角，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，已知. ， 即：，， 因此：，解得. 因为为锐角，所以，， 故，因此. 故选：D 5．已知，且，则（   ） A． B． C．或-1 D．1或 【答案】A 【分析】利用二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为，所以， 即，得， 因此，或，又时，, 所以或， 又因为时，所以，所以. 故选：A 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以. 7．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 8．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以 ， 所以， 即， 所以，即， 所以. 故选：A. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】因为，为锐角，所以，，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B：，所以选项B正确； 选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 10．下列四个选项中，化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A项， ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD． 11．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的劣弧上运动，若，则的取值可以是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】ABC 【详解】 如图示，建立平面直角坐标系. 设，可得：. 由可得：， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为， 结合选项可知，A，B，C中的数值符合， 故选：ABC 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 故答案为： 13．若，，并且，，且，则的值为______. 【答案】/ 【详解】由，，且，得 又，所以 因为，则，所以 所以 ， 且，且，所以. 故答案为：. 14．已知，则___________． 【答案】 【详解】由题意得，即， （若 ，则 ，与 矛盾，故 .） 所以两边同除以 ：， 所以，即 ，又因为，代入 和 ： 所以.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数 (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值0，最小值 【详解】（1）因为 ， ，故的最小正周期为． （2）因为，则， 所以当，即时，有最大值0， 当，即时，有最小值． 16．证明： (1) (2) (3)已知，，求证． 【详解】（1） 证明：由 所以. （2） 证明：由 所以. （3）证明：因为，可得，把代入得，即，整理得，所以，所以两边平方可得． 17．大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设． (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)，； (2)． (3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 【详解】（1）在中，由，得，， 又中，由勾股定理得， 因此， 当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，， 所以函数关系式为，定义域为. （2）由（1）知， 因此， 于是. （3）依题意，要使费用最低，只需最小即可， 由（1）得，设，则，，，由，得， ，于是， 令，函数在上为增函数， 则当时，最小，且最小值为，此时， 所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元． 18．已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若为偶函数，且，对于任意的，至少存在4个整数b，使恒成立，求m的取值范围； (3)若的最大值为2，对于任意的，存在，使等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ，故的最小正周期: （2）为偶函数，且，故，，当时，，若恒成立，即恒成立，所以，故， 至少存在4个整数b，故，即当时，，此时b至少有这4个解， 故m的取值范围为 （3）的最大值为2，故，即，令， 因为， 故， ，故，则. 任意的，存在，使等式成立，所以，故，即， 当时，， 故，解得，故的取值范围为 19．已知函数的最小正周期为．将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数． (1)求常数的值； (2)若，使得成立，求实数的取值范围； (3)求证：方程有且只有一个根，且． 【详解】（1），因为的最小正周期为， 所以，解得； （2）将函数横坐标先向左平移个单位，可得， 再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，当时，，则，当，，则，因为，使得成立，当时，符合题意；当时，由题意可得， 则，解得，所以；当时，由题意可得，则，解得，所以；综上所述，． （3）由题意设，其定义域为． ①当时，单调递增，且，，故存在，使得； ②当时，由，所以， 而，所以在恒成立，即此时函数无零点.综上，存在唯一的，使得，且．由题意可知，，因， 要证成立，只需证（*）， 令，则， 则（*）为，即证：，又因，显然成立，故（*）成立，也即得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $