第十一章 解三角形重难点检测卷 -2025-2026学年高一数学下学期重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

第十一章 解三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南焦作·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（   ） A．2 B． C． D．3 5．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 7．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·重庆·期末）如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 10．（24-25高一下·重庆万州·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 11．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则（    ） A．此山的高 B．小车从A到的行驶过程中观测点的最小仰角为 C． D．小车从A到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 13．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 14．（25-26高三上·山西·月考）在中，，，其面积为，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 17．（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 18．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 19．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为，，，米．    (1)求雕像AB的高度； (2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 解三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（25-26高三上·甘肃白银·月考）已知在中，内角的对边分别为，且，则角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理求出，进而得到角的值. 【详解】在中，， 则． 又，则． 故选：C． 2．（24-25高三上·重庆·期末）在锐角中，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理可，结合为锐角三角形可得答案. 【详解】由余弦定理可知：， 在锐角三角形中又有， 即 故答案为：C． 3．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角A，B，C的对边分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先由已知求得，再结合余弦定理和正弦定理求出关系，求解即可. 【详解】由，得， 由，得，则， 所以，且， 由， 得， 所以， 所以， 故选：B． 4．（2026·河南焦作·一模）已知在中，，则的外接圆半径为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案. 【详解】由于在中，， 故，即， 故，结合，得， 故的外接圆半径为. 5．（25-26高三上·四川成都·期末）已知的面积和外接圆半径都为1，且，则边长度为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理、三角形面积公式和已知条件计算即可. 【详解】因为的外接圆半径为1，所以根据正弦定理得. 所以，代入得， 即，这说明必然是直角三角形. 若，则为斜边，，代入得， 即，与三角形定义矛盾，同理，因此只能是， 此时为斜边，，由勾股定理，与前述结论相符. 因为的面积为1，所以， 得， 又，解得. 故选：B. 6．（24-25高二上·广东潮州·开学考试）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论错误的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解． 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：D. 7．（2025·广东广州·模拟预测）记锐角三角形的内角所对的边分别为，已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形内角和得，结合正弦定理计算，利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简式子，结合锐角三角形角的范围解得的取值范围． 【详解】因为，所以． 由正弦定理，有所以． 因为． 又， 所以． 因为是锐角三角形，所以 所以，所以． 所以，即的取值范围是， 故选：D． 8．（24-25高一下·重庆·期末）如图，为了测量某座山的高度，测量人员选取了与（为山顶在山底上的射影）在同一水平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得山顶A的仰角为，则该座山的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】在中，由正弦定理求出，在直角三角形中，根据可得答案. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 即， 在直角三角形中，，所以. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（24-25高一下·黑龙江黑河·期末）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的测量建筑物的模型中，已知人眼距离地面高度，将镜子（平面镜）中心置于平地点处，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．若仅的测量值偏大（其它测量值准确），则计算出的建筑物高度值会减小 D．记先后两次测量中，人看镜中建筑顶端的视线与水平线夹角依次为、则 【答案】ABD 【分析】利用三角形相似即可求解判断AB，由判断C，分别求出即可判断D. 【详解】作出图形如图所示， 由题意可知，， 易知， 设，则， 化简得， 所以A,B正确， 因为，不变，所以若仅的测量值偏大（其它测量值准确）， 则计算出的建筑物高度值会增大，故C错误； 因为，所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD 10．（24-25高一下·重庆万州·期中）锐角的内角，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B．的取值范围是 C． D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由正弦定理结合三角恒等变换得出，再由锐角三角形的定义得出，再由求解即可. 【详解】由正弦定理可知，，，，即，所以，，因为是锐角三角形，所以，解得， 故选：ABD 11．（24-25高一下·广东揭阳·期中）如图，某人在一条水平公路旁的山顶处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则（    ） A．此山的高 B．小车从A到的行驶过程中观测点的最小仰角为 C． D．小车从A到的行驶过程中观测点的最大仰角的正切值为 【答案】BCD 【分析】分别求出、的值判断AC；由等面积法可得到的距离，再求最大仰角的正切，可判断D;由判断B. 【详解】由题意可得，， 设，，， 则,． 因为， 所以由余弦定理可知，， 解得，从而． 因为， 所以由等面积法可得到的距离， 则最大仰角的正切值为． 又，所以最小仰角为． 故选：BCD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】， 由余弦定理可得：， ，， 由，及正弦定理可知，， . 13．（24-25高一下·云南曲靖·开学考试）如图所示为起重机装置示意图，支杆，吊杆，吊索，起吊的货物与岸的距离AD为_________m． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出的值，即可求出的值，进而可得的值，再解直角三角形，即得答案. 【详解】在中，，，， 故， 故， ， 在中，， 故答案为： 14．（25-26高三上·山西·月考）在中，，，其面积为，则______. 【答案】 【分析】根据三角形面积公式可得，利用平方公式求解的值，从而得，结合余弦定理求解即可. 【详解】因为，则， 又，则，即， 因为，所以，所以， 由余弦定理得到， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以            ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 16．（24-25高一下·浙江宁波·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若此三角形有两个解，求b的取值范围； (2)若，求； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形解的个数，代入公式，即可求解； （2）首先由正弦定理，将角转化为边，再结合余弦定理，即可求解； （3）首先正弦定理角化边得，再根据余弦定理变形求，最后代入面积公式，即可求解. 【详解】（1）由，得 （2）由正弦定理可得，， 则，，由， 可得，即. 由余弦定理可得，， 即，即，解得， 联立，解得. （3）因为，由正弦定理的边角互化可得，， 由余弦定理可得，，即， 所以，解得， 则. 17．（25-26高一下·福建宁德·月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足. (1)求； (2)若，的面积为，且，求、； (3)在（2）的条件下，D为的中点，求中线的长. 【答案】(1) (2)，. (3) 【分析】（1）根据正弦定理化简等式，进而求得结果. （2）根据三角形面积公式和余弦定理计算即可. （3）先根据余弦定理求出，然后根据余弦定理计算结果. 【详解】（1）因为角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足， 根据正弦定理得，因为， 所以，所以， 化简得，又，所以. 又，所以. （2）由，，得. 由余弦定理，得. 则，所以.又则，. （3）由于，所以根据余弦定理得. 在中，，所以根据余弦定理得 所以. 18．（24-25高一下·四川巴中·期中）如图，为了测量河对岸，两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，，并测量得到一些数据：，，，，，，.（其中）    (1)求，两点之间的距离； (2)求，两点之间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，应用正弦定理求解即可； （2）在中，应用正弦定理，求出，再在中,由余弦定理求得答案. 【详解】（1）由题意知,在中,. 由正弦定理得. （2）在中, ，由正弦定理得， 在中,由余弦定理得， ∴ 19．（2026·贵州安顺·模拟预测）如图，为测量某雕像AB的高度（B，C，D，F在同一水平面上，雕像垂直该水平面于点B，且B，C，D三点共线），某校研究性学习小组同学在C，D，F三点处测得顶点A的仰角分别为，，，米．    (1)求雕像AB的高度； (2)当观景点C与F之间的距离为多少米时，△CDF的面积最大？并求出最大面积． 【答案】(1) (2)时，的面积最大，最大值为 【分析】（1）根据已知条件，在中，可求出.然后在中，根据已知即可求得答案； （2）根据（1）可求出.由已知可得出.进而根据面积公式表示出的面积.即可得出面积的最大值以及，由勾股定理即可求出. 【详解】（1）由已知可得， 在中，有，，， 所以，， 所以，为等腰三角形，. 在中，有，，， 所以，， 所以，. （2）由（1）可得，， 在中，，所以. 因为的边上的高， 且的边上的高也等于， 所以的面积为. 当，即时，面积最大，最大值为. 此时有. 学科网（北京）股份有限公司 $