第11章《解三角形》同步单元必刷卷 基础卷-2025-2026学年高一下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意， 当时，为直角三角形不符合题意. 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 3．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 4．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理化边为角，然后化简可判断三角形的形状. 【详解】根据正弦定理可得：. 因为，所以. 所以或者. 即或者. 所以该三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以，所以， 又因为，所以，所以，解得； 在中，，由余弦定理可得， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以， 所以面积的取值范围为. 6．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 7．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理可得，结合圆的性质有，设并应用三角形面积公式及余弦定理，根据基本不等式求的最大值，注意取值条件. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知， 设，则， 在中， 故，当且仅当时等号成立， 所以新的种植区域的面积最大为. 8．在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理、余弦定理和基本不等式计算即可得. 【详解】因为， 所以，即， 所以，又，所以， 由的面积为，得，可得， 所以， 当且仅当，即时取等号. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用同角公式及余弦定理求解判定即可. 【详解】对于B，由为锐角，且，得，B正确； 对于AC，由余弦定理得， 得，则，A错误，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：BC 10．在中，内角所对的边分别为且，，，则（   ） A． B．的面积为 C．外接圆的半径为 D．为钝角三角形 【答案】BCD 【详解】选项A：由余弦定理可得：，故 A错误； 选项B：由，可得， 所以三角形的面积为： ，故B正确； 选项C：由正弦定理可得：，故C正确； 选项D：因为，，所以为钝角，是钝角三角形，故 D正确. 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．的面积为6 【答案】AD 【分析】对A，利用余弦定理得到，从而得到；对B，根据，利用正弦定理和正弦的两角和公式即可得到，从而得到；对C，利用正弦两角和公式得到，再利用正弦定理即可得到；对D，根据面积公式直接求解即可. 【详解】对选项A，因为，所以， 即，所以，故A正确. 对选项B，因为，所以 即：， 所以，因为， 所以，，即，故B错误. 对选项C，因为，，所以， 又，可得，. 所以， 因为，所以，故C错误. 对选项D，，故D正确. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，则________. 【答案】1 【详解】因为A=2π3，a=√3c， 所以， 则 ，即， 所以， 设，则， 解得，（不符合边长比例，舍去）， 所以. 13．已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 【答案】/ 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式求出的正弦和余弦值，再利用诱导公式求出，最后利用正弦定理及三角形的面积公式求出三角形的外接圆半径即可. 【详解】在中，，则， ， ，同理求得， ， 设外接圆的半径为R，则， 故由的面积为1，得， 即，解得. 14．中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 【答案】/ 【分析】，利用等腰三角形的性质和正弦定理可得，结合三角变换公式可得，构建新函数，其中，根据该函数单调性可求. 【详解】 不妨设，因为，故，所以， 故，设，则， 在中，由正弦定理有 ， 所以 ， 所以即， 设，其中， 因为，， 故在上为减函数， 而在上为减函数，故在上为减函数， 而， 故有唯一解，故 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角的对边分别为，若，，． (1)求边长. (2)求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）利用余弦定理求出，利用同角关系式的平方关系求出，利用二倍角公式求出. 【详解】（1），，，， ， ，，（负根舍去），故边长为. （2），，，， ，， ， . 16．在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与和角公式，化简方程即可求得； （2）利用余弦定理求出边，再由三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由和正弦定理，， 因， 代入上式化简得：， 因，则有，即， 因，则. （2）由余弦定理，，因，， 代入得， 即，解得（负根舍去）， 故的面积为. 17．如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 【答案】(1)10米； (2)米. 【详解】（1），，， 则是以为顶点，底角为的等腰三角形，米， 在中，，由正弦定理得：， 代入数据得：米. 点到建筑物的距离是10米. （2）在中，由正弦定理得： 代入数据得：米. 米， 旗杆的高度为米. 18．在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理求解即可. （2）根据向量加法的平行四边形法则及向量的数量积，结合基本不等式及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 即． 由余弦定理可得，则，所以． 因为，所以． （2）因为D是边的中点，所以， 所以，即． 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 即当时，的面积取得最大值． 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求； (2)当取得最大值时，求的值； (3)记的面积为S，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理化简即可求解； （2）利用余弦定理化简可得，从而得到，结合基本不等式即可求解； （3）由（2）可得，由三角形面积公式可得，化简可得，令，，由，结合二次函数的图像与性质求解即可. 【详解】（1）由， 可得，故． 因为，所以，则． （2）由余弦定理可知，，． 由，可得， 化简可得， ，当且仅当时，等号成立． 故当取得最大值时，，，即， ． （3）由（2）可得，所以． 又， 所以． 令，，则， ，当且仅当时，等号成立． 故的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章《解三角形》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（   ） A． B． C． D． 4．已知的内角所对的边分别为，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为，已知，且的面积为，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角的对边分别为，已知，锐角满足，则（   ） A．的周长为12 B． C． D． 10．在中，内角所对的边分别为且，，，则（   ） A． B．的面积为 C．外接圆的半径为 D．为钝角三角形 11．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C．或 D．的面积为6 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，，则________. 13．已知的面积为1，，则外接圆的半径为__________． 14．中，，延长到点，使，连接．若，则的大小为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角的对边分别为，若，，． (1)求边长. (2)求 16．在中，角所对的边分别为，已知，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 17．如图，某建筑物顶部有一旗杆，且点、、在同一条直线上，小明在地面处观测旗杆顶端的仰角为，然后他正对建筑物的方向前进了20米到达地面的处，又测得旗杆顶端的仰角为，已知建筑物高度为12米. (1)求点到建筑物的距离； (2)求旗杆的高度. 18．在中，角，，的对边分别是，，，． (1)求； (2)若是边的中点，且，求面积的最大值． 19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)若，求； (2)当取得最大值时，求的值； (3)记的面积为S，求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $