第9章《平面向量》同步单元必刷卷【培优卷】-2025-2026学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版必修第二册）

第9章《平面向量》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】根据向量的定义依次判断即可. 【详解】在①中，的大小不能确定，故①错误， 在②中，两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向，故②错误， 在③中，为任一非零向量，则，故③正确， 在④中，由题意可知，故④正确. 故选：B. 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 3．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 【答案】C 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则；综上所述：或. 4．在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由得到是中点，且可以得到为的三等分点，再由，，求解即可. 【详解】设，，因为得是中点，所以，由得分为，可得， 设，则， 设，则， 所以，，解得. 故选：B. 5．在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量的加减法结合数乘运算计算求解. 【详解】由得，所以． 又，而， 则． 故选：D. 6．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线定理得到，利用平面向量的线性运算结合数量积的运算计算即可. 【详解】 根据题意，因为，，所以为的平分线， 根据角平分线定理，可得，则 所以， 两边平方可得 ， 所以. 故选：C. 7．已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 【答案】D 【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足， ∵的表达式中和的系数之和为， ，，三点共线，又∵是的中点， ∴为的边的中线， 点的轨迹一定过的重心． 故选：D． 8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，， 所以， 又因为， 所以,， 设,则， 所以， ， 所以 ， 令， 当单调递增，单调递减， 当，取最大值为. 故选：D 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则下列结论正确的是（   ） A．一定存在一个实数m，使得 B．一定有最小值 C．一定可以作为一个基底 D．若m＝1，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据向量的模长计算，可得数量积为零，由坐标表示建立方程，可得正误；对于B，根据模长公式，结合二次函数的单调性，可得正误；对于C，根据基底的定义，假设共线向量的坐标表示，建立方程，可得正误；对于D，根据投影向量的计算公式，可得正误. 【详解】对于A，由，则，可得， 由，，则，解得，故A正确； 对于B，， 易知当时，取得最小值，故B正确； 对于C，令，则，可得，解得， 所以当时，不能构成一组基底，故C错误； 对于D，由，则，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10．下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C．若，与共线，且，则 D．若非零向量，，满足，，则 【答案】AD 【详解】对于A选项，对变形： 即，整理得， 与共线且有公共点， 因此三点共线，A正确， 对于B选项，当非零向量，反向共线时，夹角为， 此时，但不是钝角，B错误， 对于C选项，，， 与共线且的向量有两个： 和，并非只有，C错误， 对于D选项，设， 由得，两边平方： 展开得， 代入，得： 即，D正确. 11．在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 【答案】AC 【详解】对于A，，则为的中点，故， 设，因为， 则， ， 由共线，得，解得，所以，故A正确； 对于B，， 所以 所以，故B不正确； 对于C，为的中点，故，， 又，所以， 所以，，故C正确； 对于D，设的三边分别为，依题意得， 由外接圆的半径为2，根据正弦定理得，所以， 由，得或， 当时，，故D不正确. 故选：AC. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 【答案】 【详解】设与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为， 所以，所以. 13．已知是的外心，且，则______． 【答案】/ 【详解】，即，设， 两边同平方得，解得， 同理可得，， ， ，则， ，， . 故答案为：. 14．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 【答案】 / / 【详解】在中，由，得， 设，则，， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 设，，， ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)若，求； (2)若，求向量的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量垂直时数量积为零，结合坐标表示求得参数，进一步计算即可； .（2）利用平面向量平行的坐标表示及夹角公式进行计算. 【详解】（1）因为， 因为，且，则， 解得， 所以，则， 所以. （2）因为，， 又，则， 解得，所以， 设向量的夹角为，则， 又，则，即向量的夹角为 16．（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【答案】（1）处受力的大小为，处受力的大小为；（2）位移，功 【分析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则，以点为、的始点，作平行四边形，使为对角线，再由锐角三角函数计算可得； （2）建立平面直角坐标系，利用坐标表示出、、，再求出其合力，则位移，所做的功为. 【详解】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 17．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得. （2）根据（1）的结论，转化用，表示，根据、、三点共线找出等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“” .试求解下列问题: (1)若向量求的值; (2)试探求的值与平面向量的坐标的关系; (3)设点，求的面积. 【答案】(1)2； (2)； (3) 【分析】（1）由求得，再利用定义运算“”计算即得； （2）设出，根据向量的数量积求得，再利用定义运算“”计算即得； （3）由三点坐标求得的坐标，利用（2）的结论计算，代入三角形面积公式计算即得. 【详解】（1）由已知,得， 由，可得， 又， （2）设，则， ， ， 又， . （3）， ， 由（2）知. . 19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）依题意， ， ； （2）因交于，由（1）知， 由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则， 所以，所以，即； （3）由已知， 因是线段上动点，则令， ， 又不共线，则有，得， 因为， 所以在上递增， 所以，故的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章《平面向量》同步单元必刷卷 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．若为任一非零向量，是模为1的向量，下列各式：①；②；③；④，其中正确的是（   ）. A．①④ B．③④ C．①②③ D．②③ 2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．若平面向量两两夹角相等，且，则（    ） A． B．36 C．或6 D．3或36 4．在中，若，设，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，点是直线上一点，且满足，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知中，，，点在边上，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（   ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，则下列结论正确的是（   ） A．一定存在一个实数m，使得 B．一定有最小值 C．一定可以作为一个基底 D．若m＝1，则在上的投影向量的坐标为 10．下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C．若，与共线，且，则 D．若非零向量，，满足，，则 11．在中，点D，M分别满足，，AM与CD相交于点F，则下列说法中正确的是（   ） A． B．若，，，则 C． D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，向量在向量上的投影向量为，则与夹角的余弦值为______. 13．已知是的外心，且，则______． 14．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则______，若点是线段AB上的动点，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知. (1)若，求； (2)若，求向量的夹角. 16．（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 17．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 18．设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“” .试求解下列问题: (1)若向量求的值; (2)试探求的值与平面向量的坐标的关系; (3)设点，求的面积. 19．如图，在直角梯形中，为上靠近的三等分点，交于为线段上的一个动点．    (1)用和表示； (2)求； (3)设，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $