专题06 期中真题百练通关80题8大常考题型（期中复习专项训练）七年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题06 期中真题百练通关（80题8大常考题型） 题型1 一元一次不等式（组）基础计算 题型5 平行线中的证明与角度计算（高频） 题型2 一元一次不等式（组）含参问题 题型6 三角形三边关系（选择 / 填空） 题型3 一元一次不等式（组）实际应用（解答题） 题型7 内角与外角（解答） 题型4 相交线与平行线基础概念 题型8 几何模型（压轴） 题型1 一元一次不等式（组）基础计算（共10小题） 1．(24-25七下·上海杨浦区·期中)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025年七下上海市闵行区莘松中学期中）已知是实数，，那么下列不等式中，不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 5．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)解不等式组，并在数轴上表示解集 6．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 7．(24-25七下·上海西初级中学·期中)解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来． 8．(24-25七下·上海奉贤区·期中)以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 9．(24-25七下·上海杨浦区·期中)求不等式组的解集并写出最小负整数解． 10．(24-25七下·上海闵行区·期中)求不等式组的整数解． 题型2 一元一次不等式（组）含参问题（共5小题） 11．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 12．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 13．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)3．已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 14．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 15．关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 题型3 一元一次不等式（组）实际应用（解答题）（共7小题） 16．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)6．某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 17．(24-25七下·上海奉贤区·期中)7．学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 18．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)8．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 19．(24-25七下·上海民一中学·期中)9．学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 20．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 21．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 22．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 题型4 相交线与平行线基础概念（共7小题） 23．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)3．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法错误的是（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 24．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 25．(24-25七下·上海松江区·期中)5．如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 26．(24-25七下·上海杨浦区·期中)6．下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 27．(24-25七下·上海浦东新区·期中)7．下列命题中，真命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．相等的角是对顶角 28．(24-25七下·上海·期中)如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 29．(24-25七下·上海西初级中学·期中)9．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5 平行线中的证明与角度计算（高频）（共15小题） 30．(24-25七下·上海普陀区·期中)我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 31．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 32．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 33．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 34．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 35．(24-25七下·上海松江区·期中)如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 36．(24-25七下·上海奉贤区·期中)阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 37．(24-25七下·上海西延安中学·期中)将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 38．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点在射线上，，， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） ________（   ） ________（   ） （已知） ________（等量代换） ________（   ） 又（已知） （   ） 39．(24-25七下·上海·期中)如图，已知：、是线段上的点，是线段上的点，，是线段上的点，且．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：∵， ___________（___________）． ∵， ___________． ______________________（___________）． （___________）． 40．(24-25七下·上海西初级中学·期中)已知：如图，点在上，交于，交于，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ， 又， ， ______________________， ， ___________， ______________________． 41．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，已知，且，那么吗？为什么？ 解：（已知） （   ） 又 即 （   ） 42．如图，已知：，，，垂足分别为、，平分．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：，， ， ． _______________（_______） （_______）． 平分， 又， _______． 43．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 44．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 题型6 三角形三边关系（选择 / 填空）（共7小题） 45．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 46．(24-25七下·上海松江区·期中)6．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 47．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)7．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 48．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)一个等腰三角形的两条边分别是7和15，这个三角形的周长是________． 49．(24-25七下·上海西延安中学·期中)已知的三边长分别是、、，化简：______． 50．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于______． 51．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为_________． 题型7 内角与外角（解答）（共9小题） 52．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，已知，，，，求的度数． 53．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)3．如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 54．(23-24七下·上海普陀区·期中)4．如图，已知平分，说明． 解：因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以______（等式性质）， （完成以下说理过程） 55．(23-24七下·上海虹口区·期中)5．如图， 已知， 求 的度数． 解： 将的邻补角记作， 则 (邻补角的意义)． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． 因为是的三个内角(已知) ， 所以 ( ) ． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． (下面补充完整解题过程) 56．(24-25七下·上海杨浦区·期中)6．如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 57．(24-25七下·上海西初级中学·期中)7．如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 58．如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 59．(22-23七下·上海普陀区·期中)9．如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数．    解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 60．(23-24七下·上海虹口区·期中)已知， 直线， 点A、B在直线m上(点B在点A右侧) ， 点C在直线n上，且． 直线n上有一点 D， 连接，的平分线与的平分线相交于点 P． (1)如图， 当点D在点C的右侧， 且时，求的度数； 解：过点 P作， 因为 (已知) ，(所作)， 所以( )， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以 (等式性质)， (下面补充完整解题过程) (2)如果 ，请直接写出的度数． 题型8 几何模型（压轴）（共8小题） 61．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 62．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 63．(24-25七下·上海奉贤区·期中)3．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 64．如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 65．(24-25七上·上海实验学校·期中)对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为______ (2)在平面内，点E是平面内一点，连接． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 66．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 67．(23-24七下·上海杨浦区部分学校·期中)7．（1）【问题情境】如图1，已知三角形，试说明的理由． 解：过A点作 （过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成说理过程） （2）【尝试运用】如图2，若且经过A点，，求的度数（用含n的代数式表示）． （3）【拓展探索】如图3，在三角形中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G．若，求的度数． 68．(23-24七下·上海闵行区·期中)8．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 一、单选题 69．下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 70．下列说法正确的有（   ） ①三角形的角平分线是一条射线； ②三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ③三角形的一个外角一定大于它的内角； ④如果给定了三角形的三个内角，那么这个三角形的大小就确定了． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 71．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 72．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 三、解答题 73．中，，，，求，，的度数． 74.按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 75．如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 76．一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 77．某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 78．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 79．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 80．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期中真题百练通关（80题8大常考题型） 题型1 一元一次不等式（组）基础计算 题型5 平行线中的证明与角度计算（高频） 题型2 一元一次不等式（组）含参问题 题型6 三角形三边关系（选择 / 填空） 题型3 一元一次不等式（组）实际应用（解答题） 题型7 内角与外角（解答） 题型4 相交线与平行线基础概念 题型8 几何模型（压轴） 题型1 一元一次不等式（组）基础计算（共10小题） 1．(24-25七下·上海杨浦区·期中)下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 2．（2025年七下上海市闵行区莘松中学期中）已知是实数，，那么下列不等式中，不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ∵， ∴，故该选项成立，不符合题意； B. ∵， ∴ ，故该选项成立，不符合题意； C. ∵， ∴，故该选项成立，不符合题意； D. ∵， ∴只有当时，，故该选项不一定成立，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式的解集并在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解：∵ ∴   ∴   ∴ 解集在数轴上表示： 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）解不等式，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】，见解析 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如图所示． 5．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)解不等式组，并在数轴上表示解集 【答案】，见解析 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：， 该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 6．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集表示见解析 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 7．(24-25七下·上海西初级中学·期中)解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：． 在数轴上表示如图： 8．(24-25七下·上海奉贤区·期中)以下是乐乐解不等式组的部分过程： 解不等式①得．     第一步 ．           第二步 解不等式②得，．     第三步 ．          第四步 ．          第五步 ．                       第六步 ……     (1)填空：乐乐的这部分解题步骤中存在一或若干步错误，他所有错误步骤是___________； (2)请你写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示出来． 【详解】（1）解：乐乐的解答过程所有错误步骤是第二步，第三步； （2）解不等式①得， ， 解不等式②得，， ，     ，        ， 则不等式组的解集为， 数轴上表示为： 9．(24-25七下·上海杨浦区·期中)求不等式组的解集并写出最小负整数解． 【答案】；最小负整数解为 【详解】解：， 由①得：， ∴ 由②得：， ∴， ∴， 最小负整数解为； 10．(24-25七下·上海闵行区·期中)求不等式组的整数解． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 题型2 一元一次不等式（组）含参问题（共5小题） 11．(24-25七下·上海宝山区教育学院附属中学·期中)若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)若不等式的解集为，则符合条件的正整数m的值为______． 【答案】1 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴， 解得， ∴符合条件的正整数m的值为1． 故答案为：1． 13．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)3．已知不等式组有3个整数解，求m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：不等式组有个整数解， 不等式组的解集为：， 这三个整数解为，，， 的取值范围是， 故答案为：． 14．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵关于x的不等式组无解， ∴ 解得： 故答案为： 15．关于的不等式组有两个整数解，那么的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：解不等式组得：， ∵关于的不等式组有两个整数解， ∴这两个整数解为，， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型3 一元一次不等式（组）实际应用（解答题）（共7小题） 16．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)6．某校组织义卖活动，学生们热情高涨．七（12）班用300元购进商品若干件，用400元购进商品若干件，已知商品进价比商品进价每件少2元，且购进、商品数量恰好相等． (1)求每件商品进价及购进商品的数量． (2)已知商品售价为每件10元，商品售价为每件15元，在销售过程中，商品按此售价全部售出，商品在售出件后将余下部分每件降价元（且降价后售价不能低于成本价）直至全部售出． ①当时，若商品与商品都全部售出后，商品所获利润不低于商品所获得的利润，求的范围． ②已知是不大于6的正整数，是不小于25的正整数，若商品与商品都全部售出后，两种商品所获利润之和为430元，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件 (2)；②26或30 【详解】（1）解：设每件商品进价为元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （件）， 答：商品的进价为每件6元，购进商品的数量为50件； （2）解：①由题意得 ， 解得：， ； ②由题意得 ， 整理得：， 是不小于25的正整数， ， ， 解得：， 是不大于6的正整数， ， 或， 当时， ， 当时， ， 故答案为：26或30． 17．(24-25七下·上海奉贤区·期中)7．学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 18．(24-25七下·上海新中初级中学·期中)8．静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 19．(24-25七下·上海民一中学·期中)9．学校为开展课外活动，计划购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，已知购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需270元；购买5副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需480元． (1)求乒乓球拍和羽毛球拍的单价； (2)学校准备购买乒乓球拍和羽毛球拍共50副，且乒乓球拍的数量不少于羽毛球拍数量的，购买费用不超过2535，有几种购买方案？并写出方案． 【答案】(1)乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元 (2)有三种购买方案：学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副；学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副 【详解】（1）解：设乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元，则 ， 解得， 答：乒乓球拍的单价为元，羽毛球拍的单价为元； （2）解：设学校准备购买乒乓球拍副，则购买羽毛球拍副，则 ， 解得， 为正整数， 可取， 即有三种购买方案： 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副； 学校准备购买乒乓球拍副、羽毛球拍副． 20．(24-25七下·上海曹杨第二中学附属学校·期中)某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 21．(24-25七下·上海进才中学北校和实验学校东校联考·期中)2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 22．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时，共需715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高6000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利10.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元 (2)该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11或12， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为3辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 3种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆或购进A型汽车 12 辆，B 型汽车3辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 11.5万元． 题型4 相交线与平行线基础概念（共7小题） 23．(24-25七下·上海嘉定区练川实验中学五四制·期中)3．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法错误的是（   ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】C 【详解】解：A、∵， ， ∴直线与直线的夹角为，正确，故本选项不符合题意； B、， ∴直线与直线的夹角为，正确，故本选项不符合题意； C、， ， ∴线段的长是点到直线的距离，原说法错误，故本选项符合题意； D、， ∴线段的长是点到直线的距离，正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 24．(24-25七下·上海崇明区正大中学，东门中学，实验中学·期中)下列命题①互为补角的两个角都是锐角；②相等的角是对顶角；③两条直线被第三条直线所截，内错角相等；④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行；⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．是真命题的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①互为补角的两个角不可能都是锐角，原命题是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，原命题是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题； ⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题． 故选：B． 25．(24-25七下·上海松江区·期中)5．如图，已知，那么与相等的角（不包括本身）共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与是对顶角，与是对顶角， ∴， ∴与相等的角共有个， 故选：． 26．(24-25七下·上海杨浦区·期中)6．下列命题中，假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过两点有且只有一条直线 【答案】B 【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意； B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，符合题意； C、平行于同一直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意； D、过两点有且只有一条直线，正确，是真命题，不符合题意． 故选：B． 27．(24-25七下·上海浦东新区·期中)7．下列命题中，真命题的是（   ） A．两点之间线段最短 B．两个锐角的和是钝角 C．若，则 D．相等的角是对顶角 【答案】A 【详解】解：A、两点之间线段最短，是真命题，符合题意； B、两个锐角的和可能是锐角，可能是直角，也可能是钝角，原命题是假命题，不符合题意； C、若，则或，原命题是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； 故选A． 28．(24-25七下·上海·期中)如图，数学课上老师用双手形象地表示了“两条直线被第三条直线所截”图形（两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上），那么这个图形表示的是（　　） A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角 【答案】C 【详解】解：两大拇指代表被截直线，两食指代表截线，被截直线和截线都在同一平面上，那么这个图形表示的是内错角， 故选：C． 29．(24-25七下·上海西初级中学·期中)9．下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ④在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，原命题是真命题． ∴真命题有1个， 故选：A． 题型5 平行线中的证明与角度计算（高频）（共15小题） 30．(24-25七下·上海普陀区·期中)我们知道，插入水中的筷子，从水面上看，水下部分看上去向上弯折了，这是因为光从水中进入空气时发生了折射现象．如图1，线段表示筷子，筷子的底部点A发出的入射光线、进入空气时发生折射，变为折射光线、，两条折射光线的反向延长线的交点D即为我们眼睛看到的筷子底部，所以看上去筷子向上弯折即折线了．如图2，已知，，折射角，折射光线时，求的大小． 解：∵， ∴______°， ∴． ∵， ∴______°．（完成以下解题过程） 【答案】见解析 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 31．(24-25七下·上海普陀区·期中)如图，已知：平分，平分，，求证：． 证明：∵， ∴____________，（______）． ∴______，（______）， ∵平分，平分， ∴，∠______． ∴． ∴． 【答案】；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等； 【详解】证明：∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）． ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；． 32．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)补全下列推理过程： 如图，，，，试说明 解：，，（已知）， ，（________）， （________） （________） （已知）， ________________（等量代换）． （________________）． 【答案】见解析 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 33．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图（1）所示，图（2）是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图（2），，平分，平分． 求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 平分，平分， ，， ， （内错角相等，两直线平行）． 34．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)四边形中，点，点分别是，上一点，直线分别交，的延长线于，．，； (1)求证：； (2)若，那么会和平行吗？为什么？ 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：． 理由如下：， ． ， ， ． 35．(24-25七下·上海松江区·期中)如图（a），如果，那么有怎样的位置关系？为什么？ 解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（ ） ∵（ ） 即 ∴ （ ） ∴（ ） ∴（ ）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【详解】解：过点E作，如图（b）， ∵（已作） ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） 即 ∴（等量代换） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；180；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 36．(24-25七下·上海奉贤区·期中)阅读： 如图，已知，，．求证：． 证明：因为， 所以（依据1）， 所以（依据2）， ．．．．．． 完成任务： (1)上述的证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1 依据2 (2)请继续完成本题的证明过程． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 (2)见解析 【详解】（1）解：依据1：同位角相等，两直线平行； 依据2：两直线平行，内错角相等； （2）证明：因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 因为， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 因为，即， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以（垂直的定义）． 37．(24-25七下·上海西延安中学·期中)将下面证明过程补充完整． 如图，已知，、分别平分、且． 求证：． 证明：、分别平分、 ， ______=______ ____________ ______∥______（______） ______，______（______） 【答案】1；；2；3；；；内错角相等，两直线平行；；；两直线平行，同旁内角互补 【详解】证明：、分别平分、 ， ， ， ， （内错角相等，两直线平行） ，（两直线平行，同旁内角互补） ． 38．(24-25七下·上海浦东新区·期中)如图，点在射线上，，， 求证： 请你补全下面的证明过程： 证明： （已知） ________（   ） ________（   ） （已知） ________（等量代换） ________（   ） 又（已知） （   ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行 【详解】证明：（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） 又（已知） （平行于同一直线的两直线平行） 39．(24-25七下·上海·期中)如图，已知：、是线段上的点，是线段上的点，，是线段上的点，且．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：∵， ___________（___________）． ∵， ___________． ______________________（___________）． （___________）． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， （两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 40．(24-25七下·上海西初级中学·期中)已知：如图，点在上，交于，交于，，．求证：．把以下解答过程补充完整． 证明：， ， 又， ， ______________________， ， ___________， ______________________． 【答案】；；；； 【详解】证明：， ， 又， ， ， ， ， ． 41．(24-25七下·上海闵行区·期中)如图，已知，且，那么吗？为什么？ 解：（已知） （   ） 又 即 （   ） 【答案】两直线平行，同位角相；；1；；2；；；同位角相等，两直线平行 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又 ， 即， （同位角相等，两直线平行） 42．如图，已知：，，，垂足分别为、，平分．求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：，， ， ． _______________（_______） （_______）． 平分， 又， _______． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 【详解】证明：，， ， ． （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等）． 平分， 又， ． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 43．(24-25七下·上海奉贤区·期中)在学习了《相交线与平行线》后，数学小组进行探究平行线的“等角转化”功能的活动． (1)如图1，已知，． ①求证：； ②探究与之间有怎样的数量关系？并说明理由： (2)实际应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮与支撑平台平行，如果，那么的度数为 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴，， ∵，， ∴． 44．(24-25七下·上海普陀区·期中)图1是一盏可折叠台灯，图2，图3是其平面示意图，固定底座于点O，支架与分别可绕点A和B旋转，台灯灯罩且可绕点C旋转调节光线角度，台灯最外侧光线，组成的始终保持不变． (1)如图2，调节台灯使光线，，此时，求的度数； (2)如图3，现保持不变，继续调节支架与灯罩，发现当最外侧光线与水平方向的夹角，且的角平分线与垂直时，光线最适合阅读（如图3），求此时的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，过点B作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点A作，过点作交于点， ， ， ，平分， ， ， ， ， 角平分线与垂直， ， ， ． 题型6 三角形三边关系（选择 / 填空）（共7小题） 45．(24-25七下·上海普陀区·期中)已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 46．(24-25七下·上海松江区·期中)6．下列长度的三根铁条能首尾顺次连接做成三角形框架的是（   ） A．23、10、8 B．15、23、8 C．18，10、23 D．18、10、8 【答案】C 【详解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合题意； B、，不能做成三角形框架，不符合题意； C、，能做成三角形框架，符合题意； D、，不能做成三角形框架，不符合题意； 故选：C． 47．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)7．已知三边长分别为、、，可判断表达式的符号为（   ） A．正 B．负 C．零 D．不能判断 【答案】B 【详解】解： ， 因为为三角形三边长，所以，， 所以原式小于零． 故选：B． 48．(24-25七下·上海崇明区九校·期中)一个等腰三角形的两条边分别是7和15，这个三角形的周长是________． 【答案】 【详解】解：， 所以，该等腰三角形的腰为， ， 即这个三角形的周长是． 故答案为：． 49．(24-25七下·上海西延安中学·期中)已知的三边长分别是、、，化简：______． 【答案】 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 50．(24-25七下·上海青浦区实验中学·期中)已知等腰三角形周长等于19，其中一边长7，那么该等腰三角形的底边等于______． 【答案】或 【详解】解：当腰为7时，另一腰也为7，则底为， ∵，符合题意， 当底为7时，腰为，符合题意， ∴该三角形的底边长为或． 故答案为：或． 51．(24-25七下·上海南汇第四中学·期中)在中，已知，是边上的中点．连结，将的周长分为和两部分，边的长度为_________． 【答案】或 【详解】解：如图， 设， ∵是中线， ∴， ∵将的周长分为和两部分， 若，则， 即， 解得：， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 若 即， 解得：，， 此时，， ，能构成三角形，符合题意； 综上所述，或． 故答案为：或． 题型7 内角与外角（解答）（共9小题） 52．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 53．(24-25七下·上海建平实验中学·期中)3．如图，在中，于点，是的角平分线，交于点，，，求的度数． 解：，（    ） ，（    ）， ______， 是的角平分线， ____________， （    ）， ______． 【答案】垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理； 【详解】解：，（垂线的定义） ，（三角形外角的性质）， ， 是的角平分线， ， （三角形内角和定理）， ． 故答案为：垂线的定义； 三角形外角的性质；；；；三角形内角和定理；． 54．(23-24七下·上海普陀区·期中)4．如图，已知平分，说明． 解：因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以______（等式性质）， （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【详解】因为平分（已知）， 所以（角的平分线的意义）， 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 又因为（已知）， 所以（等式性质）， 所以， 所以． 故答案为：；不相邻； 55．(23-24七下·上海虹口区·期中)5．如图， 已知， 求 的度数． 解： 将的邻补角记作， 则 (邻补角的意义)． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． 因为是的三个内角(已知) ， 所以 ( ) ． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． (下面补充完整解题过程) 【答案】80；三角形的内角和等于；60；补充完整解题过程见解析 【详解】解： 将的邻补角记作， 则 (邻补角的意义)． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． 因为是的三个内角(已知) ， 所以 (三角形的内角和等于) ． 因为 (已知) ， 所以 (等式性质) ． 因为， 所以， 因为， 所以． 56．(24-25七下·上海杨浦区·期中)6．如图，在中，，点D在上，点E在上，且， (1)如果平分，求的大小； (2)如果与互余，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）平分（已知） （角平分线的定义） （已知） （等量代换） （三角形的内角和等于） 又（已知） （等最代换） （等式性质） （三角形的内角和笭于） 又（已知） （等是代换） （等式性质） （三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） （等式性质） （2）（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（已知） ∴， ∵（三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），， ∴（等量代换）， （等量代换） （等式性质） （已知） （等量代换） （等式性质） ∴ （已知） （等量代换） 57．(24-25七下·上海西初级中学·期中)7．如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 58．如图，已知在中，点在上，连接，点、分别在、上，连接． (1)求证：．把以下证明过程补充完整：证明： （已知）， 又（___________）， （___________）． （___________）． （___________） (2)如果，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：（已知）， 又（平角的定义）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等） （2）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 59．(22-23七下·上海普陀区·期中)9．如图，已知，的顶点分别落在直线上，交于点，平分，如果°，，求的度数．    解：因为（ ）， 又因为，（已知）， 所以 ． 因为平分（已知）， 所以 （角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为 （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以 ． 【答案】见解析 【详解】解：因为°（ 三角形内角和等于 ）， 又因为°，°（已知）， 所以 55 ． 因为平分（已知）， 所以（角平分线的意义）． 因为（已知）， 所以 （两直线平行，同位角相等）． 所以（等量代换）． 所以． 因为（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 又因为（已知）， 所以． 60．(23-24七下·上海虹口区·期中)已知， 直线， 点A、B在直线m上(点B在点A右侧) ， 点C在直线n上，且． 直线n上有一点 D， 连接，的平分线与的平分线相交于点 P． (1)如图， 当点D在点C的右侧， 且时，求的度数； 解：过点 P作， 因为 (已知) ，(所作)， 所以( )， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以 (等式性质)， (下面补充完整解题过程) (2)如果 ，请直接写出的度数． 【答案】(1)平行于同一直线的两直线互相平行，，，过程见解析； (2)的度数为或 【详解】（1）解：过点作 因为(已知)， (所作)， 所以(平行于同一直线的两直线互相平行)， 因为平分(已知)， 所以(角的平分线的意义)， 因为(已知)， 所以(等式性质)， 因为 所以 所以 因为，平分 所以 因为， 所以 所以， 故答案为：平行于同一直线的两直线互相平行，． （2）解：如图， 由（1）知， ∵直线 如图， ∵ 在中， 的平分线与的平分线相交于点， 在中，， ， 得， 综上，的度数为或 题型8 几何模型（压轴）（共8小题） 61．(24-25七下·上海松江区·期中)实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m，反射光线n与平面镜a所夹的锐角． (1)如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且，则________，________； (2)图2中，请你探究：当任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，求两平面镜a、b的夹角的度数； (3)如图3，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m垂直，那么此时的度数是________． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：由题知，， ∴， 又， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题知，， ， 又， ， 即， ∴， 故的度数为； （3）解：如图， 由题知，，， 又， ， ． 故答案为：． 62．(24-25七下·上海金山区（五四制）·期中)【问题背景】 同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图（1），，为、之间一点，连接、，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 【实际运用】 （2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台、延展臂（在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，这时展角______°． 【深入探索】 （3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线从开始，绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间秒（）的值． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）3秒或9秒 【详解】解：（1），理由如下： 如图，过E点作， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图：延长相交于点P，过P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合， 根据题意得，， ∴， 由题意可得：， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：； 根据题意得，， 由题意可得：， ∴， ∴，解得：（不符合题意）； 综上所述，运动时间秒为3或9． 63．(24-25七下·上海奉贤区·期中)3．综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 64．如图（1），把一把含角的三角尺的边放置于直尺的边上． (1)填空：如图（1），______°，______° (2)如图（2），现把三角尺绕点逆时针方向旋转，当且点恰好落在边上，若恰好是的倍，求的值． (3)按图（1）所示的方式放置三角尺和直尺，现将射线绕点以每秒的速度逆时针方向旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转得到射线．当射线旋转至第一次与重合时，射线，均停止转动，设旋转时间为秒．在旋转过程中，是否存在？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)120，90 (2)36 (3)存在，或 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：120，90； （2）解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵恰好是的倍， ∴， 解得， ∴n的值是； （3）解：存在，理由如下： 如图：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴， 解得； 如图： ∵， ∴， ∴， 解得， 综上所述，t的值为20或80． 65．(24-25七上·上海实验学校·期中)对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．如若，，则为的6系补周角． (1)若，则的4系补周角的度数为______ (2)在平面内，点E是平面内一点，连接． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点F在点E的右侧，且满足，（其中n为常数且），点P是角平分线上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得是的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2)①② 【详解】（1）解：设的4系补周角的度数为，根据新定义得： ， 解得， 的4系补周角的度数为， 故答案为：70； （2）解：①过作，如图1， ， ， ， ∵， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②如图2，当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角， 过点作，过点作，如图2， ， ，， ，，，， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ， ∵ ，（其中n为常数且）， ， ， ， ， 是的系补周角， 此时，． 66．(22-23七下·上海青浦区教师进修学院附属中学·期中)我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ (1)如图，和分别是的两个外角，请说明与之间的数量关系． (2)如图，在中裁去得到四边形，若，则利用（1）的结论可得_____°． (3)如图，两个外角平分线相交于点，直接利用（1）的结论说明和的数量关系． (4)如图，在四边形中，、分别平分外角和，利用（1）（3）得到的结论，直接写出与、之间的数量关系：____________________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）解：利用（1）的结论可得， ， 故答案为：； （3）解：利用（1）的结论可得， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， 又， ， ； （4）解：利用（1）的结论可得， 利用（3）的结论可得，即， ， ， 故答案为：． 67．(23-24七下·上海杨浦区部分学校·期中)7．（1）【问题情境】如图1，已知三角形，试说明的理由． 解：过A点作 （过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行） （请按照上述思路继续完成说理过程） （2）【尝试运用】如图2，若且经过A点，，求的度数（用含n的代数式表示）． （3）【拓展探索】如图3，在三角形中，点D是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G．若，求的度数． 【答案】（1）过程见详解；（2）；（3） 【详解】（1）证明：过A点作（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行），，， ， ； （2）解：如图2，过F作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 平分，平分， ， ， 68．(23-24七下·上海闵行区·期中)8．已知直线，点、在直线上，点、在直线上，连接、，平分，平分，且、所在直线交于点． (1)如图1： ①如果，，那么的度数为______； ②如果设，，那么的度数为______． （用含有、的式子表示） (2)如图2： ①试说明； ②设线段与线段的交点为点，线段与线段的交点为点，如果，那么的度数为______． 【答案】(1)①；② (2)①见详解；② 【详解】（1）解：①如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①；②； （2）①证明：如下图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 一、单选题 69．下列变形正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【详解】解： A：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故A变形错误． B：∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变，∴ ，故B变形错误． C：∵ ，当时，，因此可得，故C变形错误． D：∵ ，可推出，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，∴ ，故D变形正确． 70．下列说法正确的有（   ） ①三角形的角平分线是一条射线； ②三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形； ③三角形的一个外角一定大于它的内角； ④如果给定了三角形的三个内角，那么这个三角形的大小就确定了． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【详解】① 三角形的角平分线是角顶点与对边交点之间的线段，不是射线，故①错误； ② 三角形按角分类确实分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故②正确； ③三角形的一个外角一定大于任意一个与它不相邻的内角，故③错误； ④ 给定三角形三个内角只能确定三角形的形状，不能确定边长，因此三角形的大小无法确定，故④错误； 综上，正确的说法只有1个． 故选：B． 二、填空题 71．在等腰三角形中，，周长为，边上的中线把分成周长差为的两个三角形，求底边的长______． 【答案】 【详解】解：设，， 由周长为，得 ， 是边上的中线， ， 又是和的公共边， 两个三角形的周长差为，即， 分两种情况讨论： （1）当时，， 联立方程组， 两式相加得，解得， 代入得， 此时三边长为，，，满足三角形三边关系，符合题意. （2）当时，， 联立方程组， 解得， 此时三边长为，，，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，故舍去. 综上，底边的长为. 72．（24-25七年级下·上海青浦·月考）定义：一个三角形的一边长是另一边长的倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为和，则第三条边的长为___________． 【答案】或 【详解】解：设第三边的长为， 则，即， ∵是“倍长三角形”，则： ①若，则（不符合题意，舍去）； ②若，则； ③若，则； ④若，则（不符合题意，舍去）； 综上所述，第三条边的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 73．中，，，，求，，的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，直接根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， 解得， ∴，，， ∴，，． 74.按要求完成下列计算： (1)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式组的整数解． 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如图所示： （2）解：原不等式组可化为， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为． 75．如图，已知，垂足为点，，，求证：． 证明：， __________（ ）， ， ， （______）， （______）， ， ． ____________（______） （______） 【详解】证明：， （垂直的定义）， ， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． （内错角相等，两直线平行）． （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 76．一大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点，平行于地面，若，求的度数； 解：过点作 ， _________________（______） （余下的说理过程请写在下方） 【详解】解：过点作， ， （平行于同一直线的两直线互相平行）， ，， ， ， 又， ，， ． 77．某初中519名学生和20名教师参加春游活动，现有A、B两种公交车型可供租用，且A、B两种公交车型核载人数分别为35人辆、28人辆．已知租用2辆A型客车与1辆B型客车需要1036元，租用1辆A型客车与3辆B型客车需要1358元． (1)求租用每辆A型客车与每辆B型客车各需要多少元； (2)若要求此次租车共18辆，且总租金不高于6200元，请问有几种租车方案？ 【详解】（1）解：设租用每辆A型客车需要元，每辆B型客车需要元，由题意，得： ， 解得； 答：租用每辆A型客车需要350元，每辆B型客车需要336元； （2）解：设租用A型客车辆，则租用B型客车辆，由题意，得： ， 解得， ∵为整数， ∴， ∴共有6种租车方案． 78．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 79．在中，，为直线上任意一点，连结，于点，于点．为边上的高；（第一小问7分，第二小问2分，第三小问2分） 【画图探究】（1）如图①，当点在边上时，请画出，猜想，，之间的数量关系并证明． 【运用】（2）如图②，当点为中点时，与的数量关系为___________ 【拓展】（3）如图③，当点在的延长线上时，、、之间的数量关系为___________； 【详解】解：（1）依题意，边上的高如下图所示： ，，之间的数量关系：． 证明：∵，，，， ∴， ∴， ∴； （2）与的数量关系为：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点时， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3），，之间的数量关系：． 理由：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 80．如图1，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，，如图2，固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． (1)当为______度时，，并在图3中画出相应的图形； (2)如图4，在旋转过程中，当时，试探究与之间的数量关系； (3)若旋转速度为/秒，当它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【答案】(1)15；见解析 (2) (3)3秒或9秒或21秒或27秒或30秒 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， ； （2）解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴； （3）解：依题意，分以下五种情况： ①当时 由（1）知，， 则（秒）， ②当时，此时，与重合 则 ∴（秒）； ③当时，此时，， 则， ∴（秒）； ④当时，此时，与重合 则， ∴（秒）； ⑤当时 则， ∴（秒）； 综上，所有符合要求的t的值为3秒或9秒或21秒或27秒或30秒． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 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