专题12.3 复数的三角形式（高效培优讲义）数学苏教版高一必修第二册

本讲义聚焦高中数学复数的三角形式这一核心知识点，系统梳理从复数代数形式到三角表示的转化过程，涵盖模、辐角及主值的概念，代数与三角形式的互化方法，以及乘除运算的三角表示和几何意义，构建完整的知识学习支架。 该资料突出几何直观与逻辑推理，通过“即学即练”和变式训练，结合向量旋转帮助学生理解运算几何意义，培养数学眼光。题型设计层层递进，强调三角形式结构特征的精确表达，发展数学思维与语言。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题12.3 复数的三角形式 教学目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，利用复数的三角形式解决实际问题； 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 4.通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 教学重难点 1.重点 复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化；了解复数乘、除运算的三角表示；了解复数乘、除运算的几何意义。 2.难点 复数辐角的主值，复数两种形式之间的互化；1.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算；对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解. 知识点01 复数的三角形式 1．复数的三角表示式 （1）复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 （2）辅角的主值 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角．适合 于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． （3）三角形式下的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 【即学即练】 1．的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【解析】由题意得，故D正确. 故选：D. 2．已知复数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把复数变为一个角的三角形式即可求解. 【解析】因为，所以. 故选：C. 知识点02 复数三角形式的乘、除运算 1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 也就是说两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 2、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 也就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练】 1．计算的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角运算公式运算即可. 【解析】因为 所以， 所以， 故选：B. 2．在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 【答案】(1)，；(2) 【分析】(1)根据复数的三角形式旋转后可得新复数； (2)根据复数三角形式的除法运算律求解即可. 【解析】（1）复数逆时针旋转后得， 顺时针旋转后得. （2）由（1）得. 题型01 复数的三角表示 【典例1】复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数的三角形式定义以及诱导公式即可求解. 【解析】. 故选：D. 复数三角形式的判断依据和变形步骤： （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式直接得到答案. 【解析】复数的三角形式为，，对比选项知B满足. 故选：B 【变式2】复数的三角形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解； 【解析】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D. 【变式3】（多选）以下不是复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【解析】解：，所以B正确，而，故C正确. 故选：AD 【变式4】写出复数的三角形式是 ．（辐角） 【答案】 【分析】利用复数的三角表示可得结果. 【解析】. 故答案为：. 【变式5】的三角形式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据复数的三角形式直接得到答案. 【解析】令且， 所以，则满足， 所以三角形式可写成. 故答案为：(答案不唯一) 【变式6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是三角形式，化为三角形式为； (2)不是三角形式，化为三角形式为； (3)不是三角形式，化为三角形式为； (4)是三角形式. 【分析】直接利用复数的三角形式求解即可. 【解析】（1）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为 ； （2）不是三角形式， ， 其中，故三角形式为 ； （3）不是三角形式， ， ，故三角形式为 ； （4）是三角形式. 题型02 求辅角主值 【典例1】（1）复数的辐角的主值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【解析】， 所以辐角的主值为. 故选：A. （2）设，则下列命题中的真命题为（  ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【解析】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 注：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍. 【变式1】复数的辐角主值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据辐角主值的定义，结合题目，即可求得. 【解析】由辐角主值的定义，知复数的辐角主值是. 故选：B. 【变式2】复数的辐角主值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案. 【解析】设复数的辐角为， 则， 所以，， 因为， 所以当时，满足要求， 所以辐角主值为. 故选：A 【变式3】复数的辐角主值是_________ 【答案】 【分析】利用复数的辐角求主值的方法求解即可. 【解析】，所以； 【变式4】复数的辐角主值是_________. 【答案】 【分析】利用复数的辐角求主值的方法求解即可. 【解析】，所以. 【变式5】求下列复数的模与辐角主值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)模为，辐角主值为；(2)模为，辐角主值为 (3)模为，辐角主值为；(4)模为，辐角主值为 【分析】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （2）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值； （4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值. 【解析】（1），其对应的点为，辐角主值为； （2），其对应的点为，辐角主值为； （3），其对应的点为，辐角主值为； （4），其对应的点为，其辐角主值为. 题型03 复数的代数形式与三角形式的互化 【典例1】(1)复数化成三角形式，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出复数的模与辐角主值，从而即可求解. 【解析】解：设复数的模为，则，， 所以复数的三角形式为． 故选：A. (2)将复数化成代数形式，正确的是（  ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【分析】根据特殊角的三角函数值，化简即可. 【解析】 故选：D. 1.复数的代数形式化三角形式的步骤： （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 2.复数表示成代数形式： （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式1】复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的三角形公式求解或利用定义直接求解即可. 【解析】解法一：设复数的三角形式为,则,,可取,从而复数的三角形式为. 解法二： 故选：A 【变式2】设复数，那么的共轭复数的代数形式是 ． 【答案】 【分析】计算，再计算共轭复数得到答案. 【解析】，故. 故答案为：. 【变式3】将下列复数化为三角形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】求出各复数的模和辐角，化简成的形式即可得解. 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型04 三角形式下复数的几何意义 【典例1】设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【解析】复数满足条件，所以可设， 所以 所以， 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D. 【变式1】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（  ） A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i 【答案】C 【分析】将复数化成三角形式为，从而得到其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数． 【解析】因为， 其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为： . 故选：C． 【变式2】欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解. 【解析】解：，又，为第二象限角，故 ，故在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式3】在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是__________ 【答案】 【分析】由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为并化简 ，再结合投影向量的定义求解． 【解析】因为把复数对应的向量按顺时针方向旋转， 所以旋转后的向量所对应的复数为， 所以旋转后的向量， 又因为，， 所以向量在上的投影向量是，即对应复数是. 故答案为： 【变式4】在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【解析】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， ， 所以的坐标是， 故答案为： 题型05 复数乘、除运算的三角表示 【典例1】（1）=____________； 【答案】 【分析】利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【解析】原式． 故答案为： （2）复数的三角形式是（  ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【解析】， 故选：C. （1）复数的三角形式乘法运算： 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． （2）复数的三角形式除法运算： 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式1】欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【解析】. 故选：C. 【变式2】复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求出复数，再结合，即可求出. 【解析】由得， 故， 所以. 故选C． 【变式3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）（2）利用复数运算的三角表示化简可得结果； 【解析】（1）原式． （2）原式 ． 题型06 三角形式下复数的乘方与开方 【典例1】已知复数z满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案. 【解析】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 【变式1】若，则（  ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】首先用三角形式表示复数，利用复数三角形式的乘方运算求得，，再求出目标式的值. 【解析】由， 所以，， 综上，. 故选：A 【变式2】若（为虚数单位），则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确选项. 【解析】当时，， 当时，可以取，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 【变式3】棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【解析】依题意知，， 由棣莫弗公式，得， 所以. 故选：C. 【变式3】棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则 ． 【答案】2 【分析】直接使用棣莫佛定理，结合复数相等的定义进行求解即可. 【解析】由， 于是有，因为所以有， 于是有：， 当为偶数时，显然有，该方程无实根， 当当为奇数时，显然有，而， 故答案为：2 题型07 复数乘、除运算的几何意义的应用 【典例1】设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把化为复数的三角形式，根据复数对应的向量旋转所得向量，求解即可. 【解析】由已知得， 所以绕原点顺时针旋转得 ， 由绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合得， 所以. 故选：B. 复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意点： （1）复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． （2）复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式1】已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可. 【解析】逆时针旋转后得， 所以=. 故选：A. 【变式2】设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，则复数为___________ 【答案】 【分析】根据复数的三角表示的几何意义及运算法则计算即可. 【解析】依题意得， 所以 . 故答案为：. 【变式3】设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据题意，将复数改写成三角形式，结合已知条件分别算出、、、和，即可求解. 【解析】由，得，由，得， 因，所以，即，且， 又因，所以，即，且, 因此. 故答案为：. 【变式4】一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）利用正弦和余弦的和差公式计算即可； （2）利用三角形式和辐角主值的定义求解； （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，然后分别确定点在复平面上表示的复数为，再将三角形式转化为代数形式并求其模长. 【解析】（1）由于，. 故 ， . 综上，. （2）我们有 ， 且 . 据，知，，，. 所以，，故. （3）以为原点，为实轴正方向确定复平面，并不妨设点在实轴上方，则点在复平面上分别表示复数. 所以. 1．复数的三角形式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解； 【解析】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D 2．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（  ） A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i 【答案】A 【分析】根据复数i的辐角及旋转过程确定对应复数的辐角，进而写出对应的复数即可. 【解析】由，顺时针旋转，则对应辐角为， 所以对应的复数是. 故选：A. 3．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【解析】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B. 4．已知复数（为虚数单位），则等于（  ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【解析】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 5．若复数z的模为2，辐角主值为，则＝（  ） A．1+i B．1-i C．-i D．+i 【答案】D 【分析】复数z的模为2，辐角主值为知，由复数的除运算得 【解析】由复数z的模为2，辐角主值为，知 ∴ 故选：D 6．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（  ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 【答案】A 【分析】A. ii，所以该选项正确； B. i，所以该选项错误； C. i，所以该选项错误； D. ii.所以该选项错误. 【解析】A. 若i，则ii，所以该选项正确； B. 若i，则i，所以该选项错误； C. 若i，i，则i，所以该选项错误； D. i，i，则ii.所以该选项错误. 故选：A 7．（多选）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（  ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项． 【解析】解：对于A：，因为，所以，， 所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：由，， 所以，所以，选项D正确； 故选：BCD 8．（多选）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误. 【解析】由， A：，正确； B：，错误； C：由B知：，正确； D：，错误； 故选：AC 9.（多选）已知复数，，则下列命题成立的有（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；利用复数的三角形式计算判断B；利用复数的代数形式，结合模及共轭复数的意义计算判断CD. 【解析】对于A，当时，，而，A错误； 对于B，令，则， 于是，而，即有，因此成立，B正确； 设复数，， 对于C，由，得， 则，，因此，C正确； 对于D，，则， ，因此，D正确. 故选：BCD 10．若复数为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】将复数化为三角形式即可得辐角. 【解析】设复数的辐角为， 由 所以 故答案为： 11．设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出复数的代数形式，结合其三角形式即可求解. 【解析】由，得，即， 因， 所以. 故答案为：. 12．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【解析】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 13．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2). 【答案】(1)4，，; (2)2，， 【分析】根据复数的相关概念即可求得模和辐角主值，化简计算即可求得复数的代数形式. 【解析】（1）的模为4，辐角主值为， ； （2）， 故的模为2，辐角主值为， . 14．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 【答案】(1)，； (2)506个 【分析】（1）利用复数的模公式求解，利用辐角公式求解； （2）利用复数相等，结合求解. 【解析】（1）解：由， 得， ， ， ． （2）由， ， ， ，解得， ，∴，∴， ∴符合条件的k有506个， ∴这样的n有506 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 复数的三角形式 教学目标 1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，利用复数的三角形式解决实际问题； 2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系； 3.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义． 4.通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力 教学重难点 1.重点 复数的三角形式及复数代数形式与三角形式的互化；了解复数乘、除运算的三角表示；了解复数乘、除运算的几何意义。 2.难点 复数辐角的主值，复数两种形式之间的互化；1.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算；对复数乘、除运算的三角表示及其几何意义的理解. 知识点01 复数的三角形式 1．复数的三角表示式 （1）复数的三角表示式 如图，我们可以用刻画向量大小的模r和刻画向量方向的角θ来表示复数z. 一般地，任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模，) 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，且 三角形式 r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角表示式，简称三角形式，该式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 （2）辅角的主值 以轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数的辐角．适合 于的辐角的值，叫辐角的主值．记作：，即． （3）三角形式下的复数相等的充要条件： 两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等． 【即学即练】 1．的三角形式是（  ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（  ） A． B． C． D． 知识点02 复数三角形式的乘、除运算 1、复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 也就是说两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 2、复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 也就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【即学即练】 1．计算的值是（  ） A． B． C． D． 2．在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为 (1)求复数； (2)若复数，求复数. 题型01 复数的三角表示 【典例1】复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 复数三角形式的判断依据和变形步骤： （1）判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【变式1】在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（  ） A． B． C． D． 【变式2】复数的三角形式为（  ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）以下不是复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【变式4】写出复数的三角形式是 ．（辐角） 【变式5】的三角形式是 ． 【变式6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 求辅角主值 【典例1】（1）复数的辐角的主值为（  ） A． B． C． D． （2）设，则下列命题中的真命题为（  ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 注：因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍. 【变式1】复数的辐角主值是（  ） A． B． C． D． 【变式2】复数的辐角主值为（  ） A． B． C． D． 【变式3】复数的辐角主值是_________ 【变式4】复数的辐角主值是_________. 【变式5】求下列复数的模与辐角主值： (1)； (2)； (3)； (4). 题型03 复数的代数形式与三角形式的互化 【典例1】(1)复数化成三角形式，正确的是（  ） A． B． C． D． (2)将复数化成代数形式，正确的是（  ） A．4 B．-4 C． D． 1.复数的代数形式化三角形式的步骤： （1）先求复数的模； （2）决定辐角所在的象限； （3）根据象限求出辐角（常取它的主值）； （4）写出复数的三角形式． 2.复数表示成代数形式： （1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【变式1】复数的三角形式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】设复数，那么的共轭复数的代数形式是 ． 【变式3】将下列复数化为三角形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型04 三角形式下复数的几何意义 【典例1】设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（  ） A．2 B．－2i C．－3－i D．3－i 【变式2】欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量在上的投影向量对应复数是__________ 【变式4】在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是 ． 题型05 复数乘、除运算的三角表示 【典例1】（1）=____________； （2）复数的三角形式是（  ） A．； B．； C．； D．. （1）复数的三角形式乘法运算： 两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． （2）复数的三角形式除法运算： 两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【变式1】欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】复数都可以表示，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足 ，则的辐角为（  ） A． B． C． D． 【变式3】计算： (1)； (2)． 题型06 三角形式下复数的乘方与开方 【典例1】已知复数z满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】若，则（  ） A．1 B． C． D． 【变式2】若（为虚数单位），则是的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（  ） A． B． C． D． 【变式3】棣莫佛（Demoivre，是出生于法国的数学家．由于在数学上成就卓著，他被选为柏林科学院和巴黎科学院的外籍院士．棣莫佛定理为：，这里．若，则 ． 题型07 复数乘、除运算的几何意义的应用 【典例1】设复数对应的向量分别为为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则（  ） A． B． C． D． 复数的三角形式乘、除运算的几何意义的注意点： （1）复数乘法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． （2）复数除法几何意义是解题关键．把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 【变式1】已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】设复数对应的向量为，，为坐标原点，且，若把绕原点逆时针旋转，把绕原点顺时针旋转，所得两向量恰好重合，则复数为___________ 【变式3】设，，复平面上对应的点分别为，，，．若，，，则四边形的面积为 ． 【变式4】一般地，任何一个复数，称为虚数单位，都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作，叫做复数的三角形式.  特别是当时，，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系.请你根据材料解决以下问题： (1)设复数，，求，的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：. 温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分. 1．复数的三角形式为（  ） A． B． C． D． 2．将复数i对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到向量，则对应的复数是（  ） A．＋i B．－＋i C．－－i D．－i 3．欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知复数（为虚数单位），则等于（  ） A．1 B． C． D． 5．若复数z的模为2，辐角主值为，则＝（  ） A．1+i B．1-i C．-i D．+i 6．已知i为虚数单位，若i，i， ，i，则i.特别地，如果i，那么ii，这就是法国数学家棣莫佛(1667~1754年)创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题正确的是（  ） A．若i，则i B．若i，则i C．若i，i，则i D．若i，i，则i 7．（多选）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式（为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”.据此公式，下列说法正确的是（  ） A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 B． C． D． 8．（多选）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）已知复数，，则下列命题成立的有（  ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．若复数为虚数单位），则 ． 11．设复数，其中为虚数单位，若满足，则 ． 12．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 13．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式． (1)； (2). 14．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数对应复平面内的点Z，设，，则任何一个复数都可以表示成：的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若，则：，特别地，如果那么这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题： (1)求复数的模和辐角主值argz（用θ表示）； (2)设，若存在满足，那么这样的n有多少个？ 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $