第十二章 复数重难点检测卷-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了复数的概念、运算及几何意义，将共轭复数、纯虚数判断、模与辐角计算等重难点按“基础概念-运算规律-几何应用”递进呈现，用对比表格归纳复数与复平面点的对应关系，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，如单选题结合棣莫弗定理考查数学文化（数学眼光），解答题要求几何解释培养空间观念（数学思维）。基础题巩固概念，综合题提升推理能力，助力不同层次学生掌握，教师可据此实施精准教学，支持学生自主复习与能力提升。

第十二章 复数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·湖北·月考）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 3．（24-25高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·安徽马鞍山·一模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在复平面内，复数 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则z为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数 10．（2026·江苏南京·一模）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 11．（25-26高一下·重庆·月考）已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（    ） A．若为纯虚数，其中，则或1 B．，，则在复平面内对应的点为 C．若，则 D．若，则的最大值为2 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 13．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2026高三·上海·专题练习）解答下列各题： (1)已知， ，求； (2)已知为纯虚数，，求. 16．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知复数，为虚数单位，. (1)求； (2)若为纯虚数，求实数的值； (3)若为复数方程的一个解，求实数p和q的值. 17．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限.求实数的取值范围. 18．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 19．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 复数重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共19题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（24-25高三上·湖北·月考）已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据虚数单位的性质可得，进而可得以及的虚部. 【详解】因为，则， 所以的虚部为. 故选：A. 2．（25-26高三上·广东潮州·期末）已知i为虚数单位，复数是纯虚数，则（   ） A．2或0 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】由纯虚数的定义得，求解即可. 【详解】由题设，可得. 故选：B 3．（24-25高一下·黑龙江鸡西·期末）已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的除法与加法运算计算即可. 【详解】因为 所以. 故选：A 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 5．（2026·安徽马鞍山·一模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法运算化简后得解. 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：A 6．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）在复平面内，复数 对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解. 【详解】复数， 其在复平面内所对应的点位于第四象限， 故选：D． 7．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点距离的最大值，数形结合即可求解． 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 8．（24-25高一下·浙江·期中）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，（，）则．设，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意化简即可得解. 【详解】根据题意，由， 可得 . 故虚部为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．（2025·山东青岛·一模）已知复数z，下列说法正确的是（    ） A．若，则z为实数 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 10．（2026·江苏南京·一模）已知复数，，且，下列说法正确的是（   ） A．是纯虚数 B．是实数 C．是虚数 D．若，则是实数 【答案】AD 【详解】A. 为纯虚数，故A正确； B.，只有时，才是实数，故B错误； C.，只有时为虚数，为实数，故C错误； D. 为实数，故D正确. 11．（25-26高一下·重庆·月考）已知，为复数，是虚数单位，下列说法正确的有（    ） A．若为纯虚数，其中，则或1 B．，，则在复平面内对应的点为 C．若，则 D．若，则的最大值为2 【答案】BD 【分析】根据复数的概念计算可判断A；根据复数的乘法运算及几何意义计算可判断B；根据共轭复数的概念可判断C；根据复数模的几何意义可判断D. 【详解】对于A，若为纯虚数， 则，解得，故A错误； 对于B，， 所以在复平面内对应的点为，故B正确； 对于C，由题意可知，故C错误； 对于D，若，则，对应复平面内单位圆上的两动点， 可得的最大值是2，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．（2025高三·全国·专题练习）设复数（为自然对数的底数，为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【分析】记，则，利用求的模． 【详解】记，则，． 因此． 故答案为： 13．（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知复数，则复数的辐角 ______________. 【答案】 【分析】根据复数的运算先计算复数，进而得，再转化为三角形式即可求解. 【详解】由题意有，所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内的长方形的四个顶点中，点，，对应的复数分别是，，，则点对应的复数为________． 【答案】 【分析】设，根据列方程组即可求解. 【详解】记为复平面的原点，由题意得，，． 设，则，． 由题意知，，所以，解得， 故点对应的复数为． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15．（2026高三·上海·专题练习）解答下列各题： (1)已知， ，求； (2)已知为纯虚数，，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)设代入已知求出复数的模，解方程组即可求出； (2)设代入及化简，联立方程即可求出. 【详解】(1) 设，则， 所以， 所以， 解得，，所以. (2) 设，则 为纯虚数， 所以且，① 由得，所以，② 由①②解得，， 所以. 16．（24-25高一下·山东聊城·月考）已知复数，为虚数单位，. (1)求； (2)若为纯虚数，求实数的值； (3)若为复数方程的一个解，求实数p和q的值. 【答案】(1)； (2). (3) 【分析】（1）根据复数的模的定义求解； （2）根据复数的加减法、乘方运算化简，利用纯虚数的概念求解； （3）将代入方程化简，利用复数相等求解. 【详解】（1）∵ ∴|z|==. （2） ， 其为纯虚数 ∴且 ∴. （3）因为， 所以代入方程， 得. ∴， ∴， ∴且， ，. 17．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·月考）已知复数（为虚数单位），其共轭复数为. (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数是实数，求实数的值； (3)若且复数在复平面内所对应的点位于第二象限.求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，利用复数的运算法则，求得，结合为纯虚数，列出关系式，即可求解； （2）由（1）知：，结合为实数，得出方程，即可求解； （3）根据复数的运算法则，求得，根据题意，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数，可得 则， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. （2）解：由（1）知：， 因为复数为实数，则满足，解得. （3）解：由复数， 因为复数在复平面内所对应的点位于第二象限， 可得，解得，所以实数的取值范围为. 18．（25-26高二上·上海嘉定·期末）设关于的实系数一元二次方程两虚根为． (1)若，求的取值范围； (2)设在复平面上对应点为，为坐标原点，且为等腰直角三角形，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得､互为共轭复数，根据，再由模的计算公式可得的取值范围； （2）根据题意，，则，，根据韦达定理可得，可解问题. 【详解】（1）由已知得､互为共轭复数，设，则， 则，可得， 又因为，即，则， 综合可得，即； （2）根据题意，两点关于轴对称，则，    又为等腰直角三角形，所以， 所以，即，， 根据韦达定理可得， 所以，解得或（舍）， 所以. 19．（25-26高一·全国·课后作业）计算下列各式，并给出几何解释． (1)； (2)． 【答案】(1)，几何解释见解析 (2)，几何解释见解析 【分析】先利用复数三角形式的乘除法运算求值，再利用复数的三角形式进行几何解释即可. 【详解】（1） ， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个模为、辐角为的，则即为所对应的向量． （2） ， 因为， 同理：， 所以原式， 几何解释：设，，作与、对应的向量、，然后把绕原点顺时针方向旋转，再将其模缩短为原来的，得到一个长度为、辐角为的，则即为所对应的向量． 学科网（北京）股份有限公司 $