专题11 三角恒等变换（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题11 三角恒等变换 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、辅助角公式的应用 类型二、二倍角与降幂公式 类型三、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） 类型四、三角恒等变换在三角形中的应用 类型五、三角恒等变换在三角函数中的应用 类型六、三角恒等变换在平面图形中的应用 类型七、三角恒等变换在常用逻辑用语、函数、不等式、平面向量中的应用 类型八、新定义 压轴专练 类型一、辅助角公式的应用 辅助角公式： （其中）． 【技巧方法】 常见辅助角结论： （1）； （2）； （3）； （4）． 例1．已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用诱导公式将转化为，再用辅助角公式，最后两边平方即可得出结果. 【解析】因为， 所以， 所以，即， 所以，即， 两边同时平方整理得，所以． 故选：A 变式1-1．若函数在处取得最大值，则 . 【答案】 【分析】根据辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数性质求其最大值，并确定取最大值时自变量的值，由此可求. 【解析】因为， 设，， 则，， 当，时， 即当，函数取最大值，最大值为， 所以， 所以. 故答案为：. 变式1-2．要使有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式可得，分析可得，运算求解即可. 【解析】因为，且有意义， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 变式1-3．当时，，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以，所以， 即， 解得或，又，所以， 所以，所以，所以，所以. 故答案为： 变式1-4．已知函数，则当时的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式化简，然后由正弦函数性质求解可得. 【解析】 ， 因为，所以， 所以， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 变式1-5．若，则实数的值为________ 【答案】 【分析】利用三角函数的诱导公式、同角公式、二倍角正弦公式和辅助角公式求解. 【解析】依题意，，即， 则，即， 而，所以. 故答案为： 变式1-6．若，为锐角，则______________ 【答案】 【分析】根据三角恒等变换化简条件求得，利用同角关系求得，最后利用两角和的正弦公式化简计算即可. 【解析】由得， 所以，即， 即， 所以，所以， 又为锐角，所以， 所以. 故答案为： 类型二、二倍角与降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 【技巧方法】 利用二倍角公式求解问题处理方法： 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的形式. 例2．的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及和差角公式化简得解. 【解析】 . 故选：A. 变式2-1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二倍角公式，同角三角函数关系可得，据此可得答案. 【解析】因，则. . 则. 故选：C 变式2-2．（多选）下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对A，由诱导公式得两边平方结合二倍角正弦公式求解；对B，由二倍角正切公式求解判断；对C，由诱导公式结合二倍角正弦公式求解；对 D，根据二倍角正切公式求解判断. 【解析】对于A，， 又，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由， 所以，得，故D正确. 故选：ABD. 变式2-3．已知，则 【答案】 【分析】由，根据二倍角公式即可求解. 【解析】由，所以 ， 故答案为：. 变式2-4．已知，则 . 【答案】 【分析】借助两角和的正弦公式与辅助角公式化简原式可得，再利用整体思想结合二倍角公式及诱导公式计算即可得. 【解析】 ， 则， 故 . 故答案为：. 变式2-5．已知 则 【答案】 【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解. 【解析】由于，故， 因此， 所以，故， ，故或， 当时，， 当时，， 故， 故答案为： 变式2-6．设，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求. 【解析】， 由，所以，所以， 因为，又，所以， 所以. 故答案为：. 类型三、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式进行给值求值、给值求角． 【技巧方法】 拆分角的变形： ①；；②； ③；④；⑤． 其他： 例3．（1）已知，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【解析】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. （2）若，且，则 . 【答案】 【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值. 【解析】因，所以，又，所以. 根据，得，同时也能确定. 因为，所以. . 所以 因为，所以. 在这个区间内，时，. 故答案为：. 变式3-1．已知，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两角差的正弦公式结合已知条件可求出、的值，利用切化弦可得出的值，利用两角和的正弦公式可求得的值，利用二倍角的余弦公式可求得，据此可求得所求代数式的值. 【解析】由可得， 所以，， ， 所以，， 因此，. 故选：B. 变式3-2．（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由的范围可以求出的范围，结合，可以将的范围缩小到一定的范围，从而求出的取值；再结合的取值范围，可以求得和的范围，求出值后，利用配凑法，求出的取值，最后结合其范围得出的值. 【解析】因为，所以，且因为， 所以，则， 则，所以正确； 由可得，又因为， 利用不等式的性质可得，， 所以， 则， 又因为，所以，所以正确. 故选:AC 变式3-3．（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由已知得到，可对BCD作出判断，从B出发可得到，以此，可判断 【解析】，为锐角，，可得到，① ，得，②， 由①②，又，得， 则，B正确； ，C正确； 又，，，从而，D正确； 由B知，则有，， 又，，则，所以，则A错误. 故选：BCD 变式3-4．已知，．若，，则的值是 ． 【答案】 【分析】先结合的范围求出. 再根据已知条件求出，再利用二倍角公式求出和，然后利用两角差公式求出，最后根据、的范围确定的值. 【解析】因为，所以. 已知， . 由两角和公式. 可得.   因为，则. 已知，可. ，. 又因为，，所以，. . 可得. 因为，，则,所以，又，所以.   故答案为：. 变式3-5．已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 【答案】 【分析】由二倍角的余弦定理，三角函数的基本关系和，可求出，，再由，代入化简即可得出答案. 【解析】，， 又，，所以， ，，， 又，，， ， 结合可知：. 故答案为：. 变式3-6．若，且，则 . 【答案】 【分析】先利用余弦的二倍角公式和余弦的两角和公式可得，再根据平方关系和正弦的二倍角公式求解即可. 【解析】由可得， 因为，所以， 所以，解得， 所以由，解得， 所以， 故答案为： 类型四、三角恒等变换在三角形中的应用 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 【技巧方法】 利用三角形内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换公式解决三角形中的求值、最值问题。 例4．在锐角中，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】将转化为，得到,利用化简可得，令，化简得即可求解 【解析】由，得， 因此： 根据,结合已知条件， 可得：, 因为锐角三角形，,两边同除以, 得：， 由，得：​ 将代入上式： ， 令，因为锐角，故，则，， 由基本不等式，，得， 两边平方（），， 当且仅当 （即）时取等号， ，该函数在上单调递减， 故当时， 取得最大值 故答案为： 变式4-1．在锐角中，若，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【解析】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 变式4-2．（多选）在中，，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【解析】因为，，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 变式4-3．在中，为它的三个内角，且满足，，则______. 【答案】 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【解析】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 变式4-4．中，若，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用三角函数恒等变换进行化简，可得，利用基本不等式得，利用两角和的正切公式表示，结合以上条件即可求解的取值范围． 【解析】∵，∴， ∵，即， ∴， 两边同时除以，得， ∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，即， ， ∵，∴， ∴， ∴，即的取值范围是． 故答案为： 类型五、三角恒等变换在三角函数中的应用 【技巧方法】 结合两角和与差公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化简为形如这种三角函数形式，再根据三角函数的性质进行求解。 例5．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 【答案】(1)，.(2)(3)68 【分析】（1）结合二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再根据正弦函数的单调性得解； （2）分离参数，结合二倍角公式和齐次式运算，求对勾函数最值即可求解； （3）令，原问题可转化为函数与函数的交点个数，由交点个数确定的值，再结合函数对称性即可求解． 【解析】（1） . 令，，解得，， 故的单调递增区间为，. （2）由（1）知， 则对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令， 因为，则，且， 因为，则函数在上单调递减， 由，解得， 则的最大值为，故. （3）令， ，， 令，又， 函数在上的图象如下图所示， 由图可知，的图象与直线共有6个交点，即， 则， 因， 所以. 变式5-1．已知函数的最小正周期为，且满足，则（  ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】由题知函数的周期和对称轴，分类讨论当和时，利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可. 【解析】因为，所以对称轴为， 当时，．则函数周期，则， ∴，对称轴为，，不合题，舍去； 当时，，其中， 得的最小正周期，∴，∴， 由，令，得，即，得， ∴．∴． 故选：C. 变式5-2．（多选）已知函数，，则（  ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用余弦型函数和正弦函数的周期性可判断A选项；利用二次函数的值域可判断B选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；在时解方程，结合函数的周期性可判断D选项. 【解析】对于A选项，因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，当时，， 令，则，， 当时，；当时，；当时，. 所以，， 所以，当时，函数的值域为，B对； 对于C选项，当时，， 则， 令，则，则外层函数， 外层函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，则内层函数单调递增时，则函数为增函数， 所以，； 当时，则内层函数单调递减时，则函数为增函数， 所以，. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， ，C错； 对于D选项，当时，， 可得或， 由于函数的最小正周期为，且， 现在考虑函数在上的零点个数， 由可得，由可得或， 所以，函数在上的零点个数为， 因为，故，D对. 故选：ABD. 变式5-3．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可. 【解析】因为 （其中）， 且函数图象关于直线对称， 所以， 整理得，解得. 故答案为： 变式5-4．已知函数，且，则 ． 【答案】 【分析】根据，结合两角和的正弦公式可化简，利用即可得到的值. 【解析】由题意得， ， 因为，所以，即， 因为，所以当时，． 故答案为：. 变式5-5．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用辅助角公式和三角函数的图象性质求解即可. 【解析】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 变式5-6．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)①；② 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式对解析式进行化简，结合函数图象的对称性求出的值，即得函数解析式； （2）根据三角函数图象的平移伸缩变换得到的解析式，①由题求得，结合的范围，求得，通过凑角后利用和角的正弦公式求解即得；②先将问题转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点，通过数形结合即可求得参数范围. 【解析】（1）因 ， 由函数的相邻两条对称轴的距离为，所以函数的周期． 则．∴． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得． 再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到． ①∵，∴． ∵则，则， ∴ ． ②由题知，方程在上恰有两个不同的实数解， 可转化为函数和函数的图象在区间上有且只有2个交点． 由可得，作出函数在上的图象如图： 当时，； 当时， ；当时，.    由图可知：实数的取值范围是． 类型六、三角恒等变换在平面图形中的应用 首先结合几何图形，利用三角函数进行表示，再根据三角恒等变换，结合三角话术图像与性质可求解图形面积最值问题. 例6．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米； (2)平方米； (3)，最大值为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【解析】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 变式6-1．若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【解析】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 变式6-2．（多选）如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（  ）    A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米 B．当时，种植花卉区域的面积为平方米 C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米 D．种植花卉区域的面积可能是平方米 【答案】AC 【分析】用表示出，当时，直接求出四边形可判断A；求出扇形面积即可的花卉区域的面积，可判断B；利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数性质可得四边形面积的范围，可判断C；结合扇形面积可判断D. 【解析】当时，， 所以米，米，米， 则儿童娱乐设施建筑用地的面积 平方米，故A正确. 由题意可得扇形的面积为平方米， 则种植花卉区域的面积为平方米，故B错误. 由题意可得米，米，米，米， 则儿童娱乐设施建筑用地面积： . 其中， 所以，取. 因为，所以， 所以，所以， 则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米，故C正确. 因为，所以种植花卉区域的面积平方米，故D错误. 故选：AC 变式6-3．在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】首先结合几何图形，利用三角函数表示和，再求面积，根据三角函数恒等变换，结合函数的定义域，即可求解函数的最大值. 【解析】作出示意图如图所示，扇形中，，连结， 设，则，， ， 矩形的面积 ， 因为，则， 当，即时，面积取得最大值. 故答案为：. 变式6-4．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，则的周长为2，求的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出后即可得解； （2）结合三角形周长的表达式及两角和的正切公式，得出的表达式，即可求解． 【解析】（1）由题知，，，， 所以的周长. （2）的周长， 令，， 又的周长为2，即， 变形可得：， =， 又，所以， 类型七、三角恒等变换在常用逻辑用语、函数、不等式、平面向量中的应用 三角恒等变换公式常常与常用逻辑用语、函数、平面向量、不等式等章节进行融合。 【技巧方法】 使用公式时，不仅要会正用、逆用、变用，还要能够与这些章节知识结合进行合理运用。 例4．已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . (1)求证下列式子均为定值 ①； ② (2)求函数 在上的最小值; (3)若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据双曲正弦函数、双曲余弦函数的概念计算即可. （2）利用换元法，把问题转化成求，的最小值问题.再利用函数的单调性求函数的最小值. （3）把问题转化成二次不等式恒成立的问题求解. 【解析】（1）①为定值. ②为定值. （2）因为在上单调递增， 且，. 所以当时，. 又. 设，则， 设，. 若，则在上单调递增，所以； 若，则在上单调递减，在上单调递增. 当即时，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以； 当即时，在上单调递减，所以. 综上可得：. （3）当时，. 不等式， 可化为. 设， 则为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，所以对，不可能恒成立. 即所求实数不存在. 即满足条件的实数的取值范围是. 变式4-1．已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（  ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 【答案】C 【分析】利用构造一元二次方程结合韦达定理思想，通过根的正负研究根与系数的关系，最后通过判断别式的符号来判断存在性，从而问题得以解答. 【解析】设是方程的两个根，则， 由于可得：， 对于命题甲，假设存在属于第一象限角， 属于第一象限角， 即，则，解得， 此时， u，可知，， 方程无解，故假设不成立，所以命题甲错误； 对于命题乙，假设存在属于第二象限角， 属于第四象限角， 即，则，解得， 此时， 当时，一定有，则， 满足方程有两个解，此时假设成立，所以命题乙正确； 故选：C. 变式4-2．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用判别式求得的取值范围，进而求得的最大值. 【解析】因为不是方程的根，且， 所以是两个不相等的非零实数根，①， 依题意，，解得或， 所以，或， 当时，①符合， ，整理得②， 由于此方程有解，所以， 即，解得， 的最大值为，不满足②，舍去. 当时，①符合， ，整理得，③， 由于此方程有解，所以， 即，解得（舍去）， 的最大值为，代入③得，则. 所以的最大值为. 故答案为： 变式4-3．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二倍角公式化简，运用换元法利用二次函数的单调性可得. 【解析】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为， 故答案为： 类型七、新定义 【技巧方法】 三角恒等变换常常与向量、三角函数相结合构建新定义问题；主要把握住它们之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题，数形结合解决问题 例7．在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有2个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)或；(3)答案见解析 【分析】（1）根据两角差的正弦公式即可求解； （2）画出的图像以及直线的图像，数形结合可得的取值范围； （3）结合函数图像，对进行分类讨论即可求解. 【解析】（1）因为， 所以函数的相伴向量； （2）若的有序相伴向量为，则， 所以， 如图所示， 当， ； 由图像可知，若函数与直线有且仅有2个不同的交点，则或； （3）若的有序相伴向量为，则， 当时，， 当时，假设存在是否存在“和谐区间”，则由，得， ①若，则由，知，与值域矛盾，故存在“和谐区间”， ②同理，时，也，不存在； 下面讨论 ③若，则，故的最小值为，于是，所以，所以的最大值为，故，此时的定义域为，值域为，符合题意， ④若， 当时，同理可得，舍去， 当时，在 上单调递减， 所以，于是， 若，即，，故，， 与矛盾， 若，同理，矛盾， 所以，即， 由图像可知，当时，， 因为，所以，从而，从而，矛盾， 综上所述，有唯一“和谐区间”. 变式7-1．若实数，且满足，则称是“余弦相关”的． (1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数； (2)若实数是“余弦相关”的，求的取值范围； (3)若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的． 【答案】(1)或；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）代入，解三角方程即可； （2）左边打开，整理成的方程，用辅助角公式后，再由三角函数的最值建立不等式关系求解； （3）探求的范围，构造，再运用“余弦相关”的性质证明. 【解析】（1）代入得，， 即，， 因此， 又因为， 所以或. （2）由得，进行化简得： ，， ，， 因为，所以， 因此，解不等式： ，，， 解得. （3）假设， 则由余弦函数的单调性可知， 所以，， 同理可得，相加得，与假设矛盾，故， ，， ， 故，也是余弦相关的， 所以，解得，， 综上，， 此时可设，， ， ， 故，为“余弦相关”的， 同理，也为“余弦相关”的. 变式7-2．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、三角恒等变换的化简问题、向量模的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）把化为形式，由定义证明； （2）把化为形式，得其“相伴向量”，由模公式可求模； （3）先根据定义得到函数取得最大值时对应的自变量，再结合基本不等式求出的取值范围，由正切的二倍角公式及函数的单调性可得结论． 【解析】（1）因为， 其中“相伴向量”，所以. （2）由题意可得： ， 则函数的“相伴向量”， 所以. （3）因为的相伴函数， 其中， 当时，取到最大值，则， 则， 因为定点且，设，且， 则， 若，可得； 若，可得，即； 综上所述：， 令， 则， 可知在内单调递减， 若，则； 若，则； 综上所述：， 可得， 所以的取值范围为. 变式7-3．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】(1)；(2)证明见解析，这个常数为；；(3)或 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【解析】（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； （2）证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或 变式7-4．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 【答案】(1)；(2)和；(3)存在， 【分析】（1）利用相伴特征向量的定义、函数定义域及三角恒等变换公式即可求解； （2）利用相伴特征向量的定义，求出相伴特征向量，根据共线单位向量的定义即可求解； （3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用，即可求解. 【解析】（1）由已知可得：， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以 ， ， （2）， ， ， ， 所以，， ， 所以与共线的单位向量为和. （3）， 因为为的相伴特征向量， 所以，解得， 所以， 所以， ， 假设在的图象上是否存在一点，使得， 所以，， 所以， 所以， 所以， 所以， 令， 令， 所以， ， 当时，；当时，，， 所以， 因为， 所以当且仅当且时，成立， 此时，且，即点， 所以的图象上是存在一点，使得. 1.若，，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和辅助角公式可得（其中），进而（），由诱导公式化简得，即可求解. 【解析】由，得， 所以（其中）， 得，所以，， 所以， 解得. 故选：B 2. 已知则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦二倍角公式即可求解. 【解析】， 故选：A 3.已知，，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程移项平方以后再相加即可判断AB，然后再根据三角函数值以及角的范围计算出和即可判断CD. 【解析】由得，两边平方得：，① 由得，两边平方得：，② ①+②得：， 因为，所以 ， 由可得：，即， 所以， 又，所以， 所以，故A错误； 由，两边平方得，③ 由得，两边平方得：，④     ③+④得：， 因为，所以，故， 由，，可得，故C正确，D错误； 综上不是定值，故B错误.     故选：C 4.计算（  ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化简分子，求得结果. 【解析】分母 ， 分子 ， 所以原式. 故选：A 5.已知，则（  ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由三角恒等变换结合角的范围得，再由三角恒等变换结合商数关系即可求解. 【解析】， 所以，即，即， 由题意，所以解得满足题意， 故. 故选：D. 6.（多选）已知，，则（  ） A． B． C．是锐角 D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的平方关系判断A的真假；利用二倍角的余弦公式求的值，判断B的真假，根据的符号判断C的真假；利用两角和与差的正弦公式求判断D的真假. 【解析】因为，，所以，A正确. ，所以为锐角，所以B错误，C正确. ，D正确. 故选：ACD 7.（多选）下列等式成立的有（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断. 【解析】对于A，，A成立； 对于B、D，，B不成立，D成立； 对于C，由，得，C成立. 故选：ACD. 8.（多选）已知，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【解析】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 9.函数的最大值为 . 【答案】 【分析】根据两角差的正弦公式，化简得到，即可求解. 【解析】由 当时，即 所以的最大值为： 故答案为： 10.已知为钝角，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，切化弦结合三角恒等变换化简整理即可，即可得结果. 【解析】因为， 则 ， 即，且为钝角，所以. 故答案为：. 11.已知，的取值范围是，，则函数的最小值为 . 【答案】 【解析】试题分析：设， 则， 所以，即，所以. 设，因为，所以，代入得 ，由于，故的最小值是，所以， 当且仅当时，，又因为函数在时是减函数， 所以. 12.如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． (1)若，求面积的最大值及取得最大值时的值； (2)若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ (3)若，，，求的值． 【答案】(1)时，；(2)时，的最大值等于2；(3)4 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解； （2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可； （3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解. 【解析】（1）由为直径得圆周角， ， ， 所以当，即时，． （2）由与相似得，又， 所以，     所以当时，的最大值等于2 （3）由相似三角形得，由直角三角形得， 所以 13.已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【解析】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以 14.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)若为的相伴特征向量，求实数m的值； (2)记向量的相伴函数为，求当且时的值； (3)已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在点，使得. 【分析】（1）利用特征向量的定义即得； （2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果； （3）由题可得的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【解析】（1）∵， 又为的相伴特征向量， ∴； （2）∵向量的相伴函数为， 又， . ，， ， ∴； （3）由题可知， ∴， 设，， ，， 又， ， ， 即， ， ，， ， 又， 当且仅当时，和同时等于， 在图像上存在点，使得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 三角恒等变换 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、辅助角公式的应用 类型二、二倍角与降幂公式 类型三、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） 类型四、三角恒等变换在三角形中的应用 类型五、三角恒等变换在三角函数中的应用 类型六、三角恒等变换在平面图形中的应用 类型七、三角恒等变换在常用逻辑用语、函数、不等式、平面向量中的应用 类型八、新定义 压轴专练 类型一、辅助角公式的应用 辅助角公式： （其中）． 【技巧方法】 常见辅助角结论： （1）； （2）； （3）； （4）． 例1．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式1-1．若函数在处取得最大值，则 . 变式1-2．要使有意义，则的取值范围为 ． 变式1-3．当时，，则 . 变式1-4．已知函数，则当时的最大值为 ． 变式1-5．若，则实数的值为________ 变式1-6．若，为锐角，则______________ 类型二、二倍角与降幂公式 1、二倍角公式 ①； ②； ③； 2、降幂公式 【技巧方法】 利用二倍角公式求解问题处理方法： 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角公式的形式. 例2．的值为（  ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，，则（  ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，则 变式2-4．已知，则 . 变式2-5．已知 则 变式2-6．设，当时，，则 . 类型三、拆角、配角问题（给值求值、给值求角） 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式进行给值求值、给值求角． 【技巧方法】 拆分角的变形： ①；；②； ③；④；⑤． 其他： 例3．（1）已知，，，，则的值为（  ） A． B． C． D． （2）若，且，则 . 变式3-1．已知，且，则（  ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）若，，且，，则以下说法正确的是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）已知，为锐角，，，则（  ） A． B． C． D． 变式3-4．已知，．若，，则的值是 ． 变式3-5．已知，，，，则的值为 .（用弧度制表示） 变式3-6．若，且，则 . 类型四、三角恒等变换在三角形中的应用 已知三角恒等式可以判断三角形的形状，判断时先将已知恒等式进行合理的变形，得到角或边之间的关系，再加以判断．条件中没有边的相对位置关系时，就从角入手，证明一个角是直角或者有两个角互余，也可由一个角的正弦值为1或余弦值为0，得出结论． 【技巧方法】 利用三角形内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换公式解决三角形中的求值、最值问题。 例4．在锐角中，，则的最大值为________． 变式4-1．在锐角中，若，则的最小值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 变式4-2．（多选）在中，，若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．在中，为它的三个内角，且满足，，则______. 变式4-4．中，若，，则的取值范围是______. 类型五、三角恒等变换在三角函数中的应用 【技巧方法】 结合两角和与差公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数化简为形如这种三角函数形式，再根据三角函数的性质进行求解。 例5．已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数．记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值． 变式5-1．已知函数的最小正周期为，且满足，则（  ） A．1 B．2 C． D．0 变式5-2．（多选）已知函数，，则（  ） A．函数的最小正周期为 B．当时，函数的值域为 C．当时，函数的单调递增区间为 D．若，函数在区间内恰有2025个零点，则 变式5-3．若函数的图象关于直线对称，则的值是 . 变式5-4．已知函数，且，则 ． 变式5-5．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 变式5-6．已知函数的两条相邻对称轴的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象． ①若，且，求的值； ②若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 类型六、三角恒等变换在平面图形中的应用 首先结合几何图形，利用三角函数进行表示，再根据三角恒等变换，结合三角话术图像与性质可求解图形面积最值问题. 例6．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 变式6-1．若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（  ）    A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米 B．当时，种植花卉区域的面积为平方米 C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米 D．种植花卉区域的面积可能是平方米 变式6-3．在半径为1，圆心角为的扇形中，是弧上的动点，是扇形的内接矩形，则矩形面积的最大值为 . 变式6-4．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，则的周长为2，求的大小． 类型七、三角恒等变换在常用逻辑用语、函数、不等式、平面向量中的应用 三角恒等变换公式常常与常用逻辑用语、函数、平面向量、不等式等章节进行融合。 【技巧方法】 使用公式时，不仅要会正用、逆用、变用，还要能够与这些章节知识结合进行合理运用。 例4．已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . (1)求证下列式子均为定值 ①； ② (2)求函数 在上的最小值; (3)若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 变式4-1．已知角 、 满足 ，命题甲：存在 属于第一象限， 属于第三象限: 命题乙: 存在 属于第二象限， 属于第四象限. 则下列说法正确的是（  ） A．甲、乙都是真命题 B．只有甲是真命题 C．只有乙是真命题 D．甲、乙都不是真命题 变式4-2．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 变式4-3．函数的值域为 ． 类型七、新定义 【技巧方法】 三角恒等变换常常与向量、三角函数相结合构建新定义问题；主要把握住它们之间的转换关系即可，熟记三角恒等变换的有关公式；求取值范围转换为函数问题，数形结合解决问题 例7．在平面直角坐标系中，定义向量为函数的有序相伴向量. (1)设，写出函数的相伴向量； (2)若的有序相伴向量为，若函数，与直线有且仅有2个不同的交点，求实数的取值范围； (3)若的有序相伴向量为，当函数在区间上时值域为，则称区间为函数的“和谐区间”.当时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由. 变式7-1．若实数，且满足，则称是“余弦相关”的． (1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数； (2)若实数是“余弦相关”的，求的取值范围； (3)若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的． 变式7-2．定义：向量的“相伴函数”为；函数的“相伴向量”为（其中为坐标原点）.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S. (1)设函数，求证：； (2)若函数，且，求其“相伴向量”的模； (3)已知动点和定点满足：，向量的“相伴函数”在处取得最大值.求的取值范围. 变式7-3．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求， 变式7-4．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. (1)记向量的相伴函数为，求当且时，的值; (2)设函数，试求的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量; (3)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得.若存在，求出点坐标;若不存在，说明理由. 1.若，，则（  ） A． B． C．1 D． 2. 已知则等于（  ） A． B． C． D． 3.已知，，，，，则（  ） A． B． C． D． 4.计算（  ） A．2 B．1 C． D． 5.已知，则（  ） A． B． C．1 D． 6.（多选）已知，，则（  ） A． B． C．是锐角 D． 7.（多选）下列等式成立的有（  ） A． B． C． D． 8.（多选）已知，，则（  ） A． B． C． D． 9.函数的最大值为 . 10.已知为钝角，且，则 ． 11.已知，的取值范围是，，则函数的最小值为 . 12.如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． (1)若，求面积的最大值及取得最大值时的值； (2)若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ (3)若，，，求的值． 13.已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 14.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． (1)若为的相伴特征向量，求实数m的值； (2)记向量的相伴函数为，求当且时的值； (3)已知，，为（1）中函数，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $