专题10 配凑角、和差化积、积化和差公式、三倍角（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题10 配凑角、和差化积、积化和差公式、三倍角 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、配凑角 类型二、和差化积公式 类型三、积化和差公式 类型四、三倍角公式 类型五、以数学文化为背景下的公式应用 压轴专练 类型一、配凑角 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式． 拆分角的变形： ①；； ②； ③； ④；⑤． 其他： 【技巧方法】 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 例1．（1）已知，，，，则（  ） A． B． C． D． （2）已知，且，，则（  ） A． B． C． D． 变式1-1．已知，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．若，，并且均为锐角，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．已知，若，则___________- A． B． C． D． 变式1-4．已知，均为锐角，，，则的值为___________- A． B． C． D． 类型二、和差化积公式 和差化积公式: 口诀： 正弦＋正弦,正弦在前； 正弦－正弦,正弦在后； 余弦＋余弦,余弦并肩； 余弦－余弦，余弦靠边。 证明：由，，得 .其他同理可证. 【技巧方法】 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式． 例2．若，，则 结果用，表示. 变式2-1．若A是的内角，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式2-2．已知锐角满足，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式2-3．设，，则 ． 变式2-4．计算 . 变式2-5．已知，则 ， . 类型三、积化和差公式 积化和差公式： ； ； ； . 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 证明：由两角和与差的正弦公式得 两式相加可得， 两式相减可得． 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式. 【技巧方法】 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为与的和或差；如果形式为同名函数积时，化得的结果应为与的和或差． 例3．化简的结果为（  ） A． B． C． D． 变式3-1．计算：（  ） A． B． C． D． 变式3-2．（多选）（25-26高一上·全国·课前预习）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 变式3-3．已知则的值为 . 变式3-4．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 类型四、三倍角公式 1、正弦三倍角公式： 2、余弦三倍角公式： 3、正切三倍角公式： 推导过程： 1.3 2.同理： 3. . 例4．某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①； ②．根据以上研究结论，研究以下问题． (1)在①和②中任选一个进行证明； (2)当时，尝试用表示； (3)求值：． 变式4-1．设，则（  ） A．1 B． C． D． 变式4-2．函数在区间的零点个数为（  ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式4-3．（多选）已知，且，，是在内的三个不同零点，下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变式4-4．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． (1)利用上述结论，求的值； (2)化简；并利用此结果求的值； (3)已知方程在上有三个根，记为，求证：. 变式4-5．由倍角公式，可知可以表示为仅含的二次多项式. （1）类比公式的推导方法，试用仅含有的多项式表示 ； （2）已知，试结合第（1）问的结论，求出的值. 变式4-6．由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式.对于，我们有，可见也可以表示成的三次多项式.以上推理过程体现了数学中的逻辑推理和数学运算等核心素养，同时也蕴含了转化和化归思想. (1)试用以上素养和思想方法将表示成的三次多项式； (2)化简，并利用此结果求的值. 变式4-7．可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx＝Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式． (1)求证：sin3x＝3sinx－4sin3x； (2)请求出P4(t)，即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x； (3)利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值． 类型五、以数学文化为背景下的公式应用 以数学文化为背景，读懂题意运用三角恒等变换公式解决问题。 例5．人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离. 余弦相似度：. 余弦距离：. (1)若，，求A，B之间的和余弦距离； (2)已知，，，若，，求的值. 变式5-1．高中数学中“万能公式”因其用半角的正切表示正弦、余弦、正切，而被我们称之为“万能”，例如：，根据以上数学变形转换方法，运用类比的方法解答下题． (1)试推导，； (2)试求函数的取值范围； (3)试求函数的取值范围． 变式5-2．已知函数，称向量为的特征向量，为的特征函数. (1)设，求的特征向量； (2)设向量的特征函数为，求当且时，的值； (3)设向量的特征函数为，记，若在区间上至少有40个零点，求的最小值. 变式5-3．在三角函数领域，为了三角计算的简便并且追求计算的精确性，曾经出现过以下两种少见的三角函数：定义为角的正矢（或），记作；定义为角的余矢（Coversed或coversedsine），记作． (1)设函数，求函数的单调递减区间； (2)当时，设函数，若关于的方程的有三个实根，则： ①求实数的取值范围； ②求的取值范围． 1.若，，且，，则（  ） A． B． C． D． 2.（  ） A．0 B． C． D． 3.已知，，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 4.已知，，，则（  ） A． B． C． D． 5.已知、终边不重合，，则（  ） A． B． C． D． 6.（多选）如图所示，已知角α，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段AB的中点，射线OM与单位圆交于点C，则以下结论正确的有（  ） A.； B.； C.点的坐标为； D.点的坐标为 7.（多选）下列等式成立的有（  ） A． B． C． D． 8.（多选） 已知函数在内的三个零点分别为，则（  ） A． B． C． D． 9.已知，则 . 10.已知，，则 . 11.已知，，，则 . 12.已知对任意的角α，β，满足，.则当，时， ；若，则 （填“>”“<”或“＝”）. 13.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式，对于，我们有 ． 可见可以表示为的三次多项式． (1)对照上述方法，将可以表示为的三次多项式； (2)若，解关于x的方程． 14.某校徽风皖韵数学兴趣小组，在学习三角函数的过程中发现一个规律： ， ， ， 据此规律提出猜想：，并用两角和与差的余弦公式证明（过程略）．当、、有相同的始边时，其终边三等分圆周，类似于大徽尖风力发电机叶片之间的关系，因此该兴趣小组的同学称这个恒等式为“大徽尖恒等式”．同时，小组同学也提出疑问：对于更多“叶片”的“风力发电机”，这样的“大徽尖恒等式”的结论能否得到推广呢？ 根据以上信息，回答下列问题： (1)证明：； (2)解关于的方程：，其中； (3)证明：，其中，且． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题10配凑角、和差化积、积化和差公式、三倍 角 (五类重难点题型) 目录 典例解析 类型一、配凑角 类型二、和差化积公式 类型三、积化和差公式 类型四、三倍角公式 类型五、以数学文化为背景下的公式应用 压轴专练 典例详解 类型一、配凑角 三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它 们的公式 拆分角的变形： ①a=2. 2:=(a+B)B; ②a=B-(β-a): ®a=2【a+B)+a-B: ④f=a+)-a-B1:⑤子+a---a). 其他： -) 4 【技巧方法】 常用的拆角、配角技巧：2a=(a+β)+(a-);a=(a+)-B=(a-B)+B; B=a+B_a-B =a+2B)-a+B);a-B=a-y)+g-B);15=45-30°；交+a=T 2 2 4 1/38 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 等 则cos(a+B)=() 63 A. 16 B. 33 C. 65 65 65 D.、6 65 【答案】C 【分折】由所给角的象限结合何角三角函数叁本关系可得mQ+爱引m0-引 再利用两角和的余弦 公式计算即可得解， 【解1ae(经列o则a+任得)B-(0 如a--we-周昌 故mla+-owra}B引 31245 16 = 65 故选：C (2）已知a,Be(0,m),且cosa-5 sm@+B)Y2,则aB=( 10 B. 3π 4 C. 【答案】C 【分析】方法一：由条件结合同角关系求sina,由二倍角公式求sin2a,cos2a,再利用两角差正弦公式可 求sina-B),由此可求结论 4匹V2 方法二：由条件可得sin(a+B)<cosa=sin(a+2）< 由此确定Q+B,a+无范围，结合正弦函数单调性 2 可得x>B>子a,由此可得结论 【解析】因为cosa= 52,ae0,x, 52 2/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以ue停，sma 2v5 5 所以sin2a=2=2x25x5_4, -X 555 cos2a=1-2sin2a=1-2× 25-3<0 5 5 所以2a∈ 2π， 又Be(0,), 所以a+B∈ π3π 42 又0<sin(a+β)= √2.√2 102 所以a+B∈ 3 4 所以cosa+B)=--sina+)=-72 10 sin(a-B)=sin[2a-(a+B)]=sin 2a cos(a+B)-cos2a sin(a+B) 因为ae(受，Be0,, 所以u8(》则a-B=牙 解法二：因为a,B∈(0，π)， 所以a+号经.0<a+B<2 2 "sin(a) 105 =cosa=sin(a+ 2 所以a∈天），<a+ (4'22 2<π，∠0+B<t 所以a+B>a+2 π π 所以>B>2>a> 所以-受<a-B<0, 故选：C. 变式11.已红ma-29例-Gma- 则sin(a-B)cosB=() 65 3/38 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 36 32 20 12 C. 65 B. 65 65 D. 65 【答案】A 【分析】利用凑角法得到方程，两式相加得到sin(o-B)cosB= 36 65 【解析】sin(a-2p)=sin（a-B)-B=sin(a-B)cosB-cos(a-B)sinβ= 6① 6 sina=sin[(a-B)+B]=sin(a-B)cosB+cos(a-B)sinp-56. 65 @②相加，得2sinc-B)cos=,所以sima=cos=36 65 故选：A. 变式1-2.若cos(a-B)=5 cos2a=1 10 ,并且a,B均为锐角，且a<B,则a+B的值为() 5 B. π C. 3π 4 4 D.Sx 6 【答案】C 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得sn(a-B月引=-25， ，sn2a=0，再由两角差的余 10 弦公式计算可得结果。 【解析】由0<a<B<受可得-<a-B<0, 又cos1a-B)-5,所以snla-B1=--os1u-月=-25 5 因为cos2a= 0,0<2a<,所以sin2a==c0s2a=3 10 10 cos(a+B)=cos2a-(a-B)]=cos2acos(a-B)+sin2asin(a-B) =i0x5_3i0x25.-2 1051052 又因为a+B∈(0，，所以a+B=3江 4 故选：C 变式1-3. 已-o引者ma1-om8- ，则cos2a= 3 1 B.3 C. 23 23 27 D.- 27 【答案】D 【分析】根据角的范围，利用同角的三角函数关系求得cos(a+B),sinB的值，利用两角差的余弦公式即可 求得Cos,继而利用二倍角的余弦公式求得答案， 4/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【解1时a经小9引则a+B(怎》 而snla+例-片故a+月∈（爱-cosa+)=--sna+p=-2 3 等Be0》,可得snB=6 由cosB= 2 3 则cosa=cos[(a+β)-β]=cos(a+β)cosB+sin(a+)sinB -22x5+x6-6」 33339 故cos2a=2cos2a-1=2x-6-1=-2 9 7 故选：D ,则cos+B的值为 10 2 A. B. 2 C.② 2 D.-② 2 10 10 【答案】B 【分析】由所给角的象限结合同角三角医数基本关系可行口-号》，Q(受+P小再利用两角和的余 2 弦公式计算即可得解， 【解折】因为a,B均为锐角，即0<a<受0<B<号所以a-号c(晋习，号+Be(年孕： 2 4’2 所以ams=a-+(+B=oa-o-+B)-sa-号sn(-+刷 2 2√5310√510√2 X X 5105102 故选：B 类型二、和差化积公式 和差化积公式： sina sinp2sinco 2 5/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ma-n8=2a82n22) cosa+cosB=2cosB)cos(B) 2 2 cosa-cosB=-2sin(B)sin(B) 2 2 口诀： 正弦十正弦，正弦在前： 正弦一正弦，正弦在后： 余弦十余弦，余弦并肩； 余弦一余弦，余弦靠边。 证明：由cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B,cos(a-B)=cosa cos B+sina sin B,得 cosa cosB-cos+B)+cos() 其他同理可证. 【技巧方法】 和差化积公式应用时要注意只有系数的绝对值相同的各函数的和与差才能直接运用推论化成积的形式， 例2.若sinx+sin3x+sin5x=a,cosx+cos3x+cos5x=b,则tan3x=结果用a,b表示. 【答案】号 【分析】根据差化积公式求得结果. 【解析】由和差化积公式得：5n5x+sinx=2snt+5cos5r-2sin3xcos2x, -cos- 2 2 cos5x+cosx2cos5 cos2cos3.xc0s2x 2 -cos- 2 sinx+sin 3x+sin 5x=2sin 3x cos 2x+sin 3x=sin 3x(2cos 2x+1), cosx+cos3x+cos 5x=2cos3xcos 2x+cos3x=cos 3x(2cos2x+1), 故 sinx+sin3x+sin 5x sin 3x(2cos2x+1) tan3x, cosx+cos3x+cos5x cos3x(2cos 2x+1) a 故tan3x= b 故答案为：名 变式21.若A是ABC的内角，且sin4-cosA=17, 13,则5in4+4e0s 的值为() 5sinA-7cosA 6/38 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8 8 C.l16 16 B. D. 19 5 5 【答案】A 【分析】根据差化积公式结合倍角公式求得结果 【解析】由sin4-cos4=可得1sin4-cos42-289 13 169 289 sin2 A -2 sin A cos A cos2 A 169 289 sin2A=-120 16(sin 4+cos4)1+sin24- 49 即1-sin2A= 169 169 2,πsinA+cosA= 3,所以sin4=2 5 ①片A∈ cos1=3 所以tanA=sinA 12 cosA 5 5sinA+4cosA 所以 5tanA+4-88 5sinA-7cosA 5tan4-7-19 -19 ②A7,BSmA+cos1 13'所以sin4= 13 COs4= 12 139 所以tanA= sinA 5 cos4 12 25 5sinA+4cosA 5tanA+4_-12 4 23 所以 5sinA-7cosA 5tanA-7_25-7 109 12 故选：A 变式2-2.已知锐角x满足sin3x-sinx>0,则x的取值范围为() B. π ) ππ c.6 p. 【答案】B 【分析】根据差化积公式结合倍角公式求得结果 【解析】由和差化积公式得sin3x-sinx=2cos2 xsinx, 欲求sin3x-sinx>0,则求2cos2 x sin x>0即可， 园为x是锐角，所以x日0，，且sinr>0 故求cos2x>0即可，解得2x∈(2km-兀，2hm+,keZ, 21 2 则xea-平6低+孕eZ,当=0时，e(晋孕， 7/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 π 得到x04) 故B正确， 故选：B 7 1 变式23.设cosa+cosB=5,sina-sinB-行'则ana-B)= 7 【答案】 24 【分析】根据和差化积公式结合倍角公式求得结果. 《解析)cosa+cosB=2cos0,Pcos+B7 25 ma-如B=2o2生2m8-有am22-anla--=， 2tan -B 2 7 2 25 ma-BY-24. 1-tan 2 故答案为： 7 24 变式2-4.计算，c0s220+c0s240+c0s280 sin220°+c0s250°+c0s50sin20= 【答案】2 【分析】根据二倍角公式以及和差化积公式化简求解分母，再利用二倍角公式及两角和与差的余弦公式化 简分子，求得结果 【解析】分母=sin220°+cos250°+cos50°·sin20° 1上cs4r,+s1ow+m2w+50+2r-0] 2 2 =1-cos40°+cos100°+1sin70°-1 1 2 2 2 4 =31 4+2cos100-c0s40)+55in70 1 2 -子m0wsa0+分n7m 1 分子=c0s220°+c0s240°+c0s280° _1+cos40+1+cos80°+1+c0s1609 2 2 2 3,cos40°+sin10°-cos20° 22 2 3cos30°+10°)+sin10°-cos20° 2 2 =3+cos30°cos10°+sin30°sin10°-cos20 2 2 8/38 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =3+c0s30°-10）-c0s20°3 2 2 所以原式=号-2 4 故答案为：2. 变式25.已知sina+sin明=a,cosa+cosf=b(ab≠0)，则cos(a-P)=一，sin(a+P)= 2ab 【答案】 a2+b2-2 2 a2+b2 【分析】根据和化积公式求得结果。 【解析】由sina+sin阝=a可得(sina+sinB)=a2，即sin2a+sin2阝+2 sina sin B=a2, 由cosa+cosB=b可得(cosa+cosB)2=b2,即cos2a+cos2B+2 cosa cosB=b2, 两式相加可得2+2(sina sin B+cosa cos B)=a2+b2, 即2+2c0sa-B)=a2+b3,解得cosa-B)=+B2-2, 2 因为sina+simB=sina+B+a,B+sina+B_a,B）=2sina+Pcos,B-a, 2 2 22 2 2 wa+w8-me.）ome-到 (2 -2cos@tBcosa-B-b, 2 2 所以tana+B2sina+B。 2-c0s。a 2 2cosa+B cosa-Bb -cos- 2 2 2sin aB cosB 所以sin(a+B)= 2 2tan+B 2xa 2 2 b 2ab sin2+B +cos:B tan: a a2+b2· 2 2 2 +1 b 2ab 故答案为： a2+b2-2 2 a2+b2: 类型三、积化和差公式 积化和差公式： 9/38 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cos ocosB)+co] sina sincos+B)-cos(). sin cos-sin(+B)+sin(B)]: cosa sin B=sin(+B)-sin() 口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加； 异名函数取正弦，正弦相乘取负号。 sin(a+β)=sina cos B+cosa sinβ， 证明：由两角和与差的正弦公式得sin(a-B)=sina cosB-cosa sinB, sina cosB=[sin(a+B)+sin(a-B)] 两式相加可得 2 两式相减可得cos=2[sin(a+B)-sina-B]. 同理，由两角和与差的余弦公式可得其他公式 【技巧方法】 在运用积化和差公式时，如果形式为异名函数积时，化得的结果应为sin(a+B)与sin(a-B)的和或差； 如果形式为同名函数积时，化得的结果应为cos(a+B)与cos(a-B)的和或差. 例3.化简2c0s50°c0s70°-c0s20°的结果为() A.-sin 60 B.cos1200 C.sin 60 D.cos60 【答案】B 【分析】利用积化和差公式，结合诱导公式化简可得. 【解析】 2c0s50°c0s70°-c0s20°=c0s50°+70+c0s50°-70)-c0s20°=c0s120°+c0s-20）-c0s20°=c0s120°. 故选：B 变式3-1.计算：cos20°cos40°-cos40°cos80°+cos80°cos20°=() A.月 B.3 D.3 2 【答案】C 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 10/38