专题09 二倍角公式、万能公式、半角公式及其应用（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题09 二倍角公式、万能公式、半角公式及其应用 （八类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、给角求值 类型二、给值求值 类型三、给值求角 类型四、逆用、变用二倍角公式化简、求值 类型五、万能公式、半角公式及其应用 类型六、利用二倍角公式解决实际问题 类型七、二倍角公式与其他章节的融合 压轴专练 类型一、给角求值 二倍角公式： ①； ②； ③； 【技巧方法】 利用二倍角公式解决给角求值的解法： 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 例1．（1）求值： ． 【答案】 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】方法一：原式 ； 方法二：令原式乘以得， ， 则原式． 故答案为：. （2）（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【解析】 . 故选：A. 变式1-1．（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及辅助角公式化简可得结果. 【解析】 故选：A. 变式1-2．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 【答案】　 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 故答案为：　 变式1-3． ． 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【解析】 . 故答案为： 变式1-4． ． 【答案】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【解析】原式， 故答案为：. 变式1-5．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则 . 【答案】/ 【分析】利用，结合三角函数的诱导公式即可求解. 【解析】由题可知，，所以， 因为 ， 即， 又因为，所以， 故答案为：. 类型二、给值求值 二倍角公式的常见变形： （1） （2）升幂公式： 降幂公式：，． 【技巧方法】 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用二倍角公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角． 例2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解析】. 故选：D. 变式2-1．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 变式2-2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件、平方关系先算出的值，再由二倍角公式、两角差的正弦公式计算即可得解. 【解析】由题意，解得或（舍去）， 从而，， 所以. 故选：C. 变式2-3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【解析】因为，所以， 即，解方程得或（舍）. 因为，所以，， 所以. 故选：D 变式2-4．已知，则_________. 【答案】 【解析】因为，则 . 故答案为：. 变式2-5．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由两角和差的正弦公式及辅助角、二倍角公式进行化简求值即可. 【解析】因为，化简得 所以 故答案为： 类型三、给值求角 重视角的变换： 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．寻找角之间的关系，看是否适合二倍角公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 【技巧方法】 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 例3．若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 变式3-1．设，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【解析】因为，所以，且，所以，则 故选：A． 变式3-2．已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【解析】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 变式3-3．已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 变式3-4．已知，，且，，则的值为_________. 【答案】 【分析】根据三角恒等变换的知识求得，进而求得. 【解析】，，， ， ， ，， 又，， ，. 故答案为： 变式3-5．已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【解析】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 类型四、逆用、变用二倍角公式化简、求值 三角函数化简“三看”原则： 【技巧方法】 解决条件求值问题的方法： 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 例4．已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， ， 故. 故选：C 变式4-1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【解析】. 故选：B. 变式4-2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【解析】已知, 则 故选:D. 变式4-3．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可． 【解析】由已知得，，即， 则， 故选：D． 变式4-4．已知，则 . 【答案】/ 【分析】先根据平方关系求出，再利用降幂公式和二倍角的正弦公式即可得解. 【解析】， . 故答案为：. 类型五、万能公式、半角公式及其应用 万能公式： 半角公式： 【技巧方法】 利用半角公式求值的思路: （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 例4．（1）若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. （2）已知，且，则 . 【答案】 【分析】由题可得，由此可得，又，据此可得答案. 【解析】因， 则， 得.则 故答案为： 变式4-1．已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解析】， 是锐角，则， ， 故选：B． 变式4-2．若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【解析】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 变式4-3．知，是第四象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式可得，即可根据同角关系得，进而即可由半角公式求解. 【解析】由可得，故， 由于是第四象限角，故， ∴． 故选：D． 变式4-4．已知，且，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】由万能公式可得，根据已知得方程求即可. 【解析】由， 所以，则， 由，则. 故选：A 类型六、利用二倍角公式解决实际问题 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助二倍角公式来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【技巧方法】 用借助二倍角公式和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值。 例5．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【解析】（1）由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． （2）在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 变式5-1．如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，因为半径为1，所以，， 因为，，所以， 所以，所以， 所以， ，其中， 当时，取最大值，则， 所以， 所以，解得，， 因为，所以，满足题意， 所以当矩形的面积最大时，. 故选：A. 变式5-2．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 【答案】 【解析】过点作，垂足为，设交于点， 则、分别为、的中点. 设四边形为横向矩形，如图所示， 由题意可知，， 因为，，所以， 所以. 所以矩形的面积 ，其中，且为锐角， 因为，则， 故当时，即当时，取得最大值为. 故答案为：. 变式5-3．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【解析】由题意，为的中点，由，得，当人在点时，如下图所示， 设，则， 在中，， 在中，， 因为， 所以，解得或， 因为，所以，则，则， 当人运动到中点时，作于点，如下图所示， 则，， 所以， 在中， 故选：B． 变式5-4．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 【答案】(1)；（2）时，最大. 【分析】（1）根据题意得到，，求得，列出方程，即可求得； （2）分别求得，，根据得出关系式，结合换元法和基本不等式，即可求解． 【解析】（1）设，，，则，， 由，解得. （2）设，则，， 所以， 因为，所以，即为锐角， 令，则， 所以， 所以， 当且仅当时，即， 所以时，最大. 类型七、二倍角公式与其他章节的融合 二倍角公式常常与三角函数、平面向量、不等式等章节进行融合。 【技巧方法】 使用公式时，不仅要会正用、逆用、变用，还要能够与这些章节知识进行合理运用。 例6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 【答案】（1）， ；（2） （3）2 【分析】（1）由三角函数的定义以及二倍角公式可得解； （2）先利用角与角的终边关于轴对称求解，再利用正切的二倍角公式，可得解； （3）根据一个周期内正弦函数值为的角为2个，分析可得解. 【解析】（1）由题意，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点 故 解得： （2）由题意，角与角的终边关于轴对称， 故 （3）由于角为给定角，角，一个周期内正弦函数值为的角有2个，故满足条件的角的个数为两个 变式6-1．（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】由三角恒等变换得，根据图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，求得，根据正弦函数的性质逐一判断即可． 【解析】， 将图象向左平移个单位长度得，， 因为图象恰好关于轴对称， 所以，即， 又，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，， 因为在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 则，所以，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，， 设， 若在区间上至少存在5个零点，则与在有五个交点， 所以，解得，故D错误； 故选：BC． 变式6-2．已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【解析】由题设有， 令，则有，即， 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或. 故答案为：. 变式6-3．已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）（2）根据向量知识以及二倍角公式得结果； 【解析】（1）由题 ， 由于，则函数的值域是； 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）因为，可得， 因为，则， 可得， 所以. 变式6-4．已知函数，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 【解析】（1）因为，则的最小正周期为. 由可得， 所以，函数的单调递减区间为. （2）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为. 变式6-5．已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【解析】（1） 与共线 即 （2） 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减 又 所以函数的值域为 变式6-6．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可. 【解析】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 中，，则， 所以， 所以 （2）若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. 1.（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦的二倍角公式计算可得结果. 【解析】易知. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【解析】. 故选：B. 3.已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，通过化解计算可得，然后利用齐次式可计算. 【解析】因为，所以， 又，所以，所以， 即，解得或， 因为，所以， 所以． 故选：C. 4.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 5.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值. 【解析】连接，.设，， 在中，， 由得，. 在中，， ， . 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：B． 42.某公司欲生产一款迎春工艺品回 6.（多选）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用两角和的余弦公式计算可得A错误，根据二倍角的正弦公式计算可得B正确，将式子分解结合二倍角的余弦公式可计算C错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算D正确. 【解析】对于A，易知，可得A错误； 对于B，易知，即B正确； 对于C，易知 ，即可得C错误； 对于D，，可得D正确. 故选：BD 7.（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】将原式平方即可判断A，由即可判断B，结合二倍角公式以及余弦的和差角公式化简即可判断C，由与的值代入计算，即可判断D. 【解析】由可得，则，故A正确； 且，则， 所以， 且，则，故B错误； ，故C正确； 因为， 由，可得，故D错误； 故选：AC 8.（多选）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【解析】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 9.计算 【答案】/0.25 【分析】逆用二倍角的正弦公式，配凑系数计算即得. 【解析】由. 故答案为：. 10.在中，，则________. 【答案】 【分析】由半角公式即可求解. 【解析】 故答案为： 11.已知 则 【答案】 【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解. 【解析】由于，故， 因此， 所以，故， ，故或， 当时，， 当时，， 故， 故答案为： 12.已知函数的最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，结合可得出关于的等式，解之即可； （2）由三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据的奇偶性以及的取值范围可得出的值，化简函数的解析式，再结合余弦型函数的基本性质可求出函数在区间上的最小值. 【解析】（1）因为 ， 其中满足，， 所以，，解得. （2）由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象， 则， 由题意可得，，可得， 因为，故，故， 当时，，故. 故当时，函数的最小值为. 13.已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解； （2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可. 【解析】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 14.阅读下面材料： 解答问题： (1)用表示； (2)根据恒等式，求的值； (3)若函数，，求的值域． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，将等式左边逐步化简，即可得出结果； （2）先由（1）的结果，将原式化简整理，得到，再令，，结合二次函数的性质，即可求出函数值域. 【解析】（1） ； 即得证； （2）令，由等式知，， 即，显然， 所以，即， 解得：，又，所以，即 （3）令，则，且 令，，又函数开口向下，对称轴为， 所以函数在上单调递减； 因此，即， 由二次函数图象得值域为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二倍角公式、万能公式、半角公式及其应用 （七类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、给角求值 类型二、给值求值 类型三、给值求角 类型四、逆用、变用二倍角公式化简、求值 类型五、万能公式、半角公式及其应用 类型六、利用二倍角公式解决实际问题 类型七、二倍角公式与其他章节的融合 压轴专练 类型一、给角求值 二倍角公式： ①； ②； ③； 【技巧方法】 利用二倍角公式解决给角求值的解法： 若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，要利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 例1．（1）求值： . （2）（ ） A． B． C． D． 变式1-1．（ ） A． B． C．1 D． 变式1-2．sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 变式1-3． ． 变式1-4． ． 变式1-5．如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为，则 . 类型二、给值求值 二倍角公式的常见变形： （1） （2）升幂公式： 降幂公式：，． 【技巧方法】 给值求值问题的解题策略： (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系． (2)在运用二倍角公式进行解题时，可以根据需要灵活地进行拆角或凑角． 例2．已知，则（ ） A． B． C． D． 变式2-1．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 变式2-2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 变式2-3．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 变式2-4．已知，则_________. 变式2-5．已知，则的值为 ． 类型三、给值求角 重视角的变换： 三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．寻找角之间的关系，看是否适合二倍角公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 【技巧方法】 给值求角问题的解题步骤： (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． 例3．若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 变式3-1．设，且，则（ ） A． B． C． D． 变式3-2．已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 变式3-3．已知，均为锐角，，，则 ， . 变式3-4．已知，，且，，则的值为_________. 变式3-5．已知 (1)求的值； (2)求的值. 类型四、逆用、变用二倍角公式化简、求值 三角函数化简“三看”原则： 【技巧方法】 解决条件求值问题的方法： 解决条件求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的关系，有两个观察方向: （1）有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； （2）寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系。 例4．已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 变式4-1．已知，则（ ） A． B． C． D． 变式4-2．已知，，则（） A． B． C． D． 变式4-3．若，则（ ） A． B． C． D． 变式4-4．已知，则 . 类型五、万能公式、半角公式及其应用 万能公式： 半角公式： 【技巧方法】 利用半角公式求值的思路: （1）看角：看已知角与待求角的2倍关系． （2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备． （3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算． 提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号. 例4．（1）若且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． （2）已知，且，则 . 变式4-1．已知为锐角，且，则（  ） A． B． C． D． 变式4-2．若且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式4-3．知，是第四象限角，则（ ） A． B． C． D． 变式4-4．已知，且，则（ ） A． B． C． D．或 类型六、利用二倍角公式解决实际问题 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助二倍角公式来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题． 【技巧方法】 用借助二倍角公式和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值。 例5．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 变式5-1．如图，在扇形OPQ中，半径、圆心角，且，（），C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记，当矩形ABCD的面积S取得最大值时，的值为（ ） A． B． C． D． 变式5-2．某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 . 变式5-3．某大型商场为迎接新年的到来，在自动扶梯（）的点的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌，如图所示，广告牌底部点正好为的中点，电梯的坡度．当人在点时，观测到视角的正切值为．当人运动到中点时，（ ） A． B． C．5 D． 变式5-4．如图所示是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进行了简化，取其部分可抽象成图（1）所示的模型，其中桥塔、与桥面垂直，通过测量得知，，当为中点时，. （1）求的长； （2）试问在线段的何处时，达到最大. 类型七、二倍角公式与其他章节的融合 二倍角公式常常与三角函数、平面向量、不等式等章节进行融合。 【技巧方法】 使用公式时，不仅要会正用、逆用、变用，还要能够与这些章节知识进行合理运用。 例6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 变式6-1．（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 变式6-2．已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 变式6-3．已知向量，函数. (1)求函数的值域和单调递增区间； (2)当，且时，求的值. 变式6-4．已知函数，. (1)求的最小正周期及单调递减区间； (2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 变式6-5．已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 变式6-6．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 1.（ ） A． B． C． D． 2. 已知，则（ ） A． B． C． D． 3.已知，，则（ ） A． B． C． D． 4.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 5.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 6.（多选）下列化简正确的是（ ） A． B． C． D． 7.（多选）已知，则（ ） A． B． C． D． 8.（多选）已知，，则（ ） A． B． C． D． 9.计算 10.在中，，则________. 11.已知 则 12.已知函数的最大值为． （1）求实数的值； （2）将函数的图象向左平移个单位长度后得到偶函数的图象，当时，求函数的最小值． 13.已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 14.阅读下面材料： 解答问题： (1)用表示； (2)根据恒等式，求的值； (3)若函数，，求的值域． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $