专题02 二倍角公式及其应用9种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题02 二倍角公式及其应用9种常考题型 题型一：二倍角的正弦公式 题型二：二倍角的余弦公式 题型三：二倍角的正切公式 题型四：二倍角给值求值 题型五：二倍角给值求角 题型六：利用二倍角化简 题型七：利用二倍角公式证明恒等式 题型八：利用二倍角公式解决应用问题 题型九：二倍角公式与其他章节的融合 题型一：二倍角的正弦公式 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】因为，得， 所以． 故选：B 2.若则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用平方关系求解. 【解析】因为 所以，又 所以， 故选：D 3.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】注意到，后由可得答案. 【解析】. 因，则. 故选：A 4.若则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用平方关系求解. 【解析】因为 所以，又 所以， 故选：D 5.如果，且是第四象限的角，那么______. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解析】由于，且是第四象限的角，则， 所以. 故答案为： 6.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 【答案】　 【分析】根据二倍角公式求值. 【解析】原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12° ＝ ＝＝＝. 题型二：二倍角的余弦公式 7．（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】. 故选：C. 8.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】， 分子分母同时除以，得． 故选：D. 9.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】由两边平方得：，而，，则， 因此， 所以. 故选：D 10.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式化简所求表达式，代入求解即可. 【解析】. 故选：B. 11.已知为锐角，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式求得，再根据倍角公式求解. 【解析】，所以， 所以，所以， 因为为锐角，所以. 故选：D 题型三：二倍角的正切公式 12．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切的二倍角公式求解即可. 【解析】由，得，则. 故选：A 13.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合诱导公式和二倍角的正切公式化简求值即可. 【解析】由，得， 则． 故选：B． 14.已知（），则____________ 【答案】 【分析】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【解析】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故答案为：. 15.若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用二倍角的正切公式及两角差的正切公式求解即可. 【解析】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 题型四：二倍角给值求值 16．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解析】. 故选：D. 17.已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解析】依题意， 故选：B. 18.已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， ， 故. 故选：C 19.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为， 所以， 所以. 故选：C. 20.已知，则_________． 【答案】. 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】注意到， 则. 故答案为：. 21.已知，则_________. 【答案】 【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算即可. 【解析】因为，则 . 故答案为：. 22.已知、，且，，则的值为________ 【答案】 【分析】由、，可计算出、、的值，利用计算即可得. 【解析】由，，则， 则，， 由，则， 又、，则， 故， . 故答案为：. 23.已知α，β为锐角，，则______. 【答案】 【分析】利用二倍角公式及两角和与差的正切公式计算即可. 【解析】因为， 所以， 因为β为锐角，所以. 故答案为：. 题型五：二倍角给值求角 24．已知，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角恒等变换的知识求得，进而求得. 【解析】，，， ， ， ，， 又，， ，. 故选：C. 25.若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解析】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 26.已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】将转化为，然后由两角和与差的正弦公式展开化简，由，利用二倍角公式化简最后求解即可. 【解析】因为，所以， 所以， 化简得：， 所以， 又由，可得， 所以，即，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：A 27.已知，均为锐角，，，则 ， . 【答案】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求出，先确定的范围，再求出的正弦值即可. 【解析】因为， 所以， 又因，均为锐角，所以，则， 所以，所以，， 又因，所以， 则， 所以. 故答案为：；. 28.设，且，则__________- 【答案】 【分析】根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解，再分析角度范围得到即可 【解析】因为，所以，且，所以，则 故答案为： 题型六：利用二倍角化简 29．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 30.已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件、平方关系先算出的值，再由二倍角公式、两角差的正弦公式计算即可得解. 【解析】由题意，解得或（舍去）， 从而，， 所以. 故选：C. 31.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式化简求值. 【解析】由题意可得，即， 根据二倍角公式展开即：，解得或， 又因为为第二象限角，故，则，， 故． 故选：D． 32.化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【分析】先切化弦并整理得，再结合展开整理即可得答案. 【解析】 . 故选：B 33.若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二倍角公式以及两角和等三角恒等变换公式化简运算即可得解. 【解析】由已知得，即（）， 则.从而. 故选：A. 34.已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合二倍角的余弦公式解二次方程得，然后根据同角三角函数关系求得，最后利用二倍角正切公式求解即可. 【解析】因为，所以， 即，解方程得或（舍）. 因为，所以，， 所以. 故选：D 35.计算：______. 【答案】 【分析】 根据三角函数的基本关系式和两角和差的正弦函数公式，进行化简、运算，即可求解. 【解析】原式. 故答案为： 36.化简求值： (1)； (2)； 【答案】(1)4；(2)1 【分析】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案； 【解析】（1）. （2） . 题型七：利用二倍角公式证明恒等式 37．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；(4)证明见解析 【分析】利用二倍角公式及诱导公式证明即可. 【解析】（1）因为， 所以. （2）因为，所以； （3）因为， 所以，即； （4）因为， 所以， 即. 38.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【解析】证明：左边＝ ＝右边． 39.已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【解析】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 40.求证： (1). (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明； （2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明. 【解析】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：右边 =左边. 题型八：利用二倍角公式解决应用问题 41.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为______ A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】连接，.设，，利用直角三角函数以及切线的性质表示出，再利用三角恒等变形公式及基本不等式求最值. 【解析】连接，.设，， 在中，， 由得，. 在中，， ， . 令，则，且， 则 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 42.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 【答案】（1） （2）， 【分析】（1）由，则在直角中，，，计算得到，计算最值得到答案. （2）计算，得到，得最值. 【解析】（1）由，在直角中，，； 在直角中，， ； ， 所以当，即时，的最大值为， 即时，工艺礼品达到最佳观赏效果． （2）在直角中，由， 可得； 在直角中，， 所以，， 所以 ， 所以当时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时取得最大值，且最大值为． 43.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】（1）过点作的垂线，在，中利用三角函数值表示边长，即可表示出四边形的面积； （2）①运用三角恒等变换和三角函数的性质计算关于的三角函数的最值即可；②通过建系，得出点的坐标，利用的三角函数来表示，再由三角函数的性质即可求得的范围. 【详解】（1）过点作的垂线，垂足为，在中，， 在中，，则，    所以， 所以 （2）①若，由题意可得， 由（1）知： 故平行四边形的面积 由于，故， 故当时，即时，取得最大值为. ②根据题意，建立如图所示的坐标系，则，即    又，则 因，即， 则，， 解得：，， ， 由点是弧上一动点，则，则， 所以即. 则的取值范围为. 题型九：二倍角公式与其他章节的融合 44．（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】由三角恒等变换得，根据图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，求得，根据正弦函数的性质逐一判断即可． 【解析】， 将图象向左平移个单位长度得，， 因为图象恰好关于轴对称， 所以，即， 又，所以，所以， 对于A，，故A错误； 对于B，当时，， 因为在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，当时，， 则，所以，故C正确； 对于D，令，解得， 当时，， 设， 若在区间上至少存在5个零点，则与在有五个交点， 所以，解得，故D错误； 故选：BC． 45.已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先把化成，求出的零点的一般形式为，根据在区间内没有零点可得关于的不等式组，结合为整数可得其相应的取值，从而得到所求的取值范围. 【解析】由题设有， 令，则有，即， 因为在区间内没有零点， 故存在整数，使得， 即，因为，所以且，故或， 所以或. 故答案为：. 46.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 【答案】（1）， ；（2） （3）2 【分析】（1）由三角函数的定义以及二倍角公式可得解； （2）先利用角与角的终边关于轴对称求解，再利用正切的二倍角公式，可得解； （3）根据一个周期内正弦函数值为的角为2个，分析可得解. 【解析】（1）由题意，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点 故 解得： （2）由题意，角与角的终边关于轴对称， 故 （3）由于角为给定角，角，一个周期内正弦函数值为的角有2个，故满足条件的角的个数为两个 47.已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）设为实数，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先根据三角恒等变换化简函数，再根据自变量取值范围，整体换元后利用正弦函数的性质求值域； （2）由可得，根据诱导公式及二倍角余弦公式计算即可. 【解析】（1）， 因为，所以，所以，即， 故的取值范围为； （2）由可得，所以， 所以 . 48.已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果； （2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域. 【解析】（1） 与共线 即 （2） 所以当时单调递增，当时单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减 又 所以函数的值域为 49.阅读下面材料： ，解答下列问题： （1）用表示； （2）若函数，，求的值域. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，二倍角公式，以及同角三角函数基本关系，逐步化简，即可得出结果； （2）先由（1）的结果，将原式化简整理，得到，再令，，结合二次函数的性质，即可求出函数值域. 【解析】解：（1） ， 即； （2） ， 令， 则， ， ， 即， 又函数开口向下，对称轴为， 函数在上单调递减； 故， ， 即， 的值域为. 50.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【分析】（1）根据，利用三倍角公式结合二倍角正弦公式，可得到关于的方程，即可求得答案； （2）先利用两角和差的余弦公式化简，即可利用三倍角公式得到结果； （3）根据方程的特征，令，利用三倍角公式可得，即可求得的值，继而可得的表达式，利用三角恒等变换公式化简，即可证明结论. 【解析】（1），所以， 因为， 因为，， 即， 因为，解得（舍）. （2） ， 故 ； （3）证明：因为，故可令， 故由可得：． 由题意得：，因，故， 故，或，或， 即方程（*）的三个根分别为，，， 又，故， 于是， . 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二倍角公式及其应用9种常考题型 题型一：二倍角的正弦公式 题型二：二倍角的余弦公式 题型三：二倍角的正切公式 题型四：二倍角给值求值 题型五：二倍角给值求角 题型六：利用二倍角化简 题型七：利用二倍角公式证明恒等式 题型八：利用二倍角公式解决应用问题 题型九：二倍角公式与其他章节的融合 题型一：二倍角的正弦公式 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2.若则（ ） A． B． C． D． 3.若，则（ ） A． B． C． D． 4.若则（ ） A． B． C． D． 5.如果，且是第四象限的角，那么______. 6.sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°＝ . 题型二：二倍角的余弦公式 7．（ ） A． B． C． D． 8.若，则（ ） A． B． C． D． 9.已知，则（ ） A． B． C． D． 10.已知，则（ ） A． B． C． D． 11.已知为锐角，若，则（ ） A． B． C． D． 题型三：二倍角的正切公式 12．已知，则（ ） A． B． C． D． 13.若，则（ ） A． B． C． D． 14.已知（），则____________ 15.若，则 ． 题型四：二倍角给值求值 16．已知，则（ ） A． B． C． D． 17.已知，则（ ） A． B． C． D． 18.已知，则 的值为 （ ） A． B． C．1 D． 19.已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 20.已知，则_________． 21.已知，则_________. 22.已知、，且，，则的值为________ 23.已知α，β为锐角，，则______. 题型五：二倍角给值求角 24．已知，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 25.若，，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 26.已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 27.已知，均为锐角，，，则 ， . 28.设，且，则__________- 题型六：利用二倍角化简 29．已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 30.已知，，则（ ） A． B． C． D． 31.已知第二象限角满足，则（ ） A． B． C． D． 32.化简所得的结果是（ ） A. B. C. D. 2 33.若，则（ ） A． B． C． D． 34.已知，且，则（ ） A． B． C． D． 35.计算：______. 36.化简求值： (1)； (2)； 题型七：利用二倍角公式证明恒等式 37．求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 38.求证：. 39.已知，求证：． 40.求证： (1). (2). 题型八：利用二倍角公式解决应用问题 41.如图，在扇形中，，，点P在弧上（点与点不重合），分别在点作扇形所在圆的切线，，且，交于点C，与的延长线交于点D，则的最小值为______ A．2 B． C． D． 42.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圆上一点（异于，），点在线段上，且满足．已知，，设． （1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？ （2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时的值． 43.如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，记， （1）请用来表示平行四边形的面积； （2）若. ①求平行四边形面积的最大值，以及面积最大时角的值； ②记（其中），求的取值范围. 题型九：二倍角公式与其他章节的融合 44．（多选）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递增 C. 当时，的值域为 D. 若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为 45.已知函数，．若在区间内没有零点，则的取值范围是_______． 46.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角的终边位于第二象限且与单位圆相交于点． （1）求及的值； （2）若角与角的终边关于轴对称，求的值； （3）若，且角，直接写出满足条件的角的个数．（结论不要求证明） 47.已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）设为实数，若，求的值. 48.已知向量. （1）若与共线，，求的值； （2）设函数，求的值域. 49.阅读下面材料： ，解答下列问题： （1）用表示； （2）若函数，，求的值域. 50.由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式．对于，我们有 可见也可以表示成的三次多项式． （1）利用上述结论，求的值； （2）化简；并利用此结果求的值； （3）已知方程在上有三个根，记为，求证：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $