专题12 正、余弦定理解三角形（压轴题专项训练）高一数学苏教版必修第二册

专题12 正、余弦定理解三角形 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正、余弦定理的应用 类型二、解三角形周长问题 类型三、解三角形面积问题 类型四、判断三角形的形状 类型五、解三角形的实际应用 压轴专练 类型一、正、余弦定理的应用 正余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 【技巧方法】 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 例1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 【答案】1 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，利用余弦定理，结合已知和即可求解． 【解析】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 由余弦定理知， 即， 即， 所以， 所以． 故答案为：1． 变式1-1．在中，角的对边分别是，若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合已知等式求出边之间的比例，最后用余弦定理计算cosA的值即可. 【解析】因为，根据正弦定理，得，即：， 代入，得：，所以， 所以由余弦定理得： ， 故选：D . 变式1-2．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理及余弦定理化简求解即可. 【解析】由及正弦定理、余弦定理得， 所以，所以. 故选：A. 变式1-3．在中，内角、、所对边分别为、、，若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理化简得出，再利用正弦定理结合连比定理可求得结果. 【解析】由余弦定理可得， 所以，所以，故， 由正弦定理可得，可得， 故. 故选：B. 变式1-4．在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为____________ 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用余弦定理及三角形面积公式求出，再利用直角三角形边角关系及差角的正弦、正弦定理求解. 【解析】在中，由及余弦定理、面积公式得： ，则，而，故， 在中，， 则，， 在中，， 由正弦定理得. 故答案为：4 变式1-5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则____________ 【答案】 【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解. 【解析】由题意知，， 由余弦定理得， 由正弦定理得， 即， .又， 所以，得，所以， 所以. 故答案为： 变式1-6．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，角的平分线交于点，且，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）应用同角三角函数关系计算得出求解即可； （2）由正弦定理可得，再应用余弦定理得. 【解析】（1）由，平方得 可得，且， 所以． （2）因为，， 在中，由正弦定理可得：， 所以，，所以， 所以， 因为角的平分线交于点，， 所以，所以，所以, 由余弦定理得，所以． 类型二、解三角形周长问题 求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 【技巧方法】 求周长的模型： 注：常常会利用基本不等式求周长最值 例2．记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（  ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理得，由余弦定理得，结合平方关系可得，进而求得，得解. 【解析】由边上的高为1知，故， 由正弦定理得，，所以． 由余弦定理可得， 因为，解得，故， 解得，故的周长为． 故选：D． 变式2-1．设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，，，则的周长为（  ） A．56 B．60 C．64 D．66 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，然后根据余弦定理及三角恒等变换可得，根据二倍角公式结合条件可得，然后根据正弦定理结合条件即得. 【解析】由，得，即， 因为，所以，即， 由正弦定理得， 所以，即， 所以，即， 所以，化简得， 即，因为且， 所以，得， 由正弦定理知，则， 又，且， 所以，，故的周长为66. 故选：D. 变式2-2．在中，角所对的边分别为，满足，当与边上的中线长均为2时，则的周长为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解；再利用余弦定理及向量化求出，即可得解； 【解析】因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 故选：D. 变式2-3．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理化简已知可得，再由是锐角，得到，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围. 【解析】因为， 根据正弦定理得，， 因为为锐角，所以， 所以，即，而A为锐角， 所以， 因为根据正弦定理， 所以， 因为三角形周长为， 又因为，所以， 所以， 因为，即， 所以， 即，， 所以. 故选：C. 变式2-4．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是_________ 【答案】6 【分析】由正弦定理和和角公式得到，得到，由三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，得到答案. 【解析】，由正弦定理得，， 又， 所以， 因为，所以，故， 因为，所以， 由三角形面积公式可得，故， 由余弦定理得， 解得或（舍去）， 故三角形周长为. 故答案为：6 变式2-5．三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为 ． 【答案】 【分析】先求出，利用余弦定理求出，即可求出三角形ABC的周长. 【解析】三角形ABC中，若A为钝角，则.由大角对大边可得：. 因为，所以，这与相矛盾，所以. 因为，所以. 由余弦定理得： ,解得：. 又，所以，所以， 三角形ABC的周长为. 故答案为： 变式2-6．在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【解析】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 类型三、解三角形面积问题 面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 【技巧方法】 1.求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 例3．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【解析】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 变式3-1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，且，则的面积是（  ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出，利用三角恒等变换求出，再利用正弦定理及三角形面积公式计算得解. 【解析】在中，由及余弦定理，得， 解得，又，则， 由， 得， 当时，，,, 所以的面积是; 当时，整理得， 即，两边平方得， 又，，则，即， 由正弦定理得， 所以的面积是. 故选：C 变式3-2．（多选）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列选项正确的是（  ） A.；         B.的外接圆的面积是； C.的面积的最大值是；     D.的取值范围是． 【答案】B 【分析】由正弦定理及和正弦角公式可判断A；由正弦定理及圆的面积公式可判断B；由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解可判断C；由正弦定理可得，求此函数的值域可判断D 【解析】对于A，因为， 由正弦定理得， 所以， 因为，所以，，又因为，，故A正确； 对于B，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 解得，则的外接圆的面积是，故B正确； 对于C，由余弦定理得，整理得， 即，当且仅当时等号成立， 所以的面积为，当且仅当时等号成立， 即的面积的最大值是，故C正确； 对于D，由正弦定理得， 则， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以， 可得，，所以， 所以，即的取值范围是，故D错误. 故选：ABC 变式3-3．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积，则________ 【答案】或 【分析】先利用余弦定理，把转化成，再分和讨论.当时，是直角三角形，利用直角三角形的边角关系可求； 当时，结合，利用利用正弦定理和三角形的面积公式，可求. 【解析】由及余弦定理得． 若，则， ，，，， 所以． 若，则，， 由正弦定理得， 因为且， 所以，，易知C为锐角，所以，，即， 所以，， ， 所以，所以，所以. 综上，或. 故答案为：或 变式3-4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 【答案】 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【解析】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 变式3-5．在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若是线段上的一点，且满足，求的面积． 【答案】(1)；；；(2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合余弦定理计算； （2）结合平面向量知识计算即可. 【解析】（1）因为， 所以，即， 所以，即， 所以，又，故. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以，化简得，解得或（舍去）， 故. 类型四、判断三角形的形状 三角形形状的判断： 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等. 【技巧方法】 利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 例4．（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（  ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】ACD 【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项. 【解析】对于A，因为，所以， 所以， 因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确； 对于B：由及正弦定理，可得， 即，所以或，所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错； 对于C：由及正弦定理化边为角， 可知，即， 因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确； 对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确； 故选：ACD. 变式4-1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（  ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 【答案】C 【分析】由正弦定理，结合题意，可得边的等量关系与角的不等关系，根据余强定理，可得答案. 【解析】因为，，所以，， 所以，，易知，即， 设，则，，则， 可得，所以是锐角三角形. 故选：C. 变式4-2．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【解析】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 变式4-3．已知中，角的对边分别是，若，则是（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理，结合诱导公式及二倍角的余弦公式可得，可得，从而可得是等边三角形. 【解析】由， 结合正弦定理可得，所以， 又因为是的内角，故， 所以是等边三角形. 故选：B. 变式4-4．（多选）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（  ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可. 【解析】A，由余弦定理可得为锐角， 但角度不确定，可为钝角三角形或直角三角形，A错误； B，由余弦定理可得到为钝角，故一定是钝角三角形，B正确； C，因为，由正弦定理可得，即， 又均为的内角，所以，一定为等边三角形，C正确； D，因为，由正弦定理可得，即， 所以，又均为的内角，所以，即一定为等腰三角形，D正确； 故选：BCD 变式4-5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. “”是“为等边三角形”的充要条件 【答案】BCD 【分析】由正弦定理边角互化及两角和差正弦公式可判断A；由余弦定理可判断B；由同角三角函数的关系，正弦定理边角互化及余弦定理可判断C；由余弦定理，两角和差正弦公式和基本不等式可判断D. 【解析】对于A， 或，故是等腰三角形或者直角三角形，故A错误； 对于B,，又，所以，即， 所以最大角C锐角，故B正确； 对于C， ，故C为钝角，故C正确； 对于D，， ， 又，要等式成立则需且，故D正确． 故选：BCD. 类型五、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【技巧方法】 测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. （2）测量高度问题的基本类型和解决方案： 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. （3） 测量角度问题： 主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念. 例5．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中可得，在中由正弦定理可得，再在中，由余弦定理可得. 【解析】, ， 在中，，，则， 又因为，所以km. 在中，，，则. 由正弦定理，得AB=km， 在中，，由余弦定理得 ， 即. 故选：A. 变式5-1．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（  ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 【答案】A 【分析】在中，先由正弦定理，求出；在中，根据余弦定理，求出的长，即可求出结果. 【解析】由题意，在中，，，， 所以， 由正弦定理可得，， 则； 又在中，，， 由余弦定理可得， ，所以， 因此救援船到达点需要的时间为小时. 故选：A. 变式5-2．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，由正弦定理，求得，再在中，即求. 【解析】在中，， 则， 由正弦定理得， 解得(m）， 又在点测得塔顶的仰角为，即， 在中，(m). 故选：D. 变式5-3．2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（  ）    A． B． C．40km D． 【答案】D 【分析】利用的边角关系求出，在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出即可． 【解析】在中，，， 所以，即，得故． 在中，． 由正弦定理得，， 解得， 在中，由余弦定理得， ， 解得，即两个基站、之间的距离为． 故选：D． 变式5-4．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 【答案】(1)，；(2)答案见解析 【分析】（1）在中利用正弦定理可表示出， （2）在中，由余弦定理表示出，再结合的范围及正弦函数的性质可求出其最大值. 【解析】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以， 在中，由余弦定理易得， 因为，所以， 当，即时， 取最大值取最大值， 此时， ， 故当时，取最大值. 1.在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形面积公式及余弦定理可得，结合诱导公式化简可得，再利用正弦定理得，即可求得角B. 【解析】由，可得, 所以， 由正弦定理，可得，化简得，即， 故选：C． 2. 在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（  ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】利用余弦定理可求得，利用同角的三角函数的关系求得，结合正弦定理可求外接圆的半径，进而可求得面积. 【解析】设三角形ABC外接圆的半径为R， 因为，由余弦定理可得， 所以，解得，又，所以， 所以，又，所以，所以， 又因为，所以外接圆的直径，解得， 所以外接圆的面积为. 故选：B 3.在中，若，则的形状为（  ）. A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理和余弦定理把题设中的边角关系转化为边的关系，化简后可判断三角形的形状. 【解析】由正弦定理和余弦定理可得： 即为 ， 化简可得：， 故或即，故为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 4.在中，内角，，的对边分别是，，，且的面积，（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理及得到，从而求出，再由及正弦定理计算可得. 【解析】由余弦定理可得，所以， 则． 又因为，即，所以，显然，又， 所以（负值舍去）．所以， 又因为，所以，所以， 所以． 故选：C 5.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若，则的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理化角为边可得，继而可得，即，根据，可得，再利用正弦定理求出其余边长，即得解 【解析】由题意，根据正弦定理 又， 由，可得 由正弦定理： 故的周长为 故选：B 6.（多选）的内角的对边分别为，且，，则（  ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【解析】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 7.（多选）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为 C．的面积最小值为 D．的周长范围为 【答案】ABD 【分析】对A：根据三角形是锐角三角形，则每个角均为锐角，列出不等式组，求解即可；对B：根据正弦定理可得：，结合的范围，求得函数值域，即可求得范围；对C：根据正弦定理，求得三角形面积关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得面积的范围；对D：求得三角形周长关于的函数，也即，再求该函数值域，即可求得周长范围. 【解析】对A：因为△为锐角三角形，故可得：，也即，解得 ，故A正确； 对B：设外接圆半径为，由正弦定理可得：，也即， 由A可知： ，故，故，故B正确； 对C：由正弦定理，也即可得：， 故△的面积， 由A可知： ，故，故，故，没有最小值，故C错误； 对D：由C可知：，， 设△的周长为，则 也即，由A可知： ，故，则， 则，故，故D正确； 故选：ABD. 8.（多选）在锐角中，角的对边分别为．为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：借助正弦定理将角化为边后结合余弦定理计算即可得；对B：结合所给条件与正弦定理计算即可得；对C：借助正弦定理可将边化为角，并用表示出周长，再利用的范围计算周长范围即可得；对D：借助表示出与面积，即可表示出面积之差，从而可结合换元法与二次函数性质得解. 【解析】对A：由和正弦定理，可得， 即，则， 由余弦定理，， 又，故，故A正确； 对B：因， 由正弦定理，可得，即①， 又因为，则， 即，也即②， 将①代入②可得，解得，故B错误； 对C：由为锐角三角形，则，解得， 由正弦定理，，则， 则，， 则 ， 由，则， 由， 故，则， 则，故C正确； 对D：设外接圆半径为，则， ，即， 因为， 所以， ， 所以， 由，则，令， 则； 和面积之差的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 _____________ 【答案】 【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解. 【解析】由题意得，． 设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示， 不妨设，则，，则，，， 由，解得． 故答案为： 10.如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为_________      【答案】2 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【解析】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故答案为：2 11.在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是___________ 【答案】 【分析】由余弦定理化简已知式可得，由正弦定理得，再代入三角形的面积公式化简结合角的范围，即可求出答案. 【解析】∵，∴， ∴由余弦定理可得：， 又∵，∴. ∵，∴由正弦定理可得：， ∴，又∵， ∴ ∵在锐角中，∴，∴， ∴当，即时，取最大值，最大值为. 故答案为： 12.在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】利用余弦定理、正弦定理，三角形面积的正弦表示以及三角恒等变换化简得出，利用为锐角三角形求出角的取值范围，由正弦定理结合三角恒等变换可得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围. 【解析】由题意得：，得：， 又，得：， 由余弦定理得：，化简得：， 由正弦定理得: ， 因为：，则：， 又因为正弦函数在上单调递增，所以：，即：， 则：， 因为为锐角三角形，则：，解得：，则：， 所以： ， 令：，则函数在上单调递增， 故，故D项正确. 故答案为： 13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用余弦定理，结合正弦定理计算即可. 【解析】（1）解：因为， 所以， ， ， 因为，所以， 所以，即， 又，则有，所以. （2）解：因为，，， 所以在中，， 所以，即， 因为在中，， 所以， 因为，所以， 所以 ， 所以. 14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算变换； （2）运用余弦定理，结合面积公式计算即可. （3）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换、三角函数性质计算. 【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简得：， 整理得：，，， ，又，； （2）由余弦定理得，， ，，，， 的周长为 （3）由正弦定理得，可得， ， 为锐角三角形，且， 则，，，， ，的周长取值范围是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 正、余弦定理解三角形 （五类重难点题型） 目录 典例解析 类型一、正、余弦定理的应用 类型二、解三角形周长问题 类型三、解三角形面积问题 类型四、判断三角形的形状 类型五、解三角形的实际应用 压轴专练 类型一、正、余弦定理的应用 正余弦定理： 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 ； ； . 常见变形 (1)，，； (2)，，； ； ； . 【技巧方法】 (1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c． (2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C． (3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． 例1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若，则 ． 变式1-1．在中，角的对边分别是，若，，则（  ） A． B． C． D． 变式1-2．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（  ） A． B． C． D． 变式1-3．在中，内角、、所对边分别为、、，若，，则（  ） A． B． C． D． 变式1-4．在中，角的对边分别为的面积为，且满足条件，为边上一点，，则的边长为____________ 变式1-5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则____________ 变式1-6．已知的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求； (2)若，角的平分线交于点，且，求. 类型二、解三角形周长问题 求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化 周长 【技巧方法】 求周长的模型： 注：常常会利用基本不等式求周长最值 例2．记的内角的对边分别为，已知，边上的高为1，，则的周长为（  ） A．4 B． C． D． 变式2-1．设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，，，则的周长为（  ） A．56 B．60 C．64 D．66 变式2-2．在中，角所对的边分别为，满足，当与边上的中线长均为2时，则的周长为（  ） A．2 B． C． D． 变式2-3．在锐角三角形中，已知，，分别是角，，的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式2-4．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，的面积为，则的周长是_________ 变式2-5．三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，，则三角形ABC的周长为 ． 变式2-6．在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 类型三、解三角形面积问题 面积公式： （r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ） 【技巧方法】 1.求三角形面积的方法： (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，及其该角的两边，代入公式求面积； (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2.已知三角形面积求边、角的方法 (1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解； (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 例3．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 变式3-1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的外接圆半径为1，且，则的面积是（  ） A． B． C．1 D．2 变式3-2．（多选）设锐角的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则下列选项正确的是（  ） A.；         B.的外接圆的面积是； C.的面积的最大值是；     D.的取值范围是． 变式3-3．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积，则________ 变式3-4．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 变式3-5．在中，内角的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若是线段上的一点，且满足，求的面积． 类型四、判断三角形的形状 三角形形状的判断： 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等. 【技巧方法】 利用正弦定理判断三角形形状的方法如下： (1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有： ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝； (2)化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有： ①sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)； ②＝，＝，＝. 例4．（多选）已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（  ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是等边三角形 变式4-1．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（  ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定的 变式4-2．设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 变式4-3．已知中，角的对边分别是，若，则是（  ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 变式4-4．（多选）设的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（  ） A．若，则一定是锐角三角形 B．若，则一定是钝角三角形 C．若，则一定是等边三角形 D．若，则一定是等腰三角形 变式4-5．（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，有如下判断，其中正确的是（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则是钝角三角形 D. “”是“为等边三角形”的充要条件 类型五、解三角形的实际应用 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)． （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． （3）方向角：相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． （4）坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比． 【技巧方法】 测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. （2）测量高度问题的基本类型和解决方案： 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. （3） 测量角度问题： 主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念. 例5．如图，在海面上有两个观测点，，点在的正北方向，距离为，在某天10：00观察到某商船在处，此时测得，5分钟后该船行驶至处，此时测得，，，则该船行驶的距离（  ） A． B． C． D． 变式5-1．如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东、B点北偏西的D点有一艘船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D点最快所需时间为（  ） A．0.2小时 B．0.3小时 C．0.5小时 D．1小时 变式5-2．如图，测量河对岸的塔高时可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与，测得，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高等于（  ） A． B． C． D． 变式5-3．2023年下半年开始，某市加快了推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图，某市区域地面有四个5G基站A，B，C，D.已知C，D两个基站建在江的南岸，距离为，基站A，B在江的北岸，测得，，，，则A，B两个基站的距离为（  ）    A． B． C．40km D． 变式5-4．重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知，弓形花园的弦长，记弓形花园的顶点为，设.    (1)将用含有的关系式表示出来； (2)该山庄准备在点处修建喷泉，为获取更好的观景视野，如何设计的长度，才使得喷泉与山庄的距离的值最大？ 1.在中，角，，所对的边分别为，，，表示的面积，若，，则等于（  ） A． B． C． D． 2. 在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（  ） A． B． C．2 D．1 3.在中，若，则的形状为（  ）. A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 4.在中，内角，，的对边分别是，，，且的面积，（  ） A． B． C． D． 5.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若，则的周长为（  ） A． B． C． D． 6.（多选）的内角的对边分别为，且，，则（  ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 7.（多选）已知锐角三个内角，，的对应边分别为，，，且，，则下列结论正确的是（ ） A．的取值范围为 B．外接圆半径的范围为 C．的面积最小值为 D．的周长范围为 8.（多选）在锐角中，角的对边分别为．为外接圆圆心，已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C．周长取值范围为 D．和面积之差的取值范围为 9.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则 _____________ 10.如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为_________      11.在锐角中，内角的对边分别为，且满足，若，则面积的最大值是___________ 12.在锐角中，角，，的对边分别为，，，记的面积为，若，则的取值范围是___________ 13.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A； (2)D为外一点，且与点B位于直线AC的同侧，，，若，，求的面积. 14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角C的值 (2)若，的面积为，求的周长． (3)若为锐角三角形，且，求的周长取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $