7.4.2超几何分布导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修第三册 7.4.2《超几何分布 》 导学案（教用版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、问题探究 1、问题 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为,求随机变量的分布列. 2、探究 （1）如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结 果相互独立,此时服从二项分布,即. ∴随机变量的分布列为 （2）采用不放回抽样,虽然每次抽到次品的概率都是0.08,但每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布. 可以根据古典概型求的分布列.由题意可知,可能的取值为0,1,2,3,4.从100件产品中任取4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识,得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.000 01)如表7.4-1所示. 二、超几何分布的定义 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为 其中.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从超几何分布. 三、超几何分布的均值 设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数,令,则是件产品的次品率,而是抽取的 件产品的次品率,则必有 证明： 实际上,由随机变量均值的定义,令,有 因为 所以 4、 实例运用 例1．某班有30名男生和10名女生，现从中随机选取5名学生，计算所选学生中女生的人数X的分布列和均值． 【答案】分布列见解析，均值为. 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】由题意分析出服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列和数学期望. 【详解】由题意可得：X的所有可能取值为：0，1，2，3，4，5. 所有;; ;; ;. 所有X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P X的数学期望为：. 例2．从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值． 【答案】(1)分布列见解析； (2). 【难度】0.85 【知识点】超几何分布的分布列、超几何分布的均值 【分析】（1）根据题意，求得的取值，利用古典概型的概率计算公式即可求得对应取值的概率，即可求得分布列； （2）根据所求分布列，即可求得X的均值. 【详解】（1）根据题意，，又， ，，， 故的分布列如下所示： （2）根据（1）中所求分布列可知，的均值为：. 例3．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】超几何分布的分布列、二项分布的均值、超几何分布的均值、利用二项分布求分布列 【分析】（1）由题意，摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，可写出分布列． （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值，进而可算得，进行比较可判断. 【详解】（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X服从超几何分布，X的分布列为： ，，1，2，…，20． . （2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如下表所示． k k 0 0.00004 0.00001 11 0.07099 0.06376 1 0.00049 0.00015 12 0.03550 0.02667 2 0.00309 0.00135 13 0.01456 0.00867 3 0.01235 0.00714 14 0.00485 0.00217 4 0.03499 0.02551 15 0.00129 0.00041 5 0.07465 0.06530 16 0.00027 0.00006 6 0.12441 0.12422 17 0.00004 0.00001 7 0.16588 0.17972 18 0.00000 0.00000 8 0.17971 0.20078 19 0.00000 0.00000 9 0.15974 0.17483 20 0.00000 0.00000 10 0.11714 0.11924 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得 有放回摸球：． 不放回摸球：． 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些． 两种摸球方式下，随机变量X分别服从二项分布和超几何分布．虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（下图）看，超几何分布更集中在均值附近．    五、达标检测 练习1．第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加.为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于内，整理后打分情况如下表所示. 打分区间 人数 5 10 35 100 200 150 (1)估计样本数据的第60百分位数； (2)用分层随机抽样的方法从打分位于内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记为打分位于的市民人数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1)87.5 (2)分布列见解析， 【难度】0.7 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、总体百分位数的估计 【分析】（1）先计算各区间累计频率确定第百分位数所在区间，再用线性插值法计算出该百分位数的估计值； （2）先确定两组人数比例得到抽取样本中两类人数，再用超几何分布计算随机变量的各取值概率，列出分布列并计算数学期望. 【详解】（1）市民打分位于的累计频率为， 市民打分位于的累计频率为， 所以样本数据的第60百分位数位于内，设其为， 则， 解得， 故估计样本数据的第60百分位数为87.5. （2）因为，两组数据的人数之比为，所以7人中打分位于，内的人数分别为4，3. 由题意可知的可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. 【点睛】本题第 (1) 问考查百分位数的计算（频率累计 + 线性插值法），第 (2) 问考查超几何分布、离散型随机变量的分布列与数学期望，核心是统计中用频率估计分位数、用组合数计算古典概型概率的综合应用. 练习2．某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 【答案】(1)6.7 (2) 1 2 3 ， (3) 【难度】0.66 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、服从二项分布的随机变量概率最大问题、超几何分布的分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可； （2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可； （3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可. 【详解】（1）由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为 估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7 （2）用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人． 故，， 因此，X的分布列为 1 2 3 故，. （3）由题，抽到“七分糖爱好者”的概率是0.4， 抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，， 则 当，即时 当，即时 因此，，且， 所以，当时，最大. 练习3．2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. 从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【难度】0.6 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率 【分析】题目中是从指标值在和的产品中抽取件，表示质量指标值在[8.5,9.5]的部件数，这是典型的超几何分布，可以利用超几何分布方法求解. 【详解】指标值在和的总件数为， 指标值在的件数是， 由题知，可能的取值是. ，， ，， 分布列为： . 练习4．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【难度】0.72 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、求超几何分布的概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 练习5．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% 从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】超几何分布的分布列、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】首先列举幻觉率低于的AI模型的个数，以及低于的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【详解】幻觉率低于的AI模型中共个，其中低于的模型有个，故 ， ， ， ， 故分布列为 0 1 2 3 故. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修第三册 7.4.2《超几何分布 》 导学案（学生版） （ 制作：许鸥 日期：2026年4月16日 地区：云南省昆明市 ） 班级： 姓名： 分数： . 一、问题探究 1、问题 已知100件产品中有8件次品,分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为,求随机变量的分布列. 2、探究 （1）如果采用有放回抽样,则每次抽到次品的概率为0.08,且各次抽样的结 果相互独立,此时服从二项分布,即. ∴随机变量的分布列为 （2）采用不放回抽样,虽然每次抽到次品的概率都是0.08,但每次抽取不是同一个试验,而且各次抽取的结果也不独立,不符合重伯努利试验的特征,因此不服从二项分布. 可以根据古典概型求的分布列.由题意可知,可能的取值为0,1,2,3,4.从100件产品中任取4件,样本空间包含个样本点,且每个样本点都是等可能发生的. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识,得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.000 01)如表7.4-1所示. 二、超几何分布的定义 一般地,假设一批产品共有件,其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回),用表示抽取的件产品中的次品数,则的分布列为 其中.如果随机变量的分布列具有上式的形式,那么称随机变量服从 分布. 三、超几何分布的均值 设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数,令,则是件产品的次品率,而是抽取的 件产品的次品率,则必有 证明： 实际上,由随机变量均值的定义,令,有 因为 所以 四、实例运用 例1．某班有30名男生和10名女生，现从中随机选取5名学生，计算所选学生中女生的人数X的分布列和均值． 例2．从4名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数． (1)求X的分布列； (2)求X的均值． 例3．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本．用X表示样本中黄球的个数． (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列； (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率： 五、达标检测 练习1．第二届“贺岁杯”东北三省冰球挑战赛于2026年1月13日在哈尔滨开幕，吸引了32支冰球队近200名运动员参加.为调研哈尔滨市市民对赛事的满意度，随机抽取500人进行打分（满分100分），经统计打分全部位于内，整理后打分情况如下表所示. 打分区间 人数 5 10 35 100 200 150 (1)估计样本数据的第60百分位数； (2)用分层随机抽样的方法从打分位于内的市民中随机抽取7人，再从这7人中随机抽取4人，记为打分位于的市民人数，求的分布列和数学期望. 练习2．某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表： 甜度偏好分数 人数 10 25 20 30 10 5 (1)估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差； (3)该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？ 练习3．2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值：，，，，，．根据大量检测结果，得到部件的质量指标值X服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为A等品，其它产品称为B等品.现从该部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. 从样本的质量指标值在和的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在的部件件数为，求的分布列和数学期望. 练习4．在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 练习5．AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% 从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 第2页，共2页 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $