精品解析：2026年江苏省无锡市新吴区2025一2026学年度第二学期九年级期中测试 数学试卷 （一模）

2025-2026学年度第二学期九年级期中测试数学试卷 考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 2026年春节小长假前8天，无锡硕放机场进出港客流量约为257000人次．257000这个数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7、8、9、9、10．这组数据的众数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 的倒数是_____． 12. 分解因式：_____． 13. 正十二边形的每一个外角等于______度． 14. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 15. 已知代数式，，则_____．（填“>”“<”或“=”） 16. 如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 17. 如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 18. 如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解不等式及解方程组： （1）解不等式：； （2）解方程组：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 22. 为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． （1）小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． 23. 近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E （1）本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； （3）自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 24. 如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 25. 已知：在中，，． （1）尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 26. 问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． （1）【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． （2）【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． （3）【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 27. 如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． （1）当点的对应点落在边上时，求的长； （2）在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 28. 二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若与的面积相等时，求的值； （3）当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级期中测试数学试卷 考试时间为120分钟，试卷满分为150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 下列四个实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确； B．0＞﹣1，故本选项错误； C．1＞﹣1，故本选项错误； D．2＞﹣1，故本选项错误； 故选A． 考点：有理数大小比较． 2. 2026年春节小长假前8天，无锡硕放机场进出港客流量约为257000人次．257000这个数据用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，需满足，为整数，的值等于原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解： ． 3. 若二次根式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和一元一次不等式，根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：由题可知， 解得：． 4. 某校九年级5个班一学年完成数学实践作业的次数分别为7、8、9、9、10．这组数据的众数为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义，找出一组数据中出现次数最多的数即可得到结果． 【详解】解：∵ 这组数据为7、8、9、9、10，其中出现次，出现次，出现次，出现次. ∴ 是这组数据中出现次数最多的数. ∴ 这组数据的众数为． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则逐一判断选项. 【详解】解：∵ 与 不是同类项，不能合并，， ∴ 选项A错误； ∵ ， ∴ 选项B错误； ∵ ， ∴ 选项C错误； ∵ ， ∴ 选项D正确. 6. 如图，已知，且平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，小明将两根长度相等的细木条的一端固定于点，制成了一个可活动的工具，用它测量一个玻璃储物罐的内径．已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作于点，由等腰三角形的性质可得，，再解直角三角形得出，即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 8. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐，乙发齐，七日至长安，今乙发已先二日，甲仍发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国，乙从齐国出发，7日到长安，现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲经过多少日与乙相逢？设甲经过日与乙相逢，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将长安到齐国的总路程看作单位1，根据题意得到甲乙各自的行走时间和日行程，利用甲的行程加乙的行程等于总路程的等量关系列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1， ∵甲走完全程需要5日， ∴甲每日的行程为， 甲走了日， ∴甲的总行程为， ∵乙走完全程需要7日， ∴乙每日的行程为， 又∵乙先出发2日，甲出发日后相逢， ∴乙一共行走了日， ∴乙的总行程为， ∵甲、乙两人的行程和等于总路程1， ∴可得方程 ． 9. 在平面直角坐标系中，点，点，将沿直线翻折，原点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质，结合坐标与线段的关系求出点的坐标，再代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， 由折叠的性质得，， 设点的坐标为，，， ， 由①得； 由②得； ， 即， 将代入得， ， ∵， 解得， ∴，即 ， ∵ 点在双曲线上， ∴． 10. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于原点成中心对称，则称函数和存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数与函数存在奇对称点； ②函数与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数与函数的“奇对称值”，则或； ④若函数与函数存在奇对称点，则． 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①③④ C. ①④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据“奇对称点”定义，若在上，在上，则有解即存在奇对称点，奇对称值为，逐个验证四个结论即可． 【详解】解：设在上，由关于原点对称得在上，因此满足，，即，奇对称值为． ① 对，，代入得： ， 解得，方程有解，存在奇对称点，①正确． ② 对，， 代入得：， 整理得， 解得或． 当时，，奇对称值为； 当时，，奇对称值为， 因此奇对称值为或，②错误． ③ 奇对称值为，因此， ，得， 代入得：， 整理得， 解得或． 由，得 ， 当时，； 当时，， 因此或，③正确． ④ ，， 因此，，得 ， 代入条件得：， 整理得． ， 当时，， 当时，， 因此，④正确． 综上所述，①③④正确． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．） 11. 的倒数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：设的倒数为，由倒数的定义可得 ， 解得． 12. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可. 【详解】， 故填 【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式. 13. 正十二边形的每一个外角等于______度． 【答案】30 【解析】 【分析】主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数． 【详解】解：∵多边形的外角和为360度， ∴正十二边形的每个外角度数为：． 故答案为：30． 14. 已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，该圆锥的侧面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥的侧面积公式：计算即可 【详解】解∶， 故答案为：． 15. 已知代数式，，则_____．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对差配方后，根据偶次方的非负性判断差的符号，即可得到结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 17. 如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，判定出四边形为矩形，结合两个图形，利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 由图形可得，， 由勾股定理得， ∴②的面积为． 18. 如图，在矩形中，，，为边上的一个动点．连接、，将沿着折叠，得到，再将沿着折叠，得到（与为对应点）．当边与的边所在直线重合时，______． 【答案】1或3或 【解析】 【分析】根据矩形的性质，折叠的性质，分点落在上和点落在上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点落在上时，如图， ∵矩形，折叠， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或； ②当点落在上时，如图，此时两点重合， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中， ∴； 综上：或或． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答卷卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 解不等式及解方程组： （1）解不等式：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出结果； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：； 【小问2详解】 解：， 由可得：， 解得， 将代入②可得：， 解得， ∴方程组的解为． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，在中，点、、分别是、、的中点．连接、． （1）求证：． （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段的中点以及三角形中位线定理，得出，，，即可利用“”证明全等； （2）由（1）可知，，，将四边形的周长转化为，即可得解． 【小问1详解】 解：点、、分别是、、的中点， ，，，、是的中位线， ，， ，， ． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ，， 四边形的周长． 22. 为传承无锡非遗文化，某校开展“非遗文化进校园”主题活动，精心选取四项特色体验项目：A惠山泥人，B锡剧，C紫砂陶瓷，D留青竹刻．活动采取随机抽签方式确定体验项目，每位学生可抽取一个项目参与体验，她们的抽取结果互不影响． （1）小丽从中随机抽取一项，抽到“惠山泥人”的概率为______； （2）请用列表法或画树状图的方法，求小丽和小慧抽到不同项目的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意列表格，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，共有4种项目，则抽到“惠山泥人”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，共有16种等可能的情况，其中抽到不同项目的情况有12种， 则小丽和小慧抽到不同项目的概率为． 23. 近年来，教育部多次强调将“健康第一”的理念落在实处，聚焦体育锻炼、心理健康、近视防控等领域．为了解九年级学生近视率，某校在九年级随机抽取了部分学生进行了视力调查，并将调查所得数据整理、绘制成两张如图所示的不完整的统计表和统计图，根据信息回答下列问题： 九年级部分学生视力频数分布表 分组 视力 频数 A B C D E （1）本次调查的样本容量是______，B组视力在扇形统计图中对应的圆心角为______； （2）此次抽样调查中，视力的中位数落在______组； （3）自月日起实施的《儿童青少年裸眼视力和屈光状态评价规范》规定：裸眼视力大于为视力正常．已知该校九年级共有名学生，请根据样本情况估计全校九年级学生中视力正常的人数． 【答案】（1）； （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）利用组频数及所占百分比求样本容量；用频数除以样本容量再乘以即可求解； （2）按照中位数的求法求解即可； （3）利用样本估计总体即可. 【小问1详解】 解：∵；， ∴样本容量是；组视力在扇形统计图中对应的圆心角为； 【小问2详解】 解：∵， 由表格可知，数据由小到大频数分别是，第个数在组， ∴视力的中位数落在组； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴估计全校九年级学生中视力正常的人数为人. 24. 如图，四边形是平行四边形．以边为直径作，恰好为的切线，其中点为切点．点是下方上的点，连接、． （1）求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质可得，由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，最后再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）作于点，解直角三角形可得，最后再由正弦的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， ∵为的切线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 已知：在中，，． （1）尺规作图：在内部求作一点，使得点到边、的距离相等，且（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，若，，则点与点之间的距离为_____．（若要借用图形计算，请用备用图） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）点到边、的距离相等，由角平分线的判定定理可得点P在的角平分线上，先作的角平分线，再过点作的垂线，两线的交点即为点； （2）延长交于点，过点作的垂线，垂足为，则，，利用勾股定理得出，再结合等面积法求出，则，证明，得，设，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，过点作的垂线，垂足为， ， ， 平分， ， ，，， ， ， ， , 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 点与点之间的距离为． 26. 问题情境：镜子可以帮助我们正仪表、正衣冠、端正品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． （1）【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段表示人的身高，其中点表示头顶，点表示脚底，点表示眼睛（位于上），表示平面镜，线段表示在镜中的虚像．设人的身高为，能看到全身像的最短镜子长度为，求与之间的函数表达式． （2）【探究二】 如图2，现购买了一面长的镜子并安装在墙上．小亮身高为，他正立在镜子前某处，眼睛却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． （3）【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为，最高为．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含、、的代数式表示） 【答案】（1） （2）下移的距离为 （3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合（1）中证明过程求出看到部分人像的长度为时镜子的位置，再由（1）中结论求出看到全身像时镜子的位置，作差即可确定下移距离； （3）根据题意分析最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ，， ， 则， ， ， ， 则， ， ，则， 即与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由成像原理作出看到部分人像的长度为的图形，过点作的平行线分别交于点，如图所示： ，， ， 即， ， ， 则， ， 由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形，如图所示： 由（1）可知，， ， ， 即下移的距离为； 【小问3详解】 解：根据题意得：最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度为， 由（1）同理得， 最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度为， 由（1）同理得， ∴最小的镜子长为：． 27. 如图，在矩形中，，．将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，得到矩形．连接、． （1）当点的对应点落在边上时，求的长； （2）在旋转过程中，设，的面积为．求与之间的函数表达式，并求出的最大值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）过点作，连接，过点作，如图所示，由矩形性质求出相关角度和线段关系，在中，由勾股定理求出，结合旋转性质及三角形相似的判定与性质得到相似比，代值求出，最后在中由勾股定理求解即可； （2）过点作、，过点作，构造出矩形，求出矩形的两条邻边长度，在中，由勾股定理列式求解即可得到与之间的函数表达式，再由二次函数性质及点的轨迹为圆分析求解即可得到的最大值． 【小问1详解】 解：当点的对应点落在边上时，如图所示： 在矩形中，，， 过点作，连接，过点作，如图所示： 四边形是矩形， ，，，， 在中，，则由勾股定理可得， 由旋转性质可知，则， ， 则， 解得，， ， 在中，，，则由勾股定理可得； 【小问2详解】 解：过点作、，过点作，如图所示： 四边形是矩形，则， ， 解得， ，， 是的中线，则， 在中，，则由勾股定理可得， 由等面积法可知， ，解得， 在中，由勾股定理可得，则， ， ， 直接开平方得， 即与之间的函数表达式为， ，即抛物线开口向上，且对称轴为轴， 值随着的增大而增大， 将该矩形绕着点按逆时针方向旋转，则点在以点为圆心、为半径的圆周上，如图所示： 在旋转过程中，设，则为直径，即时，的面积有最大值，为． 28. 二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，且对称轴为直线．该抛物线与直线交于、两点（点在点的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若与的面积相等时，求的值； （3）当为何值时，在轴上存在唯一的点，使？（直接写出的值） 【答案】（1） （2） （3）的值为或或或． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，得到与相交，过点作、过点作，作出图形，由与的面积相等得出，求证，进而得到点是线段的中点，求出点的坐标并代入直线求解即可； （3）在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，分四种情况，由圆心到轴的距离等于半径，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点， ； 对称轴为直线， ，则； 将代入得， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数的表达式为，则点， 令，则， 解得或， 点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 直线， 与相交， 过点作、过点作，与相交于点，如图所示： 与的面积相等， ， 则， 在和中， ， ， ，即点是线段的中点， 、， 的坐标为，即， 将代入直线得， 解得； 【小问3详解】 解：在轴上存在唯一的点，使，可以理解为以为直径的圆与轴相切，或与重合，或与重合，分四种情况： 当交点、均在轴上方时，，如图所示： 设抛物线与直线交点坐标、（点在点的左侧）， 联立， 消去得， ，， ， 则以为直径的圆的圆心， ， 当与轴相切时，， 即， ， 解得或（负值舍去）； 当交点、均在轴下方时，，如图所示： 同理可知， ， 解得或（正值舍去）； 当点与点重合时， 将代入，得， 解得； 或点与点重合时， 将代入，得， 解得； 综上所述，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $