专题06 因数与倍数（思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练）-2026年小升初数学复习讲义人教版

专题06 因数与倍数 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义与相互依存关系 (1)前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2)数学表达：若 （ 均为非0自然数），则： ①　 是 和 的倍数。 ②　 和 是 的因数。 (3)相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 ①　错误表述：“12是因数”，“3是倍数”。 ②　正确表述：“12是3的倍数”，“3是12的因数”。 2. 研究范围 (1)本单元研究的因数和倍数，通常指非0自然数（即正整数：1, 2, 3, ...）。 (2)注意：为了方便，在研究因数和倍数时，一般不包括0。虽然 ，但0做除数无意义，且0做倍数无实际研究价值，故约定俗成只在非0自然数范围内讨论。 3. 基本性质 (1)一个数的最小因数是 1，最大因数是 它本身。 (2)一个数的最小倍数是 它本身，没有最大的倍数（倍数的个数是无限的）。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 找因数的方法 (1)乘法配对法（推荐）： ①　想哪两个自然数相乘等于这个数。 ②　从1开始，依次寻找配对的两个数，直到两个数相等或交叉为止。 ③　例：找18的因数。 (无整数解) 所以18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 (2)除法列举法：用这个数依次除以1, 2, 3...，如果能整除，除数和商都是它的因数。 2. 因数的特征 (1)有限性：一个数的因数的个数是有限的。 (2)极值： ①　最小的因数是 1。 ②　最大的因数是 它本身。 (3)表示方法： ①　列举法：18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 ②　集合法：画一个圈，里面写上所有因数。 3. 特殊数的因数 (1)1 的因数只有 1。 (2)质数 的因数只有 1 和 它本身（共2个）。 (3)合数 的因数至少有 3 个（1、它本身、其他因数）。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 找倍数的方法 (1)乘法生成法： ①　用这个数分别乘1, 2, 3, 4, 5... ②　例：找3的倍数。 ... 所以3的倍数有：3, 6, 9, 12, 15... 2. 倍数的特征 (1)无限性：一个数的倍数的个数是无限的。 (2)极值： ①　最小的倍数是 它本身。 ②　没有最大的倍数。 (3)表示方法： ①　列举法：3的倍数有：3, 6, 9, 12...（末尾加省略号）。 ②　集合法：画一个圈，里面写上部分倍数并加省略号。 考点四、2、3、5的倍数特征综合 1. 2的倍数特征 (1)个位判断法：个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数，都是2的倍数。 (2)偶数定义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 (3)奇数定义：不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 5的倍数特征 (1)个位判断法：个位上是 0 或 5 的数，都是5的倍数。 3. 3的倍数特征 (1)数位和判断法：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2)注意：不能只看个位。 例：123， ，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 例：124， ，7不是3的倍数，所以124不是3的倍数。 4. 综合特征（同时满足多个条件） (1)既是2又是5的倍数： ①　个位必须是 0。 ②　即：10, 20, 30, 100... (2)既是2又是3的倍数（即6的倍数）： ①　个位是0, 2, 4, 6, 8（满足2的特征）。 ②　各位数字之和是3的倍数（满足3的特征）。 (3)既是3又是5的倍数（即15的倍数）： ①　个位是0或5（满足5的特征）。 ②　各位数字之和是3的倍数（满足3的特征）。 (4)同时是2、3、5的倍数（即30的倍数）： ①　个位必须是 0（满足2和5的特征）。 ②　各位数字之和是 3 的倍数（满足3的特征）。 ③　例：30, 60, 90, 120, 150... 考点五、奇数与偶数的认识 1. 定义回顾 (1)偶数：能被2整除的数。包括0, 2, 4, 6, 8... 注意：0是最小的偶数（在自然数范围内）。 (2)奇数：不能被2整除的数。包括1, 3, 5, 7, 9... 注意：1是最小的奇数。 2. 自然数的分类 (1)按是否是2的倍数分：自然数分为 奇数 和 偶数。 (2)按因数的个数分：自然数（1除外）分为 质数 和 合数；1既不是质数也不是合数。 易错点：奇数不一定是质数（如9, 15），偶数不一定是合数（如2是质数）。 3. 连续自然数的奇偶性 (1)相邻的两个自然数，一定是一个奇数、一个偶数。 (2)例：1(奇), 2(偶), 3(奇), 4(偶)... 考点六、运算性质（奇数和偶数） 在加减法运算中，奇数和偶数遵循以下规律（无需计算具体数值，仅通过奇偶性判断结果）： 1. 加法/减法性质 (1)偶数 偶数 = 偶数 例： , (2)奇数 奇数 = 偶数 例： , (3)偶数 奇数 = 奇数 （或 奇数 偶数 = 奇数） 例： , 2. 乘法性质 (1)偶数 任何整数 = 偶数 ①　只要乘数中有一个是偶数，积一定是偶数。 ②　例： , (2)奇数 奇数 = 奇数 ①　只有当所有乘数都是奇数时，积才是奇数。 ②　例： , 3. 应用技巧 (1)判断多个数之和的奇偶性： ①　看奇数的个数。 ②　如果奇数的个数是偶数个，则总和为偶数。 ③　如果奇数的个数是奇数个，则总和为奇数。 ④　偶数的个数不影响和的奇偶性。 ⑤　例： ，其中有3个奇数（1,3,5），3是奇数个，所以和是奇数（15）。 考点七、质数与合数的认识 1. 定义 (1)质数（素数）：一个大于1的自然数，如果只有 1 和 它本身 两个因数，这样的数叫做质数。 例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... (2)合数：一个大于1的自然数，如果除了 1 和 它本身 还有别的因数，这样的数叫做合数。 例：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15... (3)特殊数 1：1 只有 1 个因数（即1本身）。所以，1 既不是质数，也不是合数。 2. 100以内的质数表（建议熟记） 为了快速判断，建议记忆20以内的质数，并熟悉100以内质数的分布： (1)20以内：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 （共8个） (2)其他常见：23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。 (3)口诀辅助： ①　二三五七十一十三，十七十九质数连。 ②　二三九，三一七，四一四三七十一。 ③　五三五一五十九，六一六七七十一。 ④　七三七九八十三，八九九七百内全。 3. 重要结论与易错点 (1)最小的质数是 2，也是唯一的偶数质数。 (2)最小的合数是 4。 (3)所有的质数都是奇数吗？ 不是，2是质数但它是偶数。 (4)所有的奇数都是质数吗？ 不是，9, 15, 21等是奇数但它们是合数。 (5)两个质数的和一定是偶数吗？ 不一定。如果其中一个质数是2，另一个是奇质数，和为奇数（如 ）。如果两个都是奇质数，和为偶数（如 ）。 考点八、分解质因数 1. 定义 (1)把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 (2)这几个质数叫做这个合数的质因数。 (3)注意： ①　分解的对象必须是合数（1和质数不能分解质因数）。 ②　乘数必须是质数。 ③　形式必须是乘法算式。 2. 方法：短除法 (1)步骤： ①　写出短除符号，将被分解的合数写在里面。 ②　用这个数的最小质因数（通常从2, 3, 5开始试）去除。 ③　把商写在下面。 ④　如果商是质数，停止；如果商是合数，继续用质数去除。 ⑤　直到商为质数为止。 ⑥　将所有的除数和最后的商连乘起来。 考点九、公因数与最大公因数 1. 概念 (1)公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 (2)最大公因数：其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 (3)符号： 表示 a 和 b 的最大公因数。 2. 找最大公因数的方法 (1)列举法：分别列出各数的因数，找出公共的，再找最大的。适用于较小的数。 (2)短除法（通用且高效）： ①　用这几个数的公有质因数连续去除。 ②　直到所得的商互质（只有公因数1）为止。 ③　把所有的除数连乘，积就是最大公因数。 3. 特殊情况 (1)倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是它们的最大公因数。 例：8和16。16是8的倍数，最大公因数是 8。 (2)互质关系：如果两个数只有公因数1（互质），那么它们的最大公因数是 1。 ①　常见互质情况： 两个不同的质数（如3和7）。 相邻的两个自然数（如8和9）。 1和任何自然数。 考点十、公倍数与最小公倍数 1. 概念 (1)公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 (2)最小公倍数：其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 (3)符号： 表示 a 和 b 的最小公倍数。 (4)注意：没有最大公倍数，因为倍数是无限的。 2. 找最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个相同的。 (2)短除法（通用且高效）： ①　用这几个数的公有质因数连续去除。 ②　直到所得的商互质为止。 ③　把所有的除数和最后的商全部连乘，积就是最小公倍数。 3. 特殊情况 (1)倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是它们的最小公倍数。 例：8和16。16是8的倍数，最小公倍数是 16。 (2)互质关系：如果两个数互质，那么它们的乘积就是最小公倍数。 例：3和7互质，最小公倍数是 。 例：8和9互质，最小公倍数是 。 4. 最大公因数与最小公倍数的关系 (1)对于任意两个自然数 和 ： 即：**两数之积 = 最大公因数 最小公倍数**。 (2)此性质可用于验算或已知其中三个量求第四个量。 5. 实际应用题型识别 (1)求最大公因数的场景： ①　“切割”、“分组”、“铺地砖”、“分物品”。 ②　关键词：“最大”、“最长”、“最多”、“边长最大”。 ③　例：把一张长18cm、宽12cm的纸剪成同样大小的正方形且无剩余，正方形边长最大是多少？（求18和12的最大公因数） (2)求最小公倍数的场景： ①　“相遇”、“再次同时”、“周期重复”、“拼大正方形”。 ②　关键词：“至少”、“最少”、“下一次”、“最小”。 ③　例：甲每3天去一次图书馆，乙每4天去一次，他们今天同时去了，至少再过几天又同时去？（求3和4的最小公倍数） 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】在中，( )和( )是( )的因数。在中，( )是( )和( )的倍数。 【答案】 3 6 18 27 3 9 【分析】在除法中，被除数是倍数，除数与商是被除数的因数，在乘法中，两个乘数是积的因数，积是两个乘数的倍数。 【详解】在中，6和3是18的因数。在中，27是3和9的倍数。 【练习1】下面说法正确的是（    ）。 A．因为3.5÷0.5＝7，所以3.5能被0.5整除。 B．因为35÷0.5＝70，所以35能被0.5整除。 C．因为35÷5＝7，所以35能被5整除。 D．因为35÷50＝0.7，所以35能被50整除。 【答案】C 【分析】根据题意，整除是指整数a除以整数b（b≠0），商是整数，且没有余数，我们就说a能被b整除。需要逐一分析每个选项是否符合整除的定义。据此解答。 【详解】A．3.5和0.5是小数，不是整数，不符合整除中被除数和除数都是整数的要求，所以该说法错误。 B．0.5是小数，不是整数，不符合整除的要求，所以该说法错误。 C．35和5都是整数，35÷5＝7，商是整数且没有余数，符合整除的定义，所以该说法正确。 D．35÷50＝0.7，商是小数，不是整数，不符合整除的要求，所以该说法错误。 故答案为：C 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】自然数a＝3×3×5，则a的全部因数有( )个。 【答案】6 【分析】已知a＝3×3×5，3×3×5＝45，所以a＝45。因数是指能整除45的数，45÷1＝45，所以1和45是45的因数；45÷3＝15，所以3和15是45的因数；45÷5＝9，所以5和9是45的因数。即a的因数有：1、3、5、9、15、45，一共6个。 【详解】3×3×5＝45 45÷1＝45，所以1和45是45的因数； 45÷3＝15，所以3和15是45的因数； 45÷5＝9，所以5和9是45的因数。 即45的因数有：1、3、5、9、15、45，一共6个。 所以a的全部因数有6个。 【练习2】老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（    ）。 A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人 【答案】B 【分析】若整数a除以整数b（b不为0）的商正好是整数且没有余数，称b是a的因数。本题中，学生人数必须是24的因数，才能保证24本作业本平均分配后刚好分完，据此分析各选项，进而确定符合题意的答案。 【详解】A．分给2人，因为24÷2＝12（本），商是整数且无余数，所以2是24的因数，这种分法可以实现。 B．分给5人，因为24÷5＝4（本）……4（本），每人得到4本，但没有分完，5不是24的因数，所以这种分法不可能实现。 C．分给8人，因为24÷8＝3（本），商是整数且无余数，所以8是24的因数，这种分法可以实现。 D．分给12人，因为24÷12＝2（本），商是整数且无余数，所以12是24的因数，这种分法可以实现。 故答案为：B 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题3】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【答案】B 【分析】8的倍数包括8、16、24…，‌而24的因数包括1、2、3、4、6、8、12、24。‌据此可知既是8的倍数，又是24的因数是8和24。 【详解】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是8和24。 故答案为：B 【练习3】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是( )。 【答案】18 【分析】根据求一个数倍数的方法，先找出9的几个倍数；再根据求一个数因数的方法，找出18的所有因数；进而确定符合题意的数得解。 【详解】9×1＝9、9×2＝18、9×9＝27、9×4＝36，所以9的倍数有：9、18、27、36、… 1×18＝18、2×9＝18、3×6＝18，所以18的因数有：1、2、3、6、9、18。 所以一个数既是9的倍数，又是18的因数的两位数是18。 题型四、2、3、5的倍数特征综合 【例题4】下列既是3的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．6 B．10 C．30 D．35 【答案】C 【分析】个位数字是0或5的数是5的倍数；一个数是3的倍数，其特征是：这个数的各位数字之和是3的倍数。 【详解】A．6，个位数字是6不是0，不是5的倍数，不符合题意； B．10，个位数字是0，是5的倍数，1＋0＝1，1不是3的倍数，不符合题意； C．30，个位数字是0，是5的倍数，3＋0＝3，3是3的倍数，符合题意； D．35，个位数字是5，是5的倍数，3＋5＝8，8不是3的倍数，不符合题意。 故答案为：C 【练习4】81457□是一个没有相同数字的六位数，它既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里应该是( )。 【答案】2 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数，是2的倍数；一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 已知81457□是一个没有相同数字的六位数，它既是2的倍数，因此□只能填0、2、6；81457□又是3的倍数，逐一分析0、2、6是否符合要求。 【详解】81457□是2的倍数，则个位上应该是0、2、4、6、8，又因为81457□是一个没有相同数字的六位数，所以□只能填0、2、6； 各个数位的数字之和： □是0时，8＋1＋4＋5＋7＋0＝25，25不是3的倍数，因此不能填0； □是2时，8＋1＋4＋5＋7＋2＝27，27是3的倍数，因此可以填2； □是6时，8＋1＋4＋5＋7＋6＝31，31不是3的倍数，因此不能填6。 综上所述，□里应该是2。 题型五、奇数与偶数的认识 【例题5】在1~20各数中，既是奇数，又是合数的数是( )和( )。 【答案】 9 15 【分析】奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数；合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数。 【详解】1~20中，奇数有1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 合数有4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。 在1~20个数中，既是奇数，又是合数的数是9和15。 【练习5】当x是（    ）时，3x＋5的结果一定是奇数。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 【答案】D 【分析】奇数和偶数的运算性质：奇数×偶数＝偶数；偶数＋奇数＝奇数，据此解答。 【详解】3x＋5的结果一定是奇数，5是奇数，则3x一定是偶数； 3是奇数，3x是偶数，则x一定是偶数。 当x是偶数时，3x＋5的结果一定是奇数。 故答案为：D 题型六、运算性质（奇数和偶数） 【例题6】在1、2、3、…、N，这N个自然数中，共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，则（m－a）＋（n－b）＝( )。 【答案】1 【分析】根据（1）奇数和偶数的定义：整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。（2）质数（素数）定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。合数定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。来分析。 【详解】根据分析可知： 在1，2，3，…，N，这N个自然数中，偶数个数＋奇数个数＝N，即m＋n＝N， 质数个数＋合数个数＝N－1（因为1既不是素数，又不是合数），即a＋b＝N－1。 （m－a）＋（n－b） ＝m－a＋n－b ＝（m＋n）－（a＋b） ＝N－（N－1） ＝1 即（m－a）＋（n－b）＝1。 【练习6】(1)探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况。） (2)发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是( )、( )和( )。 (3)运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（    ）。 A．337 B．1661 C．3363 (4)这两个奇数分别是( )和( )。 【答案】(1)见详解 (2) 3 5 9 (3)C (4) 57 59 【分析】（1）通过列举具体例子，观察积的末尾数字特征； （2）观察（1）中的例子，归纳、总结，写出发现的规律即可； （3）运用（2）中发现的规律进行判断，看哪个选项符合规律即可判断； （4）把（3）中的数字进行分解，分解成的两个连续奇数的乘积即可解答。 【详解】（1）如下所示： 1×3＝3 3×5＝15 5×7＝35 7×9＝63 9×11＝99 11×13＝143 …… （2）发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是3、5和9。 （3）A．337的末尾是7，不是两个相邻奇数的积； B．1661的末尾是1，不是两个相邻奇数的积； C．3363的末尾是3，是两个相邻奇数的积。 故答案为：C （4）3363＝3×19×59＝57×59 所以这两个奇数分别是57和59。 题型七、质数与合数的认识 【例题7】在91、93、95、97、99这五个奇数中，质数共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】如果只有和它本身两个因数，这样的数叫作质数，除了和它本身还有别的因数的数叫作合数，据此解答。 【详解】的因数有和，还有和，不是质数。 的因数有和，还有和，不是质数。 的因数有和，还有和，不是质数。 的因数只有和，所以是质数。 的因数有和，还有和、和，不是质数。 是质数，所以一共有个质数。 故答案为：A 【练习7】如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 【答案】A 【分析】质数是指在一个大于0的自然数中，除了1和此整数本身外，再没有其他的因数；合数是指一个数除了1和它本身以外还有别的因数的数；而自然数1，只有一个因数1，所以1既不是质数也不是合数。根据由此判断即可。 【详解】A．质数乘合数等于合数； B．质数减合数可能是质数，也可能是1，结果不是合数； C．根据质数加合数可能是质数，也可能是合数，即结果不一定是合数； D．质数÷合数不是整数，不可能是合数。 故答案为：A 题型八、分解质因数 【例题8】把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19。 据此判断即可。 【详解】A．6不是质数。该选项不符合题意； B．2、3、3都是质数。该选项符合题意； C．9不是质数。该选项不符合题意； D．9不是质数，1既不是质数也不是合数。该选项不符合题意。 故答案为：B 【练习8】18和24的最小公倍数是( )，把它分解质因数是( )。 【答案】 72 72＝2×2×2×3×3 【分析】可以分别写出18和24的倍数，再找出它们的最小公倍数。 把72写成几个质数相乘的样子。 【详解】18的倍数有：18，36，54，72，90⋯，24的倍数有：24，48，72，96⋯。18和24的最小公倍数是72。 72＝2×2×2×3×3 所以18和24的最小公倍数是72，把它分解质因数是72＝2×2×2×3×3。 题型九、公因数与最大公因数 【例题9】某校有一个周长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最大公因数是1，这个花圃的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，因为12＝6×2，所以长＋宽＝6（米）。因为6＝5＋1＝4＋2，5和1的最大公因数是1，4和2的最大公因数是2，所以长方形的长是5米，宽是1米。长方形面积＝长×宽，把数据代入计算即可。 【详解】12÷2＝6（米） 6＝5＋1＝4＋2 5和1的最大公因数是1，4和2的最大公因数是2。 5×1＝5（m2） 某校有一个周长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最大公因数是1，这个花圃的面积是5 m2。 故答案为：C 【练习9】有两根钢管，一根长72分米，另一根长90分米，把它们截成同样长的小段而不浪费，每个小段最长( )，共截了( )段。 【答案】 18分米/18dm 9 【分析】要求每小段最长的长度且无剩余，需计算72和90的最大公因数。总段数为两根钢管截成的段数之和。 【详解】72 ＝ 90 ＝ 故最大公因数为2 × 3× 3＝18 72分米钢管截成段数：72÷18＝4（段） 90分米钢管截成段数：90÷18＝5（段） 总段数：4＋5＝9（段） 因此，每小段最长18分米，共截了9段。 题型十、公倍数与最小公倍数 【例题10】如果（a、b均为非0整数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的公因数，是它们的最大公因数。 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的公倍数，是它们的最小公倍数。 在整数中，如果两个数是倍数关系，那么较小数是它们的最大公因数，较大数是它们的最小公倍数。 【详解】a是b的3倍，那么较小数是b，较大数是a，那么a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 【练习10】李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有( )个。 【答案】50 【分析】由题意可知，苹果个数比12和16的最小公倍数还多2个，求出12和16的最小公倍数再加2即可。 【详解】12＝2×2×3 16＝2×2×2×2 12和16的最小公倍数是2×2×2×2×3＝48。 48＋2＝50（个） 李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有50个。 真题演练 1．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）2和7都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】C 【分析】根据题意，可根据定义来判断： 奇数：不能被2整除的整数（2能被2整除，不是奇数）； 偶数：能被2整除的整数（7不能被2整除，不是偶数）； 质数：只有1和它本身两个因数的数（2的因数是1、2；7的因数是1、7 ，符合）； 合数：除了1和它本身还有其他因数的数（2、7 均不符合）。 【详解】A．2能被2整除→不是奇数，排除A； B．7不能被2整除→不是偶数，排除B； C．2和7只有1和自身两个因数→是质数，选C； D．2和7无其他因数→不是合数，排除D。 故答案为：C 2．（2025·四川绵阳·毕业考真题）在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 【答案】C 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8的数能被2整除； 3的倍数特征：一个数各个位上的数字之和是3的倍数，这个数能被3整除； 5的倍数特征：一个数的末尾是0或5的数，能被5整除。 21□0的末尾是0，所以它是2、5的倍数，因为2＋1＋□的和是3的倍数，据此分析即可。 【详解】2＋1＋□＝3＋□，且□里只填一个数字，有如下几种情况： 当□＝0时，3＋□＝3＋0＝3，3是3的倍数； 当□＝3时，3＋□＝3＋3＝6，6是3的倍数； 当□＝6时，3＋□＝3＋6＝9，9是3的倍数； 当□＝9时，3＋□＝3＋9＝12，12是3的倍数； 所以在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有4种填法。 故答案为：C 3．（2025·浙江杭州·毕业考真题）▲表示一个不为0的数字，■表示0。下面组成的数字中，一定是2、3、5的公倍数的是（    ）。 A．▲▲▲■ B．▲■▲■ C．▲■■▲ D．▲■▲▲ 【答案】A 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 2、5的倍数特征：个位上是0的数。 3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 【详解】A．▲▲▲■的个位是0，且有3个▲，所以这个数一定是2、3、5的公倍数，符合题意； B．▲■▲■的个位是0，但只有2个▲，所以这个数是2、5的倍数，不是3的倍数，不符合题意； C．▲■■▲的个位不是0，且只有2个▲，所以这个数不是2、3、5的公倍数，不符合题意； D．▲■▲▲的个位不是0，有3个▲，所以这个数是3的倍数，不是2、5的倍数，不符合题意。 故答案为：A 4．（2025·湖北武汉·毕业考真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【答案】D 【分析】连续偶数之间的差值为2，已知三个连续偶数中最大的是A，那么中间的偶数是（A－2），最小的偶数是A－2－2＝A－4。 【详解】A－2－2＝A－4 因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 5．（2025·湖南长沙·毕业考真题）1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【分析】一个就有一个零，的个数决定算式结果零的个数。而算式中2的个数多于5的个数，因此末尾零的个数由5的个数决定。需要计算从1949到2013的所有整数中因数5的总个数，通过找出5的倍数、25的倍数、125的倍数等，并分层计算它们的数量。 【详解】乘积末尾连续零的个数等于因数2和因数5配对个数的最小值。计算因数5的总个数： 5的倍数：最小为1950，最大为2010，共13个（1950、1955、1960、1965、1970、1975、1980、1985、1990、1995、2000、2005、2010），每个至少有1个因数5。 25的倍数：最小为1950，最大为2000，共3个（1950、1975、2000），每个是25的倍数，额外多1个因数5（因为25＝5×5，作为5的倍数时已计入1个）。 125的倍数：2000是125的倍数（125×16＝2000），额外多1个因数5（因为125＝5×5×5，作为5和25的倍数时已计入2个）。 因数5总个数＝13＋3＋1＝17。 2的倍数（含至少1个2）： （个） 2的倍数已经远大于17（4、8、16、32的倍数不需要再进行统计），所以末尾连续零的个数为17个。 故答案为：C 【点睛】计算乘积末尾0的个数，核心逻辑是“抓少的因数”：因为每1个0对应1对“2×5”，而连续整数中因数2的数量通常远多于因数5，因此只需统计质因数5的总个数（分层统计5、25、125等倍数的数量），即可直接得到末尾0的个数。 6．（2025·浙江宁波·毕业考真题）下列说法中不正确的选项是（    ）。 A．两个合数也有可能互质。 B．如果，则和的最大公因数是4。 C．一个数的最大因数等于它的最小倍数。 D．正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。 【答案】B 【分析】若两个数除了1这个公因数外没有其它公因数，则这两个数互质。最大公因数指两个或多个整数共有因数中最大的一个。一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。质数是除了1和它本身外没有其它因数的数，合数是除了1和它本身外还有其它因数的数。正方形周长＝边长×4。据此解答。 【详解】A．两个合数4和9，只有公因数1，则4和9互质。两个合数4和8，除了有公因数1之外，还有公因数2和4，则4和8不互质，所以两个合数也有可能互质。可得选项A说法正确。 B．如果，则＝4×，4和是的因数，可知和的最大公因数是。可得选项B说法错误。 C．一个数的最大因数是它本身，一个数的最小倍数是它本身，则一个数的最大因数等于它的最小倍数。可得选项C说法正确。 D．正方形周长＝边长×4，边长是质数时，周长除了有边长这个因数外，还有4这个因数，则长方形周长一定是合数。可得选项D说法正确。 所以选项B中的说法是错误的。 故答案为：B 7．（2025·江苏苏州·毕业考真题）体育课上，48名同学面向老师站成一排，按1—48号编号。按如下步骤操作：编号是2的倍数的同学向后转，编号是3的倍数的同学向后转。经过两次操作后，面向老师的还有（    ）人。 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【分析】根据题目，第一次操作：编号是2的倍数的同学向后转。第二次操作：编号是3的倍数的同学向后转。如果一个同学既是2的倍数又是3的倍数，也就是6的倍数，他会被操作两次：第一次和第二次都转，所以转两次，相当于没转，仍然面向老师。因此，没有被操作：方向不变，面向老师。操作一次：方向改变，背对老师。操作两次：方向改变两次，相当于没变，面向老师。 【详解】48÷2＝24（人），第一次有24名同学向后转，此时背向老师的有24人，面向老师的有48−24＝24（人）； 48÷3＝16（人），有16名同学编号是3的倍数。 其中既是2的倍数又是3的倍数，在第一次操作时已经转过一次，第二次操作又会转回来。48÷6＝8（人），有8名同学既是2的倍数又是3的倍数。 16−8＝8（人） 对于这8人，他们在第一次操作后面向老师，第二次操作后背向老师；而那8名既是2的倍数又是3的倍数的同学，转了两次后又面向老师了。 所以现在背向老师的同学有24−8＋8＝24人。 48−24＝24（人） 面向老师的还有24人。 故答案为：C 8．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）一个储存盒的密码是三位数。百位上的数字是一位数中最大的奇数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字是最小的质数，这个密码是（    ）。 A．942 B．780 C．941 D．741 【答案】A 【分析】奇数是不能被2整除的数；合数是指除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的自然数。最小的合数是4。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。最小的质数是2。据此解答即可。 【详解】一位数中的奇数有1、3、5、7、9，其中最大的奇数是9，所以百位上的数字是9。 最小的合数是4，所以十位上的数字是4。 最小的质数是2，所以个位上的数字是2。 密码由百位9、十位4、个位2，组合成的三位数密码是942。 故答案为：A 9．（2024·河南信阳·毕业考真题）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】质数是指只能被1和它本身整除的数，偶数是指个位上是0、2、4、6、8的数。据此依次分析选项得出答案。 【详解】A．，1不是质数，所以不符合。 B．，7是奇数，所以不符合。 C．，3和7都是质数，10是大于2的偶数，所以本选项符合哥德巴赫猜想。 D．，12是大于2的偶数，但9是合数，所以不符合。 故答案为：C 10．（2024·福建泉州·毕业考真题）有m、n两个数，数m除以5，余数是3；数n除以5，余数是2。以下说法正确的是（    ）。 A．m一定大于n。 B．m和n的和一定是5的倍数。 C．m和n的差一定是5的倍数。 D．当商都等于11时，n＝58。 【答案】B 【分析】已知数m除以5，余数是3，数n除以5，余数是2，根据“商×除数＋余数”计算出被除数，因为商未知，所以被除数不固定；如果a×b＝c（a、b、c均不为0），则c是a和b的倍数；最后对每个选项逐一进行分析判断即可。 【详解】A．除数固定，余数固定，商不固定，所以m和n的大小关系不确定，所以本选项错误； B．除数都是5，余数是3和2，2＋3＝5，5是5的倍数，所以m和n的和一定是5的倍数，本选项正确； C．若商是1，则m＝5×1＋3＝8，n＝5×1＋2＝7，8－7＝1，1不是5的倍数，所以本选项错误； D．当商都等于11时，则n＝11×5＋2＝57，所以本选项错误。 故答案为：B 11．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）因为，所以27是倍数，3和9是因数。( ) 【答案】× 【分析】在整数除法中，若被除数除以除数得到的商是整数且无余数，则被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。因数和倍数是相互依存的关系，必须明确指出某个数是另一个数的因数或倍数，不能单独存在。题目中未明确27是哪些数的倍数，3和9是哪些数的因数，因此表述错误。 【详解】根据，说明27是9和3的倍数，9和3是27的因数。题目中“27是倍数，3和9是因数”的表述未明确依存关系，正确的应为“27是9和3的倍数，9和3是27的因数”；原题干说法错误。 故答案为：× 12．（2025·浙江温州·毕业考真题）任意三个非零的自然数中，一定有一个合数。( ) 【答案】× 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】如：三个非零自然数：1、2、3。1既不是质数也不是合数，2是质数，3是质数，这三个数中没有合数。 所以，任意三个非零的自然数中，不一定有一个合数。 原题说法错误。 故答案为：× 13．（2025·湖北襄阳·毕业考真题）连续两个自然数相加的和一定是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】连续两个自然数中，必有一个奇数和一个偶数。根据奇偶性运算规律，奇数＋偶数＝奇数，因此它们的和一定是奇数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【详解】设第一个自然数为n，则下一个自然数为n＋1。若n为偶数，则n＋1为奇数；若n为奇数，则n＋1为偶数。无论哪种情况，n＋（n＋1）＝2n＋1，其中2n为偶数，2n＋1必为奇数。 例如：，，结果均为奇数。 所以，连续两个自然数相加的和一定是奇数。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．（2025·重庆綦江·毕业考真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】判断一个数是否为3的倍数，只需看它各个数位上的数字之和是否为3的倍数，数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。可以设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2（a为大于0的自然数）。然后计算判断即可。 【详解】设三个连续自然数分别为a、a＋1、a＋2，它们的和为。因为3（a ＋ 1）能被3整除，所以任意三个连续自然数的和都是3的倍数。 故答案为：√ 15．（2025·海南省直辖县级单位·毕业考真题）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。( ) 【答案】√ 【分析】先把6和60、12和30分别分解质因数，再找出6和60、12和30的最大公因数和最小公倍数，据此判断。 分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。 两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。 【详解】6＝2×3 60＝2×2×3×5 6和60的最大公因数是：2×3＝6 6和60的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 12＝2×2×3 30＝2×3×5 12和30的最大公因数是：2×3＝6 12和30的最小公倍数是：2×2×3×5＝60 所以，已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。 原题说法正确。 故答案为：√ 16．（2025·广东湛江·毕业考真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 【答案】× 【分析】根据两个数的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，用两个数的积除以它们的最大公因数，再根据两个数的最小公倍数是最大公因数的整数倍进行验证，用两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数看是否为整数即可验证。 【详解】480÷8＝60 60÷8＝7.5 说明两数的最小公倍数不是两数的最大公因数的整数倍，所以两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60的说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题看似简单，解答本题如果只是用两个数的积除以它们的最大公因数，得出的结果就是最小公倍数，但经过验证发现是错误的。 17．（2025·山东临沂·毕业考真题）一个三位数，既有因数2和3，又是5的倍数，这个数最小是( )。 【答案】120 【分析】既有因数2和3，又是5的倍数，即这个三位数同时是2、3、5的倍数。 根据2、3、5的倍数特征可知：这个三位数个位上是0，因为只有个位上是0的数才能满足是2和5的倍数；要想最小则百位上是最小的一位数1；然后分析各个数位上的和是不是3的倍数，即百位上的1加上十位上的数和个位上的0是3的倍数，即十位可以是2、5、8，其中2是最小的。据此解答。 【详解】既是2的倍数也是5的倍数，个位上是0；要求这个三位数最小，所以百位上是1；各位数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，因此十位上可以是2（1＋2＋0＝3）、5（1＋5＋0＝6）、8（1＋8＋0＝9），要求最小，因此十位上是2。 因此，这个数最小是120。 18．（2025·四川绵阳·毕业考真题）甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 【答案】 3 18 【分析】根据题意可知，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。他们于2019年1月5日这一天在图书馆相遇，那么距离下一次他们一起到图书馆相遇的天数应该是6、8、9的最小公倍数。即找到6天，8天，9天的最小公倍数，即可知道他们一起到图书馆是几天之后，用1月5日加上这个天数即可求得下一次他们一起到图书馆相遇的时间。 【详解】6＝2×3； 8＝2×2×2； 9＝3×3； 2×2×2×3×3＝72（天） 31－5＝26（天） 2019÷4＝504……3，则2019年是平年，2月有28天。 26＋28＝54（天） 72－54＝18（天） 即下一次他们一起到图书馆相遇是3月18日。 19．（2025·江苏苏州·毕业考真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 【答案】 21 67 【分析】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【详解】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 【点睛】关键在于识别斐波那契数列的求和规律，并通过“奇、奇、偶”的周期分析来快速计算前100个数中的奇数个数。 20．（2025·四川遂宁·毕业考真题）已知A＝2×2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】420 【分析】两个数的最小公倍数是两个数公有的质因数与独有的质因数的乘积，而“A＝2×2×3×5，B＝2×5×7”可知两数共有的因数为2和5，A去掉共有的2和5，还有因数2和3，B去掉共有的2和5，还有因数7，所以用2×5×2×3×7即可求出最小公倍数。 【详解】2×5×2×3×7 ＝10×2×3×7 ＝20×3×7 ＝60×7 ＝420 已知A＝2×2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最小公倍数是420。 21．（2025·湖北武汉·毕业考真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 【答案】 5 10 【分析】5的倍数特征：个位是0或5的数字是5的倍数；3的倍数特征：各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此解答即可。 【详解】根据分析： 15、25、35、45、65是5的倍数，其中是5的倍数的两位数有5种可能； 12、15、24、36、45、21、51、42、63、54是3的倍数，其中是3的倍数的两位数有10种可能。 【点睛】本题考查5和3的倍数特征，明确它们的特征是解题的关键。 22．（2025·四川遂宁·毕业考真题）有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 【答案】17 【分析】先求出所有水果的总质量，因为苹果重量是梨的5倍，所以苹果和梨的总质量是6的倍数（梨的质量看作1份，苹果是5份，总共6份），用总质量除以6，根据余数判断香蕉的质量，最后再根据苹果的重量是梨的5倍进一判断即可。 【详解】1＋3＋12＋21＋17＋35＝89（千克） 89÷6＝14……5 分别看各箱质量除以6的余数，1÷6余1，3÷6余3，21÷6余3，12÷6余0，17÷6余5，35÷6余5。 17除以6的余数、35除以6的余数与总质量除以6的余数相同。 （89-17）÷6 ＝72÷6 ＝12（千克） 有一筐水果是12千克可以是梨，其余是苹果，符合苹果的重量是梨的5倍。 （89-35）÷6 ＝54÷6 ＝9（千克） 没有一筐或几筐水果的和是9千克，不符合苹果的重量是梨的5倍。 所以，香蕉有17千克。 23．（2025·湖南长沙·毕业考真题）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有( )页。 【答案】100 【分析】和差积的奇偶性，奇数加奇数等于偶数。一本书中间的某一张被撕掉了，这两页的页码数字是相邻的两个自然数（一个奇数一个偶数），两数的和应为奇数。余下的各页码数之和是4979，所以这本书的页码总和为偶数。设这本书n页，则n（n＋1）÷2＞4979，据此解答。 【详解】设这本书原来n页。 1＋2＋3＋4＋＋n＝n（n＋1） 当n＝100时， 小明算出的页数之和为4979，那么5050－4979＝71，71＝35＋36，所以这本书缺失的两页是35页和36页。 当n＝101时，，那么5151－4979＝172，此时缺失的是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数的和一定是一个奇数，而172是一个偶数，所以不可能是101页。因此这本书原来有100页。 【点睛】连续自然数的和，从数字1加到n（n是非0自然数），可以用n（n＋1）表示。得到关于n的式子，再利用设数的方法，结合和差的奇偶性，即可求出。 24．（2025·河南郑州·毕业考真题）和都是非0自然数，分解质因数，。如果和的最小公倍数是60，那么的值为( )。 【答案】2 【分析】本题需运用“分解质因数法求最小公倍数”的知识求解。首先明确，两个数的最小公倍数是它们公有质因数与各自独有质因数的乘积。因此，先找出A和B的公有质因数与独有质因数，列出最小公倍数的表达式，再结合已知的最小公倍数建立方程，进而求出C的值。 【详解】， 和的最小公倍数是： 解： 那么的值为2。 25．（2025·浙江宁波·毕业考真题）有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成两个质数相加的和；③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( )。 【答案】15 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 条件①：该数减1是偶数，说明这个数是奇数，列举出20以内所有的奇数； 条件③：该数是两个不同质数的积，列举出20以内所有的质数；根据偶数×奇数＝偶数，排除2与其它质数的乘积，列举出除2以外其他两个质数的乘法组合，排除乘积大于20的组合； 利用条件②验证这个数能否写成两个质数之和，进而确定这个数。 【详解】20以内的奇数为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19； 该数是两个不同质数的积，因为偶数×奇数＝偶数，排除2与其它质数的乘积，则可能的组合有： 3×5＝15，15是20以内的奇数，符合条件①；15＝2＋13，2和13均为质数，符合条件②； 3×7＝21，21＞20，排除； 后面组合的积都大于20，排除。 所以，这个数是（15）。 26．（2025·湖北武汉·毕业考真题）一个九位数，最高位上是最大的一位合数，十万位上是最小的质数，千位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作( )，读作( )，改写成用“万”作单位的数是( )。 【答案】 900204000 九亿零二十万四千 90020.4万 【分析】最大的一位合数：合数是除了1和自身还有其他因数的数，最小的合数是4，一位数中最大的合数是9。 最小的质数：质数是只有1和自身两个因数的数，最小的质数是2。 读数时，先分级（从右往左每4位为一级：个级、万级、亿级），再从最高级读起，各级按个级读法读，读完亿级加“亿”字、读完万级加“万”字，每级中间或开头有一个或连续几个0只读一个0，每级末尾的0不读。 改写成用“万”作单位的数，“万”作单位对应小数点向左移动4位，去掉末尾无用的0，并加上“万”字。 据此计算解答即可。 【详解】一位数中最大的合数是9；最小的质数是2；最小的合数是4； 所以这个数写作：900204000 900204000：亿级“9”读作“九亿”；万级“0020”读作“零二十万”；个级“4000”读作“四千”（末尾的0不读）。 所以900204000读作：九亿零二十万四千 900204000从右往左数4位点上小数点，得90020.4000；去掉末尾的0，结果为90020.4万。 这个数写作900204000，读作九亿零二十万四千，改写成用“万”作单位的数是90020.4万。 27．（2025·广东潮州·毕业考真题）一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），那么可以选用边长最大是( )分米的地砖，至少需要( )块这样的地砖。 【答案】 8 42 【分析】要使正方形地砖刚好铺满房间且不切割，地砖的边长必须是房间地面长和宽的公因数；而“边长最大”的要求，对应的就是长和宽的最大公因数。 房间地面长56分米，宽48分米，利用分解质因数法：56＝2×2×2×7，48＝2×2×2×2×3根据最大公因数的定义，取公有的质因数并相乘，56和48公有的质因数是3个2，最大公因数为2×2×2＝8。即可以选用的最大地砖边长是8分米。 地砖为正方形，边长8分米，因此单块地砖面积＝边长×边长，即8×8＝64（平方分米）。房间地面为长方形，地面总面积＝长×宽，56×48＝2688（平方分米）。所需地砖数量＝地面总面积÷单块地砖面积，代入计算即可。 【详解】56＝2×2×2×7 48＝2×2×2×2×3 2×2×2＝8（分米） 8×8＝64（平方分米） 56×48＝2688（平方分米） 2688÷64＝42（块） 可以选用边长最大是8分米的地砖，至少需要42块这样的地砖。 28．（2025·江苏苏州·毕业考真题）一个两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是( )。这个两位数与16的最大公因数是( )。 【答案】 4 8 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 两个数的公有质因数的连乘积就是这两个是的最大公因数；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数是1；据此解答。 【详解】□填0；20；2＋0＝2；2不能被3整除，□内不能填0； □填2；22；2＋2＝4；4不能被3整除，□内不能填2； □填4；24；2＋4＝6；6能被3整除，□内能填6； □填6；26；2＋6＝8；8不能被3整除，□内不能填6； □填8；28；2＋8＝10；10不能被3整除，□内不能填8； □里的数是4。 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是2×2×2＝8。 一个两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是4。这个两位数与16的最大公因数是8。 29．（2025·浙江杭州·毕业考真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。 【答案】 5 【分析】已知表示一个四位整数，千位上是2，表示2个1000即2×1000；百位上是a，表示a个100即a×100，十位上是5，表示5个10即5×10；个位上是0，表示0个1即0×1。 如果是3的倍数，根据3的倍数特征“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，再结合a是一个奇数即可能是1、3、5、7、9，逐一验证即可。 【详解】（） 如果是3的倍数，2＋a＋5＋0＝7＋a，且a是一个奇数，那么： 当a＝1时，7＋1＝8，不是3的倍数； 当a＝3时，7＋3＝10，不是3的倍数； 当a＝5时，7＋5＝12，是3的倍数； 当a＝7时，7＋7＝14，不是3的倍数； 当a＝9时，7＋9＝16，不是3的倍数。 填空如下： 表示一个四位整数，那么（）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（5）。 30．（2025·安徽合肥·毕业考真题）将162分解质因数162＝2×3×3×3×3，可以写成162＝21×34，现在把2025分解质因数可以写成2025＝ab×cd的形式，求a＋b＋c＋d的和是( )。 【答案】14 【分析】分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数。 对2025分解质因数，并写成ab×cd的形式，2025＝3×3×3×3×5×5＝34×52，求出a、b、c、d的值，进而求出a＋b＋c＋d的和。 【详解】2025＝3×3×3×3×5×5＝34×52 所以a、b、c、d分别为3、4、5、2，即a＋b＋c＋d＝3＋4＋5＋2＝14。 所以a＋b＋c＋d的和是14。 31．（2024·浙江杭州·毕业考真题）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 【答案】8，48；1，77；3，204 【分析】利用分解质因数法，把每组数中的合数分解成几个质因数乘积的形式，两个数的公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数，最大公因数和独有质因数的乘积，就是这两个数的最小公倍数。求每组数的最大公因数和最小公倍数即可；互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】24和16 24＝2×2×2×3 16＝2×2×2×2 24和16的最大公因数是：2×2×2＝8，最小公倍数是：8×2×3＝48。 11和7 11和7互质，所以11和7的最大公因数是：1，最小公倍数是：11×7＝77。 12和51 12＝2×2×3 51＝3×17 12和51的最大公因数是：3，最小公倍数是：3×2×2×17＝204。 32．（2025·重庆北碚·毕业考真题）若自然数能被它各数位上的数字之积整除，我们就称这样的自然数为“闪亮数”。 （1）若三位数为“闪亮数”，请直接写出的值； （2）请求出所有的两位“闪亮数”。 【答案】（1）1、7 （2）11、12、15、24、36 【分析】（1）根据“闪亮数”的定义，可知为的倍数，由此可以看出这个数是3的倍数，那么3＋5＋a＝8＋a必须能被3整除，据此解答此题。 （2）我们按个位数字从 1 到 9 一个一个来分析，算出这个数“十位数字 × 个位数字”的积，最后看“这个两位数除以数字之积”的结果是不是整数 —— 如果是整数，这个数就是“闪亮数”。 【详解】（1）根据“闪亮数”的定义，可知为的倍数，，即能被3整除， 所以必须能被3整除，能被3整除则的取值可以是1、4、7， 又时，＝7……1，有余数，故满足题意的只能是1或7。 答：的值是1、7。 （2）当个位数字为1时，“闪亮数”可以是11； 当个位数字为2时，“闪亮数”可以是12； 当个位数字为3时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为4时，“闪亮数”可以是24； 当个位数字为5时，“闪亮数”可以是15； 当个位数字为6时，“闪亮数”可以是36； 当个位数字为7时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为8时，不存在“闪亮数”； 当个位数字为9时，不存在“闪亮数”。 答：所有的两位“闪亮数”为：11、12、15、24、36。 【点睛】“闪亮数” 的核心是：自然数能被它各数位数字之积整除。解题时需根据数位表示数的方法，结合整除的条件分析。 33．（2025·湖南长沙·毕业考真题）A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 【答案】14.2 【分析】A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大，所以有A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36，由此可知：B＝C－5，D＝C＋3，可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数；在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28，由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28，所以，A、B、C、D、E即可求出，再根据平均数＝总数量÷总份数，问题即可解决。 【详解】因为A＋B最小，A＋C次小，D＋E最大，C＋E次大 所以有，A＋B＝17，D＋E＝39，A＋C＝22，C＋E＝36 由此可知：B＝C－5，D＝C＋3 可以看出，B、D同奇同偶，所以B＋D是偶数 在已知条件中，剩下的偶数只有28，于是B＋D＝28 由于B＋D＝C－5＋C＋3＝28 所以C＝15 于是A＝7，B＝10，D＝18，E＝21 五个数的平均数为： （7＋10＋15＋18＋21）÷5 ＝71÷5 ＝14.2 答：这五个整数的平均数是14.2。 【点睛】关键是理解平均数的意义，掌握平均数的求法。 34．（2025·重庆江北·毕业考真题）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab－（a＋b）＝c，则称这个三位数为“2020”数，例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3－（2＋3）＝1，所以231是“2020”数。 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：1＋0＋8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除。 (1)阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由。 (2)根据材料1和2，求所有小于600且能被9整除的“2020”数。 【答案】(1)是 (2)297、333、369 【分析】（1）判断一个三位数是不是“2020”数，要分别取出百位、十位、个位上的数字。先算百位乘十位的积，再算百位加十位的和，然后用积减去和，看结果是否等于个位数字。等于就是“2020”数，不等于就不是。 （2）：先根据“2020”数的定义，把百位数字记作a，十位数字记作b，个位数字记作c，满足a×b－（a＋b）＝c。同时这个三位数要小于600，所以百位a只能是1、2、3、4、5。还要能被9整除，根据材料2，就是a＋b＋c的和能被9整除。把c换成a×b－（a＋b），那么a＋b＋c＝a＋b＋[a×b－（a＋b）]＝a＋b＋a×b－a－b＝a×b。所以这个三位数能被9整除的条件就变成了a×b能被9整除。然后枚举a＝1到5，找出a×b是9的倍数，并且c＝a×b－（a＋b）必须是一位数（0到9），最后组成三位数。 【详解】（1）对于自然数725，百位数字是7，十位数字是2，个位数字是5。 计算百位与十位数字之积减去它们的和： 因为计算结果5恰好等于个位上的数字5，符合“2020”数的定义。 答：725是“2020”数。 （2）设三位数为100a＋10b＋c，其中a是1至9的整数，b和c是0至9的整数。 根据“2020”数定义：c＝a×b－（a＋b）。 三位数小于600，所以a＝1，2，3，4，5。 能被9整除，根据材料2，a＋b＋c能被9整除。 将c代入：a＋b＋c＝a＋b＋[a×b－（a＋b）]＝a×b。 所以a×b能被9整除。 a＝1：1×b能被9整除，b＝9。c＝1×9－（1＋9）＝9－10＝－1，不符合（c不是0~9）。 a＝2：2×b能被9整除，b＝9。c＝2×9－（2＋9）＝18－11＝7，三位数是297。297＜600，符合。 a＝3：3×b能被9整除，b＝3，6，9。 b＝3：c＝3×3－（3＋3）＝9－6＝3，三位数是333。333＜600，符合。 b＝6：c＝3×6－（3＋6）＝18－9＝9，三位数是369。369＜600，符合。 b＝9：c＝3×9－（3＋9）＝27－12＝15，不符合（c不是一位数）。 a＝4：4×b能被9整除，b＝9。c＝4×9－（4＋9）＝36－13＝23，不符合。 a＝5：5×b能被9整除，b＝9。c＝5×9－（5＋9）＝45－14＝31，不符合。 答：所有小于600且能被9整除的“2020”数是：297，333，369。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 因数与倍数 （思维导图+考点梳理+例题讲解+真题演练） 思维导图 考点梳理 考点一、因数和倍数的认识 1. 定义与相互依存关系 (1)前提条件：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2)数学表达：若 （ 均为非0自然数），则： ①　 是 和 的倍数。 ②　 和 是 的因数。 (3)相互依存：因数和倍数是相互依存的，不能单独说某个数是因数或倍数。必须说“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。 ①　错误表述：“12是因数”，“3是倍数”。 ②　正确表述：“12是3的倍数”，“3是12的因数”。 2. 研究范围 (1)本单元研究的因数和倍数，通常指非0自然数（即正整数：1, 2, 3, ...）。 (2)注意：为了方便，在研究因数和倍数时，一般不包括0。虽然 ，但0做除数无意义，且0做倍数无实际研究价值，故约定俗成只在非0自然数范围内讨论。 3. 基本性质 (1)一个数的最小因数是 1，最大因数是 它本身。 (2)一个数的最小倍数是 它本身，没有最大的倍数（倍数的个数是无限的）。 考点二、找一个数的因数及因数的特征 1. 找因数的方法 (1)乘法配对法（推荐）： ①　想哪两个自然数相乘等于这个数。 ②　从1开始，依次寻找配对的两个数，直到两个数相等或交叉为止。 ③　例：找18的因数。 (无整数解) 所以18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 (2)除法列举法：用这个数依次除以1, 2, 3...，如果能整除，除数和商都是它的因数。 2. 因数的特征 (1)有限性：一个数的因数的个数是有限的。 (2)极值： ①　最小的因数是 1。 ②　最大的因数是 它本身。 (3)表示方法： ①　列举法：18的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18。 ②　集合法：画一个圈，里面写上所有因数。 3. 特殊数的因数 (1)1 的因数只有 1。 (2)质数 的因数只有 1 和 它本身（共2个）。 (3)合数 的因数至少有 3 个（1、它本身、其他因数）。 考点三、找一个数的倍数及倍数的特征 1. 找倍数的方法 (1)乘法生成法： ①　用这个数分别乘1, 2, 3, 4, 5... ②　例：找3的倍数。 ... 所以3的倍数有：3, 6, 9, 12, 15... 2. 倍数的特征 (1)无限性：一个数的倍数的个数是无限的。 (2)极值： ①　最小的倍数是 它本身。 ②　没有最大的倍数。 (3)表示方法： ①　列举法：3的倍数有：3, 6, 9, 12...（末尾加省略号）。 ②　集合法：画一个圈，里面写上部分倍数并加省略号。 考点四、2、3、5的倍数特征综合 1. 2的倍数特征 (1)个位判断法：个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数，都是2的倍数。 (2)偶数定义：自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。 (3)奇数定义：不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 5的倍数特征 (1)个位判断法：个位上是 0 或 5 的数，都是5的倍数。 3. 3的倍数特征 (1)数位和判断法：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2)注意：不能只看个位。 例：123， ，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 例：124， ，7不是3的倍数，所以124不是3的倍数。 4. 综合特征（同时满足多个条件） (1)既是2又是5的倍数： ①　个位必须是 0。 ②　即：10, 20, 30, 100... (2)既是2又是3的倍数（即6的倍数）： ①　个位是0, 2, 4, 6, 8（满足2的特征）。 ②　各位数字之和是3的倍数（满足3的特征）。 (3)既是3又是5的倍数（即15的倍数）： ①　个位是0或5（满足5的特征）。 ②　各位数字之和是3的倍数（满足3的特征）。 (4)同时是2、3、5的倍数（即30的倍数）： ①　个位必须是 0（满足2和5的特征）。 ②　各位数字之和是 3 的倍数（满足3的特征）。 ③　例：30, 60, 90, 120, 150... 考点五、奇数与偶数的认识 1. 定义回顾 (1)偶数：能被2整除的数。包括0, 2, 4, 6, 8... 注意：0是最小的偶数（在自然数范围内）。 (2)奇数：不能被2整除的数。包括1, 3, 5, 7, 9... 注意：1是最小的奇数。 2. 自然数的分类 (1)按是否是2的倍数分：自然数分为 奇数 和 偶数。 (2)按因数的个数分：自然数（1除外）分为 质数 和 合数；1既不是质数也不是合数。 易错点：奇数不一定是质数（如9, 15），偶数不一定是合数（如2是质数）。 3. 连续自然数的奇偶性 (1)相邻的两个自然数，一定是一个奇数、一个偶数。 (2)例：1(奇), 2(偶), 3(奇), 4(偶)... 考点六、运算性质（奇数和偶数） 在加减法运算中，奇数和偶数遵循以下规律（无需计算具体数值，仅通过奇偶性判断结果）： 1. 加法/减法性质 (1)偶数 偶数 = 偶数 例： , (2)奇数 奇数 = 偶数 例： , (3)偶数 奇数 = 奇数 （或 奇数 偶数 = 奇数） 例： , 2. 乘法性质 (1)偶数 任何整数 = 偶数 ①　只要乘数中有一个是偶数，积一定是偶数。 ②　例： , (2)奇数 奇数 = 奇数 ①　只有当所有乘数都是奇数时，积才是奇数。 ②　例： , 3. 应用技巧 (1)判断多个数之和的奇偶性： ①　看奇数的个数。 ②　如果奇数的个数是偶数个，则总和为偶数。 ③　如果奇数的个数是奇数个，则总和为奇数。 ④　偶数的个数不影响和的奇偶性。 ⑤　例： ，其中有3个奇数（1,3,5），3是奇数个，所以和是奇数（15）。 考点七、质数与合数的认识 1. 定义 (1)质数（素数）：一个大于1的自然数，如果只有 1 和 它本身 两个因数，这样的数叫做质数。 例：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... (2)合数：一个大于1的自然数，如果除了 1 和 它本身 还有别的因数，这样的数叫做合数。 例：4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15... (3)特殊数 1：1 只有 1 个因数（即1本身）。所以，1 既不是质数，也不是合数。 2. 100以内的质数表（建议熟记） 为了快速判断，建议记忆20以内的质数，并熟悉100以内质数的分布： (1)20以内：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 （共8个） (2)其他常见：23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。 (3)口诀辅助： ①　二三五七十一十三，十七十九质数连。 ②　二三九，三一七，四一四三七十一。 ③　五三五一五十九，六一六七七十一。 ④　七三七九八十三，八九九七百内全。 3. 重要结论与易错点 (1)最小的质数是 2，也是唯一的偶数质数。 (2)最小的合数是 4。 (3)所有的质数都是奇数吗？ 不是，2是质数但它是偶数。 (4)所有的奇数都是质数吗？ 不是，9, 15, 21等是奇数但它们是合数。 (5)两个质数的和一定是偶数吗？ 不一定。如果其中一个质数是2，另一个是奇质数，和为奇数（如 ）。如果两个都是奇质数，和为偶数（如 ）。 考点八、分解质因数 1. 定义 (1)把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 (2)这几个质数叫做这个合数的质因数。 (3)注意： ①　分解的对象必须是合数（1和质数不能分解质因数）。 ②　乘数必须是质数。 ③　形式必须是乘法算式。 2. 方法：短除法 (1)步骤： ①　写出短除符号，将被分解的合数写在里面。 ②　用这个数的最小质因数（通常从2, 3, 5开始试）去除。 ③　把商写在下面。 ④　如果商是质数，停止；如果商是合数，继续用质数去除。 ⑤　直到商为质数为止。 ⑥　将所有的除数和最后的商连乘起来。 考点九、公因数与最大公因数 1. 概念 (1)公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。 (2)最大公因数：其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。 (3)符号： 表示 a 和 b 的最大公因数。 2. 找最大公因数的方法 (1)列举法：分别列出各数的因数，找出公共的，再找最大的。适用于较小的数。 (2)短除法（通用且高效）： ①　用这几个数的公有质因数连续去除。 ②　直到所得的商互质（只有公因数1）为止。 ③　把所有的除数连乘，积就是最大公因数。 3. 特殊情况 (1)倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较小数就是它们的最大公因数。 例：8和16。16是8的倍数，最大公因数是 8。 (2)互质关系：如果两个数只有公因数1（互质），那么它们的最大公因数是 1。 ①　常见互质情况： 两个不同的质数（如3和7）。 相邻的两个自然数（如8和9）。 1和任何自然数。 考点十、公倍数与最小公倍数 1. 概念 (1)公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。 (2)最小公倍数：其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 (3)符号： 表示 a 和 b 的最小公倍数。 (4)注意：没有最大公倍数，因为倍数是无限的。 2. 找最小公倍数的方法 (1)列举法：分别列出各数的倍数，找出第一个相同的。 (2)短除法（通用且高效）： ①　用这几个数的公有质因数连续去除。 ②　直到所得的商互质为止。 ③　把所有的除数和最后的商全部连乘，积就是最小公倍数。 3. 特殊情况 (1)倍数关系：如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是它们的最小公倍数。 例：8和16。16是8的倍数，最小公倍数是 16。 (2)互质关系：如果两个数互质，那么它们的乘积就是最小公倍数。 例：3和7互质，最小公倍数是 。 例：8和9互质，最小公倍数是 。 4. 最大公因数与最小公倍数的关系 (1)对于任意两个自然数 和 ： 即：**两数之积 = 最大公因数 最小公倍数**。 (2)此性质可用于验算或已知其中三个量求第四个量。 5. 实际应用题型识别 (1)求最大公因数的场景： ①　“切割”、“分组”、“铺地砖”、“分物品”。 ②　关键词：“最大”、“最长”、“最多”、“边长最大”。 ③　例：把一张长18cm、宽12cm的纸剪成同样大小的正方形且无剩余，正方形边长最大是多少？（求18和12的最大公因数） (2)求最小公倍数的场景： ①　“相遇”、“再次同时”、“周期重复”、“拼大正方形”。 ②　关键词：“至少”、“最少”、“下一次”、“最小”。 ③　例：甲每3天去一次图书馆，乙每4天去一次，他们今天同时去了，至少再过几天又同时去？（求3和4的最小公倍数） 例题讲解 题型一、因数和倍数的认识 【例题1】在中，( )和( )是( )的因数。在中，( )是( )和( )的倍数。 【练习1】下面说法正确的是（    ）。 A．因为3.5÷0.5＝7，所以3.5能被0.5整除。 B．因为35÷0.5＝70，所以35能被0.5整除。 C．因为35÷5＝7，所以35能被5整除。 D．因为35÷50＝0.7，所以35能被50整除。 题型二、找一个数的因数及因数的特征 【例题2】自然数a＝3×3×5，则a的全部因数有( )个。 【练习2】老师要将24本作业本平均分给若干名学生，刚好分完，每人得到的本数相同且多于1本。以下哪种分法不可能实现（    ）。 A．分给2人 B．分给5人 C．分给8人 D．分给12人 题型三、找一个数的倍数及倍数的特征 【例题3】一个数既是8的倍数，又是24的因数，这个数可以是（    ）。 A．4 B．8 C．16 D．48 【练习3】有一把玩具密码锁，密码是一个两位数，它既是9的倍数，又是18的因数，这把密码锁的密码是( )。 题型四、2、3、5的倍数特征综合 【例题4】下列既是3的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．6 B．10 C．30 D．35 【练习4】81457□是一个没有相同数字的六位数，它既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里应该是( )。 题型五、奇数与偶数的认识 【例题5】在1~20各数中，既是奇数，又是合数的数是( )和( )。 【练习5】当x是（    ）时，3x＋5的结果一定是奇数。 A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数 题型六、运算性质（奇数和偶数） 【例题6】在1、2、3、…、N，这N个自然数中，共有a个质数，b个合数，m个奇数，n个偶数，则（m－a）＋（n－b）＝( )。 【练习6】(1)探究：请你举出“两个相邻奇数相乘的例子”，再观察它们所得积末尾数字的特征。（例子要包含积末尾数字不同的情况。） (2)发现：两个相邻奇数相乘，积末尾数字一定是( )、( )和( )。 (3)运用：下面三个数中，只有一个数是两个相邻奇数的积，它是（    ）。 A．337 B．1661 C．3363 (4)这两个奇数分别是( )和( )。 题型七、质数与合数的认识 【例题7】在91、93、95、97、99这五个奇数中，质数共有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【练习7】如果〇表示一个质数，△表示一个合数，那么（    ）的结果一定是合数。 A．〇×△ B．〇－△ C．〇＋△ D．〇÷△ 题型八、分解质因数 【例题8】把18分解质因数是（    ）。 A． B． C． D． 【练习8】18和24的最小公倍数是( )，把它分解质因数是( )。 题型九、公因数与最大公因数 【例题9】某校有一个周长是12m的长方形花圃，它的长和宽的最大公因数是1，这个花圃的面积是（    ）。 A． B． C． D． 【练习9】有两根钢管，一根长72分米，另一根长90分米，把它们截成同样长的小段而不浪费，每个小段最长( )，共截了( )段。 题型十、公倍数与最小公倍数 【例题10】如果（a、b均为非0整数），那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【练习10】李阿姨从果园里摘了一些苹果，个数在60个以内。如果每12个装一盒，还剩2个；如果每16个装一盒，也剩2个。这些苹果至少有( )个。 真题演练 1．（2024·辽宁盘锦·毕业考真题）2和7都是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 2．（2025·四川绵阳·毕业考真题）在四位数21□0的方框里填入一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．1 B．2 C．4 D．3 3．（2025·浙江杭州·毕业考真题）▲表示一个不为0的数字，■表示0。下面组成的数字中，一定是2、3、5的公倍数的是（    ）。 A．▲▲▲■ B．▲■▲■ C．▲■■▲ D．▲■▲▲ 4．（2025·湖北武汉·毕业考真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 5．（2025·湖南长沙·毕业考真题）1949×1950×1951×…×2013的乘积是一个多位数，这个多位数的末尾有（    ）个连续的零。 A．15 B．16 C．17 D．18 6．（2025·浙江宁波·毕业考真题）下列说法中不正确的选项是（    ）。 A．两个合数也有可能互质。 B．如果，则和的最大公因数是4。 C．一个数的最大因数等于它的最小倍数。 D．正方形的边长是质数，它的周长一定是合数。 7．（2025·江苏苏州·毕业考真题）体育课上，48名同学面向老师站成一排，按1—48号编号。按如下步骤操作：编号是2的倍数的同学向后转，编号是3的倍数的同学向后转。经过两次操作后，面向老师的还有（    ）人。 A．8 B．16 C．24 D．32 8．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）一个储存盒的密码是三位数。百位上的数字是一位数中最大的奇数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字是最小的质数，这个密码是（    ）。 A．942 B．780 C．941 D．741 9．（2024·河南信阳·毕业考真题）“哥德巴赫猜想”被誉为“数学皇冠上的明珠”，内容是“任何大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。下面所举的四个例子，符合哥德巴赫猜想的是（    ）。 A． B． C． D． 10．（2024·福建泉州·毕业考真题）有m、n两个数，数m除以5，余数是3；数n除以5，余数是2。以下说法正确的是（    ）。 A．m一定大于n。 B．m和n的和一定是5的倍数。 C．m和n的差一定是5的倍数。 D．当商都等于11时，n＝58。 11．（2025·辽宁鞍山·毕业考真题）因为，所以27是倍数，3和9是因数。( ) 12．（2025·浙江温州·毕业考真题）任意三个非零的自然数中，一定有一个合数。( ) 13．（2025·湖北襄阳·毕业考真题）连续两个自然数相加的和一定是奇数。( ) 14．（2025·重庆綦江·毕业考真题）任意三个连续自然数的和都是3的倍数。( ) 15．（2025·海南省直辖县级单位·毕业考真题）已知两个数的最大公因数是6，最小公倍数是60。那么这两个数有可能是6和60，也有可能是12和30。( ) 16．（2025·广东湛江·毕业考真题）两数之积为480，它们的最大公因数为8，则两数的最小公倍数为60。( ) 17．（2025·山东临沂·毕业考真题）一个三位数，既有因数2和3，又是5的倍数，这个数最小是( )。 18．（2025·四川绵阳·毕业考真题）甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次。如果2019年1月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次他们一起到图书馆相遇是( )月( )日。 19．（2025·江苏苏州·毕业考真题）找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 20．（2025·四川遂宁·毕业考真题）已知A＝2×2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最小公倍数是( )。 21．（2025·湖北武汉·毕业考真题）袋子里有写着1～6的数字卡片各一张，任意摸出两张组成一个两位数。其中是5的倍数的两位数有( )种可能情况；是3的倍数的两位数有( )种可能情况。 22．（2025·四川遂宁·毕业考真题）有六个水果箱，每箱里放的是同一种水果，其中只有一箱放的是香蕉，其余都是苹果和梨。已知所放水果的重量分别是1、3、12、21、17、35千克，且苹果的重量是梨的5倍。香蕉有( )千克。 23．（2025·湖南长沙·毕业考真题）小明把一本书的页码从1开始逐页相加，加到最后，得到的数是4979，后来他发现这本书中缺了一张（连续两个页码），那么，这本书原来有( )页。 24．（2025·河南郑州·毕业考真题）和都是非0自然数，分解质因数，。如果和的最小公倍数是60，那么的值为( )。 25．（2025·浙江宁波·毕业考真题）有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成两个质数相加的和；③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( )。 26．（2025·湖北武汉·毕业考真题）一个九位数，最高位上是最大的一位合数，十万位上是最小的质数，千位上是最小的合数，其余数位上都是0，这个数写作( )，读作( )，改写成用“万”作单位的数是( )。 27．（2025·广东潮州·毕业考真题）一个房间的地面长56分米，宽48分米。如果用正方形的地砖铺设（地砖刚好铺满且不切割），那么可以选用边长最大是( )分米的地砖，至少需要( )块这样的地砖。 28．（2025·江苏苏州·毕业考真题）一个两位数“2□”是2和3的公倍数，□里的数是( )。这个两位数与16的最大公因数是( )。 29．（2025·浙江杭州·毕业考真题）表示一个四位整数，那么( )；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝( )。 30．（2025·安徽合肥·毕业考真题）将162分解质因数162＝2×3×3×3×3，可以写成162＝21×34，现在把2025分解质因数可以写成2025＝ab×cd的形式，求a＋b＋c＋d的和是( )。 31．（2024·浙江杭州·毕业考真题）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 24和16    11和7    12和51 32．（2025·重庆北碚·毕业考真题）若自然数能被它各数位上的数字之积整除，我们就称这样的自然数为“闪亮数”。 （1）若三位数为“闪亮数”，请直接写出的值； （2）请求出所有的两位“闪亮数”。 33．（2025·湖南长沙·毕业考真题）A、B、C、D、E是从小到大排列的五个不同整数，用其中每两个数相加，可以得到十个和，这十个和中不相同的有八个：分别是17、22、25、28、31、33、36与39，求这五个整数的平均数。 34．（2025·重庆江北·毕业考真题）材料1：一个三位自然数，若百位上的数字与十位上的数字之积减去百位上的数字与十位上的数字之和所得之差，恰好等于个位上的数字，即ab－（a＋b）＝c，则称这个三位数为“2020”数，例如：自然数231，因为数字2，3，1满足：2×3－（2＋3）＝1，所以231是“2020”数。 材料2：若一个整数各个数位上的数字之和能被9整除，则这个整数一定能被9整除，例如三位数108的各个数位上的数字和为：1＋0＋8＝9，9÷9＝1，所以108一定能被9整除。 (1)阅读材料1，请判断725是否为“2020”数，并说明理由。 (2)根据材料1和2，求所有小于600且能被9整除的“2020”数。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $