专题07定义.命题.证明复习讲义(11大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

该初中数学复习讲义通过表格系统梳理定义、命题、证明等核心概念，用框架图呈现命题结构、真假判断与逆命题的内在联系，明确证明步骤规范、反例举法等重难点，构建完整知识脉络。 讲义亮点在于“题型分类+分层训练”设计，如判断命题真假时通过反例辨析培养推理意识，命题改写训练提升抽象能力。典例结合跟踪专练，基础生可夯实概念，优生能深化证明逻辑，为教师实施精准教学提供支持。

专题07定义.命题.证明复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透定义、命题等核心概念，分清联系与区别 2.会拆命题题设 / 结论，规范改写 “如果… 那么…” 3.掌握真假命题判定，会举反例、懂证明依据 4.能写逆命题，明辨互逆命题与互逆定理 1.快速辨析命题、精准改写，熟练举反例证假 2.规范书写证明过程，推理步步有依 3.结合平行线等知识，搞定简单综合证明题 1.基础选择 / 填空不丢分，准确率拉满 2.解答题书写规范，步骤无遗漏 3.轻松拿下几何证明中档题，规避概念 / 格式失分 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数证明及过程理论填写 题型08.命题的已知求证及证明书写 题型09.属性背景下的推理与论证 题型10.定理与证明 题型11.互逆定理 解答题5题 知识点01:定义 1. 定义的概念 对名称或术语的含义进行精确描述、明确规定的语句，是数学推理的基础依据，消除概念歧义。 2. 核心特征 语句完整、无歧义，明确 “是什么” 具有唯一性、严谨性，是判断与证明的前提 3. 常见示例 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角 无理数：无限不循环小数叫做无理数 知识点02:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点03:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点04:定理与推论 1. 定理 经过严格证明的真命题，可作为后续证明的直接依据（如：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。 2. 推论 由定理直接推导得出的真命题，与定理具有同等证明效力（如：由 “三角形内角和为180∘” 可推出 “直角三角形两锐角互余”）。 知识点05:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 题型01.判断是否是命题 【典例】下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：、“延长线段”是操作描述，没有对事情作出判断，不是命题； 、“垂线段最短”对线段长度的性质作出了判断，符合命题的定义，是命题； 、“作直线”是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题； 、“平行线与垂线”是两个几何名词，没有对事情作出判断，不是命题． 【跟踪专练1】下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 【详解】解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 【跟踪专练2】下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 题型02.写出命题的题设与结论 【典例】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 【跟踪专练1】将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 【答案】 如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角 【分析】正确拆分命题的条件和结论，“如果”后接命题的条件，“那么”后接命题的结论，准确拆分即可求解． 【详解】原命题“钝角的补角是锐角”中，条件为：一个角是钝角的补角，结论为：这个角是锐角． 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是钝角的补角，那么这个角是锐角． 【跟踪专练2】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据命题的结构和真假命题的定义，依次判断三位同学的说法，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：∵当，时，满足，但， ∴原命题是假命题，甲同学判断错误． “若题设，则结论”是命题的标准形式，该命题的结论为， ∴乙同学判断正确． 添加条件都大于零后，命题变为“若且，则”， ∵两个正数的平方相等，正数本身必然相等， ∴该命题是真命题，丙同学判断正确． 综上，正确的判断共有个． 题型03.判断命题真假 【典例】下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【答案】B 【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可． 【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求； 选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求； 选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求； 选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求． 【跟踪专练1】“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】先明确命题的条件与结论，根据等量代换验证结论是否成立，即可判断命题的真假； 【详解】解：由题意得，该命题的条件为，，根据等量代换可得，结论成立，因此该命题是真命题． 【跟踪专练2】下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；③若，．则；④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行线的判定和性质判断①③⑤命题；根据对顶角判断②命题；根据垂线判断④命题． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题； ②命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，逆命题是假命题； ③在同一平面内，若，．则，原命题是假命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角互补，则其平分线互相垂直，原命题是真命题． 即真命题的个数是2个． 题型04.举例说明假(真)命题 【典例】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．先比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 【跟踪专练1】对于命题“若，则．”能说明它是假命题的反例是假设________．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一，任意非零负数均可） 【分析】根据命题反例的定义，找出满足条件但不满足结论的的值即可． 【详解】解：根据反例的要求，需满足且， 取，此时，满足题设，而，不满足结论，可以作为该假命题的反例， 【跟踪专练2】要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义． 假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可． 【详解】解：∵当，时， ∴，，即成立， 又∵，即不成立， ∴此例可作为原命题的反例， 故选：B． 题型05.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是如果，那么， 故选：B． 【跟踪专练1】命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“等腰三角形的两底角相等”中， 题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“它有两个角相等”， 交换题设和结论，得到逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【跟踪专练2】下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与逆命题，判断命题真假，分别写出四个命题的逆命题，并逐一判断其真假即可，掌握命题与逆命题是解题的关键． 【详解】解：命题的逆命题：“对顶角相等”，对顶角一定相等，故逆命题为真； 命题的逆命题：“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，若两锐角之和为，则第三个角为，故三角形为直角三角形，逆命题为真； 命题的逆命题：“若，则”，绝对值相等时，与可能相等或互为相反数，逆命题为假； 命题的逆命题：“到线段两端距离相等的点是中点”，该点可能在线段的垂直平分线上而非线段上，故逆命题为假； 综上，逆命题为真的有个， 故选：． 题型06.判断是否为互逆命题 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【答案】互逆 【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题， 故答案为：互逆 【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型07.代数证明及过程理论填写 【典例】有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 【详解】解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 【跟踪专练1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 【跟踪专练2】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 题型08.命题的已知求证及证明书写 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【答案】 不一定， 证明 【解析】略 【跟踪专练2】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 题型09.属性背景下的推理与论证 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【答案】D 【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想 故选：D． 【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解． 【跟踪专练1】当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握奇数与偶数的积为偶数．分n是偶数与奇数两种情况分析，同时结合奇数与偶数的积的特征即得结果． 【详解】当n是偶数时，是奇数，而偶数×奇数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 当n是奇数时，是偶数，而奇数×偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，则此时一定是奇数， 故选A． 【跟踪专练2】张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了以代数为背景的推理与论证．利用张红牌换张银牌和张蓝牌，张蓝牌换张银牌和张红牌，分别结合牌的张数表示出每次换取的银牌张数以及对应红或蓝牌的数量进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张红牌，还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩（张）红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩（张）蓝牌， 利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌， 利用张红牌可以换张银牌和张蓝牌， 此时还剩张蓝牌， 则利用张蓝牌可以换张银牌和张红牌， 此时还剩张蓝牌，还剩张红牌，到此结束． 故张浩手中最后有银牌：（张）． 故选：D． 题型10.定理与证明 【典例】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【答案】B 【分析】根据数学史，即可得到答案； 【详解】解：《几何原本》的作者是：欧几里得， 故选：B． 【点睛】本题考查了《几何原本》，早在公元前3世纪，希腊数学家欧几里得用由反复实践所证实而被认为不需要证明的少数命题为前提，用逻辑推理的方法，将前人在几何方面的研究成果整理成《几何原本》． 【跟踪专练1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 题型11.互逆定理 【典例】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换，判断逆命题的真假，若逆命题为真命题，即为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆命题为“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”， ∵“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题， ∴定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是“如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等”． 故选：A． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】分别写出个命题逆命题，即可求解． 【详解】解：A、逆定理为：两直线平行，同旁内角互补，故本选项不符合题意； B、逆定理为：两直线平行，内错角相等，故本选项不符合题意； C、逆定理为：两直线平行，同位角相等，故本选项不符合题意； D、逆命题为：绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，即该定理没有逆定理，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了逆定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的定义；判断每个定理的逆命题是否成立，若成立则有逆定理. 【详解】解：A、其逆命题为“相等的角是对顶角”，可举“等腰三角形的两个底角相等，但不是对顶角”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故A不符合题意； B、其逆命题为“对应角相等的两个三角形是全等三角形”，可举“大小不一样的等边三角形所有的角都相等，但不是全等三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故B不符合题意； C、其逆命题为“面积相等的两个三角形是全等三角形”，可举“面积相同，但形状不一样的两个三角形”，作为反例，所以逆命题不成立，无逆定理，故C不符合题意； D、其逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”，逆命题成立，有逆定理，故D符合题意. 故选：D. 解答题 1．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． (1)同号两数的和一定不是负数． (2)若，则． (3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (4)互为倒数的两个数的积为1． 【答案】(1)是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数． (2)是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：． (3)不是命题． (4)是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【分析】（1）（2）（3）（4）根据命题的定义，逐一分析语句，即可解答． 【详解】（1）解：是命题．改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数．条件：两个数同号．结论：这两个数的和一定不是负数． （2）解：是命题．改写：如果，那么．条件：．结论：． （3）解：不是命题．因为它是一个操作指令，不是可以判断真假的陈述句． （4）解：是命题．改写：如果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1．条件：两个数互为倒数．结论：这两个数的积为1． 【点睛】本题考查了命题的定义与结构，熟练掌握命题是判断一件事情的语句是解题的关键． 2．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 【答案】(1)①②，③或①③，②或②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的判定和性质，即可证得． 【详解】（1）解：组合的命题为条件①②；结论③或条件①③；结论②或条件②③；结论① （2）解：条件①②；结论③，证明如下： ， ， ， ， ； 条件①③；结论②，证明如下： ， ， ， ， ； 条件②③；结论①，证明如下： ， ， ； ， ． 3．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【答案】(1)选择②③作为条件，①作为结论，如果，那么 (2)选择②③作为条件，④作为结论．如果，那么． 反例：如图．如果，那么． 【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，即可确定选择的条件和结论． （2）根据图形及平行线的判定，平面内，两条直线都跟同一条直线垂直，这两条直线不可能垂直，即可解决写出假命题的问题． 【详解】（1）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． （2）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． 反例：如图，如果，，那么． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及命题的真假判断等知识点，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，这些定理是判断由条件能否推出结论，从而确定命题真假的核心依据． 4．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)真 【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）根据题意，直接写出结论． 【详解】（1）解：已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）通过（2）的推理证明，此命题是真命题． 5．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： (1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】(1)∠BGF≠∠DHF (2)同位角相等，两直线平行 (3)C 【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF； （2）根据平行线的判定条件即可填写； （3）根据平行公理即可选择． 【详解】（1）解：用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DHF （2）同位角相等，两直线平行 （3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 故选C 【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证的结果相反的命题，再根据已知条件进行证明，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07定义.命题.证明复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透定义、命题等核心概念，分清联系与区别 2.会拆命题题设 / 结论，规范改写 “如果… 那么…” 3.掌握真假命题判定，会举反例、懂证明依据 4.能写逆命题，明辨互逆命题与互逆定理 1.快速辨析命题、精准改写，熟练举反例证假 2.规范书写证明过程，推理步步有依 3.结合平行线等知识，搞定简单综合证明题 1.基础选择 / 填空不丢分，准确率拉满 2.解答题书写规范，步骤无遗漏 3.轻松拿下几何证明中档题，规避概念 / 格式失分 题型01.判断是否是命题 题型02.写出命题的题设与结论 题型03.判断命题真假 题型04.举例说明假(真)命题 题型05.写出命题的逆命题 题型06.判断是否为互逆命题 题型07.代数证明及过程理论填写 题型08.命题的已知求证及证明书写 题型09.属性背景下的推理与论证 题型10.定理与证明 题型11.互逆定理 解答题5题 知识点01:定义 1. 定义的概念 对名称或术语的含义进行精确描述、明确规定的语句，是数学推理的基础依据，消除概念歧义。 2. 核心特征 语句完整、无歧义，明确 “是什么” 具有唯一性、严谨性，是判断与证明的前提 3. 常见示例 平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 对顶角：有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角 无理数：无限不循环小数叫做无理数 知识点02:命题 1. 命题的定义 判断一件事情的语句叫做命题（必须是陈述句，有明确的肯定 / 否定判断，不含模糊词语）。 2. 命题的结构 所有命题都由条件（题设）和结论两部分组成，标准形式：“如果……（条件），那么……（结论）”（也可写为 “若……，则……”）。 条件：已知事项（已知） 结论：由条件推出的事项（求证） 3. 命题的分类（按真假） 类型 定义 判断方法 示例 真命题 条件成立时，结论一定成立的命题 严格推理证明 对顶角相等；两直线平行，同位角相等 假命题 条件成立时，结论不一定成立的命题 举反例（一个符合条件但结论不成立的例子） 若a2=b2，则a=b（反例：a=2,b=−2） 4. 逆命题 定义：将一个命题的条件与结论互换，得到的新命题就是原命题的逆命题。 核心结论：每个命题都有逆命题；原命题为真，逆命题不一定为真（反之亦然）。 示例： 原命题：如果两个角是对顶角，那么它们相等（真） 逆命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角（假） 知识点03:证明 1. 证明的概念 从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，通过演绎推理判断命题真假的过程（证明的核心是步步有据、逻辑严谨）。 2. 证明的依据（三大来源） (1)已知条件：题目给出的前提 (2)定义：本章及之前学过的概念定义 (3)基本事实（公理）：无需证明、公认成立的真命题（如：两点确定一条直线；同位角相等，两直线平行） (4)定理：已经证明为真的命题，可直接作为后续证明依据（如：对顶角相等；三角形内角和为180∘） 3. 证明的一般步骤（规范格式） 1.审命题：分清条件与结论，转化为 “如果…… 那么……” 形式 2.画图形：根据题意画出几何图形，标注字母 3.写已知、求证：结合图形，用数学符号写出已知条件和要证明的结论 4.写证明过程：从已知出发，每一步推理标注依据（定义 / 基本事实 / 定理），条理清晰推导至结论 5.检查：验证逻辑是否严谨、依据是否正确、结论是否匹配 4. 假命题的判断方法 举反例：找到一个满足命题条件，但不满足结论的具体例子，即可判定该命题为假命题（无需复杂推理）。 知识点04:定理与推论 1. 定理 经过严格证明的真命题，可作为后续证明的直接依据（如：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）。 2. 推论 由定理直接推导得出的真命题，与定理具有同等证明效力（如：由 “三角形内角和为180∘” 可推出 “直角三角形两锐角互余”）。 知识点05:核心易错点与关键提醒 1.定义≠命题：定义是 “规定是什么”，命题是 “判断对不对”；所有定义都是真命题，但真命题不一定是定义 2.命题必须有判断：疑问句、感叹句、祈使句（如 “画直线”“对顶角相等吗？”）不是命题 3.逆命题真假无关：原命题真 / 假，逆命题可真可假，需单独判断 4.证明步步有据：严禁 “想当然”，每一步推理必须有定义、基本事实、定理或已知条件支撑 5.反例只需一个：判定假命题，举一个反例即可，无需多个 题型01.判断是否是命题 【典例】下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 【跟踪专练1】下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【跟踪专练2】下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 题型02.写出命题的题设与结论 【典例】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【跟踪专练1】将命题“钝角的补角是锐角”改写成“如果…那么…”的形式：____________． 【跟踪专练2】已知命题“若，则．”下列三位同学的判断中正确的有（    ） 甲同学：“该命题是真命题．” 乙同学：“该命题的结论是．” 丙同学：“若在该命题的题设中添加，都大于零，则该命题成为真命题．” A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型03.判断命题真假 【典例】下列句子中，是真命题的是（   ） A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0 C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角 【跟踪专练1】“如果，那么．”这个命题是_____命题．（填“真”或“假”） 【跟踪专练2】下列语句中真命题的个数是（    ） ①两直线平行，同旁内角相等；②命题“对顶角相等”的逆命题是真命题；③若，．则；④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04.举例说明假(真)命题 【典例】判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练1】对于命题“若，则．”能说明它是假命题的反例是假设________．（答案不唯一） 【跟踪专练2】要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（    ） A． B． C． D． 题型05.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【跟踪专练1】命题“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是________． 【跟踪专练2】下列命题中： 相等的角是对顶角； 直角三角形两个锐角互余； 如果，则； 如果一个点是这条线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等． 逆命题是真命题的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型06.判断是否为互逆命题 【典例】命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是__________命题． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型07.代数证明及过程理论填写 【典例】有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有________（填序号）． 【跟踪专练1】补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【跟踪专练2】代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 题型08.命题的已知求证及证明书写 【典例】要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【跟踪专练1】实验、观察、归纳得到的结论______正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的______． 【跟踪专练2】试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 题型09.属性背景下的推理与论证 【典例】《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类讨论思想 C．转化思想 D．公理化思想 【跟踪专练1】当n是正整数时，一定是（   ）． A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 【跟踪专练2】张浩有红牌和蓝牌各张，已知张浩能在一个摊位上用张红牌换张银牌和张蓝牌，还能在另一个摊位上用张蓝牌换张银牌和张红牌，若他按照上述方法继续换下去，直到手中的牌无法交换为止，则张浩手中最后有银牌（　　）张 A． B． C． D． 题型10.定理与证明 【典例】数学巨著《几何原本》以基本事实和原始概念为基础，推演出更多的结论，体现了公理化思想．《几何原本》的作者是（    ） A．阿基米德 B．欧几里得 C．毕达哥拉斯 D．泰勒斯 【跟踪专练1】下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【跟踪专练2】下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 题型11.互逆定理 【典例】定理“如果两个三角形全等，那么它们的三条边对应相等”的逆定理是（   ） A．如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等 B．对应角相等的两个三角形全等 C．对应边不相等的两个三角形不全等 D．全等三角形的对应边相等 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【跟踪专练2】下列定理中，有逆定理的是（    ） A．对顶角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的面积相等 D．平面内，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 解答题 1．下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它改写为“如果……，那么……”的形式，再指出命题的条件和结论． (1)同号两数的和一定不是负数． (2)若，则． (3)延长线段AB至点C，使B是AC的中点． (4)互为倒数的两个数的积为1． 2．如图，给出如下三个关系：①；②；③．选择其中两个作为条件，剩余一个作为结论，组成一个真命题． (1)你组合的命题条件为_____，结论为__________；（填字号即可） (2)请你证明这个命题． 3．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 4．命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，分别交直线于平分，平分，___________．求证：___________． (2)证明： (3)通过（2）的推理证明，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 5．人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质： 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的．九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了． 已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF． 证明：假设 （1） ， 过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF， ∴PQ//CD（   （2）  ）， ∵AB//CD，且AB也过点G， ∴与（  （3） ）矛盾， 所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF． 请完成上面（1）、（2）、（3）空： (1)___________； (2)___________； (3)请选择合理的依据（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $