9.3公式法（一）讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

本初中数学讲义聚焦平方差公式因式分解核心知识点，通过整式乘法平方差公式逆向推导建立因式分解方法，衔接提公因式法形成完整分解步骤，以课前预习、探究活动、例题解析及分层练习为学习支架。 该资料以逆向思维推导公式培养推理能力，通过结构特征分析强化抽象能力，结合“人造太阳”“深空探测”等实际情境题目发展应用意识。课中助力教师突破整体代换难点，课后分层练习帮助学生查漏补缺，夯实运算技能。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第三节公式法（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解平方差公式的本质，掌握平方差公式因式分解的形式与结构特征，能准确识别符合平方差公式的多项式。 2.   熟练运用平方差公式进行单项式、多项式形式的因式分解，掌握先提公因式、再用公式的分解思路。 3.   经历平方差公式从整式乘法到因式分解的逆向推导过程，培养逆向思维和逻辑推理能力，提升因式分解的运算技能。 4.   能运用平方差公式解决简单的数学计算、化简求值等实际问题，体会公式在数学运算中的简便性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   掌握平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)的结构特征，明确公式中字母a、b可表示数、单项式、多项式。 2.   熟练运用平方差公式对符合条件的二项式进行因式分解，掌握基础题型的分解步骤与方法。 3.   理解公式法因式分解与整式乘法的互逆关系，能准确完成两种变形的转化。 （二）难点 1.   准确判断多项式是否符合平方差公式的结构特征，区分能运用与不能运用公式的多项式，避免符号、形式判断失误。 2.   当多项式中a、b为多项式整体时，能正确将其看作整体进行平方差分解，突破整体代换的思维障碍。 3.   掌握含公因式的多项式因式分解步骤，先提取公因式，再运用平方差公式，做到分解彻底，不遗漏步骤。 4.   灵活处理符号、系数变化的平方差型多项式，解决复杂变形后的因式分解问题。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，平方差公式用字母表示为：(a+b)(a-b)=________。 2.把平方差公式逆向变形，得到因式分解的平方差公式：a2-b2=________。 3.能用平方差公式分解因式的多项式，必须是______项式，且两项符号______，每一项都能写成______的形式。 4.分解因式：x2-4=__________；9-y2=_________。 5.分解因式时，若多项式既有公因式，又符合公式特征，应先______，再______。 【答案】 1.a2-b2 2.(a+b)(a-b) 3.二；相反；平方 4.(x+2)(x-2)；(3+y)(3-y) 5.提取公因式；运用公式分解 四．知识探秘 前面我们学习了乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2, (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-6)2=a2-2ab+b2. 把上述公式反过来，就得到 a2-62=(a+b)(a-b), a2+2ab+62=(a+6)2, a2-2ab+b2=(a-6)2. 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解 的方法叫作公式法。 探究一：平方差公式的逆向推导 1.回顾整式乘法：计算(x+3)(x-3)=_______，(2a+b)(2a-b)=_________。 2.逆向思考：根据上述计算，x2-9=________，4a2-b2=________________。 3.归纳结论：把整式乘法的平方差公式反过来，就得到因式分解的平方差公式，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 例1.把下列各式因式分解: (1)25-16x2; (2)9a2-b2. 探究二：平方差公式的结构特征 观察公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分析左边多项式特点： 1.项数：只有__两____项，属于二项式； 2.符号：两项的符号__相反____； 3.形式：每一项都能写成一个整式的__平方____的形式。 【关键总结】：判断一个多项式能否用平方差公式分解，核心看是否满足“两项、异号、平方形式”三个条件。 例2. 下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 探究三：公式中字母a、b的拓展理解 公式中的a、b不只是单独的数字或字母，还可以是单项式、多项式： 1.当a=2x，b=5时，a2-b2=(2x)2-52=_（2x+5）（2x-5）_______； 2.当a=m+n，b=m-n时，a2-b2=(m+n)2-(m-n)2=_2m·2n=4mn_______； 【核心思路】：把复杂的整式看作一个整体，转化为标准平方差形式，再套用公式分解。 例3.分解因式： （1）（x-1）2-9 （2）（x+2y）2-（x-y）2 探究四：因式分解的完整步骤 对于含公因式的多项式，如2x3-8x： 1.第一步：先找公因式，提取公因式，得到2x(x2-4)； 2.第二步：观察剩余多项式x2-4，符合平方差公式，继续分解； 3.最终结果：2x(x+2)(x-2)。 【结论】：因式分解要遵循“先提公因式，再用公式”，且分解到不能再分解为止。 例4.分解因式： 五．经典例题 例1 把下列各式分解因式 （1）x2-16 （2）25a2-9b2 例2 把下列各式分解因式 （1）(x+22)-9 （2）4(x-y)2-(x+y)2 例3 分解因式：3x3-27x 六．基础过关 （一）．选择题 1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（） A. x2+y2 B. -x2-y2 C. -x2+4 D. x2+4x+4 2. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 3．多项式 分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 4.2025年中国“人造太阳”EAST实现1亿摄氏度高温下持续运行1066秒的世界纪录，其中核聚变反应的能量计算涉及平方差模型。若代数式 (108)2 - (9.9×107)2 可通过平方差公式因式分解，则分解结果正确的是（ ） A. (108- 9.9×107)(108- 9.9×107) B. (108 + 9.9×107)(108- 9.9×107) C. (108 + 9.9×107)2 D. (108+ 9.9×107)(9.9×107- 108) 5.下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.x2-4　　　　B.-x2-y2+2xy　　　　C.m2n2-1　　　　D.a2-4b2 6．当n为自然数时，(n＋1)2－(n－3)2一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 7．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（　　） A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1） 8.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 9.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　　　　　　B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　　　　　　D.x2-x=x(x-1) 10.已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．6 （二）填空题 11．分解因式：x2－9＝____． 12．分解因式：9x2－1＝____． 13．因式分解：3a2﹣3b2=　 　． 14.分解因式：2a2－18＝____． 15．分解因式：a3b﹣4ab=　 　． 16.2026我国深空探测飞行器轨道运算式子x2-36因式分解结果为________。 17 若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 18．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ． 19.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  20.若496-1可以被60-70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  （三）．解答题 21. 把下列各式因式分解： (1)x2－36； (2)25－a2； (3)x2－49y2； (4)4m2－9n2； (5)(a－b)2－4b2； (6)(3m－1)2－(2m－3)2. 22．把下列各式因式分解： (1)9(x＋y)2－(x－y)2； (2)20m3－5m(4m－3n)2； (3)16x4y4－81z4. 23. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 24．某公园有一块如图所示的半径为R(m)的圆形草坪，现要在其内修建4个半径均为r(m)的圆形花坛，设草坪剩余部分(阴影部分)的面积为S(m2). (1)用含R，r的式子表示S； (2)当R＝7.5m，r＝1.25m时，利用因式分解的知识求S的值． 25．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b>0)的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积． (2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积． 26. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：32________“奇特数”，2 022________“奇特数”(填“是”或“不是”)； (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 七．知识清单 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个______的______的形式，叫做因式分解。 2.平方差公式的整式乘法形式：(a+b)(a-b)=______。 3.逆用平方差公式进行因式分解：a2-b2=______，这就是平方差公式法因式分解。 4.能用平方差公式因式分解的多项式，必须是______项式；且两项符号______。 5.多项式中的每一项（除符号外）都能写成某个整式的____的形式，才能用平方差公式分解。 6.用平方差公式因式分解第一步：判断多项式是否符合“两项、异号、______”的结构特征。 7.确定公式中的a和b：a是______项的平方底数，b是______项的平方底数。 8.因式分解结果书写：分解为______与______的积。 9.分解因式时，若多项式有公因式，应先______，再用平方差公式分解。 10.因式分解的结果必须分解到______都不能再分解为止。 八．强化提优 （一）选择题 1. 下列能用平方差公式分解因式是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 3．分解因式结果为－(2a＋b)(2a－b)的多项式是(　　) A．4a2－b2 B．4a2＋b2 C．－4a2－b2 D．－4a2＋b2 4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是( ) A. B. C. D. 5. 若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数 6．下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 7.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2027　　　　B.2026　　　　C.2025　　　　D.2024 8．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 10.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) （二）填空题 11．分解因式：8﹣2x2=　 　． 12.书卷收纳尺寸代数式16n2-49因式分解结果________。 13.跳绳长度运算式子s2-121因式分解为________。 14.算力模型运算式4a2-81b2因式分解结果________。 15．若m2－n2＝12，且m－n＝4，则m＋n＝____． 16．观察下列各式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；……把你发现的规律用含n的等式表示出来____． 17．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）. 18.分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= . 19．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 20.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是_______ （三）解答题 21. 利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） (1) （2） 22.观察下列各式: 32-12=8×1; 52-32=8×2; 72-52=8×3; 92-72=8×4; … (1)根据你发现的规律直接写出第八个式子; (2)请你用一个含n(n为正整数)的等式来表示上述规律,并说明其正确性. 23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 24. (1)观察下列各式： 13＋23＝1＋8＝9＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2， ∴13＋23＋33＋43＋53＝225＝(____________________)2. (2)根据以上规律填空： 13＋23＋33＋…＋n3＝＝(____________________)2. (3)根据以上规律求113＋123＋133＋143＋153的值． 25.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22-02，12=42-22，20=62-42因此4,12,20都是“神秘数”. (1)试分析28是否为“神秘数”. (2)2026是“神秘数”吗? 为什么? (3)说明两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数. (4)设两个连续奇数为2k+1和2k-1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗? 为什么? 26.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1； （2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第九章因式分解第三节公式法（一）》讲义 一．学习目标 ( 1.   理解平方差公式的本质，掌握平方差公式因式分解的形式与结构特征，能准确识别符合平方差公式的多项式。 2.   熟练运用平方差公式进行单项式、多项式形式的因式分解，掌握先提公因式、再用公式的分解思路。 3.   经历平方差公式从整式乘法到因式分解的逆向推导过程，培养逆向思维和逻辑推理能力，提升因式分解的运算技能。 4.   能运用平方差公式解决简单的数学计算、化简求值等实际问题，体会公式在数学运算中的简便性。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.   掌握平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)的结构特征，明确公式中字母a、b可表示数、单项式、多项式。 2.   熟练运用平方差公式对符合条件的二项式进行因式分解，掌握基础题型的分解步骤与方法。 3.   理解公式法因式分解与整式乘法的互逆关系，能准确完成两种变形的转化。 （二）难点 1.   准确判断多项式是否符合平方差公式的结构特征，区分能运用与不能运用公式的多项式，避免符号、形式判断失误。 2.   当多项式中a、b为多项式整体时，能正确将其看作整体进行平方差分解，突破整体代换的思维障碍。 3.   掌握含公因式的多项式因式分解步骤，先提取公因式，再运用平方差公式，做到分解彻底，不遗漏步骤。 4.   灵活处理符号、系数变化的平方差型多项式，解决复杂变形后的因式分解问题。 ) 三．课前预习 1.整式乘法中，平方差公式用字母表示为：(a+b)(a-b)=________。 2.把平方差公式逆向变形，得到因式分解的平方差公式：a2-b2=________。 3.能用平方差公式分解因式的多项式，必须是______项式，且两项符号______，每一项都能写成______的形式。 4.分解因式：x2-4=__________；9-y2=_________。 5.分解因式时，若多项式既有公因式，又符合公式特征，应先______，再______。 【答案】 1.a2-b2 2.(a+b)(a-b) 3.二；相反；平方 4.(x+2)(x-2)；(3+y)(3-y) 5.提取公因式；运用公式分解 四．知识探秘 前面我们学习了乘法公式 (a+b)(a-b)=a2-b2, (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-6)2=a2-2ab+b2. 把上述公式反过来，就得到 a2-62=(a+b)(a-b), a2+2ab+62=(a+6)2, a2-2ab+b2=(a-6)2. 逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解 的方法叫作公式法。 探究一：平方差公式的逆向推导 1.回顾整式乘法：计算(x+3)(x-3)=_______，(2a+b)(2a-b)=_________。 2.逆向思考：根据上述计算，x2-9=________，4a2-b2=________________。 3.归纳结论：把整式乘法的平方差公式反过来，就得到因式分解的平方差公式，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。 例1.把下列各式因式分解: (1)25-16x2; (2)9a2-b2. 解:(1)25-16x2=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x); (2)9a2-b2=(3a)2--(b)2=(3a+b)(3a-b). 探究二：平方差公式的结构特征 观察公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分析左边多项式特点： 1.项数：只有__两____项，属于二项式； 2.符号：两项的符号__相反____； 3.形式：每一项都能写成一个整式的__平方____的形式。 【关键总结】：判断一个多项式能否用平方差公式分解，核心看是否满足“两项、异号、平方形式”三个条件。 例2. 下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A选项4x2+y2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；B选项-a2+81，能运用平方差公式分解因式，故此选项正确；C选项-25m2-n2，符号相同，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误；D选项p2-2p+1，无法运用平方差公式分解因式，故此选项错误，故选B． 探究三：公式中字母a、b的拓展理解 公式中的a、b不只是单独的数字或字母，还可以是单项式、多项式： 1.当a=2x，b=5时，a2-b2=(2x)2-52=_（2x+5）（2x-5）_______； 2.当a=m+n，b=m-n时，a2-b2=(m+n)2-(m-n)2=_2m·2n=4mn_______； 【核心思路】：把复杂的整式看作一个整体，转化为标准平方差形式，再套用公式分解。 例3.分解因式： （1）（x-1）2-9 （2）（x+2y）2-（x-y）2 解:（1）（x-1）2-9 =（x-1+3）（x-1-3）=(x+2)(x-4) （2）（x+2y）2-（x-y）2=[（x+2y）+（x-y）]·[（x+2y）-（x-y）]=3y(2x+y) 探究四：因式分解的完整步骤 对于含公因式的多项式，如2x3-8x： 1.第一步：先找公因式，提取公因式，得到2x(x2-4)； 2.第二步：观察剩余多项式x2-4，符合平方差公式，继续分解； 3.最终结果：2x(x+2)(x-2)。 【结论】：因式分解要遵循“先提公因式，再用公式”，且分解到不能再分解为止。 例4.分解因式： 解： . 五．经典例题 例1 把下列各式分解因式 （1）x2-16 （2）25a2-9b2 【答案】（1）(x+4)(x-4) （2）(5a+3b)(5a-3b） 【解析】（1）式子x2-16可变形为x2-24，符合平方差公式a2-b2的形式，其中a=x，b=4，直接套用公式分解即可。 （2）25a2=(5a)2，9b2=(3b)2，原式转化为(5a)2-(3b)2，其中a=5a，b=3b，代入平方差公式完成分解。 例2 把下列各式分解因式 （1）(x+22)-9 （2）4(x-y)2-(x+y)2 【答案】（1）(x+5)(x-1) （2）(3x-y)(x-3y) 【解析】（1）将(x+2)看作整体a，9=32看作b2，原式变为a2-b2，套用公式得(a+b)(a-b)，再代回a、b，化简得到(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)。 （2）4(x-y)2=[2(x-y)]2，原式转化为[2(x-y)]2-(x+y)2，把2(x-y)和(x+y)分别看作公式中的a、b，分解后去括号、合并同类项，得到最终结果。 例3 分解因式：3x3-27x 【答案】：3x(x+3)(x-3) 【解析】本题多项式含有公因式3x，遵循“先提公因式，再用公式”的原则，第一步提取公因式3x，得到3x(x2-9)；第二步观察x2-9是平方差形式，继续分解为(x+3)(x-3)，最终分解彻底。 六．基础过关 （一）．选择题 1.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（） A. x2+y2 B. -x2-y2 C. -x2+4 D. x2+4x+4 【答案】：C 【解析】：A选项两项同号，不符合；B选项变形为-(x2+y2)，两项同号，不符合；C选项变形为22-x2，符合平方差特征；D选项是完全平方式，用完全平方公式分解，故选C。 2. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项-a2+b2=b2-a2=（b+a）（b-a）；B选项49x2y2-m2=（7xy+m）（7xy-m）；C选项-x2-y2是两数的平方和，不能进行分解因式；D选项16m4-25n2=(4m)2-(5n)2=（4m+5n）（4m-5n），故选C． 3．多项式 分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 = ， 故答案为：A． 4.2025年中国“人造太阳”EAST实现1亿摄氏度高温下持续运行1066秒的世界纪录，其中核聚变反应的能量计算涉及平方差模型。若代数式 (108)2 - (9.9×107)2 可通过平方差公式因式分解，则分解结果正确的是（ ） A. (108- 9.9×107)(108- 9.9×107) B. (108 + 9.9×107)(108- 9.9×107) C. (108 + 9.9×107)2 D. (108+ 9.9×107)(9.9×107- 108) 【答案】：B 【解析】：平方差公式的核心是 a2 - b2= (a + b)(a - b) ，需满足“两数平方差”的形式。本题中 a = 108， b = 9.9×107，直接套用公式可得 (108)2- (9.9×107)2 = (108+ 9.9×107)(108- 9.9×107) 。选项A混淆“和与差”为两个差相乘，选项C错误用完全平方公式，选项D颠倒后项符号，均不符合公式规则。 5.下列各式不能用平方差公式分解因式的是(　　) A.x2-4　　　　B.-x2-y2+2xy　　　　C.m2n2-1　　　　D.a2-4b2 【答案】　B　 【解析】A.x2-4=(x+2)(x-2),故此选项不符合题意;B.-x2-y2+2xy不能用平方差公式分解因式,故此选项符合题意;C.m2n2-1=(mn+1)(mn-1),故此选项不符合题意;D.a2-4b2=(a+2b)(a-2b),故此选项不符合题意.故选B. 6．当n为自然数时，(n＋1)2－(n－3)2一定能被下列哪个数整除（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】∵（n+1）2﹣（n﹣3）2=（n+1+n﹣3）（n+1﹣n+3）=8（n﹣1），且n为自然数∴（n+1）2﹣（n﹣3）2能被8整除．故答案为：D． 7．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是（　　） A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1） 【答案】B 【解析】原式=（a﹣1+1）（a﹣1﹣1）=a（a﹣2）．故选：B． 8.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 【答案】　A　 【解析】∵a2-25b2=(a+5b)(a-5b)=4,a-5b=4,解得a+5b=16.故选A. 9.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　　　　　　B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　　　　　　D.x2-x=x(x-1) 【答案】　B　 【解析】第一个图形中的空白部分的面积是x2-1,第二个图形的面积是(x+1)(x-1), 则x2-1=(x+1)(x-1).故选B. 10.已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（　　） A．2 B．0 C．4 D．6 【答案】C 【解析】∵2a﹣b=2，∴4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b+2）2+4=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4 =（2a+b+2）×（2﹣2）+4=4．故选：C． （二）填空题 11．分解因式：x2－9＝____． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】直接运用平方差公式分解因式x2－9＝(x＋3)(x－3). 12．分解因式：9x2－1＝____． 【答案】(3x＋1)(3x－1) 【解析】：9x2－1＝(3x)2－12＝(3x＋1)(3x－1). 13．因式分解：3a2﹣3b2=　 　． 【答案】3（a+b）（a﹣b） 【解析】原式=3（a2﹣b2）=3（a+b）（a﹣b），故答案为：3（a+b）（a﹣b） 14.分解因式：2a2－18＝____． 【答案】2(a＋3)(a－3) 【解析】2a2－18＝2(a2－9)＝2(a＋3)(a－3). 15．分解因式：a3b﹣4ab=　 　． 【答案】ab（a+2）（a﹣2） 【解析】原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2），故答案为：ab（a+2）（a﹣2） 16.2026我国深空探测飞行器轨道运算式子x2-36因式分解结果为________。 【答案】：(x+6)(x-6) 【解析】：平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，x2-62=(x+6)(x-6)。 17 若a＋b＝4，a－b＝1，则(a＋1)2－(b－1)2的值为________． 【答案】12 【解析】已知 a + b = 4，a - b = 1，化简 (a + 1)2 - (b - 1)2：(a + 1)2 - (b - 1)2 = [(a + 1) + (b - 1)][(a + 1) - (b - 1)] = (a + b)(a - b + 2)代入 a + b = 4，a - b = 1：原式＝4×(1 + 2) = 4×3 = 12 18．已知x+y=2，则x2-y2+4y= ． 【答案】4 【解析】已知 x + y = 2，对 x2-y2+ 4y 因式分解并代入：x2- y2+ 4y = (x + y)(x - y) + 4y，将 x + y = 2 代入得：2(x - y) + 4y = 2x - 2y + 4y = 2x + 2y = 2(x + y) = 2×2 = 4 19.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  【答案】1 【解析】∵3m-n=1,∴9m2-n2-2n=(3m+n)(3m-n)-2n=3m+n-2n=3m-n=1,故答案为1. 20.若496-1可以被60-70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  【答案】63,65 【解析】496-1=(448+1)(448-1)=(448+1)(424+1)(424-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(412-1) =(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(46-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(43+1)(43-1), ∵43+1=65,43-1=63,∴496-1可以被60~70之间的65,63整除,故答案为63,65. （三）．解答题 21. 把下列各式因式分解： (1)x2－36； (2)25－a2； (3)x2－49y2； (4)4m2－9n2； (5)(a－b)2－4b2； (6)(3m－1)2－(2m－3)2. 解：(1) 原式＝(x＋6)(x－6) (2) 原式＝(5＋a)(5－a) (3) 原式＝(x＋7y)(x－7y) (4) 原式＝(2m＋3n)(2m－3n) (5) 原式＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b) (6) 原式＝[(3m－1)＋(2m－3)][(3m－1)－(2m－3)]＝(5m－4)(m＋2) 22．把下列各式因式分解： (1)9(x＋y)2－(x－y)2； (2)20m3－5m(4m－3n)2； (3)16x4y4－81z4. 解：(1) 原式＝[3(x＋y)＋(x－y)][3(x＋y)－(x－y)]＝(4x＋2y)(2x＋4y)＝4(x＋2y)(2x＋y) (2) 原式＝5m[4m2－(4m－3n)2]＝5m[2m＋(4m－3n)][2m－(4m－3n)]＝5m(6m－3n)(－2m＋3n)＝－15m(2m－n)(2m－3n) (3) 原式＝(4x2y2＋9z2)(4x2y2－9z2)＝(4x2y2＋9z2)(2xy＋3z)(2xy－3z) 23. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 解：（1）原式＝＝＝10 （2）原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝××××××…××××＝×＝ 24．某公园有一块如图所示的半径为R(m)的圆形草坪，现要在其内修建4个半径均为r(m)的圆形花坛，设草坪剩余部分(阴影部分)的面积为S(m2). (1)用含R，r的式子表示S； (2)当R＝7.5m，r＝1.25m时，利用因式分解的知识求S的值． 解：(1)S＝πR2－4πr2 (2) S＝πR2－4πr2＝π(R2－4r2)＝π(R＋2r)(R－2r)，当R＝7.5 m，r＝1.25 m时， S＝(7.5＋2×1.25)(7.5－2×1.25)π＝10×5π＝50π(m2) 25．如图，在一块边长为a的正方形纸板四周，各剪去一个边长为b(b>0)的正方形． (1)用代数式表示阴影部分的面积． (2)利用因式分解的方法计算当a＝15.4，b＝3.7时，阴影部分的面积． 解：(1)由题意得阴影部分的面积为a2－4b2. (2)∵a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)，当a＝15.4，b＝3.7时，原式＝(15.4＋7.4)(15.4－7.4)＝22.8×8＝182.4. 26. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：32________“奇特数”，2 022________“奇特数”(填“是”或“不是”)； (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 解：(1) 是 不是 (2)是，理由如下：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数 (3)S阴影＝(992－972)＋(952－932)＋(912－892)＋…＋(72－52)＋(32－12)＝(99＋97)×(99－97)＋(95＋93)×(95－93)＋(91＋89)×(91－89)＋…＋(7＋5)×(7－5)＋(3＋1)×(3－1)＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2＝×2＝5 00 七．知识清单 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个______的______的形式，叫做因式分解。 2.平方差公式的整式乘法形式：(a+b)(a-b)=______。 3.逆用平方差公式进行因式分解：a2-b2=______，这就是平方差公式法因式分解。 4.能用平方差公式因式分解的多项式，必须是______项式；且两项符号______。 5.多项式中的每一项（除符号外）都能写成某个整式的____的形式，才能用平方差公式分解。 6.用平方差公式因式分解第一步：判断多项式是否符合“两项、异号、______”的结构特征。 7.确定公式中的a和b：a是______项的平方底数，b是______项的平方底数。 8.因式分解结果书写：分解为______与______的积。 9.分解因式时，若多项式有公因式，应先______，再用平方差公式分解。 10.因式分解的结果必须分解到______都不能再分解为止。 【答案】 1.整式；乘积 2.a2-b2 3.(a+b)(a-b) 4.两；相反 5.平方 6.平方项 7.正号；负号 8.两数和；两数差 9.提取公因式 10.每一个因式 八．强化提优 （一）选择题 1. 下列能用平方差公式分解因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据平方差公式：，A选项：，可知能用平方差公式进行因式分解.故选A. 2. 把多项式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：，分解因式为：.故选B. 3．分解因式结果为－(2a＋b)(2a－b)的多项式是(　　) A．4a2－b2 B．4a2＋b2 C．－4a2－b2 D．－4a2＋b2 【答案】D 【解析】：－4a2＋b2＝－(4a2－b2)＝－(2a＋b)(2a－b). 4. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】（b3+2）（2-b3）=4-b6，故选B． 5. 若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ） A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数 【答案】A 【解析】(n+11)2-n2=(n+11+n)(n+11-n)=11(11+2n)，所以可以被11整除，故选A. 6．下列多项式：①x2＋y2；②－x2－4y2；③－1＋a2；④0.081a2－b2，其中能用平方差公式分解因式的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】③－1＋a2，符合公式特点，能用平方差公式分解因式；①x2＋y2；②－x2－4y2，④0.081a2－b2不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式． 7．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 【答案】B 【解析】根据等式右边第一个因式是(x2＋4)则可判断另一个因式是(x2－4)，再把(x2－4)分解，可得(x＋2)(x－2)，得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16. 7.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2027　　　　B.2026　　　　C.2025　　　　D.2024 【答案】D　 【解析】设两个连续的奇数为n,n+2,则(n+2)2-n2=(n+2+n)(n+2-n)=4n+4. A.4n+4=2021,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;B.4n+4=2 022,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;C.4n+4=2 023,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;D.4n+4=2 024,解得n=505,n是奇数,故符合题意.故选D. 8．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．等于零 D．不能确定 【答案】　B　 【解析】∵(a－b)2－c2＝(a－b＋c)(a－b－c)，a，b，c是三角形的三边，∴a＋c－b＞0，a－b－c＜0，∴(a－b)2－c2的值是负数． 9．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则△ABC的形状是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a2c2－b2c2＝a4－b4，得a4＋b2c2－a2c2－b4＝(a4－b4)＋(b2c2－a2c2)＝(a2＋b2)(a2－b2)－c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝(a＋b)(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∵a＋b＞0， ∴a－b＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2，则△ABC为等腰三角形或直角三角形． 10.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) 【答案】B 【解析】由题图可知，图1的面积为：x2－12，图2的面积为：(x＋1)(x－1)， 所以x2－1＝(x＋1)(x－1). （二）填空题 11．分解因式：8﹣2x2=　 　． 【答案】2（2+x） （2﹣x） 【解析】原式=2（4﹣x2）=2（2+x） （2﹣x）．故答案为：2（2+x） （2﹣x）． 12.书卷收纳尺寸代数式16n2-49因式分解结果________。 【答案】：(4n+7)(4n-7) 【解析】：(4n)2-72，标准平方差形式，直接公式分解。 13.跳绳长度运算式子s2-121因式分解为________。 【答案】：(s+11)(s-11) 【解析】：s2-112，两项异号平方项，使用平方差公式因式分解。 14.算力模型运算式4a2-81b2因式分解结果________。 【答案】：(2a+9b)(2a-9b) 【解析】：(2a)2-(9b)2，符合平方差结构，直接套用公式。 15．若m2－n2＝12，且m－n＝4，则m＋n＝____． 【答案】3 【解析】由m2－n2＝12得(m－n)(m＋n)＝12，把m－n＝4代入得4(m＋n)＝12，所以m＋n＝3. 16．观察下列各式：32－12＝8＝8×1；52－32＝16＝8×2；72－52＝24＝8×3；……把你发现的规律用含n的等式表示出来____． 【答案】(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n 【解析】∵被减数的底数、减数的底数是相邻的两个奇数，∴(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n. 17．若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是 （写出一个即可）. 【答案】答案不唯一，如-1，-4 【解析】要让 x2+ ky2 在有理数范围内因式分解，需要 k 是负的完全平方数，比如 k = -4，此时：x2- 4y2 = (x + 2y)(x - 2y) 18.分解因式：9x2（a-b）+y2（b-a）= . 【答案】（a-b）（3x+y）（3x-y） 【解析】9x2(a - b) + y2(b - a) = 9x2(a - b) - y2(a - b) = (a - b)(9x2- y2) = (a - b)(3x + y)(3x - y) 19．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 【答案】2026. 【解析】原式＝(+ )(—— )=-xy=2026 20.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是_______ 【答案】101030 【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x-y)(2x+y),∵x=10,y=10,∴2x-y=2×10-10=10,2x+y=2×10+10=30,∴这个密码可以是101030. （三）解答题 21. 利用因式分解简便计算（要求写出完整计算过程） (1) （2） 解：（1）原式=（201+199）×（201-199）=400×2=800； （2）原式=1.99×（1.99+0.01）=1.99×2=3.98． 22.观察下列各式: 32-12=8×1; 52-32=8×2; 72-52=8×3; 92-72=8×4; … (1)根据你发现的规律直接写出第八个式子; (2)请你用一个含n(n为正整数)的等式来表示上述规律,并说明其正确性. 解:(1)172-152=8×8. (2)(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为正整数). 说明其正确性如下:左边=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n=右边,所以等式成立. 23．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20这三个数都是和谐数． （1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？ （2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？ （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ． 解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”理由如下：36=102-82，2016=1008×2； （2）∵两个连续偶数为2k+2和2k（k为自然数），∵（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=（4k+2）×2=4（2k+1），∵4（2k+1）能被4整除，∴“和谐数”一定是4的倍数； （3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，S=（22-02）+（42-22）+（62-42）+…+（502-482）=502=2500. 故答案：2500． 24. (1)观察下列各式： 13＋23＝1＋8＝9＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝36＝(1＋2＋3)2， 13＋23＋33＋43＝100＝(1＋2＋3＋4)2， ∴13＋23＋33＋43＋53＝225＝(____________________)2. (2)根据以上规律填空： 13＋23＋33＋…＋n3＝＝(____________________)2. (3)根据以上规律求113＋123＋133＋143＋153的值． 解：(1) 1＋2＋3＋4＋5 (2) 1＋2＋3＋…＋n (3)原式＝(13＋23＋…＋153)－(13＋23＋…＋103)＝(1＋2＋…15)2－(1＋2＋…＋10)2＝1202－552＝(120＋55)(120－55)＝175×65＝11375 25.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22-02，12=42-22，20=62-42因此4,12,20都是“神秘数”. (1)试分析28是否为“神秘数”. (2)2026是“神秘数”吗? 为什么? (3)说明两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数. (4)设两个连续奇数为2k+1和2k-1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗? 为什么? 解：（1）28=64-36=82-62.28是“神秘数”. (2)2026不是“神秘数”.设2026是由γ和y-2两数的平方差得到的y2-（y-2）2=2026，则 y解得y=507.5,不是偶数,2026不是“神秘数”。 （3）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=4（2k+1）∴由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. (4)不是.因为（2k+1）2-（2k-1）2=8k，是8的倍数，即是4的偶数倍，而非4的奇数倍，由(3)可知，它不是“神秘数”. 26.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=． 例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=． （1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1； （2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值． 解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），∵|n﹣n|=0， ∴n×n是m的最佳分解，∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1； （2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x， ∵t是“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，∴y=x+4，∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59； （3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=， ∵＞＞＞＞，∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $