专题9.3 公式法（高效培优讲义）数学新教材苏科版八年级下册

专题9.3 公式法 教学目标 1.掌握公式法的基本原理‌：理解公式法是将平方差公式和完全平方公式逆向应用于因式分解的过程。 2.准确识别适用公式法的多项式结构‌：能快速判断一个多项式是否符合平方差或完全平方式的特征。 3.熟练进行公式法分解‌：能规范书写分解步骤，处理含单项式或多项式的复杂情形。 4.综合运用能力提升‌：结合提公因式法与公式法进行多步分解，做到“先提后套”，确保分解彻底。 5.补充拓展：十字相乘法（常用于二次三项式）和分组分解法（针对三项以上的多项式分解）进行因式分解。 教学重难点 1.重点 （1）公式的逆向应用能力‌：牢固掌握平方差与完全平方公式的结构特征，并能反向用于分解。 （2）分解的规范性与完整性‌：确保每一步变形符合代数规则，结果为最简整式乘积。 2.难点 （1）结构识别的灵活性‌：当多项式经过变形（如提取负号、整体换元）后才符合公式形式时，学生易判断失误。 （2）复合型因式分解的顺序问题‌：在“先提公因式，再套公式，最后考虑十字相乘和分组分解”的综合题中，部分学生会遗漏提公因式步骤，导致无法分解或分解不彻底。 （3）完全平方式的判别误区‌：对三项式是否为完全平方式判断不准，尤其是交叉项与平方项底数积的两倍关系容易忽略或误判。 知识点01 公式法 公式法：逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方和公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；完全平方差公式：a2-2ab+b2=(a-b)2。 拓展：立方和公式：；立方差公式：。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 4.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 5．（25-26八年级上·广东·随堂练习）运用简便方法计算： （1）________；（2）________． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，求证：能被整除． 7．（25-26·成都·八年级校考期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 知识点02 十字相乘法（拓展） 二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行。 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”。 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． 注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解：(1)；(2) 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 知识点03 分组分解法（拓展） 分组分解法：将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法。如：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)。 分组分解法一般针对三项以上的多项式分解。 注意：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。 【即学即练】 1．（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：；(2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 知识点04 因式分解的步骤 因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法（平方差公式）分解因式；3项式可以尝试运用公式法（完全平方公式）、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式； ③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：(1)； (2)； (3)． 3．（25-26八年级上·北京昌平·月考）因式分解：(1)．(2) 4．（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)；(3)； (4)． 题型01 判断能否用公式法分解 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 题型02 运用平方差公式分解因式 1.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 3．（2026九年级下·北京·专题练习）分解因式：______． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）因式分解：_____． 5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）因式分解： （1）__________；（2）__________； （3）__________；（4）__________． 题型03 运用完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级上·浙江·期中）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26九年级下·北京·开学考试）分解因式：________． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解：(1) (2) 题型04 公式法的运用（求值） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，则______． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 题型05 公式法的运用（含参或缺项） 1．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）若多项式能在有理数范围内用平方差公式因式分解，则的值可能是（   ） A． B．3 C． D．9 3．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 题型06 公式法的运用（其他） 1．（25-26七年级下·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 题型07 运用十字相乘法分解因式 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解：___________． 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）因式分解：___________． 3．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）因式分解 (1) (2) 4．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 题型08 运用分组分解法分解因式 1．（25-26八年级上·吉林·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：①_____________．②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法解决下列问题：(1)分解因式：； (2)如果是的三条边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：；(2)证明：如果是的三条边的长，那么． 题型09 因式分解中的有理数简便运算 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算：(1)；(2) 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算：(1) (2) 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 5．（25-26八年级上·山东泰安·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 题型10 因式分解的实际应用 1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由． 3．（25-26九年级上·上海·专题练习）有个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有_______________个． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 题型11 因式分解中的新定义问题 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】(1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，，当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】(1)用配方法将分解因式；(2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：；(2)因式分解：． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 5．（24-25七年级下·山东聊城·月考）计算的结果是______． 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，，则的值为________． 7．（25-26八年级上·广西南宁·期末）因式分解：__________． 8．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 11．（25-26八年级上·山东日照·月考）规律探究题计算：_____． 12．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则___________． 13．（25-26八年级下·江苏·课后作业）李老师在黑板上写下一道题目： 李华看到题目马上说：“没有给出的值，不能算出最终结果．”杨力反驳道：“不用给出的值就可以计算出最终结果．”他们两人谁说的对？请说明你的理由． 14．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：(1)(2) 15．（25-26八年级上·天津北辰·月考）分解因式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）试说明能否被100整除？ 17．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值 18．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料：我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题：(1)分解；(2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 19．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 公式法 教学目标 1.掌握公式法的基本原理‌：理解公式法是将平方差公式和完全平方公式逆向应用于因式分解的过程。 2.准确识别适用公式法的多项式结构‌：能快速判断一个多项式是否符合平方差或完全平方式的特征。 3.熟练进行公式法分解‌：能规范书写分解步骤，处理含单项式或多项式的复杂情形。 4.综合运用能力提升‌：结合提公因式法与公式法进行多步分解，做到“先提后套”，确保分解彻底。 5.补充拓展：十字相乘法（常用于二次三项式）和分组分解法（针对三项以上的多项式分解）进行因式分解。 教学重难点 1.重点 （1）公式的逆向应用能力‌：牢固掌握平方差与完全平方公式的结构特征，并能反向用于分解。 （2）分解的规范性与完整性‌：确保每一步变形符合代数规则，结果为最简整式乘积。 2.难点 （1）结构识别的灵活性‌：当多项式经过变形（如提取负号、整体换元）后才符合公式形式时，学生易判断失误。 （2）复合型因式分解的顺序问题‌：在“先提公因式，再套公式，最后考虑十字相乘和分组分解”的综合题中，部分学生会遗漏提公因式步骤，导致无法分解或分解不彻底。 （3）完全平方式的判别误区‌：对三项式是否为完全平方式判断不准，尤其是交叉项与平方项底数积的两倍关系容易忽略或误判。 知识点01 公式法 公式法：逆向使用平方差公式、完全平方公式等乘法公式进行因式分解的方法叫作公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方和公式：a2+2ab+b2=(a+b)2；完全平方差公式：a2-2ab+b2=(a-b)2。 拓展：立方和公式：；立方差公式：。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·四川成都·期末）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意．故选B． 2．（24-25七年级下·河北唐山·期末）下列各式中，可以用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、，符合平方差公式，但不符合完全平方公式，本选项不符合题意． B、，中间项为，但末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． C、，中间项为，末项非平方项，无法构成完全平方，本选项不符合题意． D、，首项和末项均为平方项，中间项为与乘积的2倍，符合形式，可分解为，本选项符合题意．故选：D． 3．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】9 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得，将代入，得原式． 4.（25-26八年级下·江苏无锡·月考）在实数范围内因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 5．（25-26八年级上·广东·随堂练习）运用简便方法计算： （1）________；（2）________． 【答案】 9400 2000 【详解】解：（1）； （2）    ； 故答案为：9400；2000． 6．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知为整数，求证：能被整除． 【答案】见解析 【详解】证明：， 为整数，是整数，能被整除，能被整除． 7．（25-26·成都·八年级校考期中）由多项式乘以多项式的法则可以得到： 即：，我们把这个公式叫做立方和公式， 同理：，我们把这个公式叫做立方差公式， 请利用以上公式分解因式： 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 知识点02 十字相乘法（拓展） 二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行。 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”。 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1＝，把常数项－6分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为． 注意：对于二次三项式的因式分解中，当公式法不能匹配时，十字相乘就是我们的首选方法。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 3．（2026八年级下·江苏·专题练习）因式分解：(1)；(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解： 4．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）阅读与理解 在松松与南南学习到分解因式的知识时，发现八年级上册教材133页有一种因式分解的方法叫十字相乘法，即，则可按此多项式乘法计算逆向思考，将二次三项式因式分解成，松松没有看明白书中的方法，请南南帮助他，南南告诉他：“要把二次三项式中的常数项6分成两个整数的积，且这两个整数的和等于5才可以，即，，则口算就可以得到，或，，然后再将p与q的值代入式子中即可得到．” (1)按照以上方法，若，那么二次三项式应如何分解呢？ ________； (2)请你帮松松完成这个因式分解的题目吧：； (3)在松松，南南的共同努力下，终于学会了因式分解的十字相乘法，为了锻炼大家的思维，老师准备了一道拓展思考题：若可分解为两个一次因式，且m为整数，求m的所有可能值．请你帮他们一起完成这个题吧． 【答案】(1)(2)(3)，， 【详解】（1）解：二次三项式中的常数项分成两个整数的积，且这两个整数的和等于才可以，即， ，则口算就可以得到，或，，然后将与的值代入式子中即可得到，故答案为： （2）解：，； （3）解：∵， ，，，，，， ∴可能为：，，． 知识点03 分组分解法（拓展） 分组分解法：将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法。如：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)。 分组分解法一般针对三项以上的多项式分解。 注意：分组方法往往不唯一，但殊途同归。有时，分组不当会导致因式分解无法继续进行，此刻切不可气馁，可再尝试新的分组方法，也许“惊喜”就在后面。 【即学即练】 1．（2026·湖南·模拟预测）因式分解：___________． 【答案】 【详解】解： ；故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江西赣州·期末）要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1)(2)(3)是等腰三角形． 【详解】（1）解：． （2），， ． （3），， ∵的三边长，∴∴，∴，∴是等腰三角形． 知识点04 因式分解的步骤 因式分解的一般步骤： ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法（平方差公式）分解因式；3项式可以尝试运用公式法（完全平方公式）、十字相乘法分解因式；4项式及以上的可以尝试分组分解法分解因式； ③分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·吉林长春·月考）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）分解因式：(1)； (2)； (3)． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．（25-26八年级上·北京昌平·月考）因式分解：(1)．(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 4．（25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)；(3)； (4)． 【答案】(1)；(2) (3)；(4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：，设， 原式， ∵，∴原式． 题型01 判断能否用公式法分解 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个．故选：B． 2．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解，故答案为：C． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 4．（25-26八年级上·湖北随州·期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A： 不匹配完全平方公式，∴ 不能用公式法分解因式. 选项B： 不匹配完全平方公式，∴ 不能用公式法分解因式. 选项C： 不匹配完全平方公式与平方差公式，∴ 不能用公式法分解因式. 选项D： ，∵，∴ 能用公式法分解因式. 故选：D 题型02 运用平方差公式分解因式 1.（25-26八年级上·重庆綦江·期末）下列各式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、，能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；故选：B． 2．（25-26八年级上·广西崇左·期末）把分解因式的结果是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：故选：D． 3．（2026九年级下·北京·专题练习）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：原式=． 4．（2026·江苏苏州·模拟预测）因式分解：_____． 【答案】 【详解】解： ． 5．（25-26八年级下·江苏·课后作业）因式分解： （1）__________；（2）__________； （3）__________；（4）__________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型03 运用完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级上·浙江·期中）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式；③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式；⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个．故选：B． 2．（25-26九年级下·北京·开学考试）分解因式：________． 【答案】 【详解】解：原式． 3．（25-26八年级上·湖南郴州·期末）因式分解：________． 【答案】/ 【详解】解：故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南许昌·期末）因式分解：(1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型04 公式法的运用（求值） 1．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知，则______． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南洛阳·月考）若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵，∴． 3．（25-26八年级上·河南许昌·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，∴， ∴，故选：． 4．（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知，，，则的值为（    ） A．与值有关 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【详解】解：∵①，② ∴得∴ 又∵，即∴，∴．故选：D． 5．（25-26八年级上·福建泉州·期末）若，则的值为_____． 【答案】2035 【详解】解：∵， ∴ ．故答案为：2035． 题型05 公式法的运用（含参或缺项） 1．（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．18 B．36 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴，解得：，故选：D． 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）若多项式能在有理数范围内用平方差公式因式分解，则的值可能是（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】解：选项A中当时，，符合题意； 选项B中是正数，不能表示为某个整式平方的相反数，无法写成平方差形式，不符合题意； 选项C中，，是无理数，不符合题意； 选项D中是正数，不能表示为某个整式平方的相反数，无法写成平方差形式，不符合题意； 综上，答案选A． 3．（25-26八年级上·山西晋城·期中）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解．故选：D． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）若多项式可以在有理数范围内运用平方差公式分解因式，则单项式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，多项式为，此为单项式，无法运用平方差公式分解因式，故A选项不符合题意； 当时，多项式为，是平方和，不能运用平方差公式分解因式，故B选项不符合题意； 当时，多项式为，该式子无法转化为两个平方项的差的形式，不能运用平方差公式分解因式，故C选项不符合题意； 当时，多项式为，符合平方差公式的形式，能在有理数范围内分解因式，故D选项符合题意． 题型06 公式法的运用（其他） 1．（25-26七年级下·广西桂林·月考）对于任意整数，多项式都能被（   ）整除． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∵为整数，∴也为整数，∴能被整除，∴多项式都能被整除． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 【答案】 【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则． 由面积差得．根据平方差公式，． 代入，得．所以． 故这两个正方形的边长之和为；故答案为：10． 4．（25-26八年级下·江苏·课后作业）已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零 【答案】A 【详解】解：∵ = = 又∵ 为三角形的三边，∴ ，，， ∴ ，且 ，∴ ∴ 代数式的值一定为负数.故选：A． 题型07 运用十字相乘法分解因式 1．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：，故答案为：． 2．（25-26七年级上·上海宝山·月考）因式分解：___________． 【答案】 【详解】解：,故答案为：． 3．（25-26八年级下·湖南益阳·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：； （2）解：原式． 4．（25-26七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【详解】解：． 5．（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：如何将型的式子分解因式呢？我们知道，所以根据因式分解与整式乘法是互逆变形，可得：．例如：． 上述过程还可以形象地用十字相乘的形式表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数，如图： 这样，我们可以得到：． 根据上述材料，解答下列问题： (1)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (2)用十字相乘法将分解因式的结果为________； (3)若利用十字相乘法可分解为（均为整数），求a和p的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：；故答案为： （2）解：；故答案为： （3）解：由题意得， 均为整数，，． 题型08 运用分组分解法分解因式 1．（25-26八年级上·吉林·期末）第一步：阅读材料，掌握知识． 要把多项式因式分解，可以先把它的前两项分成组，并提出，把它的后两项分成组，并提出，从而得，这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有，这种因式分解的方法叫做分组分解法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）____________． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解：①_____________．②_____________． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是、、，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）① ；故答案为： ②；故答案为： （3）这个三角形为等边三角形．理由如下： ∵；∴ ∴；∴ ∴且；∴且；∴；∴这个三角形是等边三角形． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（25-26八年级上·山东济宁·期末）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法解决下列问题：(1)分解因式：； (2)如果是的三条边的长，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)(2)是等边三角形，理由见解析． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵，∴， ∴且，∴，即是等边三角形． 4．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：；(2)证明：如果是的三条边的长，那么． 【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： （2）证明： ∵ a，b，c 是 的三条边的长，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即 ． 题型09 因式分解中的有理数简便运算 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）利用因式分解计算：_____． 【答案】36 【详解】解：原式 ．故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）简便运算： (1)；(2) 【答案】(1)4000(2)4 【详解】（1）解： （2）解： 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1)1600(2)4000 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（2026八年级下·江苏·专题练习）运用简便方法计算： (1)． (2)． (3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 5．（25-26八年级上·山东泰安·月考）利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1)(2)4(3)0(4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型10 因式分解的实际应用 1．（24-25七年级下·安徽宣城·期中）某串联电路中电流（单位：）、电阻、、（单位：）、时间（单位：）与热量（单位：）有下列关系：，如图，当，，，，时，求电流流经电阻所产生的热量． 【答案】108J 【详解】解：由题意得， 答：电流流经电阻所产生的热量为 2．（25-26八年级下·江苏·课后作业）如图为两个边长为的正方形纸片，一个边长为的正方形纸片，三个长和宽分别为和的长方形纸片．你能否用图中所有的纸片拼成一个长方形？如果能，请画出草图，并据此写出一个多项式的因式分解；如果不能，请说明理由． 【答案】能，见解析 【详解】解：能，所有纸片的面积和为， 因式分解为．拼成的长方形的长为、宽为． 拼图如答图所示． 3．（25-26九年级上·上海·专题练习）有个女孩，个男孩，每个孩子摘得相同数目的桃子，共摘个桃子，则男孩有_______________个． 【答案】或 【详解】解：根据题意将变形可得， ∵能被整除，∴能被整除， ∵n为正整数，∴为大于11的整数， ∵30的因数中大于的有和，∴若，则； 若，则，∴或，故答案为：或． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 【答案】(1)1119和1911(2)20(3)262323、232623、232326 【详解】（1）解：，代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911；故答案为：1119和1911； （2）解： ，取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，，∴他选取x的值是20；故答案为：20； （3）解：，代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23，所有取件码为262323、232623、232326． 题型11 因式分解中的新定义问题 1．（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】(1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 【答案】(1)(2)当时，代数式有最大值，最大值是18(3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ，，∴， 当时，有最大值，最大值是18， 即当时，代数式有最大值，最大值是18； （3）解：由题意，得，， ，， ∵，， ，，解得，，∴，∴． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，，当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【答案】(1)，，(2)12 【详解】（1）解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； （2）解：， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 3．（25-26八年级上·河南南阳·期末）【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们通常在保证原式值不变的情况下，通过添加或拆分一项的方法，使其成为完全平方式，然后进行因式分解． 例如：（此处可看作在原式上添加“”，也可看作将3拆分为“”）． 【解决问题】(1)用配方法将分解因式；(2)用配方法将分解因式； (3)已知分别为等腰三角形的腰和底，且满足，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， ∴，∴， ，，∴， 若该等腰三角形的三边长为2，1，1， ∵，不满足三角形的三边关系，∴不能构成三角形，舍去； 若该等腰三角形的三边长为2，2，1， ∵，∴可构成三角形，∴此时等腰三角形的周长为． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解决下列问题： 阅读材料 分解因式： 解：①将“”看成整体，令，则原式， ②再将还原，得到原式． 上述解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 (1)因式分解：；(2)因式分解：． 【答案】(1)(2)． 【详解】（1）解：令，则原式， 将还原，得原式； （2）解：令，则原式， 将还原，得原式， ，原式． 5．（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B(2)不彻底；(3) 【详解】（1）解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用，故选B． （2）解：不彻底，，故答案为：不彻底；． （3）解：设 原式． 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列各多项式中不能用公式法分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意； B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意； C、不能用公式法分解，符合题意； D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意；故选：C． 2．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和，∴．故选：D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 【答案】D 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 4．（24-25八年级下·江西抚州·月考）不论x，y为何实数，的值总是（   ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．零 【答案】A 【详解】 ∵，∴，∴的值总是正数． 5．（24-25七年级下·山东聊城·月考）计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：原式故答案为： 6．（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：根据平方差公式，得， 将，代入上式，得，两边同时除以，得．故答案为：． 7．（25-26八年级上·广西南宁·期末）因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： 故答案为：. 8．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如果多项式加上一个单项式后，可以用公式法分解因式，那么这个单项式可以是____（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若添加单项式，则，∴多项式可以用公式法分解因式， ∴这个单项式可以是（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 【答案】 【详解】解：大长方形面积为，故答案为：． 10．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如果，那么括号内的整式是_____． 【答案】 【详解】解：， 可知括号内的整式是．故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东日照·月考）规律探究题计算：_____． 【答案】 【详解】解： 故答案为： 12．（25-26八年级上·四川广安·期末）若，则___________． 【答案】72 【详解】解：∵， ∴ = ． 13．（25-26八年级下·江苏·课后作业）李老师在黑板上写下一道题目： 李华看到题目马上说：“没有给出的值，不能算出最终结果．”杨力反驳道：“不用给出的值就可以计算出最终结果．”他们两人谁说的对？请说明你的理由． 【答案】杨力说的对，理由见解析 【详解】解：杨力说的对．理由如下： 原式． ，，原式，杨力说的对． 14．（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：(1)(2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． 15．（25-26八年级上·天津北辰·月考）分解因式： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)； 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： 16．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）试说明能否被100整除？ 【答案】能被100整除 【详解】解：，故能被100整除． 17．（24-25七年级下·浙江金华·期中）已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵，，∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，∴； （3）解：∵，，， ∴，∴， ∵， ∴，由（2）知：， 当时，； 当时，；∴的值为． 18．（25-26八年级上·甘肃·期末）阅读材料：我们把形如的多项式称为“可十字相乘”型． 尝试把多项式分解：找到两数、，使，，则，，于是． 问题：(1)分解；(2)若可分解为两个一次因式，且为整数，求的所有可能值． 【答案】(1)(2)，， 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：由题意得，可分解为，其中，， ∵m为整数，∴为整数，又∵，∴a、b都为整数， ∵， ∴或或或或或∴的可能值为，，． 19．（25-26八年级上·广东湛江·期末）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解， 我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：_____； A．提取公因式法        B．平方差公式法        C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：_____； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解： 【答案】(1)C(2)(3)； 【详解】（1）解：由可知，小涵同学运用了完全平方公式法进行因式分解，故答案：C； （2）， 该因式分解的最后结果为：，故答案为：； （3）①设， ； ②设， ． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）数形结合思想是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的思想．利用数形结合思想，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系． 小亮同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形卡片若干张．他用张，张和张卡片拼出一个新的图形（如图）．根据图的面积关系可得等式：，即使用拼图将分解因式． (1)若小刚拼成的长方形长是，宽是，则需要卡片张，卡片______张； (2)动手操作，依照小刚的方法，在图的方框中画出面积为的长方形拼图，并利用拼图分解因式． 【答案】(1)，(2)图见解析， 【详解】（1）解：拼成的一个长为，宽为的大长方形的面积为， ∵B卡片面积为，C卡片面积为，∴需要B卡片2张，C卡片3张； （2）解：如图 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $