16.3.3一次函数的性质&16.3.4一次函数的表达式 2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

16.3.3一次函数的性质&16.3.4一次函数的表达式 （10知识点+6题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的性质】 3 【题型2 判断一次函数的增减性】 5 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 6 【题型4 比较一次函数值的大小】 8 【题型5 一次函数的规律探究问题】 10 【题型6 求一次函数的解析式】 11 1. 理解一次函数（含正比例函数）的性质，掌握k、b的符号对一次函数图象的位置及增减性的影响，能结合性质分析函数变化规律。 2. 熟练掌握正比例函数、一次函数的表达式形式，理解待定系数法的核心思想，能运用待定系数法求一次函数（含正比例函数）的解析式。 3. 能运用一次函数的性质解决增减性判断、函数值比较、自变量变化分析等问题，能结合规律探究、已知条件求函数解析式，提升运算和推理能力。03 知识•梳理 知识点1：一次函数的基本形式 1. 一次函数的一般形式：（其中、为常数，且）。 2. 正比例函数的形式（特殊的一次函数）：（其中为常数，且），即的一次函数，图象必过原点。 3. 关键说明：是一次项系数，决定一次函数的增减性和图象的倾斜方向；是常数项，决定一次函数图象与轴的交点位置，与增减性无关。 知识点2：正比例函数的性质 正比例函数（）的性质，结合图象（一条过原点的直线）总结如下： 1. 增减性：① 当时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；② 当时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 2. 图象经过的象限：① 当时，图象经过第一、三象限；② 当时，图象经过第二、四象限。 3. 衍生结论：正比例函数的图象必过原点；若点、在正比例函数图象上，当时，则，时则相反。 知识点3：一次函数的增减性 一次函数（）的增减性仅由一次项系数决定，与常数项无关： 1. 当时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势； 2. 当时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 关键提醒：增减性只看的符号，与无关（比如和，不同，但，增减性完全相同）。 知识点4：一次函数图象的位置与k、b的关系 一次函数（）的图象是一条直线，其经过的象限由和的符号共同决定，结合性质记忆： 1. 当时：① ，直线经过第一、二、三象限；② ，直线经过第一、三、四象限；③ （正比例函数），直线经过第一、三象限。 2. 当时：① ，直线经过第一、二、四象限；② ，直线经过第二、三、四象限；③ （正比例函数），直线经过第二、四象限。 补充：直线与轴的交点为，与轴的交点为，作图时可优先找这两个交点。 知识点5：一次函数性质的易错点梳理 1. 混淆、的作用：误认为影响增减性，实则增减性只由决定。 2. 忽略正比例函数是特殊的一次函数，忘记其图象必过原点。 3. 比较函数值大小时，未先判断的符号，直接根据自变量大小判断函数值大小。 4. 判断直线经过的象限时，漏看或的符号，导致判断错误。 知识点6：一次函数、正比例函数的表达式形式 1. 正比例函数表达式：（为常数，），只有1个待定系数。 2. 一次函数表达式：（、为常数，），有2个待定系数和。 3. 关键说明：是前提，若，则函数变为，是常数函数，不是一次函数。 知识点7：待定系数法 1. 定义：先设出一次函数的表达式（含待定系数、），再根据已知条件（点的坐标、函数值等）列出方程（组），求出待定系数，进而确定函数表达式的方法，叫做待定系数法。 2. 核心思路：“设→列→解→写”，即先设表达式，再列方程（组）求解，最后写出完整表达式。 3. 适用条件：求正比例函数表达式，需1个已知条件（如一个点的坐标）；求一次函数表达式，需2个独立的已知条件（如两个点的坐标、两组与的对应值）。 知识点8：待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 1. 设：根据函数类型，设出表达式。① 正比例函数：设（）；② 一次函数：设（）。 2. 列：将已知条件（点的坐标、与的对应值）代入所设表达式，列出关于待定系数的方程（组）。 3. 解：解方程组，求出待定系数（和）的值。 4. 写：将求出的（和）的值代入所设表达式，写出完整的一次函数（或正比例函数）表达式。 知识点9：求一次函数表达式的常见已知条件类型 1. 已知两个点的坐标（最常见）：将两个点的分别代入，列二元一次方程组求解。 2. 已知一个点的坐标和增减性：先由增减性确定的符号，再将点的坐标代入表达式，求和。 3. 已知函数图象与坐标轴的交点：与轴交点为，可直接确定的值，再结合另一个条件求。 4. 已知一次函数与正比例函数的关系（如平行）：若两条直线平行，则它们的值相等，再结合一个条件求。 知识点10：求一次函数表达式的易错点梳理 1. 设表达式时，忽略的前提，或混淆正比例函数与一次函数的表达式（漏写或多写）。 2. 代入点的坐标时，将、的值颠倒，导致方程列错。 3. 解二元一次方程组时计算失误，或求出、后，未代入验证。 4. 已知图象与坐标轴交点时，误将与轴交点的横坐标当作的值。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的性质】 解题思路： 1. 明确正比例函数表达式为（），核心看的符号。 2. 由的符号判断增减性：，随增大而增大；，随增大而减小。 3. 结合的符号判断图象经过的象限，或根据图象象限反推的符号。 易错点：① 忘记正比例函数必过原点；② 混淆的符号对增减性、象限的影响。 【典例1】．对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意列出变化前后的函数值等式，即可求出的值． 【详解】解：设原来的自变量为，对应函数值为， 当减小后，新自变量为，对应函数值， 的值减小， ， 解得． 跟随训练1-1．已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正比例函数的解析式可判断该函数的增减性，根据增减性和已知条件即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而减小， ∵均在直线上，且， ∴． 跟随训练1-2．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的增减性可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大， ∴当时，， 把，代入得：， ∴． 故答案为： 跟随训练1-3．已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据第三象限的角平分线得到正比例函数是解题的关键． 首先根据点P在第三象限角平分线上得到方程为，则横纵坐标相等，据此列出方程求解即可． 【详解】解：∵第三象限角平分线的方程为， ∴点P的横坐标与纵坐标相等，即，解得：， 故答案为：． 【题型2 判断一次函数的增减性】 解题思路： 1. 明确一次函数表达式为（），增减性仅由的符号决定，与无关。 2. 提取表达式中的值，判断其符号：① ，随增大而增大；② ，随增大而减小。 3. 若含字母，需根据题意确定字母的取值范围，进而判断的符号和增减性。 易错点：误认为影响增减性，或忽略的前提。 【典例2】．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据判断函数增减性，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴． 跟随训练2-1．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正比例函数图象性质判断出的取值范围，继而根据一次函数的性质进行判断即可. 【详解】解：∵一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大， ∴， ∴， ∴一次函数（）的图象经过二、三、四象限． 跟随训练2-2．已知点和点都在直线（m为常数）上，若，则________．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质可知一次函数值y随着x的增大而减小，再结合可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， ∴一次函数值y随着x的增大而减小． ∵点在该函数图象上，且，即， ∴． 跟随训练2-3．关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 【答案】①②③ 【分析】本题根据一次函数的图象与性质，对四个说法逐一判断，即可得到正确结论． 【详解】解：① 将代入直线解析式，得， 因此点在l上，故①正确； ② 将代入直线解析式，得， 因此l经过定点，故②正确； ③ 当时，由一次函数的性质可知，y的值随x值的增大而增大，故③正确； ④ 当时，直线经过第二、三、四象限，只有当时，直线才经过第一、二、三象限，因此l不一定经过第一、二、三象限，故④错误． 综上，正确的说法是①②③． 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 解题思路： 1. 先根据一次函数表达式，判断的符号，确定增减性。 2. 根据增减性，结合函数值的变化情况，判断自变量的变化：① 若（随增大而增大），则对应；② 若（随增大而减小），则对应。 易错点：增减性与自变量变化的对应关系颠倒（如时，误将增大对应增大）。 【典例3】．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知x与y的大小关系判断函数增减性，进而得到k的取值范围，即可选出符合条件的选项． 【详解】解：∵点纵坐标为，点纵坐标为， ∴， 又∵ ，可知增大时减小， ∴ 直线中，随的增大而减小， 根据一次函数的性质，一次项系数小于0时，随增大而减小， ∴ ， 解得 ， ∵ 选项中只有符合条件． 跟随训练3-1．已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质与系数的关系，先将函数整理为标准一次函数形式，再根据随增大而减小的性质列不等式求解即可． 【详解】首先整理一次函数得 一次函数随的增大而减小， 一次项系数， 解不等式得． 故选C． 跟随训练3-2．已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小时，一次项系数小于0，据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：． 跟随训练3-3．若一次函数（m为常数），且y随x的增大而增大，写出一个符合条件的m的值：______． 【答案】 0 【分析】根据一次函数的性质，当一次项系数大于时，随的增大而增大，据此列出不等式得到的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解： 一次函数中，随的增大而增大， ， 解得， 取符合条件的． 【题型4 比较一次函数值的大小】 解题思路： 1. 方法一（利用增减性）：① 判断一次函数的符号，确定增减性；② 比较两个自变量的大小，结合增减性，得出函数值的大小关系。 2. 方法二（代入计算）：若自变量的值已知，直接将自变量代入表达式，计算出两个函数值，再比较大小（适用于自变量为具体数值的情况）。 易错点：未先判断的符号，直接根据自变量大小判断函数值大小；代入计算时符号错误。 【典例4】．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，即， ∴， 故选：． 跟随训练4-1．已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据，随的增大而减小，得出与的大小关系． 【详解】解：∵， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：A． 跟随训练4-2．若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 【答案】 > 【分析】先根据平方的非负性判断一次项系数的符号，得到一次函数的增减性，再根据两点纵坐标的大小关系，比较横坐标的大小，进而判断与的大小关系． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 根据一次函数的性质，当一次项系数小于时，随的增大而减小． 因为点，在该直线上，且， 所以， 所以． 跟随训练4-3．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 【题型5 一次函数的规律探究问题】 解题思路： 1. 观察题目给出的规律（如表格、点的坐标、图象变化），确定变量之间的关系为一次函数关系（可通过判断“自变量每增加1，函数值的变化量恒定”验证）。 2. 设一次函数表达式为（或正比例函数），选取规律中两组对应的、值，用待定系数法求出表达式。 3. 用规律中其他组数据验证表达式的正确性，再利用表达式解决后续问题（如求某一自变量对应的函数值）。 易错点：① 误判函数类型（非一次函数却设为一次函数）；② 选取的两组数据不具有代表性，导致表达式错误。 【典例5】．点，在正比例函数的图像上，下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两点横坐标代入正比例函数解析式，得到与的表达式，再判断二者关系即可，因为k的符号不确定，所以无法判断与的大小，仅能得到二者的数量关系． 【详解】解：∵点，在正比例函数的图像上， ∴将代入解析式得； 将代入解析式得 ； ∴ ， ∴，即B选项符合题意． 跟随训练5-1．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】一次函数一次项系数大于0时，y随x的增大而增大，因此比较两点横坐标大小即可． 【详解】解：， 一次项系数， y随x的增大而增大， ， ． 跟随训练5-2．已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】根据一次函数的增减性结合横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：一次函数为，可得，因此随的增大而减小， 已知，，横坐标满足，因此可得． 跟随训练5-3．已知点，点在直线上，则m______n（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】先根据一次项系数判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵直线中，一次项系数． ∴y随x的增大而增大． 又∵点，点在直线上，且， ∴． 【题型6 求一次函数的解析式】 解题思路（核心用待定系数法，分两种情况）： 1. 情况1：求正比例函数解析式（）：① 设表达式（）；② 代入1个已知条件（如一个点的坐标），列方程求；③ 代入，写出解析式。 2. 情况2：求一次函数解析式（）：① 设表达式（）；② 代入2个独立已知条件（如两个点的坐标），列二元一次方程组；③ 解方程组求、；④ 代入、，写出解析式，可代入验证。 易错点：① 设表达式时漏写或多写；② 代入点的坐标时、颠倒；③ 解方程组计算失误。 【典例6】．若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及规律探究与指数运算．根据直线的表达式为可得，直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为，由点的坐标为，可得，由作图过程可知，是等腰直角三角形，，同理可得，，， ， (为正整数)，将代入即可解答． 【详解】解：直线的表达式为， 直线平分第一象限，即直线与轴正半轴的夹角为， 点的坐标为， ， 由作图过程可知，， 又， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，，，， 所以 (为正整数)， 当时，， 点的横坐标为， 故选：． 跟随训练6-2．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、点的坐标变化规律及正比例函数的性质，能通过计算得出是解题的关键．根据题意，依次求出，，，…，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵点，且轴， ∴点的横坐标为2， 将代入得，， ∴点的坐标为， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 将分别代入和得，，， ∴， 依次类推，，，…， ∴． 当时，． 故选：B． 跟随训练6-3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 【答案】 【分析】利用等腰直角三角形的性质得到线段长度，再结合点在直线上的坐标关系，归纳出等腰直角三角形的面积规律，进而求出面积． 【详解】解：如图，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为点，，， ∵且是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∴， 将的坐标代入得：， 解得：， ∴，， 同理可得：，， ∴，，， ， ∴． 05 过关•检测 1．将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先根据“上加下减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再将已知点代入解析式求解的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象向上平移2个单位长度， ∴平移后的一次函数解析式为， ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得， 整理得， 解得：． 2．一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 【答案】 【分析】两个一次函数没有交点，说明两条直线平行，平行一次函数的一次项系数相等，由此得到k的值，再利用待定系数法代入已知点坐标求出b的值，即可得到所求函数解析式． 【详解】解：∵一次函数与没有交点， ∴两条直线平行，即， 又∵一次函数经过点， ∴， 解得：， ∴此一次函数的解析式为． 3．已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为，令，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入，可得， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）由（1）可知，该一次函数的解析式为， 当时，可得， 解得， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为． 4．如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7或1或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据点P的横纵坐标解答即可； （3）分别求出直线过点B，A是函数解析式，即可； （4）求出直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，，然后分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵动点P的横坐标，纵坐标， ∴y关于x的函数关系式为； （3）解：设直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； 当直线过点时，， 解得：， ∴此时直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：； ∴a的取值范围为； （4）解：由（1），（2）得：直线的函数表达式为，直线l的解析式为， ∴直线与直线、y轴及直线l有三个交点分别为，，， 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 当和关于点对称时，， 解得：； 综上所述，t的值为7或1或． 5．已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 6．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据得，结合图象解答即可． 【详解】解：根据图象得，，， 又， 故． 7．点，都在直线（m为常数）上，若，那么t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断直线一次项系数的符号，利用一次函数的增减性得到与的符号关系，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴直线的一次项系数， ∴该一次函数随的增大而减小； ∵，分两种情况讨论： 若，即，则，即， ∴； 若，即，则，即， ∴. 综上，． 8．已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的增减性，结合已知点的横坐标大小关系，判断y值的大小顺序即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随着x的增大而减小． ∵， ∴． 故选：B． 9．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正比例函数，的图象经过第一、三象限， ，， 的图象比的图象上升得快， ， 的图象经过第二、四象限， ， ． 10．已知，是直线上的两个点，则________．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数的性质，当小于0时，函数值随自变量的增大而减小． 【详解】解：由直线方程，得， 因此y随x的增大而减小， ∵点和在直线上，且， ∴． 故答案为：． 11．已知，是直线（m为常数）上的两个点．则____（填入“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数（，为常数，），当时，随的增大而减小，利用一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 12．关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值随的增大而增大，列不等式求解即可． 【详解】解：关于的一次函数中，随增大而增大， ，解得． 故答案为：． 13．如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______． 【答案】 【分析】根据题意先求得，，，得出规律，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ ∴直线与坐标轴的夹角为 ∵， ∴ ∵是等腰直角三角形，为斜边 ∴， ∴， 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入 ∴ 解得：， ∴直线的解析式为 联立，解得：，则 联立，解得：，则 ∴ ∴ ∴ …… ∴ ∴的坐标为 14．如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴， 解得， 将代入得， ∵， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 15．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，求出值即可； （2）根据互相平行的两条直线相等求出的值即可； （3）根据一次函数的性质求出的取值范围． 【详解】（1）函数图象经过原点， 令，， 代入得：， ； （2）函数的图象平行于直线， ， ； （3）这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大， 且， 且， ． 16．年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）： 进货次数 甲款数量/盒 乙款数量/盒 进货总费用/元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款礼盒的进货单价； (2)该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值． 【答案】(1)甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元 (2) 元 【分析】本题考查了一次函数，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，找出等量关系，列出方程组或不等式，然后求解． （1）设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元，列出方程组，即可； （2）设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒，则总利润，根据乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍，求出的取值，根据一次函数的性质，当取最大值时，利润，即可． 【详解】（1）解：设甲款礼盒的进货单价为元，乙款礼盒的进货单价为元， ∴方程组得 解得， ∴甲款礼盒的进货单价为 元，乙款礼盒的进货单价为元． （2）解：设购进甲款礼盒 盒，乙款礼盒为盒， ∴总利润， 整理得：， ∵乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的 倍 ∴， ∴， ∵为整数， ∴， ∵中，，随着的增大而增大， ∴当取最大值时，利润， 即（元）． 17．如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 【答案】(1)6 (2)或 (3) 【分析】（1）将代入相应的流程计算即可； （2）根据题意，分别把代入不同的式子中计算x的值，并验证结果即可解答； （3）先根据题意作出函数图像，得到输出的y值只有一个x值与之对应时，，再结合图像确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，． （2）解：①当时，在中， 令，得，解得：，符合题意； ②当时，在中， 令，得，解得：， 综上，或． （3）解：如图，分别作出和的函数图像， ∵当时，，， ∴输出的y值只有一个x值与之对应时，， ∴把代入，得， 把代入，得， ∴当时，输出的y值只有一个x值与之对应． 故答案为：． 18．在平面直角坐标系xOy中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之差（横坐标减纵坐标）等于点的横、纵坐标之差，则称，两点为同差点．例如，点与点的横、纵坐标之差都是3，所以，两点为同差点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同差点的是______． ②若点在轴上，且、两点为同差点，则点的坐标为______． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同差点，求点坐标； ②若存在点与点为同差点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①点S ② (2)①点 ② 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质 对于（1），①根据同差点的定义逐个判断即可； ②根据“同差点”的定义可得，求出解； 对于（2），①设点，根据“同差点”的定义可得，求出解； ②设点，根据“同差点”的定义可得，再根据，并结合增减性得出答案． 【详解】（1）解：①∵， ∴点R与点A不是同差点； ∵， ∴点S与点A是同差点； ∵， ∴点T与点A不是同差点； 故答案为：点S； ②∵点B在y轴上，且点A，B两点为同差点，设点， ∴， 解得， ∴点； 故答案为：； （2）解：①设点， ∵点C与点D为同差点， ∴， 解得， ∴点； ②设点， ∵点与点C为同差点， ∴， 则． 当时， ∴． 当 ； 当 ， ∵，m随着b的增大而减小， ∴m的取值范围是． 19．已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 【答案】(1)②③； (2)； (3)； (4)的最大值为 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，整式的乘法等知识，熟练掌握一次函数性质以及理解题意是解题关键； （1）根据“阶点”的定义逐个判断即可； （2）先求出直线与x轴的交点坐标，然后根据“4阶点”的定义构建关于c的方程，然后解方程即可； （3）设直线上与点A互为“t阶点”的点为，根据“t阶点”的定义得出，整理得，根据直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，可得，然后解方程即可； （4）先根据题意求出，，然后根据“k阶点”和“阶点”的定义得出，，整理得，，两式相乘可求出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵点与点， ∴，， 又， ∴， ∴点与点不是互为“阶点”； ∵与点， ∴，， ∴， ∴与点互为“阶点”； ∵与点， ∴，， ∴， ∴与点互为“阶点”； （2）解：令，解得， ∴交点坐标为， 根据题意，得， 解得； （3）解：设直线上与点A互为“t阶点”的点为， 则， 整理得， ∵直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”， ∴，且成立， ∴； （4）解：根据题意，得，， ∵P与N互为“k阶点”；Q与N互为“阶点”， ∴，， 整理得，， 两式相乘，得， 化简得， ∵， ∴n随m的增大而增大， ∵且， ∴当时，n有最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3.3一次函数的性质&16.3.4一次函数的表达式 （10知识点+6题型+过关检测） 【题型1 正比例函数的性质】 3 【题型2 判断一次函数的增减性】 5 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 6 【题型4 比较一次函数值的大小】 8 【题型5 一次函数的规律探究问题】 10 【题型6 求一次函数的解析式】 11 1. 理解一次函数（含正比例函数）的性质，掌握k、b的符号对一次函数图象的位置及增减性的影响，能结合性质分析函数变化规律。 2. 熟练掌握正比例函数、一次函数的表达式形式，理解待定系数法的核心思想，能运用待定系数法求一次函数（含正比例函数）的解析式。 3. 能运用一次函数的性质解决增减性判断、函数值比较、自变量变化分析等问题，能结合规律探究、已知条件求函数解析式，提升运算和推理能力。03 知识•梳理 知识点1：一次函数的基本形式 1. 一次函数的一般形式：（其中、为常数，且）。 2. 正比例函数的形式（特殊的一次函数）：（其中为常数，且），即的一次函数，图象必过原点。 3. 关键说明：是一次项系数，决定一次函数的增减性和图象的倾斜方向；是常数项，决定一次函数图象与轴的交点位置，与增减性无关。 知识点2：正比例函数的性质 正比例函数（）的性质，结合图象（一条过原点的直线）总结如下： 1. 增减性：① 当时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；② 当时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 2. 图象经过的象限：① 当时，图象经过第一、三象限；② 当时，图象经过第二、四象限。 3. 衍生结论：正比例函数的图象必过原点；若点、在正比例函数图象上，当时，则，时则相反。 知识点3：一次函数的增减性 一次函数（）的增减性仅由一次项系数决定，与常数项无关： 1. 当时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势； 2. 当时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。 关键提醒：增减性只看的符号，与无关（比如和，不同，但，增减性完全相同）。 知识点4：一次函数图象的位置与k、b的关系 一次函数（）的图象是一条直线，其经过的象限由和的符号共同决定，结合性质记忆： 1. 当时：① ，直线经过第一、二、三象限；② ，直线经过第一、三、四象限；③ （正比例函数），直线经过第一、三象限。 2. 当时：① ，直线经过第一、二、四象限；② ，直线经过第二、三、四象限；③ （正比例函数），直线经过第二、四象限。 补充：直线与轴的交点为，与轴的交点为，作图时可优先找这两个交点。 知识点5：一次函数性质的易错点梳理 1. 混淆、的作用：误认为影响增减性，实则增减性只由决定。 2. 忽略正比例函数是特殊的一次函数，忘记其图象必过原点。 3. 比较函数值大小时，未先判断的符号，直接根据自变量大小判断函数值大小。 4. 判断直线经过的象限时，漏看或的符号，导致判断错误。 知识点6：一次函数、正比例函数的表达式形式 1. 正比例函数表达式：（为常数，），只有1个待定系数。 2. 一次函数表达式：（、为常数，），有2个待定系数和。 3. 关键说明：是前提，若，则函数变为，是常数函数，不是一次函数。 知识点7：待定系数法 1. 定义：先设出一次函数的表达式（含待定系数、），再根据已知条件（点的坐标、函数值等）列出方程（组），求出待定系数，进而确定函数表达式的方法，叫做待定系数法。 2. 核心思路：“设→列→解→写”，即先设表达式，再列方程（组）求解，最后写出完整表达式。 3. 适用条件：求正比例函数表达式，需1个已知条件（如一个点的坐标）；求一次函数表达式，需2个独立的已知条件（如两个点的坐标、两组与的对应值）。 知识点8：待定系数法求一次函数表达式的一般步骤 1. 设：根据函数类型，设出表达式。① 正比例函数：设（）；② 一次函数：设（）。 2. 列：将已知条件（点的坐标、与的对应值）代入所设表达式，列出关于待定系数的方程（组）。 3. 解：解方程组，求出待定系数（和）的值。 4. 写：将求出的（和）的值代入所设表达式，写出完整的一次函数（或正比例函数）表达式。 知识点9：求一次函数表达式的常见已知条件类型 1. 已知两个点的坐标（最常见）：将两个点的分别代入，列二元一次方程组求解。 2. 已知一个点的坐标和增减性：先由增减性确定的符号，再将点的坐标代入表达式，求和。 3. 已知函数图象与坐标轴的交点：与轴交点为，可直接确定的值，再结合另一个条件求。 4. 已知一次函数与正比例函数的关系（如平行）：若两条直线平行，则它们的值相等，再结合一个条件求。 知识点10：求一次函数表达式的易错点梳理 1. 设表达式时，忽略的前提，或混淆正比例函数与一次函数的表达式（漏写或多写）。 2. 代入点的坐标时，将、的值颠倒，导致方程列错。 3. 解二元一次方程组时计算失误，或求出、后，未代入验证。 4. 已知图象与坐标轴交点时，误将与轴交点的横坐标当作的值。 04 题型•汇总 【题型1 正比例函数的性质】 解题思路： 1. 明确正比例函数表达式为（），核心看的符号。 2. 由的符号判断增减性：，随增大而增大；，随增大而减小。 3. 结合的符号判断图象经过的象限，或根据图象象限反推的符号。 易错点：① 忘记正比例函数必过原点；② 混淆的符号对增减性、象限的影响。 【典例1】．对于正比例函数，当自变量x的值减小2时，函数y的值减小6，则k的值为（   ） A． B． C．3 D． 跟随训练1-1．已知均在直线上，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 跟随训练1-2．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的增大而增大，则k的值为_____． 跟随训练1-3．已知点在平面直角坐标系中，若点在第三象限的角平分线上，则 _______． 【题型2 判断一次函数的增减性】 解题思路： 1. 明确一次函数表达式为（），增减性仅由的符号决定，与无关。 2. 提取表达式中的值，判断其符号：① ，随增大而增大；② ，随增大而减小。 3. 若含字母，需根据题意确定字母的取值范围，进而判断的符号和增减性。 易错点：误认为影响增减性，或忽略的前提。 【典例2】．已知点，都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 跟随训练2-1．已知一次函数（）的函数值y随自变量x的增大而增大，则函数（）在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．已知点和点都在直线（m为常数）上，若，则________．（填“>”“<”或“=”） 跟随训练2-3．关于直线 ，下列说法正确的有______． ①点在l上；②l经过定点；③当时，y的值随x值的增大而增大；④l经过第一、二、三象限． 【题型3 根据一次函数的增减性判断自变量变化情况】 解题思路： 1. 先根据一次函数表达式，判断的符号，确定增减性。 2. 根据增减性，结合函数值的变化情况，判断自变量的变化：① 若（随增大而增大），则对应；② 若（随增大而减小），则对应。 易错点：增减性与自变量变化的对应关系颠倒（如时，误将增大对应增大）。 【典例3】．已知点和点在直线（k为常数，）上，若，则的值可能是（   ） A．0 B． C． D．2 跟随训练3-1．已知一次函数，如果函数值y随x的增大而减小，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．已知一次函数，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为_________． 跟随训练3-3．若一次函数（m为常数），且y随x的增大而增大，写出一个符合条件的m的值：______． 【题型4 比较一次函数值的大小】 解题思路： 1. 方法一（利用增减性）：① 判断一次函数的符号，确定增减性；② 比较两个自变量的大小，结合增减性，得出函数值的大小关系。 2. 方法二（代入计算）：若自变量的值已知，直接将自变量代入表达式，计算出两个函数值，再比较大小（适用于自变量为具体数值的情况）。 易错点：未先判断的符号，直接根据自变量大小判断函数值大小；代入计算时符号错误。 【典例4】．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．已知点，在直线上，则a与b的大小关系为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．若点是直线上的两点，则___________0（填“”“”或“=”）． 跟随训练4-3．若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【题型5 一次函数的规律探究问题】 解题思路： 1. 观察题目给出的规律（如表格、点的坐标、图象变化），确定变量之间的关系为一次函数关系（可通过判断“自变量每增加1，函数值的变化量恒定”验证）。 2. 设一次函数表达式为（或正比例函数），选取规律中两组对应的、值，用待定系数法求出表达式。 3. 用规律中其他组数据验证表达式的正确性，再利用表达式解决后续问题（如求某一自变量对应的函数值）。 易错点：① 误判函数类型（非一次函数却设为一次函数）；② 选取的两组数据不具有代表性，导致表达式错误。 【典例5】．点，在正比例函数的图像上，下列正确的是（    ）． A． B． C． D． 跟随训练5-1．若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 跟随训练5-2．已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 跟随训练5-3．已知点，点在直线上，则m______n（填“>”“<”或“=”）． 【题型6 求一次函数的解析式】 解题思路（核心用待定系数法，分两种情况）： 1. 情况1：求正比例函数解析式（）：① 设表达式（）；② 代入1个已知条件（如一个点的坐标），列方程求；③ 代入，写出解析式。 2. 情况2：求一次函数解析式（）：① 设表达式（）；② 代入2个独立已知条件（如两个点的坐标），列二元一次方程组；③ 解方程组求、；④ 代入、，写出解析式，可代入验证。 易错点：① 设表达式时漏写或多写；② 代入点的坐标时、颠倒；③ 解方程组计算失误。 【典例6】．若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则的长为（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-3．如图，在平面直角坐标系中，，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，______． 05 过关•检测 1．将一次函数（k为常数，）的图象向上平移2个单位长度得到的一次函数图象经过点，则k的值为（   ） A． B． C． D．1 2．一次函数与没有交点，且过点，则此函数解析式为________． 3．已知一次函数的图像与y轴交于点， 且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)求该函数图像与x轴的交点坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点． (1)求直线的函数表达式； (2)动点P的横坐标，纵坐标，则y关于x的函数关系式为_____； (3)若直线与线段（包含端点）有交点，求a的取值范围； (4)无论a取何值，动点P都在一条确定的直线l上，若平行于x轴的直线与直线、y轴及直线l有三个不同的交点，当其中两点关于第三点对称时，直接写出t的值． 5．已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．点，都在直线（m为常数）上，若，那么t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知点，，都在直线上，则、、的值大小关系（   ） A． B． C． D． 9．如图为正比例函数，，在同一平面直角坐标系中的图象，则比例系数k，m，n的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．已知，是直线上的两个点，则________．（填“”“ ”或“”） 11．已知，是直线（m为常数）上的两个点．则____（填入“”、“”或“”）． 12．关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________． 13．如图，点在直线上，点在直线上，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为；过点作的平行线，交于，交于，连接，以为斜边，向外作等腰直角三角形，直角顶点为……按此规律，若，，则的坐标为______． 14．如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限． 15．已知函数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数不过第二象限，y随着x的增大而增大，求m的取值范围． 16．年山亭区助农电商平台采购方案：为助力乡村振兴，某电商平台购进甲（店子长红枣礼盒）和乙（城头豆制品礼盒）两款助农产品进行销售，两次进货信息记录如下（两次进货单价不变）： 进货次数 甲款数量/盒 乙款数量/盒 进货总费用/元 第一次 第二次 (1)求甲、乙两款礼盒的进货单价； (2)该平台计划第三次购进甲、乙两款礼盒共盒．已知每盒甲款礼盒售价为元，每盒乙款礼盒售价为元．若规定乙款礼盒的进货数量不低于甲款礼盒进货数量的倍，设购进甲款礼盒盒，这批礼盒的总利润为元，求的最大值． 17．如图是一个函数值y的运算． (1)若输入x的值是，则输出y的值是 ． (2)若输出的y的值是4，求输入的x的值． (3)输出的y值只有一个x值与之对应，则x的取值范围是 ． 18．在平面直角坐标系xOy中，对于，两点给出如下定义：若点的横、纵坐标之差（横坐标减纵坐标）等于点的横、纵坐标之差，则称，两点为同差点．例如，点与点的横、纵坐标之差都是3，所以，两点为同差点． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的同差点的是______． ②若点在轴上，且、两点为同差点，则点的坐标为______． (2)直线与轴、轴分别交于点，，点为线段上一点． ①若点与点为同差点，求点坐标； ②若存在点与点为同差点，直接写出的取值范围． 19．已知：在平面直角坐标系中点，若满足，其中k为常数，且，则称点P与点Q互为“k阶点”． (1)填空：下列互为“阶点”的是_________ ①点与点  ②与点   ③与点 (2)若直线与x轴的交点与点互为“4阶点”，求c的值． (3)对于动点，直线上始终存在一点与点A互为“t阶点”，求t的值． (4)已知：，点P为函数图像上一点，横坐标为m，且与N互为“k阶点”；点Q为函数图像上一点，横坐标为n，且与N互为“阶点”，当且时，求n的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $