18.3正方形（4知识点+12题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

本讲义聚焦“正方形”核心知识点，系统梳理其定义、边/角/对角线/对称性等性质、多路径判定定理，以及与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，构建完整知识支架。 通过12类分层题型设计，结合易错点剖析与解题技巧指导，典例与变式训练培养几何直观和推理能力。课中助力教师系统教学，课后学生可通过题型精练与过关检测查漏补缺，提升综合应用能力。

18.3正方形 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 根据正方形的性质求角度】 2 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 4 【题型3 根据正方形的性质求面积】 5 【题型4 正方形折叠问题】 6 【题型5 求正方形重叠部分面积】 8 【题型6 根据正方形的性质证明】 9 【题型7 添一个条件使四边形是正方形】 11 【题型8 证明四边形是正方形】 12 【题型9 根据正方形的性质与判定求角度】 13 【题型10 根据正方形的性质与判定求线段长】 15 【题型11 根据正方形的性质与判定求面积】 16 【题型12 根据正方形的性质与判定证明】 18 1.知识目标：理解正方形的定义，厘清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系；熟练掌握正方形的边、角、对角线、对称性等全部性质，熟记正方形的各类判定定理，明确性质与判定的区别与联系。 2. 能力目标：能运用正方形的性质独立完成角度、线段长度、图形面积的计算；熟练解决正方形折叠、图形重叠等综合性几何题型；可规范完成正方形相关的几何证明题，掌握添加条件判定正方形的解题思路，提升几何推理与综合运算能力。 3. 素养目标：通过正方形相关题型的练习，培养数形结合、分类讨论、转化建模的数学思想，规避常见解题误区，提升几何解题的准确性和逻辑性。 03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者的所有核心性质。 知识点2：正方形的性质（核心考点） 1. 边的性质：四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质：四个角都是90°（直角），内角和为360°。 3. 对角线性质：对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角；正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）。 5. 面积与周长公式：周长=边长×4；面积=边长²=对角线²÷2。 知识点3：正方形的判定定理（核心考点） 1. 从平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 2. 从矩形判定：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 从菱形判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 4. 从任意四边形判定：四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形；对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形。 知识点4：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 04 题型•讲练 【题型1 根据正方形的性质求角度】 核心考查：正方形直角、对角线平分对角、等腰直角三角形角度特征 易错点 1. 记错正方形对角线平分内角为45°的核心特征。 2. 混淆正方形与矩形、菱形的角度性质。 3. 复杂图形忽略直角条件，盲目计算角度。 解题技巧 1. 熟记固定角：内角90°、对角线分角45°、对角线夹角90°。 2. 结合对顶角、余补角、三角形内角和辅助求解。 3. 对角线题型优先利用等腰直角三角形模型解题。 【典例1】．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 【变式3】．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 核心考查：边长相等、对角线与边长关系、勾股定理应用 易错点 1. 记错对角线与边长关系：。 2. 忽略四边相等性质，线段等量代换出错。 3. 不会结合勾股定理求解内部斜线段。 解题技巧 1. 基础线段直接用四边相等、对角线平分性质代换。 2. 熟练套用边长与对角线互算公式。 3. 斜线段构造直角三角形，用勾股定理计算。 【典例2】．如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 【变式1】．如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【变式3】．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【题型3 根据正方形的性质求面积】 核心考查：两种面积公式的灵活运用、面积转化计算 易错点 1. 只会用边长求面积，遗忘对角线求面积公式。 2. 混淆周长、面积公式，计算失误。 3. 组合图形面积漏算、重复计算。 解题技巧 1. 知边长用：。 2. 知对角线用：。 3. 不规则面积用割补法、等积转化求解。 【典例3】．如图，在中，，分别为边，的中点，点，在边上，且．将沿着，，剪开分成四部分，重新组合后可以拼成正方形，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【变式3】．如图，点、、在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为．若阴影部分的面积为12，，则的值为______． 【题型4 正方形折叠问题】 核心考查：折叠全等、边长角度不变、勾股定理综合应用 易错点 1. 忽略折叠前后对应边、对应角相等的全等性质。 2. 不会设未知数，无法用勾股定理列方程解题。 3. 遗漏折叠产生的45°角、等腰直角三角形模型。 解题技巧 1. 先标注折叠前后相等的边、角，锁定全等关系。 2. 设未知线段，结合正方形边长不变+勾股定理列方程。 3. 特殊折叠直接用轴对称、等腰直角三角形性质速解。 【典例4】．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【变式2】．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 【变式3】．如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 核心考查：图形割补、等积变换、正方形对称性应用 易错点 1. 凭肉眼主观判断重叠面积，缺乏依据。 2. 不会拆分不规则重叠图形，计算繁琐出错。 3. 不会利用正方形旋转、对称性质转化面积。 解题技巧 1. 等大正方形中心旋转重叠，面积恒为单正方形1/4。 2. 不规则重叠区域用割补法转为规则图形计算。 3. 借助旋转全等，拼接图形简化运算。 【典例5】．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【变式1】．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【变式3】．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【题型6 根据正方形的性质证明】 核心考查：利用正方形性质证线段相等、线段垂直、角度相等、三角形全等 易错点 1. 证明跳步，逻辑不严谨，缺少关键推导。 2. 混用平行四边形、矩形、菱形性质定理。 3. 不会结合全等三角形辅助证明边角关系。 解题技巧 1. 以正方形边角、对角线性质为核心证明依据。 2. 边角相等问题优先证明三角形全等。 3. 证垂直可证夹角90°或利用对角线垂直性质。 【典例6】．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【变式2】．如图，点E为正方形ABCD外一点，以AB为斜边作直角，分别连接BD，ED． （1）的度数为______； （2）若，记和正方形ABCD的面积分别为，，则的值为______． 【变式3】．如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 【题型7 添一个条件使四边形是正方形】 核心考查：正方形判定的逆向应用，特殊四边形的条件补充 易错点 1. 补充条件仅能判定矩形/菱形，无法判定正方形。 2. 忽略题干前置图形（平行四边形/矩形/菱形），乱加条件。 3. 条件不足或重复，判定依据不成立。 解题技巧 1. 平行四边形：补邻边相等或对角线垂直且相等。 2. 矩形：补邻边相等或对角线垂直。 3. 菱形：补直角或对角线相等。 4. 优先选择最简、不重复的判定条件。 【典例7】．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【变式2】．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【变式3】．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【题型8 证明四边形是正方形】 核心考查：完整的正方形判定逻辑，分层证明思路 易错点 1. 跳过前置图形判定，直接证正方形，逻辑断层。 2. 判定条件不足，定理乱用，推理不完整。 3. 混淆“先证矩形”和“先证菱形”的判定思路。 解题技巧 1. 万能思路一：先证矩形，再证邻边相等/对角线垂直。 2. 万能思路二：先证菱形，再证直角/对角线相等。 3. 对角线可直接证：平分、垂直且相等即为正方形。 4. 书写层层递进，每步对应判定定理。 【典例8】．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【变式1】．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【题型9 根据正方形的性质与判定求角度】 核心考查：先判定正方形，再利用性质计算角度，综合题型 易错点 1. 未判定正方形，直接套用性质计算，逻辑错误。 2. 不会结合其他几何性质求解复杂角度。 3. 动态、多情况题型遗漏答案。 解题技巧 1. 先判定图形为正方形，再用性质算角度。 2. 结合平行线、三角形外角、全等辅助求解。 3. 不确定图形务必分类讨论，杜绝漏解。 【典例9】．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式2】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【变式3】．如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为______； （2）的度数为______． 【题型10 根据正方形的性质与判定求线段长】 核心考查：判定+性质综合，线段计算、动点线段问题 易错点 1. 图形判定错误，错用矩形、菱形性质计算。 2. 判定正方形后，沿用普通四边形公式计算。 3. 动态题型抓不住不变量，无法建立等量关系。 解题技巧 1. 先判定图形，再用正方形专属性质简化计算。 2. 动态题紧抓边长、对角线长度不变的核心不变量。 3. 复杂线段用全等、勾股定理、方程思想求解。 【典例10】．如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2】．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【变式3】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 【题型11 根据正方形的性质与判定求面积】 核心考查：判定正方形后求面积、不规则图形面积转化 易错点 1. 未证正方形，直接套用其面积公式，逻辑不成立。 2. 混淆特殊四边形面积公式，套用出错。 3. 不会通过图形判定转化不规则面积。 解题技巧 1. 先判定正方形，再选用对应面积公式计算。 2. 无直接边长时，通过线段转化求边长、对角线。 3. 不规则面积依托正方形性质做等积、割补转化。 【典例11】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【变式2】．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【变式3】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【题型12 根据正方形的性质与判定证明】 核心考查：判定与性质综合推理，复杂几何证明 易错点 1. 逻辑倒置：未判定正方形，先使用其性质。 2. 证明跳步，缺失关键得分步骤。 3. 不会综合运用全等、平行四边形知识解题。 解题技巧 1. 固定流程：先判定正方形，再用性质推导结论。 2. 拆分大题，分步完成判定、证明、推导。 3. 融合前置几何知识，保证推理完整严谨。 【典例12】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【变式2】．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【变式3】．如图，在菱形中，是对角线上的点， (1)如图，求证：； (2)如图，点是菱形内一点，四边形为平行四边形，，． ①求证：， ②与相交于点；且是的中点，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，四边形为菱形时，连接，若时，直接写出的长． 05 过关•检测 1．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 3．如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 5．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：；；；④AO＝OE；，其中正确的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 9．如图，在正方形中，为等边三角形，延长交于点，则__________． 10．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 11．如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 12．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 13．如图，正方形的边长为4，，过点A作的垂线，垂足为N，过点C作的垂线，垂足为P，连接交于点M，连接，设的周长为l，当°时，l的取值范围是______． 14．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 15．如图，在正方形中，点E在上，连结，过点A作于点F，过点C作于点G．延长至点P，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 16．如图，在中，，D，F两点分别在，边上，以为对角线作正方形，，边与交于H，． (1)求证：； (2)已知，求的度数．（用含α的式子表示） 17．如图，四边形是边长为4的正方形，点是边上异于端点的任意一点，交于点，点是点关于直线的对称点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是平行四边形，连接，求的长度． 18．已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 19．某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 20．【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 21． 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． (1)线段间的数量关系是________________； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 22．四边形是正方形，点在射线上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接，过点作交射线于点． (1)如图1，点在线段上 ①求证：； ②求的度数； ③证明． (2)若点在线段的延长线上，请补全图形（图），直接写出线段与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.3正方形 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 根据正方形的性质求角度】 2 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 5 【题型3 根据正方形的性质求面积】 9 【题型4 正方形折叠问题】 14 【题型5 求正方形重叠部分面积】 20 【题型6 根据正方形的性质证明】 23 【题型7 添一个条件使四边形是正方形】 30 【题型8 证明四边形是正方形】 33 【题型9 根据正方形的性质与判定求角度】 36 【题型10 根据正方形的性质与判定求线段长】 41 【题型11 根据正方形的性质与判定求面积】 48 【题型12 根据正方形的性质与判定证明】 53 1.知识目标：理解正方形的定义，厘清正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系；熟练掌握正方形的边、角、对角线、对称性等全部性质，熟记正方形的各类判定定理，明确性质与判定的区别与联系。 2. 能力目标：能运用正方形的性质独立完成角度、线段长度、图形面积的计算；熟练解决正方形折叠、图形重叠等综合性几何题型；可规范完成正方形相关的几何证明题，掌握添加条件判定正方形的解题思路，提升几何推理与综合运算能力。 3. 素养目标：通过正方形相关题型的练习，培养数形结合、分类讨论、转化建模的数学思想，规避常见解题误区，提升几何解题的准确性和逻辑性。 03 知识•梳理 知识点1：正方形的定义 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，兼具三者的所有核心性质。 知识点2：正方形的性质（核心考点） 1. 边的性质：四条边全部相等，对边平行，邻边互相垂直。 2. 角的性质：四个角都是90°（直角），内角和为360°。 3. 对角线性质：对角线相等、互相垂直、互相平分，且每条对角线平分一组对角；正方形对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 4. 对称性：既是中心对称图形（对称中心为对角线交点），又是轴对称图形，共有4条对称轴（两条对角线、两组对边中点连线）。 5. 面积与周长公式：周长=边长×4；面积=边长²=对角线²÷2。 知识点3：正方形的判定定理（核心考点） 1. 从平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 2. 从矩形判定：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。 3. 从菱形判定：有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形。 4. 从任意四边形判定：四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形；对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形。 知识点4：特殊平行四边形之间的关系 或者可表示为： 04 题型•讲练 【题型1 根据正方形的性质求角度】 核心考查：正方形直角、对角线平分对角、等腰直角三角形角度特征 易错点 1. 记错正方形对角线平分内角为45°的核心特征。 2. 混淆正方形与矩形、菱形的角度性质。 3. 复杂图形忽略直角条件，盲目计算角度。 解题技巧 1. 熟记固定角：内角90°、对角线分角45°、对角线夹角90°。 2. 结合对顶角、余补角、三角形内角和辅助求解。 3. 对角线题型优先利用等腰直角三角形模型解题。 【典例1】．如图，在正方形的外侧，作等边，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形、等边三角形的性质，得出，结合三角形内角和，列式计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】．如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 【变式2】．如图，正方形和正n边形的两条邻边相交，若，则n的值是________． 【答案】 6 【分析】由正方形的性质得其内角为，结合对顶角相等及四边形内角和定理，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的值 【详解】解：由正方形的性质可知，正方形的每个内角均为， ∵正方形和正边形的两条邻边相交构成一个四边形， 根据对顶角相等，该四边形的两个内角分别等于和， ∴由四边形内角和定理可知，正边形的一个内角为： ， 根据正多边形内角公式得：， 解得． 【变式3】．如图，在正方形中，对角线，相交于点，，分别为，上的一点，且，连接，，，若，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据正方形的性质得到为等腰直角三角形，进而得到，，通过证明，得到，进而得到． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型2 根据正方形的性质求线段长】 核心考查：边长相等、对角线与边长关系、勾股定理应用 易错点 1. 记错对角线与边长关系：。 2. 忽略四边相等性质，线段等量代换出错。 3. 不会结合勾股定理求解内部斜线段。 解题技巧 1. 基础线段直接用四边相等、对角线平分性质代换。 2. 熟练套用边长与对角线互算公式。 3. 斜线段构造直角三角形，用勾股定理计算。 【典例2】．如图，已知正方形边长为2，点E为中点，连接，取中点F，过点F 作垂线，交于点G，则的长为（     ） A． B． C． D．1.8 【答案】C 【分析】连接，结合题意可知垂直平分，易得；设，则，在和中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形为边长为2的正方形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点F为中点，且，即垂直平分， ∴， 设，则， 在和中， ，， ∴，解得， ∴． 【变式1】．如图，正方形的边长为1，正方形的四个顶点均在正方形的边上．已知，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、完全平方公式的变形求值、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 根据正方形的性质和全等三角形的判定，证明，从而得出，结合正方形边长为1得到，利用勾股定理和小正方形面积得到，最后利用完全平方公式变形求出的值． 【详解】解：四边形和均为正方形 ， 、、、， 、， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 【变式2】．如图，在正方形中，，分别为，上的点，连接，，若于点，，则的长为________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可得，，根据垂直的定义及同角的余角相等可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ． ， ， ， ． 在和中，， ， ． ， ． 【变式3】．如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 【题型3 根据正方形的性质求面积】 核心考查：两种面积公式的灵活运用、面积转化计算 易错点 1. 只会用边长求面积，遗忘对角线求面积公式。 2. 混淆周长、面积公式，计算失误。 3. 组合图形面积漏算、重复计算。 解题技巧 1. 知边长用：。 2. 知对角线用：。 3. 不规则面积用割补法、等积转化求解。 【典例3】．如图，在中，，分别为边，的中点，点，在边上，且．将沿着，，剪开分成四部分，重新组合后可以拼成正方形，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定、正方形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用，根据三角形中位线定理可知，，设正方形的边长，结合,，运用勾股定理算出． 【详解】解：如图，连接, 已知，分别为边，的中点，根据三角形中位线定理， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 由此可得， ，且因为剪开后可以组合拼成正方形，为边的中点，所以观察图形可以发现， ， 设正方形的边长为，即，则正方形的面积为， ， 在中，， ， ， ， ， ， 故答案选：． 【变式1】．如图，正方形的边长为，以为边在正方形外作等边三角形，连接，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，延长交于点，容易证明四边形是矩形，则，由等边三角形的性质可得，，由勾股定理可得，则，利用三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴， ∴． 【变式2】．七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．如图1，为正方形的对角线的中点，、分别为、的中点，连接，连接并延长交于点，、分别为、的中点，连接、，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，将这幅七巧板拼成图2的“小鱼”形象．已知，则图2中阴影部分的面积为____． 【答案】8 【分析】根据拼接可知：“小鱼”形象的整体面积与正方形的面积相等，“小鱼”形象的非阴影部分的面积等于正方形中的的面积，据此即可作答． 【详解】解：∵正方形中，， ∴． 【变式3】．如图，点、、在同一条直线上，正方形与正方形的边长分别为．若阴影部分的面积为12，，则的值为______． 【答案】6 【分析】根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，得，结合可求解． 【详解】解：∵正方形与正方形的边长分别为a，b， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴． ∵, ∴． 【题型4 正方形折叠问题】 核心考查：折叠全等、边长角度不变、勾股定理综合应用 易错点 1. 忽略折叠前后对应边、对应角相等的全等性质。 2. 不会设未知数，无法用勾股定理列方程解题。 3. 遗漏折叠产生的45°角、等腰直角三角形模型。 解题技巧 1. 先标注折叠前后相等的边、角，锁定全等关系。 2. 设未知线段，结合正方形边长不变+勾股定理列方程。 3. 特殊折叠直接用轴对称、等腰直角三角形性质速解。 【典例4】．如图，正方形的边长为，点是边上的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明，设，利用勾股定理列出方程求解，然后利用底边的比求三角形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， 由翻折的性质得，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴ ∴， ∴． 【变式1】．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 【变式2】．如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则___________，___________． 【答案】 【分析】根据正方形的性质和折叠的性质，证得是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的长；通过角度计算证明是等腰三角形，得出，再求出正方形对角线的一半作为的高，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， 四边形是正方形 ，， 是等腰直角三角形 在中， 解得 四边形是正方形 又 设与交于点，则 ， 在 中， 【变式3】．如图，已知点是正方形边上的一点，将沿所在直线翻折，点落在点处，连接并延长交的延长线于点，若，，则四边形的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，交于点，由正方形的性质，可得，，由翻折可得，，，可得，，，设，则，，可得，由勾股定理可得，可得，即可得四边形的面积． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿所在直线翻折，点落在点处， ∴，，， ∴，，， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【题型5 求正方形重叠部分面积】 核心考查：图形割补、等积变换、正方形对称性应用 易错点 1. 凭肉眼主观判断重叠面积，缺乏依据。 2. 不会拆分不规则重叠图形，计算繁琐出错。 3. 不会利用正方形旋转、对称性质转化面积。 解题技巧 1. 等大正方形中心旋转重叠，面积恒为单正方形1/4。 2. 不规则重叠区域用割补法转为规则图形计算。 3. 借助旋转全等，拼接图形简化运算。 【典例5】．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 【变式1】．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，正方形环的面积计算是解题的关键．连接，根据题意，得阴影部分的面积是，解答即可． 【详解】解：连接， 由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3， 根据题意，得阴影部分的面积是， 故选：A． 【变式2】．如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 【变式3】．如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 【题型6 根据正方形的性质证明】 核心考查：利用正方形性质证线段相等、线段垂直、角度相等、三角形全等 易错点 1. 证明跳步，逻辑不严谨，缺少关键推导。 2. 混用平行四边形、矩形、菱形性质定理。 3. 不会结合全等三角形辅助证明边角关系。 解题技巧 1. 以正方形边角、对角线性质为核心证明依据。 2. 边角相等问题优先证明三角形全等。 3. 证垂直可证夹角90°或利用对角线垂直性质。 【典例6】．如图，一大一小两个正方形与，与，分别交于，．下列结论：①是的中点；②与成正比例函数关系；③的面积与两个正方形的大小均相关；④与两个正方形边长之比有关．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】①正确添加辅助线，由正方形的性质，可证得四边形是矩形，得到相等的角和边，再由三角形的全等证得； ②构造直角三角形，由勾股定理表示出与，即可得证； ③由四边形是矩形和正方形的性质，可以表示出与边上的高，即可得到的面积； ④正确添加辅助线，构造平行四边形，由两直线平行，得到相等角，可证得． 【详解】解：①设正方形与的边长分别为、， 如图，连接，，交于点，过点作交的延长线于点， 因为四边形、是正方形， 所以，， 所以， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 在与中， ， 所以， 所以， 结论①正确； ②如图，延长、交于点， 则四边形是矩形， 在中，， 在中，， ， 结论②正确； ③由结论①的证明可知，，， ，， ， 结论③错误； ④如图，在上截取，连接， 所以， 在和中， ， 所以， 所以，， 所以， 所以，即， 所以是等腰直角三角形，， 四边形中，，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 所以， 结论④错误． 【变式1】．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，证，得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误； 综上所述，结论①②③正确． 故选：C． 【变式2】．如图，点E为正方形ABCD外一点，以AB为斜边作直角，分别连接BD，ED． （1）的度数为______； （2）若，记和正方形ABCD的面积分别为，，则的值为______． 【答案】 /270度 【分析】（1）利用正方形的角为直角及为直角三角形的条件，通过角度的和差关系直接推导的度数； （2）作于F，于G，先证明，再通过全等将原正方形的边与直角三角形的边转移到新构造的正方形的边和上，从而建立（新正方形边长）与原图形边长的数量关系，最终求出面积比值． 【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴，，， ∴； （2）如图，作于F，于G， 四边形$ABCD$是正方形， ，， ， ， ， 又， ， ，， 在和中： (). ∴，， 四边形AEFG为正方形， ∴， ∵，设，则，， ∴，， ∴的面积， ∴． 【变式3】．如图，四边形和四边形都是正方形，且点在线段上，连接，过点作，垂足为．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】先通过全等三角形转化线段，再结合垂直条件以及勾股定理求出线段长度，根据三角形面积公式推导出的长度． 【详解】解：已知四边形和四边形都是正方形， ， ， ， ， ， , 三点共线， 设，则，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ， ， ． 【题型7 添一个条件使四边形是正方形】 核心考查：正方形判定的逆向应用，特殊四边形的条件补充 易错点 1. 补充条件仅能判定矩形/菱形，无法判定正方形。 2. 忽略题干前置图形（平行四边形/矩形/菱形），乱加条件。 3. 条件不足或重复，判定依据不成立。 解题技巧 1. 平行四边形：补邻边相等或对角线垂直且相等。 2. 矩形：补邻边相等或对角线垂直。 3. 菱形：补直角或对角线相等。 4. 优先选择最简、不重复的判定条件。 【典例7】．如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 【变式1】．已知一个四边形是矩形，要使它成为一个正方形，在下列给出的条件中，可添加（   ） A．有一个角是 B．对角线互相垂直 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】B 【分析】根据正方形的判定定理，判断哪个条件可将矩形变为正方形. 【详解】解：∵原四边形已经是矩形 ∴矩形本身四个角都是，对角线互相平分且相等，因此选项A，C，D给出的条件都是矩形已有的性质，不能推出矩形是正方形； 根据正方形的判定定理，对角线互相垂直的矩形是正方形，因此添加“对角线互相垂直”的条件，可使矩形成为正方形. 【变式2】．如图，已知平行四边形的对角线，相交于点，．如果_____，那么四边形为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可得四边形是矩形，所以添加，进而可得四边形为正方形． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 所以添加条件：，则四边形是正方形． 【变式3】．如图，菱形的对角线相交于点O，请你添加一个条件：________ ， 使得该菱形为正方形． 【答案】（或等，答案不唯一） 【分析】本题考查了正方形的判定方法，已知四边形是菱形，根据对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形进行添加条件即可． 【详解】解：已知四边形是菱形， 若添加条件：，则满足“对角线相等的菱形是正方形”的判定定理， 若添加条件：，则满足“有一个角是直角的菱形是正方形”的判定定理， 任选其中一个为答案即可． 【题型8 证明四边形是正方形】 核心考查：完整的正方形判定逻辑，分层证明思路 易错点 1. 跳过前置图形判定，直接证正方形，逻辑断层。 2. 判定条件不足，定理乱用，推理不完整。 3. 混淆“先证矩形”和“先证菱形”的判定思路。 解题技巧 1. 万能思路一：先证矩形，再证邻边相等/对角线垂直。 2. 万能思路二：先证菱形，再证直角/对角线相等。 3. 对角线可直接证：平分、垂直且相等即为正方形。 4. 书写层层递进，每步对应判定定理。 【典例8】．如图，在中，的平分线相交于点D，于点E，于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)求证：四边形是正方形． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． (2)证明：过点D作于点H，如图所示： ∵分别平分，且，， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”进行求证即可； （2）过点D作于点H，根据角平分线的性质定理可得，则有，然后问题可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式1】．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 【变式2】．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形． 【变式3】．如图，四边形是平行四边形，，分别过点，作，的垂线，分别交和的延长线于点，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据平行四边形的性质结合垂线的定义证明四边形是矩形，再根据直角三角形的两锐角互余结合等角对等边证明，即可得证． 【详解】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， 矩形是正方形． 【题型9 根据正方形的性质与判定求角度】 核心考查：先判定正方形，再利用性质计算角度，综合题型 易错点 1. 未判定正方形，直接套用性质计算，逻辑错误。 2. 不会结合其他几何性质求解复杂角度。 3. 动态、多情况题型遗漏答案。 解题技巧 1. 先判定图形为正方形，再用性质算角度。 2. 结合平行线、三角形外角、全等辅助求解。 3. 不确定图形务必分类讨论，杜绝漏解。 【典例9】．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 【变式1】．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，正方形的判定与性质．熟练掌握矩形与折叠，正方形的判定与性质是解题的关键． 由矩形与折叠的性质可证四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由矩形与折叠的性质可知，，， ∴四边形是正方形，， 由折叠的性质可知，， ∴， 故选：B． 【变式2】．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 【变式3】．如图，在中，，，，为边的中点，是边上的动点，将沿翻折，点的对应点在内，，，三点在同一直线上． （1）的长为______； （2）的度数为______． 【答案】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线段中点的定义和勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，则有，由翻折的性质得，，，利用勾股定理求出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答； （2）过点作交延长线于点，先证明四边形是正方形，得到，，进而推出，得到，再利用翻折的性质和角的和差即可求出的度数． 【详解】解：（1）如图，取的中点，连接， ， ， 、分别为、的中点， ，，，， ， ， 由翻折的性质得，，，， ，，三点共线， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， 的长为． 故答案为：； （2）过点作交延长线于点，则， ， 四边形是矩形， 由（1）得，， 矩形是正方形， ，， ， 又，， ， ， ， 由翻折的性质得，， ， ， 的度数为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理、三角形的中位线定理、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 【题型10 根据正方形的性质与判定求线段长】 核心考查：判定+性质综合，线段计算、动点线段问题 易错点 1. 图形判定错误，错用矩形、菱形性质计算。 2. 判定正方形后，沿用普通四边形公式计算。 3. 动态题型抓不住不变量，无法建立等量关系。 解题技巧 1. 先判定图形，再用正方形专属性质简化计算。 2. 动态题紧抓边长、对角线长度不变的核心不变量。 3. 复杂线段用全等、勾股定理、方程思想求解。 【典例10】．如图，在四边形中，，，且．连接，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先过点分别作于点，，交的延长线于点，再根据矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，进行解答即可． 【详解】解：如图，过点分别作于点，，交的延长线于点， ． ， ， 四边形为矩形， ． ， ， ， ． 又，， ， ，， 矩形为正方形， ． 在中，，且， ， ， ，， ． 【变式1】．如图，长方形的长与宽比值为，将点B沿折叠与点G重合，将点C沿折叠与点H重合，则长方形的长与宽的比值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，则，根据折叠性质得出四边形为正方形，求出和的长，再根据第二次折叠求出，进而得出的长，最后计算长方形的长宽比． 【详解】解：设， 长方形的长与宽比值为， ， 由折叠可知， ，，， ， 四边形为正方形， ，， ∵长方形 ∴ ∴， ∴点共线， ∴， 同理可得，三点共线， 由折叠可得，， ∴ 长与宽的比值为． 【变式2】．如图，在四边形中，，，，，是线段的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（图中所有的点均在同一平面内），连接，，当________时，的面积最小． 【答案】 【分析】添加辅助线，构造四边形为正方形，再由勾股定理求解出的长度，再由面积的最小时，则该三角形的高最小，再由翻折可得点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，根据点三点共线时，最小，作辅助线构造等腰直角三角形，设，再表示出其他相关的边长，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 在中，， ∴当点到的距离最小时，的面积最小． 过点作交的延长线于点，如图， 即当最小时，的面积最小． ∵是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴点是在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点三点共线时，最小， 过点作于点，过点作于点，连接，如图， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得（舍掉）， ∴， ∴当时，的面积最小． 【变式3】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 【答案】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，． 【题型11 根据正方形的性质与判定求面积】 核心考查：判定正方形后求面积、不规则图形面积转化 易错点 1. 未证正方形，直接套用其面积公式，逻辑不成立。 2. 混淆特殊四边形面积公式，套用出错。 3. 不会通过图形判定转化不规则面积。 解题技巧 1. 先判定正方形，再选用对应面积公式计算。 2. 无直接边长时，通过线段转化求边长、对角线。 3. 不规则面积依托正方形性质做等积、割补转化。 【典例11】．如图，点为正方形的对角线的中点，在中，两直角边，分别交，于点，．若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点于点，证明，得到计算即可． 【详解】解：过点作于点于点， ∵四边形是正方形， ∴平分， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ． 【变式1】．如图，在中，，连接，，，．下列结论：①；②；③；④若，则；⑤．其中结论正确的有（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】延长交于，过作于，过作交直线于，得到四边形，，是矩形，由，得到，再根据，得到，即可求出，故①说法正确；证明，，，故②说法正确；根据，得到③说法正确；证明，得到，推出，故④说法错误；设，，分别表示，，，，即可证明． 【详解】解：延长交于，过作于，过作交直线于， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴四边形，，是矩形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故①说法正确； ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故②说法正确； ∵，， ∴，， 故③说法正确； 若，则， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④说法错误； 设，， ∴，，， ∵四边形，是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故⑤说法正确； 综上所述，正确的有①②③⑤． 【变式2】．如图，在矩形中，，，平分，平分，，，则四边形的面积为________． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；根据，可推出四边形是平行四边形，再由矩形的性质和角平分线的定义推出，从而可说明平行四边形是正方形，再利用勾股定理结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 平分，平分， ， ， 平行四边形是正方形． ∵，， ∴， ∴，即四边形的面积为8， 故答案为：8． 【变式3】．如图，正方形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的面积是______． 【答案】25 【分析】本题考查正方形的判定与性质． 根据正方形的对角线互相垂直平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利进而可得到四边形为正方形，即可求出其面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形为平行四边形， ，， ∴四边形为正方形， ． 故答案为：25 【题型12 根据正方形的性质与判定证明】 核心考查：判定与性质综合推理，复杂几何证明 易错点 1. 逻辑倒置：未判定正方形，先使用其性质。 2. 证明跳步，缺失关键得分步骤。 3. 不会综合运用全等、平行四边形知识解题。 解题技巧 1. 固定流程：先判定正方形，再用性质推导结论。 2. 拆分大题，分步完成判定、证明、推导。 3. 融合前置几何知识，保证推理完整严谨。 【典例12】．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出种情况：①若为上任意一点，则；②若为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点作正方形交边于，则．则其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】证明得到，又可得四边形是矩形，得到，即可判断①；由点为的中点，可得和为的中位线，即可判断②；由，可得，进而可得，即可判断③；由四边形为正方形，得，，可证明，得到，即得，又由，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，故①正确； 若点为的中点，则， ∵，， ∴，， ∴和为的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由①可知四边形是矩形， ∴四边形是正方形，故②正确； 若，则， ∵， ∴，故③错误； 若四边形为正方形，则，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的是①②④． 【变式1】．如图，在正方形中，点是的中点，点是的中点，与相交于点，设．得到以下结论：①；②；③；④．则上述结论正确的是______． 【答案】①②③④ 【分析】先证明，可得到，继而证得，故①正确；延长交延长线于点M，再证明，可得，由，可得，故②正确；由勾股定理和面积可得：，故③正确；过点作于点，，交的延长线于点N，则四边形是矩形，证明，得到，则可证明四边形是正方形，得到，故④正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点是中点，点是中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图所示，延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ， ， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ∴，故③正确； 如图所示，过点作于点，，交的延长线于点N， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故④正确， ∴正确的有①②③④． 【变式2】．如图1，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：． (2)如图2，过点作，交边于点，以，为边作矩形，连接． （ⅰ）求证：． （ⅱ）若正方形的边长为，求的值． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ； (2)（ⅰ）证明：如图，在正方形中，作于点，于点， ， 四边形为矩形， 在正方形中，平分，且，， ， 四边形为正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （ⅱ）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、正方形的性质与判定． （1）根据正方形的性质可得，，即可判定，再利用全等三角形的性质即可求证； （2）（ⅰ）通过作，得出四边形为正方形，利用正方形的性质求得，得出，即可求解； （ⅱ）根据正方形的性质求出，根据全等三角形的性质得出，利用求解． 【详解】（1）略； （2）（ⅰ）略； （ⅱ）四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， 正方形的边长为， ， 的值为． 【变式3】．如图，在菱形中，是对角线上的点， (1)如图，求证：； (2)如图，点是菱形内一点，四边形为平行四边形，，． ①求证：， ②与相交于点；且是的中点，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，四边形为菱形时，连接，若时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)①证明见详解；②，见详解 (3)，见详解 【分析】（1）观察所在的图形，证明即可； （2）①首先连接，交于点，，然后把条件中涉及的角和建立联系，进而得证； ②由于是中点，连接，首先结合已知条件和中位线的性质证明，然后在等腰直角三角形中可知，问题得解； （3）首先结合已知条件画出图形，然后证明，最后在中求出即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，   ，   ．   在和中，   ．   ； （2）解：①如图1，连接，交于点，   四边形为菱形，   ，．   ． 由(1)已知，   ． ，   ．   四边形为平行四边形，   ，   ，   ．   在中，．   ，   ，   ，即，   ，   ．   ②如图2，连接，由条件易知为中点．   是中点，   ，   ，   ．   由①易知．   在中，   ， ，   ．   由①可知为等腰直角三角形，   ，   ，即．   ； （3）如图3，当四边形为菱形时易知落在对角线上，设与交于点，连接．   由对称性易知，为中点，   ．   由①可知四边形为正方形，   ，   ．   由②可知，   ，   是等边三角形，   ，   ．   ．   四边形为菱形，，   ．   如图3，过点作于．   在中，，，   则．   在中，，   ，   ． 【点睛】本题综合考查了平行四边形、菱形、正方形、等边三角形、全等以及中位线等知识．除了熟悉相关知识外，能够准确把握各个图形要素的内在联系，作出恰当的辅助线是解题的关键． 05 过关•检测 1．如图，点，，将线段平移到线段，连接，若，，则点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点D作轴于点H，先根据平移的性质证明四边形是平行四边形，结合，，得出四边形是正方形，再证，推出，，即可求解． 【详解】解：点，， ，， 如图，过点D作轴于点H， 线段平移到线段， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形， ，， ， 又， ， 又，， ， ，， ， 点的坐标是． 2．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 3．如图，在边长为4的正方形外有一点P，且是等边三角形，则的面积为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可知，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵四边形是边长为4的正方形， ，． 是等边三角形，， ， 在中，， ． 4．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线平分一组对角 D．四条边相等 【答案】A 【详解】解：A选项 正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意； B选项 正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，不符合题意； C选项 正方形和菱形的对角线都平分一组对角，不符合题意； D选项 正方形和菱形的四条边都相等，不符合题意． 5．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．《周髀算经》为中国最古老的天文数学著作，记载勾股定理，赵爽作注创“弦图”以面积法严谨证之，成古代数学典范．如图所示弦图中，由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若大正方形的面积为，连接、．若，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵大正方形的面积为， ∴， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∴． 7．如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 8．如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点O，下列结论：；；；④AO＝OE；，其中正确的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，结合可得，利用证明，根据全等三角形的性质逐一判断各结论即可 ； 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，故正确； ，， ， ， ， ，故正确； ， ， ，即，故正确； 连接， 在中，，且，， ， ，故错误； 且， ，故正确； 综上所述，正确的结论有． 9．如图，在正方形中，为等边三角形，延长交于点，则__________． 【答案】 【分析】用方程思想将正方形的边长设出来，再利用等边三角形的性质得到，利用“在直角三角形中，所对的边是斜边的一半”进行求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， 解得， ， ∴． 10．如图，已知正方形的边长为8，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，，则的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，由正方形可得，，再可得四边形是矩形，则的最小值即为的最小值，当时，最短，利用等面积法求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为8， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∵P是对角线上一点， ∴当时，最短，此时， ∴， ∴的最小值为． 11．如图，正方形的边长为3，为上一点，沿折叠，使点落在点处，延长交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】连接，设，则，再解直角三角形得到，根据折叠的性质得到，然后分别在和中，利用勾股定理建立方程求出即可． 【详解】解：连接，设，则， ， ，，， ， 由折叠可知， ， 在中，， 在中，， ， 解得或（舍去）， ． 12．如图，点E在正方形的边的延长线上，，相交于点F，连接．设，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】由，可知，利用三角形外角和定理，得到，则，又由，即可求解． 【详解】解：如图， 连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，正方形的边长为4，，过点A作的垂线，垂足为N，过点C作的垂线，垂足为P，连接交于点M，连接，设的周长为l，当°时，l的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据特殊位置和临界情况，求出周长的最小值和最大值，从而确定范围． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∴的周长l为：， 当时，点P和点A重合，点C、M、P三点共线，此时最小，最小值为，但此时点A、M、P不能构成三角形， ∴ ； 当时，点N和点A重合，点B、M、P重合，此时最大，最大值为，但此时点A、M、P不能构成三角形， ∴ ； 综上所述：． 【点睛】本题考查了正方形性质、全等三角形的性质和判定、最短路径问题，解题关键是确定最大值和最小值． 14．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为________． 【答案】/ 【分析】根据正方形和全等三角形的性质可证，设，根据勾股定理求出x，再根据面积求解即可． 【详解】解：大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成， ，，， ， ， ， ∴， 设， ， ， ， 解得， ， ∴阴影部分的面积． 15．如图，在正方形中，点E在上，连结，过点A作于点F，过点C作于点G．延长至点P，使，连结． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）利用正方形的性质结合垂线的定义可证，，，证明，即可得出结论； （2）先求出 ，根据，，得到 ，．由勾股定理得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴ ． ∵，， ∴ ，，， ∵， ∴． 由勾股定理得． ∵， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴． ∴． 16．如图，在中，，D，F两点分别在，边上，以为对角线作正方形，，边与交于H，． (1)求证：； (2)已知，求的度数．（用含α的式子表示） 【答案】(1)证明：在正方形中，， ∴， ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由在正方形得到，再根据 ，， 得到，即可证明； （2）作于M，由，得到 ，再结合 ，得到 ， ，最后根据 求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于M， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 17．如图，四边形是边长为4的正方形，点是边上异于端点的任意一点，交于点，点是点关于直线的对称点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若四边形是平行四边形，连接，求的长度． 【答案】(1)证明： ∵ 点与点关于直线对称， ∴ ，即 ． 又∵ ，∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 四边形是正方形， ∴ ，即 ， ∴ （同角的余角相等）． ∵ 四边形是正方形， ∴ ． 在和中： ， ∴ ． (2)4 【分析】（1）利用轴对称与垂直定义得到两组直角，借助同角余角相等证一组角相等，结合正方形邻边相等，用判定三角形全等． （2）由轴对称、平行四边形性质结合全等结论，推导出E为中点，依据垂直平分线性质得线段等量关系，结合正方形边长求出长度． 【详解】（1）略． （2）∵ 点与点关于直线对称， ∴ ，即 ． ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ． 由（1）知 ， ∴ ，， ∴ ，即点为线段的中点． 又∵ ， ∴是线段的垂直平分线． ∴． ∵ 正方形的边长为， ∴ ， ∴ ． 18．已知在中，，，D为直线上一动点（点D不与点B，C重合），以为边在其右侧作正方形，连接． 【观察猜想】 (1)如图1，当点D在线段上时，可以证明，则： ①线段与的位置关系为________． ②线段之间的数量关系为________． 【类比探究】 (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，（1）中①②的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请你写出正确结论并证明． 【拓展延伸】 (3)点D在直线上，其他条件不变，连接．若，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)①成立，②不成立，正确的结论为：，证明见解析 (3)或 【分析】（1）①证明， 根据全等三角形的对应角相等求解；②根据全等三角形的对应边证明即可； （2）仿照（1）证明即可； （3）分两种情况讨论，对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （2）解：①成立，②不成立，正确的结论为： ∵四边形是正方形， ， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即：， ， ②， ， ， ， （3）解：∵， ∴， 当点在线段上， 由（1）知， ∴ ∴； 当点在线段延长线上时， 由（2）知， ∴ ∴， 综上：线段的长或． 19．某数学兴趣小组利用矩形硬纸片开展了一次活动，请阅读下面的探究片段，完成所提出的问题． 【探究1】 (1)如图1，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C刚好落在边上的点F处，若，，长是______． 【探究2】 (2)操作：如图2，点E是正方形上一动点，连接，将沿翻折，点C落在正方形内一点F处，小明延长交于点M，过点B、点M作射线，则射线是的角平分线，请你判断小明的作法是否正确，并说明理由． 【探究3】 (3)如图3，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在矩形外一点F处，连接，若，，，则的面积是______． 【探究4】 (4)如图4，点E是矩形边上一点，连接，将沿翻折，点C落在点F处，的角平分线与的延长线交于点M，若，，当点E从点C运动到点D时，点M运动的路径长是______． 【答案】(1) (2)正确； 理由：∵四边形是正方形， ， ∵将沿翻折，点落在正方形内一点处， ， ， 在和中， ， ， ， ∴射线是的角平分线； (3) (4)4 【分析】（1）根据矩形的性质可得，由翻折的性质可得，再根据勾股定理即可求得的长； （2）延长交于点，过点、点作射线，则射线是的角平分线．理由：根据正方形的性质可得，根据翻折的性质得到，然后证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）延长交的延长线于点，过点作于点，设，根据矩形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据翻折的性质得到，，可得，根据等角对等边有，，在中，，得到，然后由，求得，最后根据三角形的面积公式可得结论； （4）过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设，证明四边形是矩形，结合翻折的性质证明，从而证明四边形是正方形，，当点与点重合时，点运动的路径是线段，则，在中，，根据，解得：，可得答案． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ∵将沿翻折，点刚好落在边上的点处， ， ∴在中，， ∴的长为； （2）略 （3）解：延长交的延长线于点，过点作于点，设， ∵在矩形中，， ， ， ∵将沿翻折，点落在矩形外一点处，， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即：， ， 解得：， ， ， ，即， ， ． （4）解：过点作，交的延长线于点，延长交的延长线于点，设， ， ∵四边形是矩形，， ， ∴四边形是矩形， ， ， ∵将沿翻折，点落在点处， ， ， ∵的角平分线与的延长线交于点， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ∴当点与点重合时，， 此时在中，， ， 即：， 解得：， ， ∴当点从点运动到点时，点运动的路径是线段，长度为4． 20．【概念生成】 新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”． (1)在①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形中一定是“神奇四边形”的是___________（填序号）． 【基础探究】 (2)如图1，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，． ①求证：四边形为“神奇四边形”； ②若四边形的面积为29，正方形边长为7，求的长． 【拓展延伸】 (3)如图2，点，分别在正方形的边，上，将正方形沿直线翻折，使得点的对应点为，点的对应点为，的对应边恰好经过点，过点作于点．若，正方形的边长，请直接写出的长． 【答案】(1)④ (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论； （2）①证，得，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论； ②利用“神奇四边形”的性质求得，由勾股定理求得，据此计算即可得出结论； （3）延长交于点，由翻折的性质可知，，，，，由勾股定理求得，，设，则，再由勾股定理计算即可解决问题． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分； 矩形的对角线互相平分且相等； 菱形的对角线互相垂直平分； 正方形的对角线互相垂直平分且相等； 正方形一定是“神奇四边形”； 故答案为：④； （2）①证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 又， 四边形是“神奇四边形”； ②解：四边形是“神奇四边形”，且四边形的面积为29， ∴， ∴， ∵正方形边长为7， ∴， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点， ∵， ∴由翻折的性质可知，，，，， 又∵正方形的边长， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得， ∴， ∴． 21． 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． (1)线段间的数量关系是________________； (2)如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【详解】（1）解： ∵正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接，则， ∵四边形为的菱形， ∴，，平分 ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，，， ∴； 综上所述，满足条件的的长度为或． 22．四边形是正方形，点在射线上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接，过点作交射线于点． (1)如图1，点在线段上 ①求证：； ②求的度数； ③证明． (2)若点在线段的延长线上，请补全图形（图），直接写出线段与的数量关系． 【答案】(1)①证明：∵四边形是正方形， ∴． ∴ ． ∵点，关于直线对称， ∴． ∴ ． ∴； ②； ③证明：如图，过点作于点． ∴ ． 又∵， ∴ ． ∴． ∵， ∴ ． ∴． ∵ ∴． (2)补图如图， 【分析】（1）①根据正方形的性质可得 ．根据对称性可得，则，即可得出； ②连接．设 则 ，分别表示出，，进而即可求解； ③如图，过点作于点．证得出，根据得出 ．根据勾股定理可得，根据对称性可得，进而即可得出； （2），连接．根据对称性依然有，设，则，进而得出，过点作于点．证明得出．根据，即可求解． 【详解】（1）①略 ②如图，连接． 点，关于直线对称， 垂直平分． ∴． ∵四边形是正方形， ∴ ． ∴，，． 设， 则 ，． ∴． ∴ ∴ ． ③略 （2）理由如下： 如图，连接． ∵点关于直线的对称点为， ∴ ． ∴，，． 设， 则 ，． ∴． ∴ ∵ 过点作于点． ∴ ． 又， ． ∴． ， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $